Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник заданий для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник заданий для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам

библиотека
материалов

Сборник заданий

для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Квадрат каждого из трех данных чисел равен произведению двух оставшихся чисел. Докажите, что все данные числа равны.

2. В каком году XX века родился человек, если в 1997 году произведение цифр лет, прожитых им, уменьшенное в 4 раза, на 3 меньше суммы цифр года его рождения?

3. Построить график функции:

y = |x2 – 1| – |x2 – 9|.

4. Периметр треугольника равен 24 см. Можно ли около этого треугольника описать окружности радиусом 5 см?

5. Докажите, что при любом значении x выполняется равенство:

hello_html_23d9ca5c.png.

6. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?



Вариант 2


  1. Упростить выражение hello_html_1c2d5c0b.png, где 0° a 90°, считая, что корень означает арифметическое значение квадратного корня.

  1. Вычислить a4 + b4 + c4, зная, что a + b + c = 0 и a2 + b2 + c2 = 1.

  2. Найти сумму целых решений неравенства:

hello_html_64b32c6a.png.

  1. Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

  2. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

|x – 5| + |y + 9| 4.

  1. Решить систему уравнений:

hello_html_356400b0.png



Вариант 3

1. Вычислить hello_html_19204eb9.png, если tga = 2.

2. Решите систему уравнений:

hello_html_m5c4777fc.png

3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = AA1 = 12, AD = 30. Точка М расположена на грани ABB1A1 на расстоянии 1 см от середины AB и на равных расстояниях от A и B. Точка N принадлежит грани DCC1D1 и расположена симметрично точке М относительно центра параллелепипеда. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками М и N.

4. Из точки Е к окружности диаметром КМ проведена касательная ЕМ. Отрезок ЕК пересекается с окружностью в точке D, ED = 2 дм; КМ = 6 дм. Найдите градусную меру дуги окружности, заключенной внутри MEK.

5. Найдите сумму 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11 ... 1 (всего 2000 слагаемых).

6. Решить графически систему уравнений:

hello_html_4c12dd32.png



Вариант 4

1. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

2. Решить систему уравнений:

hello_html_mfedabd4.png

3. Постройте график функции:

hello_html_4d76375e.png.

4. Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Доказать, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них, как на диаметрах, полностью накроют пятиугольник.

5. Сколько одинаковых членов находится в двух арифметических прогрессиях 5; 8; 11... и 3; 7; 11... если в каждой из них по 100 членов?

6. По дороге мимо наблюдателя проехали через равные промежутки времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками времени, но в другом порядке: автобус, автомобиль и мотоцикл. Найти скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а скорость мотоцикла 30 км/ч.



Вариант 5

1. Остаток при делении многочлена P (x) на (x – 1) равен 1, при делении P (x) на (x – 2) равен 2, а при делении P (x) на (x – 3) равен 3. Какой остаток будет при делении P (x) на (x – 1)(x – 2)(x – 3)?

2. Построить график hello_html_35a590a4.png.

3. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из конца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь проехал связной?

4. Решите в целых числах систему уравнений:

hello_html_b8fd1c4.png

5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством x2 + y2 10|x| + 4| y|.

6. Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника ABCDEFGHK, если известно, что площадь ADG равна hello_html_m17ff5738.png.



Вариант 6

  1.  Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором, hello_html_m78844166.png.

  1.  Решить уравнение:

hello_html_m459ba068.png.

  1.  Найдите два трехзначных числа, сумма которых кратна 504, а частное кратно 6.

  2.  Непрерывная четная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всех неотрицательных значений x значение f(x) совпадает со значением функции g(x) = x2 – 6x + 5. Найдите произведение корней уравнения f(x) = –3.

  3.  30 стульев стоят в ряд. Время от времени к ряду подходит человек и садится на один из свободных стульев, при этом один из его соседей, если таковые есть, встает и уходит. Какое максимальное число стульев может быть занято, если в начале они все были пустыми?

  4.  Найти наименьшее значение параметра с, при котором система hello_html_m3fd16aca.png

имеет одно решение.



Вариант 7

  1.  Найдите значение выражения hello_html_527baca1.png, если hello_html_1ceb4630.png.

  1.  Постройте график функции y = 4sin x |cos x|.

  2.  Сумма третьего и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна наибольшему значению трехчлена –2x2 + 4x – 16. Найдите сумму шестнадцати первых членов этой прогрессии.

  3.  Составьте формулу, с помощью которой выражался бы n-й член последовательности вида 0; 2; 2; 4; 4; 6; 6; ...

  4.  В сосуде имеется три крана. Через первый и второй краны вода вливается, через третий выливается. Один первый кран может наполнить сосуд за 10 часов, а один второй – за 15 часов. При совместном действии всех трех кранов из полного сосуда выливается вся вода за 30 часов. Сосуд был полон, когда открыли первый и третий краны. Через 1 час после их открытия первый кран был закрыт, но открыт второй, а еще через 1 час закрыли третий кран и вновь открыли первый. Определите, через сколько часов после закрытия третьего крана два первых наполнят сосуд.

  5.  Разность катетов прямоугольного треугольника равна биссектрисе прямого угла. Вычислите отношение этих катетов.



Вариант 8

  1. Найти в градусах угол a, под которым окружность x2 + y2 = 32 видна из точки А (8; 0).

  1. Сто человек ответили на вопрос: «Будет ли новый президент лучше прежнего?» Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же и c – что будет хуже. Других ответов не было. Социологи построили два показателя «оптимизма» опрошенных: hello_html_m664cf25c.png. Оказалось, что m = 40. Чему в таком случае равно n?

  2. Через точку М на диаметре окружности проводится секущая CD под углом 45º к диаметру. Докажите, что число |CM|2 + |DM|2 не зависит от положения точки М на диаметре.

  3. Решить неравенство:

hello_html_m334cb899.png.

  1. Решить уравнение:

hello_html_m3d92fe53.png.

  1. Возраст одного человека в 1990 году был равен произведению цифр года его рождения. В каком году он родился, если известно, что ему меньше 90 лет?



Вариант 9

  1.  Дан угол в 19º. Построить с помощью циркуля и линейки угол в 1º.

  1.  Найдите три числа, если куб первого числа на 2 больше их произведения. Куб второго числа на 3 меньше их произведения, а куб третьего числа на 3 больше их произведения.

  2.  Решить неравенство:

hello_html_781b9ff6.png.

  1.  Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекается с продолжением стороны CD в точке E. Найти угол ADE, если CD = 2EB; AB : EC = 7 : 2, косинус угла AED равен hello_html_71a389db.png.

  2.  Доказать тождество:

hello_html_m667c6786.png.

  1.  При каких значениях параметра а уравнение |x2 – 5x + 4| = ax имеет ровно три корня?



Вариант 10

1. Найти значение выражения x3 – 3x при hello_html_m545125e2.png.

2. Найти все решения уравнения

hello_html_m1da79f63.png, удовлетворяющие условию ctgx 0.

3. Вычислить hello_html_540afd9.png.

4. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которой помещается множество точек, заданной на координатной плоскости условием:

|3xy – 1| + | 3x – 6| 8.

5. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие – на хорде. Чему равна разность сторон этих квадратов?

6. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый – что он не дипломат, а шестой – что он не лжец. Кто из них есть кто?



Автор
Дата добавления 30.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров725
Номер материала ДВ-394078
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх