Сборник заданий для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам

Сборник заданий

для подготовки учащихся 10 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Квадрат каждого из трех данных чисел равен произведению двух оставшихся чисел. Докажите, что все данные числа равны.

2. В каком году XX века родился человек, если в 1997 году произведение цифр лет, прожитых им, уменьшенное в 4 раза, на 3 меньше суммы цифр года его рождения?

3. Построить график функции:

y = |x² – 1| – |x² – 9|.

4. Периметр треугольника равен 24 см. Можно ли около этого треугольника описать окружности радиусом 5 см?

5. Докажите, что при любом значении x выполняется равенство:

.

6. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?

Вариант 2

1.        Упростить выражение , где 0° < a < 90°, считая, что корень означает арифметическое значение квадратного корня.

2.        Вычислить  a⁴ + b⁴ + c⁴, зная, что                                                                  a + b + c = 0  и  a² + b² + c² = 1.

3.        Найти сумму целых решений неравенства:

     .

4.        Точки P, K, M, N – соответственно середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AK и CP пересекаются в точке F, отрезки AM и CN – в точке E. Площадь четырехугольника AFCE равна 666. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

5.        Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:

|x – 5| + |y + 9| £ 4.

6.        Решить систему уравнений:

Вариант 3

1. Вычислить , если tga = 2.

2. Решите систему уравнений:

3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором AB = AA₁ = 12,  AD = 30. Точка М расположена на грани ABB₁A₁ на расстоянии 1 см от середины AB и на равных расстояниях от A и B. Точка  N принадлежит грани DCC₁D₁ и расположена симметрично точке М относительно центра параллелепипеда. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками М и N.

4. Из точки Е к окружности диаметром КМ проведена касательная ЕМ. Отрезок ЕК пересекается с окружностью в точке D, ED = 2 дм; КМ = 6 дм. Найдите градусную меру дуги окружности, заключенной внутри DMEK.

5. Найдите сумму 1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 11 ... 1 (всего 2000 слагаемых).

6. Решить графически систему уравнений:

Вариант 4

1. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13.

2. Решить систему уравнений:

3. Постройте график функции:

.

4. Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Доказать, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них, как на диаметрах, полностью накроют пятиугольник.

5. Сколько одинаковых членов находится в двух арифметических прогрессиях 5; 8; 11...  и  3; 7; 11... если в каждой из них по 100 членов?

6. По дороге мимо наблюдателя проехали через равные промежутки времени автобус, мотоцикл и автомобиль. Мимо другого наблюдателя они проехали с такими же промежутками времени, но в другом порядке: автобус, автомобиль и мотоцикл. Найти скорость автобуса, если скорость автомобиля 60 км/ч, а скорость мотоцикла 30 км/ч.

Вариант 5

1. Остаток при делении многочлена P (x) на  (x – 1)  равен 1, при делении P (x)  на (x – 2)  равен 2, а при делении P (x) на (x – 3) равен 3. Какой остаток будет при делении P (x) на (x – 1)(x – 2)(x – 3)?

2. Построить график .

3. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из конца колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь проехал связной?

4. Решите в целых числах систему уравнений:

     

5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством x² + y² £ 10|x| + 4| y|.

6. Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника ABCDEFGHK, если известно, что площадь DADG равна .

Вариант 6

1.        Вычислить, не пользуясь таблицами и микрокалькулятором, .

2.        Решить уравнение:

.

3.        Найдите  два  трехзначных  числа,  сумма  которых  кратна 504, а частное кратно 6.

4.        Непрерывная четная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всех неотрицательных значений x значение f(x) совпадает со значением функции g(x) = x² – 6x + 5. Найдите произведение корней уравнения f(x) = –3.

5.        30 стульев стоят в ряд. Время от времени к ряду подходит человек и садится на один из свободных стульев, при этом один из его соседей, если таковые есть, встает и уходит. Какое максимальное число стульев может быть занято, если в начале они все были пустыми?

6.        Найти наименьшее значение параметра с, при котором система                

имеет одно решение.

Вариант 7

1.        Найдите значение выражения , если .

2.        Постройте график функции y = 4sin x × |cos x|.

3.        Сумма третьего и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна наибольшему значению трехчлена –2x² + 4x – 16. Найдите сумму шестнадцати первых членов этой прогрессии.

4.        Составьте формулу, с помощью которой выражался бы n-й член последовательности вида 0; 2; 2; 4; 4; 6; 6; ...

5.        В сосуде имеется три крана. Через первый и второй краны вода вливается, через третий выливается. Один первый кран может наполнить сосуд за 10 часов, а один второй – за 15 часов. При совместном действии всех трех кранов из полного сосуда выливается вся вода за 30 часов. Сосуд был полон, когда  открыли первый и третий краны. Через 1 час после их открытия первый кран был закрыт, но открыт второй, а еще через 1 час закрыли третий кран и вновь открыли первый. Определите, через сколько часов после закрытия третьего крана два первых наполнят сосуд.

6.        Разность катетов прямоугольного треугольника равна биссектрисе прямого угла. Вычислите отношение этих катетов.

Вариант 8

1.     Найти в градусах угол a, под которым окружность x² + y² = 32 видна из точки А (8; 0).

2.     Сто человек ответили на вопрос: «Будет ли новый президент лучше прежнего?» Из них a человек считают, что будет лучше, b – что будет такой же и c – что будет хуже. Других ответов не было. Социологи построили два показателя «оптимизма» опрошенных: . Оказалось, что m = 40. Чему в таком случае равно n?

3.     Через точку М на диаметре окружности проводится секущая CD под углом 45º к диаметру. Докажите, что число |CM|² + |DM|² не зависит от положения точки М на диаметре.

4.     Решить неравенство:

.

5.     Решить уравнение:

.

6.     Возраст одного человека в 1990 году был равен произведению цифр года его рождения. В каком году он родился, если известно, что ему меньше 90 лет?

Вариант 9

1.        Дан угол в 19º. Построить с помощью циркуля  и  линейки  угол в 1º.

2.        Найдите три числа, если куб первого числа на 2 больше их произведения. Куб второго числа на 3 меньше их произведения, а куб третьего числа на 3 больше их произведения.

3.        Решить неравенство:

.

4.        Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекается с продолжением стороны CD в точке E. Найти угол ADE, если CD = 2EB; AB : EC = 7 : 2, косинус  угла  AED  равен .

5.        Доказать тождество:

.

6.        При  каких  значениях  параметра а уравнение |x² – 5x + 4| = ax имеет ровно три корня?

Вариант 10

1. Найти значение выражения x³ – 3x  при .

2. Найти все решения уравнения

, удовлетворяющие условию ctgx < 0.

3. Вычислить .

4. Составить уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которой помещается множество точек, заданной на координатной плоскости условием:

|3x – y – 1| + | 3x – 6| < 8.

5. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие – на хорде. Чему равна разность сторон этих квадратов?

6. В компании из шести человек один правдолюб, то есть всегда говорит правду; двое – дипломаты, то есть могут говорить правду или ложь; а остальные – лжецы, то есть всегда лгут. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый сказал, что правдолюб, второй – что он дипломат, третий – что он лжец, четвертый – что он не правдолюб, пятый – что он не дипломат, а шестой – что он не лжец. Кто из них есть кто?