Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник заданий по теме "Производная и первообразная "

Сборник заданий по теме "Производная и первообразная "

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


http://reshuege.ru/img/math.png



Сборник заданий


Задания 8. (В8)

Производная и первообразная















Разработала учитель математики

Валишина Рузиля Такиулловна

МАОУ СОШ №4 г. Тюмени











Тема №1 Физический смысл производной

1. Задание 8 № 119975. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/95/957c4bf0ff713beb3b9821139c7ce673p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

http://reshuege.ru/formula/ce/ce2ba27a06680200d2de39ad95e8d4bcp.png.

При t = 9 c имеем:

http://reshuege.ru/formula/66/66e3d6d772a9ff0968a8eb945e86060cp.pngм/с.

Ответ: 60.

Ответ: 60

119975

60

2. Задание 8 № 119976. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/8a/8a3d1e6fc45547b963dac5041befa216p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

http://reshuege.ru/formula/86/86b72c44438f5a8c178afd8b70fde963p.pngм/с.

Тогда находим:

http://reshuege.ru/formula/17/17d5ff9f52624617549c58e0abab2edap.pngм/с.

Ответ: 20.

Ответ: 20

119976

20

3. Задание 8 № 119977. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/cd/cdf6a7b3f95853bd67c511d6db7759f5p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени http://reshuege.ru/formula/b2/b277b7438901594b437aaaca333e415bp.pngс.

Решение.

Найдем закон изменения скорости: http://reshuege.ru/formula/77/77e3cc71e70fbc2f69a5819d845de0dbp.pngм/с. При http://reshuege.ru/formula/b2/b277b7438901594b437aaaca333e415bp.pngимеем:

http://reshuege.ru/formula/54/5484713fba4263c1a1ded649d5efb18dp.pngм/с.

Ответ: 59.

Ответ: 59

119977

59

4. Задание 8 № 119978. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/86/86e98b38ef3466b37e0f1ddbc6fed5a6p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

http://reshuege.ru/formula/21/217013b4e6306c44d8a17a25159d820ep.png

Чтобы найти, в какой момент времени http://reshuege.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649ep.pngскорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

http://reshuege.ru/formula/32/3290bd879b27bcbb3fbe4ab2dfdc5dcdp.png

Ответ: 8.

Ответ: 8

119978

8

5. Задание 8 № 119979. Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/bf/bf67fd9dad92b8ee7554742d5b886e75p.png(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5










Тема №2 Геометрический смысл производной

1. Задание 8 № 27485. Прямая http://reshuege.ru/formula/ce/ce58d46c5d27ef6c053f03c697667beap.pngпараллельна касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/5f/5f65b24ab9503ea5d55172207dc966a1p.png. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой http://reshuege.ru/formula/ce/ce58d46c5d27ef6c053f03c697667beap.pngих угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения http://reshuege.ru/formula/c8/c8609f864228c13c1f3999e1095435a1p.png:

http://reshuege.ru/formula/f9/f950aeef7e448d7453ee50c2e622bb61p.png.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

27485

0,5

2. Задание 8 № 27486. Прямая http://reshuege.ru/formula/9c/9c47422980919ac63a9b21b14feadb6ap.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/f7/f7f6681755b39e1ec8dfe2b390fb905ap.png. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/73/73c7fce77e4f679f8c18d9328201d397p.png

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

3. Задание 8 № 27503. http://reshuege.ru/get_file?id=5535На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5536Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

http://reshuege.ru/formula/40/4001f202d97f5b3c87d0700cbe7eb6e8p.png

Ответ: 2.

Ответ: 2

27503

2

4. Задание 8 № 27504. http://reshuege.ru/get_file?id=5533На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5534Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

http://reshuege.ru/formula/4d/4d38f30300b08f5769f6c03ce949b036p.png

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

27504

0,25

5. Задание 8 № 27505. http://reshuege.ru/get_file?id=5532На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5531Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

http://reshuege.ru/formula/f9/f97f87de9aff64586f96cf05df24ea6dp.png.

Ответ: -2.

Ответ: -2

27505

-2

6. Задание 8 № 27506. http://reshuege.ru/get_file?id=5528На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=5530Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

http://reshuege.ru/formula/d6/d699730b4f78ddf32d259146dd1e85eap.png.

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

27506

-0,25

7. Задание 8 № 40129. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).

http://reshuege.ru/get_file?id=6576

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=6577Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f'(8) = 1,25.

Ответ: 1,25.

Ответ: 1,25

40129

1,25

8. Задание 8 № 40130. http://reshuege.ru/get_file?id=6105На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngпараллельна прямой http://reshuege.ru/formula/2a/2a0b857510c0f2b2631af9e06da84248p.pngили совпадает с ней.

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=6578Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой http://reshuege.ru/formula/2a/2a0b857510c0f2b2631af9e06da84248p.pngили совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и http://reshuege.ru/formula/6b/6b52d28cd477c55987811bacddc9a633p.pngОсталось найти, при каких http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6p.pngпроизводная принимает значение 2. Искомая точка http://reshuege.ru/formula/aa/aa8e0bd537a2ce00f5837bba30ce164cp.png.

Ответ: 5.

Ответ: 5

40130

5

9. Задание 8 № 40131. http://reshuege.ru/get_file?id=6106На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngпараллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид http://reshuege.ru/formula/9d/9d746ab959f98b40dda0846d9a44c2e8p.png, и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка http://reshuege.ru/formula/52/52805d388d4a07409473f3998a5e013dp.png.

Ответ: -3.

Ответ: -3

40131

-3

10. Задание 8 № 119972. Прямая http://reshuege.ru/formula/92/9276f17c5e34a4bda9cfa02bc730a78ap.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/df/df187faeb1f0dfea3709189c841dc54bp.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661p.png.

Решение.

Прямая http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngв точке http://reshuege.ru/formula/3e/3e0d691f3a530e6c7e079636f20c111bp.pngтогда и только тогда, когда одновременно http://reshuege.ru/formula/6e/6ee7962e00fff685a6d2cf4bd84ce7fep.pngи http://reshuege.ru/formula/3f/3f7acadee7d7031b31e6d9e732d5089dp.png. В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/f6/f604e3ad741c244152b6aa4e2734b559p.png

Искомое значение а равно 0,125

Ответ: 0,125.

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение http://reshuege.ru/formula/24/2475965be67e1e8fe8696d97e9b600d4p.pngимело единственно решение. Для этого дискриминант http://reshuege.ru/formula/61/61e90627e5548ccbf87c3beb459b7987p.pngуравнения http://reshuege.ru/formula/be/be3df2d0e4c7c84b6543628c75e2fcf3p.pngдолжен быть равен нулю, откуда http://reshuege.ru/formula/b3/b38fb8bc672348fac4f3f62410bb0126p.png.

Ответ: 0,125

119972

0,125

11. Задание 8 № 119973. Прямая http://reshuege.ru/formula/22/2259560b226a72ef9b6aead9686f770fp.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/0f/0fc053b2b525b2029d2c491b17630a5ap.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/92/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fp.png, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/4a/4a5a966cb15b29354ec6757b21fc971bp.pngзадаётся системой требований:

http://reshuege.ru/formula/a6/a69d7837ab144cbbc4a27f5850d688abp.png

В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/f7/f7984e0569c736e063f4525b92c8055ap.png

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x=0,5, откуда b=−33.

Ответ: −33.

Ответ: -33

119973

-33

12. Задание 8 № 119974. Прямая http://reshuege.ru/formula/0c/0c0df81d507eed545ef5e15f254b6769p.pngявляется касательной к графику функции http://reshuege.ru/formula/61/6194e8c8f4d48200b65689062b805f41p.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/4a/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33p.png.

Решение.

Условие касания графика функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи прямой http://reshuege.ru/formula/10/10afe20a154e668773a425e2b93af4ccp.pngзадаётся системой требований:

http://reshuege.ru/formula/46/46c17bd791b046bddbfa6a8e38a81162p.png

В нашем случае имеем:

http://reshuege.ru/formula/84/8403ccb463d3b1e50e6649940ee892e3p.png

Ответ: 7.

Ответ: 7

119974

7

13. Задание 8 № 317539. На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи восемь точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319p.png, http://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8p.png, http://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844p.png, http://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1p.png, http://reshuege.ru/formula/96/96633bb730e5b646bb4cde4a0398ff84p.png. В скольких из этих точек производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngположительна?

http://reshuege.ru/get_file?id=15848

Решение.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befdp.pngвозрастает. На них лежат точки http://reshuege.ru/formula/5b/5bf3b500590c5d441cb0faf31c12e863p.pngТаких точек 4.

Ответ:4.

Ответ: 4

317539

4

14. Задание 8 № 317540. На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи двенадцать точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/aa/aa687da0086c1ea060a8838e24611319p.png, http://reshuege.ru/formula/87/8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8p.png, http://reshuege.ru/formula/28/28c5eac946471f68eefb01f7a53b1844p.png, http://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1p.png, http://reshuege.ru/formula/bd/bd18434a3a9d2cf410cdbdd6ae7c0487p.png. В скольких из этих точек производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngотрицательна?

http://reshuege.ru/get_file?id=17672

Решение.

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция http://reshuege.ru/formula/ad/ada9aa25c3eff42b3c01d9dd281354fcp.pngубывает. В этих интервалах лежат точки http://reshuege.ru/formula/91/91daad3de3ec6b26faca1230775ec1e9p.pngТаких точек 7.

Ответ:7.

Ответ: 7

317540

7

15. Задание 8 № 317543. На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

http://reshuege.ru/get_file?id=14151

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.

Ответ:−2.

Ответ: -2

317543

-2

16. Задание 8 № 505379. http://reshuege.ru/get_file?id=13421На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой http://reshuege.ru/formula/2e/2e9c23c4d754e38e4b358a1744420252p.pngНайдите значение производной функции f(x) в точке http://reshuege.ru/formula/2e/2e9c23c4d754e38e4b358a1744420252p.png

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=13690Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 13), B (−2; 3), C (6; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

http://reshuege.ru/formula/0a/0a556eabb59bef8d6ca3827c02fe3b46p.png.

Ответ: −1,25.

Ответ: -1,25



ОТВЕТ:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16























Тема №3 Применение производной к исследованию функций

1. Задание 8 № 27487. На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png, определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

http://reshuege.ru/get_file?id=5542

Решение.

Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27487

4

2. Задание 8 № 27488. http://reshuege.ru/get_file?id=6852На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png, определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngотрицательна.

Решение.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (−3,8; 1,2) и (2,8; 4,4). В них содержатся целые точки −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Их 7 штук.

Ответ: 7.

Ответ: 7

27488

7

3. Задание 8 № 27489. http://reshuege.ru/get_file?id=4933На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решение. http://reshuege.ru/get_file?id=309

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27489

4

4. Задание 8 № 27490. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x),.

Решение.

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Ответ: 44.

Ответ: 44

27490

44

5. Задание 8 № 27491. На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/f7/f745d2c7ce66a0c30d29fb56f61068bfp.png. В какой точке отрезка http://reshuege.ru/formula/e8/e81c973fe47e199bec521b4a90891d29p.pngфункция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngпринимает наибольшее значение?

http://reshuege.ru/get_file?id=6107

Решение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

Ответ: −3.

Ответ: -3

27491

-3

6. Задание 8 № 27492. http://reshuege.ru/get_file?id=6109На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/cf/cfb4355bbe4889a6f5b30a3dd10a4b78p.png. В какой точке отрезка http://reshuege.ru/formula/3c/3c22799ef93de97bf94c08123d1b62a3p.pnghttp://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngпринимает наименьшее значение?

Решение.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке http://reshuege.ru/formula/74/74687a12d3915d3c4d83f1af7b3683d5p.png.

Ответ: −7.

Ответ: -7

27492

-7

7. Задание 8 № 27494. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

http://reshuege.ru/get_file?id=6110

Решение.

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.

Ответ: 1.

Ответ: 1

27494

1

8. Задание 8 № 27495. На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/21/21d50c96e540328cb709d960571fcdacp.png. Найдите количество точек минимума функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngна отрезке http://reshuege.ru/formula/bf/bf767128d9b0607e3d00bcb3ee7e4e2ep.png.

http://reshuege.ru/get_file?id=6111

Решение.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке http://reshuege.ru/formula/bf/bf767128d9b0607e3d00bcb3ee7e4e2ep.pngфункция имеет одну точку минимума http://reshuege.ru/formula/84/8470d05761224eef5bbbd5e1f9df74fdp.png.

Ответ: 1.

Ответ: 1

27495

1

9. Задание 8 № 27496. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

http://reshuege.ru/get_file?id=4934

Решение.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.

Ответ: 5.

Ответ: 5

27496

5

10. Задание 8 № 27497. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

http://reshuege.ru/get_file?id=5520

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.

Ответ: –3.

Ответ: -3

27497

-3

11. Задание 8 № 27498. http://reshuege.ru/get_file?id=6112На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

27498

18

12. Задание 8 № 27499. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

http://reshuege.ru/get_file?id=6113

Решение.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Наибольший из них — интервал (−7; −1), длина которого 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27499

6

13. Задание 8 № 27500. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

http://reshuege.ru/get_file?id=6966

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалам (−1; 5) длиной 6 и (7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27500

6

14. Задание 8 № 27501. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

http://reshuege.ru/get_file?id=4935

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

27501

5

15. Задание 8 № 27502. http://reshuege.ru/get_file?id=6114На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Решение.

Если производная в некоторой точке равна нулю, а в ее окрестности меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27502

4

16. Задание 8 № 119971. http://reshuege.ru/get_file?id=6852На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение.

Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −3,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках.

Ответ: 4.

Ответ: 4

119971

4

17. Задание 8 № 317541. На рисунке изображён график http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5p.pngпроизводной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngи восемь точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/0a/0a886d8d7f69aab15bc76ccaf23ce109p.pnghttp://reshuege.ru/formula/2d/2d7616976eeff7d7dd56512675ccb59bp.pnghttp://reshuege.ru/formula/79/79a60d393eb31d182ec89074101f9c00p.pnghttp://reshuege.ru/formula/3b/3bde5c71067f2d0732e27d1598d0e3f1p.png, http://reshuege.ru/formula/96/96633bb730e5b646bb4cde4a0398ff84p.png. В скольких из этих точек функция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngвозрастает?

http://reshuege.ru/get_file?id=14099




Решение.

Возрастанию дифференцируемой функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngсоответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках http://reshuege.ru/formula/71/71ed5272953166f3022b57a34ed43fabp.pngТаких точек 3.

Ответ:3.

Ответ: 3

317541

3

18. Задание 8 № 317542. На рисунке изображён график http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5p.pngпроизводной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngи восемь точек на оси абсцисс: http://reshuege.ru/formula/0a/0a886d8d7f69aab15bc76ccaf23ce109p.pnghttp://reshuege.ru/formula/2d/2d7616976eeff7d7dd56512675ccb59bp.pnghttp://reshuege.ru/formula/79/79a60d393eb31d182ec89074101f9c00p.pnghttp://reshuege.ru/formula/63/63975f390397d0e50d9e6152d7f57799p.png,http://reshuege.ru/formula/96/96633bb730e5b646bb4cde4a0398ff84p.png. В скольких из этих точек функция http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngубывает?

http://reshuege.ru/get_file?id=14153

Решение.

Убыванию дифференцируемой функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngсоответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках http://reshuege.ru/formula/9f/9f6ae98d004e89104ee7465593bbfde3p.png: точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательгы. Таких точек 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

317542

5

19. Задание 8 № 317544. На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

http://reshuege.ru/get_file?id=16952

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

Ответ: 4

317544

4

20. Задание 8 № 500910. На рисунке изображён график производной http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5p.pngфункции http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befdp.pngопределенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befdp.pngпринадлежащих отрезку [−4; 8].

http://reshuege.ru/get_file?id=6715

Решение.

Точки минимума дифференцируемой функции соответствуют изменению знака её производной с минуса на плюс. На отрезке [−4; 8] лежат две такие точки: 2 и 7.

Ответ:2.

Ответ: 2

500910

2

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 24.01.2013 вариант 1.

21. Задание 8 № 501188. На рисунке изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).http://reshuege.ru/get_file?id=7329

Решение.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

501188

9

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 09.04.2013 вариант МА1601.

22. Задание 8 № 504233. На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?

http://reshuege.ru/get_file?id=12044

Решение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке http://reshuege.ru/formula/c4/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849bp.png.

Ответ: 1.

Ответ: 1

504233

1

Раздел: Математический анализ Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 28.01.2014 вариант МА10401.

23. Задание 8 № 505119. http://reshuege.ru/get_file?id=13041Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=13194

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Ответ:3.

http://reshuege.ru/get_file?id=13478

Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).

Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.

Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.

Примечание Александра Ларина (Москва).

В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.

Ответ: 3

505119

3

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 2.

24. Задание 8 № 505400. http://reshuege.ru/get_file?id=13443На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой http://reshuege.ru/formula/2e/2e9c23c4d754e38e4b358a1744420252p.pngНайдите значение производной функции f(x) в точке http://reshuege.ru/formula/2e/2e9c23c4d754e38e4b358a1744420252p.png

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=13691Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 4), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

http://reshuege.ru/formula/ad/ad92d7364c48e6120de42d596950b334p.png.

Ответ: −1,5.

Ответ: -1,5

505400

-1,5

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.05.2014 вариант МА10702.

25. Задание 8 № 505442. На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/bb/bb22502d91a5906412aa5004ab2b82a5p.png— производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

http://reshuege.ru/get_file?id=13765

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


















14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25























Тема №4 Первообразная

1. Задание 8 № 323077. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].

http://reshuege.ru/get_file?id=6426

Решение.

По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство

http://reshuege.ru/formula/67/67735eba7c405031560fa1b858993a29p.png

Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение http://reshuege.ru/formula/fd/fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bcp.pngимеет 10 решений.

Ответ:10.

Ответ: 10

323077

10

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.

2. Задание 8 № 323078. На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите http://reshuege.ru/formula/4f/4fe8053ecbeb8de01d6a1fb619dc6421p.png, где http://reshuege.ru/formula/d7/d76f2c4d6bdf142af5106c3f36e9e970p.png— одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png.

http://reshuege.ru/get_file?id=6428

Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=6427Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции http://reshuege.ru/formula/33/338b677dbcd742dcdb764591385ad7f4p.pngПоэтому

http://reshuege.ru/formula/d7/d7c392b07b8f244f86226ec9a210e10dp.png

Ответ:7.

Ответ: 7

323078

7

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.

3. Задание 8 № 323079. http://reshuege.ru/get_file?id=6802На рисунке изображён график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png. Функция http://reshuege.ru/formula/43/43c20b42656abbd5cb36b58f4dd45b72p.png— одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках http://reshuege.ru/formula/25/252e691406782824eec43d7eadc3d256p.pngи http://reshuege.ru/formula/f2/f249a0bd3fa82a25579a8039efe96c24p.png

Имеем:

http://reshuege.ru/formula/1c/1c414f237570746545ff0da7b3160c34p.png

http://reshuege.ru/formula/aa/aac05c5eaea096932bc751957aa5780ap.png

http://reshuege.ru/formula/85/85cc9f9cb3b15ddbabe11cef5f041822p.png

Приведем другое решение.

Получим явное выражение для http://reshuege.ru/formula/76/76ed164a0d43b0abf4716d25e1d673c8p.pngПоскольку

http://reshuege.ru/formula/c9/c9afec556cd24933db7bed048750f2e4p.png

имеем:

http://reshuege.ru/formula/33/3334fb387756a255c4fb3d7af1a0ac13p.png

Примечание.

Внимательный читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного куба:

http://reshuege.ru/formula/40/403e9d1c2712f7d120521d660174910bp.png

что позволяет сразу же найти http://reshuege.ru/formula/a4/a46ea15a7d226001fede579283adfdc0p.png

Еще один способ рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ:6.

Ответ: 6

323079

6

4. Задание 8 № 323080. http://reshuege.ru/get_file?id=6803На рисунке изображён график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22cap.png. Функция http://reshuege.ru/formula/23/238a3b592e0b52a84ff570da1b13ab95p.png— одна из первообразных функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.png. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Найдем формулу, задающую функцию http://reshuege.ru/formula/dd/dde267ba49a1d51f4ff241f029a3befdp.pngграфик которой изображён на рисунке.

http://reshuege.ru/formula/d5/d5a9966cf80e86c7f9b09682dd6c2322p.png

Следовательно, график функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngполучен сдвигом графика функции http://reshuege.ru/formula/98/986af3acc25964803f5be4e486e92326p.pngна http://reshuege.ru/formula/45/45c48cce2e2d7fbdea1afc51c7c6ad26p.pngединиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции http://reshuege.ru/formula/98/986af3acc25964803f5be4e486e92326p.pngи отрезком http://reshuege.ru/formula/93/93f2ae76342a92f2cbdaf348e057c80ap.pngоси абсцисс. Имеем:

http://reshuege.ru/formula/47/47b87cf103503589a8379e20673ce549p.png

Ответ: 4.

Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ: 4

323080

4

5. Задание 8 № 500890. http://reshuege.ru/get_file?id=6706На рисунке изображен график некоторой функции http://reshuege.ru/formula/c1/c1a7be17440d5ea6dac523d4a481f413p.pngПользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл http://reshuege.ru/formula/70/70ec146085cfc928d06228068366bf18p.png

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5












Литература:

http://reshuege.ru/












Решение.

http://reshuege.ru/get_file?id=6963Определенный интеграл от функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngпо отрезку http://reshuege.ru/formula/97/9703247185553e4f45c7c9a3aebeb772p.pngдает значение площади подграфика функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62p.pngна отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого http://reshuege.ru/formula/17/17f4a39bb143ef622f893dee764a93e1p.pngи прямоугольник, площадь которого http://reshuege.ru/formula/14/143502f435a6bc5f535262f4b39b24e2p.pngСумма этих площадей дает искомый интеграл

http://reshuege.ru/formula/e7/e7c586a44d0495a19c06bee80b83a2d1p.png

Ответ:12.

Ответ: 12



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 03.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров541
Номер материала ДВ-117878
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх