Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник заданий для подготовки учащихся 11 классов к олимпиадам
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник заданий для подготовки учащихся 11 классов к олимпиадам

библиотека
материалов

Сборник заданий

для подготовки учащихся 11 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

hello_html_m709e2a93.png

2. Дан прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а и ahello_html_m2b9b8268.png и боковым ребром а. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и перпендикулярной одной из них, и вычислите его площадь.

3. Решить уравнение: hello_html_79c25ed1.png

4. Известно, что f(x) = hello_html_190e030c.png ; g(f(x)) = x. найти g(x).

5. Найти значения a, при которых вершины парабол

y = x2 – 2(a + 1) x + 1 и y = ax2x + a лежат по разные стороны от прямой y = x – 2.

6. На бесконечной шахматной доске с клетками размером 1 1 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось k черных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?



Вариант 2

1. Найти двугранные углы трехгранного угла, плоские углы которого α, β и γ.

2. Доказать неравенство:

(x + y) (x + y + 2 cos x) + 2 2sin2 x.

При каких значениях х и у достигается равенство?

3. Найти четырехзначное число, кратное 7 и представляющее собой сумму куба и квадрата одного и того же целого числа.

4. Авиалинию, связывающую пункты А и В, обслуживают самолеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего типов может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты, используемые на линии, могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найдите количество используемых на линии самолетов каждого типа, если их общее число не превосходит 8.

5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых существует решение уравнения x2 + (2ax2 + 3)2 = 4.



Вариант 3

1. Найдите наибольшее значение функции:

y = hello_html_m2d03d2c6.png (a > 0; b > 0; c > 0).

2. Вычислить tg(arccoshello_html_60224124.png – arcsinhello_html_m15a60c81.png).

3. Решите уравнение: hello_html_1436073e.png

4. На даче на берегу моря отдыхает семья: дедушка, бабушка, их дочь, зять и внучка. До завтрака они часто купаются в море. При этом известно, что если дед идет купаться, то с ним обязательно идет бабушка и зять; если зять идет купаться, то обязательно берет с собой жену; внучка купается только с бабушкой. Каждое утро по меньшей мере один из стариков непременно купается. Известно, что в то утро купалась или внучка, или ее мама. Спрашивается, кто из членов семьи купался в то утро?

5. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведите сечение через вершину А, середину ребра ВС и центр грани DCC1D1. Вычислите площадь сечения, если ребро куба равно a.



Вариант 4

1. Решите уравнение:

hello_html_3d4a77b4.png.

2. Найдите объем общей части двух кубов, если один из них получен при повороте на 90° другого куба вокруг оси, проходящей через среднюю линию одной из его граней.

3. Графики линейных функций y = x + 6; y = –0,5x + 6 и y = 0,25x + 1,5, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Найдите его площадь.

4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение a (4x + 1) = 3 (2x + 1)2 – 8 имеет единственное решение.

5. Найти высоту пирамиды, если плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны 75º, 90º и 105º, а высоты всех боковых граней, проведенные из этой вершины, равны 1.



Вариант 5

1. При каких натуральных n число 32n+1 – 22n+1 – 6n является составным?

2. В начальный момент лечения пациенту была произведена первая инъекция – 6 единиц некоторого лекарства, а во время каждой последующей инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За время между инъекциями количество лекарства в организме уменьшается в 5 раз. Какое количество лекарства будет содержаться в организме сразу после 30-й инъекции?

3. Представьте числа от 1 до 10 с помощью числа π, используя скобки, знаки сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного корня, а также символ функции [х] ([х] – целая часть числа х).

Например: 11 = [( π · π + hello_html_m3b54d99d.png)].

4. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения, и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найти отрезок ее, ограниченный продолжениями диагоналей, если основания равны a и b.

5. Докажите, что 2a +hello_html_m20584b2c.png 3 при 0 < a < 1.



Вариант 6

1. Найдите все пары чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению

12sin x – 5cos x + 2y2 – 4y + 15.

2. При каких значениях а четыре корня уравнения

x4 + (a –5)x2 + (a + 2)2 = 0 являются последовательными членами арифметической прогрессии?

3. Имеется линейка без делений длиной 13 см. Сколько промежуточных делений и каких нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было измерить расстояния: 1 см; 2 см; …13 см? Число делений должно быть наименьшим.

4. Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 служит прямоугольный треугольник АВС (C = 90°). Вершина В1 проектируется в точку С. Боковое ребро равно hello_html_m47201e45.png и составляет с плоскостью основания угол hello_html_561f80cd.png. Двугранный угол с ребром BB1 равен a. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5. Найдите все пары значений х и у, удовлетворяющие уравнению:

x2 + 6x sin(x y) + 9 = 0.

6. Двое играют в такую игру: выбирают финишное двузначное число. Затем один называет однозначное число (то есть целое число от 1 до 9 включительно), второй прибавляет к нему еще какое-нибудь однозначное число и называет сумму, к этой сумме первый прибавляет еще какое-нибудь однозначное число и опять называет сумму и т. д. Выигрывает тот, кто первым назовет финишное число. Как нужно играть в эту игру, чтобы выиграть? Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?



 Вариант 7

1. Доказать, что любой треугольник можно разрезать на несколько равнобедренных треугольников.

2. Вычислить:

A = hello_html_mf9bb16.png.

3. Решите уравнение: hello_html_6b492d31.png.

4. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром hello_html_m317e391e.png можно расставить на доске 7 7 клеток единичной длины, чтобы внутри каждой клетки имелась часть, накрытая одной из фишек?

5. На координатной плоскости рассматривается такая фигура F, которая состоит из всех точек, координаты (a; b) которых таковы, что система неравенств не имеет решений. Найдите площадь фигуры F:

hello_html_m76cb25bb.png

x2 + (3 – a2b2)x – 3 (a2 + b2) 0

2x2 + (2a + 2b – 25)x – 25 (a + b) 0



Вариант 8

1. Сколько касательных можно провести через точку А (2;7) к графику функции y = x3 + x2?

2. Найдите значение выражения:

hello_html_28c1777e.png

3. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: x2 + y2 10x+4y.

4. Автобус проходит путь АЕ, состоящий из отрезков AB, BC, CD, DE длиной 10 км, 5 км, 5 км, 6 км соответственно. При этом согласно расписанию, выезжая из А в 9 ч, он проходит В в hello_html_m27359741.png ч, С в hello_html_m157f3a87.png ч, D в hello_html_m5d51f4f6.png ч. С какой скоростью υ должен двигаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин отклонений от расписания прохождения пунктов B, C, D и времени движения автобуса от A до E при скорости υ не превосходила 51,7 мин?

5. Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АС = 1.



Вариант 9

1. Решить систему уравнений:

hello_html_m63f9d45b.png

7 3x+1 – 2 3y+z–x+1 = 9

2 3x+1 + 3y+z–x = 27

lg(x + y + z) – 31gx = lgzy + lg 2.

2. Решить уравнение:

hello_html_58bd0b82.png.

3. Найти периметр фигуры, заданной системой неравенств:

hello_html_5886313a.png

2x + 3arcsinhello_html_m70705ad1.png 3 + x

x2y + 4 0.

4. Группа студентов сдавала экзамен. Оказалось, что процент студентов, сдавших экзамен, находится в интервале 96,7 % до 97,1 % (включительно) от числа студентов в группе. Определить минимально возможное число студентов в данной группе.

5. В основании пирамиды SABC лежит равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4hello_html_43537484.png. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая – через точку С и середину ребра AB.



Вариант 10

1. Упростить:

hello_html_m357e3aec.png.

2. Найти а, при которых вершины двух парабол

y1 = x2 + (a + 6)x hello_html_m1f153665.pnga + 7 и y2 = 2ax2 + 4x + 3a лежат по одну сторону от прямой y = – 2x – 1.

3. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости соотношением

2 (2 – x) yx2+y + x2.

4. Мне в данный момент вдвое больше лет, чем моему брату было тогда, когда мне было столько лет, сколько ему теперь; когда моему брату будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет равна 63 годам. Сколько лет каждому из нас в данный момент?

5. Найти все значения параметра k, при каждом из которых уравнение hello_html_m17f44a06.png + 2k – 1 = 0 не имеет решений.




Автор
Дата добавления 30.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров501
Номер материала ДВ-394084
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх