Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник заданий по теме "Уравнения и неравенства"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Сборник заданий по теме "Уравнения и неравенства"

библиотека
материалов

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Школа №5 г. Черемхово»









«Сам себе репетитор»


Решения некоторых видов уравнений и неравенств







Авторы: Банщикова Елизавета,

Карнапольцева Анастасия

учащиеся 9М класса







2015

Черемхово

Линейные уравнения

Уравнением первой степени с одним неизвестным, или линейным уравнением, называется уравнение вида ax + b = 0.


Если a ≠ 0 оно имеет единственный корень х =hello_html_m5f33d3a2.gif

Пример 1. Пример 2.

3x = 18 8x – 2 = 14

x = 18 : 3 8x = 14 + 2

x = 6 x = 16 : 8

Ответ: х = 6 x = 2

Ответ: х = 2


Если a=0; b=0 имеет бесконечное множество корней.

Пример 3.

4x – 2 = 4x – 2

4х – 4х = 2 – 2

0 = 0

Если a=0; b≠ 0 не иметь решений.

Пример 4.

5x + 8 = 5x – 1

5х – 5х = - 8 – 1

0 = - 9

Основные свойства уравнений:


  1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

  2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.



Применяя эти свойства, уравнения, сводящиеся к линейным, обычно решают так:

  1. переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую (свойство1);

  2. приводят подобные члены;

  3. делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю (свойство 2).


Примеры решения уравнений,

сводящихся к линейным

1. hello_html_5eb1136b.gif

Перенесем все члены, содержащие х в левую часть равенства, а все члены, не содержащие х – в правую, меняя при этом их знаки на противоположные:

hello_html_18f15135.gifПриведем подобные:

hello_html_34daedc0.gif

х = hello_html_76c4e8ef.gif : hello_html_m58bb9323.gif

х = 4

Ответ: х = 4

2. hello_html_m68e1d90d.gif


Приведем подобные в левой части уравнения:

3х – 6 = 0


Число без переменной перенесем в правую часть уравнения и поменяем знак (по свойству уравнений): hello_html_fab4a69.gif hello_html_m4279087.gif

х = 2
Ответ: х = 2


3. hello_html_29bf3c64.gif


Откроем скобки в левой части уравнения (3 умножим на каждое слагаемое в скобках):

hello_html_m393da152.gif


Перенесем члены, содержащие х в левую часть равенства, а члены, не содержащие х – в правую, меняя при этом их знаки на противоположные:

hello_html_m2a662742.gifПриведем подобные: hello_html_63c0ca70.gif

hello_html_m30d0aa6e.gifhello_html_601e7a47.gif

Ответ: hello_html_601e7a47.gif


4. hello_html_20326bc9.gif

Откроем скобки в левой и правой частях уравнения (в левой части уравнения поменяем знаки у слагаемых на противоположные, т.к. перед скобкой стоит знак минус):
hello_html_m2c84b379.gif


Перенесем все члены, содержащие х в левую часть равенства, а все члены, не содержащие х – в правую, меняя при этом их знаки на противоположные:

hello_html_m6368c40d.gif


Приведем подобные:

hello_html_m3dc4142b.gifhello_html_m264c7cac.gif

Ответ: hello_html_60394c5.gif


5. http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1460.gif.


Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение.

Общим знаменателем чисел 2 и 5 будет 10.

Найдем дополнительные множители для каждого члена равенства, получим:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1461.gif


Раскроем скобки и приведем подобные в обеих частях равенства:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1462.gif


Перенесем все члены, содержащие х в левую часть равенства, а все члены, не содержащие х - в правую, и приведем подобные:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1463.gif

х = 3.

Ответ: 3

Тренажер

1.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1551.gif

Ответ: 17

2.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1630.gif

Ответ: -2

3.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1553.gif

Ответ: -1

4.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1554.gif

Ответ: 1





Квадратные уравнения


Квадратным уравнением называется уравнение вида

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1474.gif,

(1)

где а, b и с - произвольные действительные числа, причем http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1475.gif


Если в квадратном уравнении, хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Следовательно, неполные квадратные уравнения могут быть таких видов:

1)ax2+c=0

2)ax2+bx=0

(2)

Если в уравнении (1) a = 1, то уравнение называется приведенным. Его обычно записывают в виде:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1476.gif

Рассмотрим решение квадратных уравнений.

1. Чтобы решить неполное квадратное уравнение вида

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1477.gif

перенесем его свободный член с в правую часть и разделим обе части уравнения на а. Мы получим уравнение вида

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1478.gif

(3)

которое равносильно исходному.

а) Если с=0, то уравнение (3) имеет единственный корень x =0.

б) Если http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1626.gifто уравнение (3) имеет два корня:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1480.gifи http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1481.gif.

в) Если http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1624.gif, то уравнение (3) действительных корней не имеет.


2. Для решения неполного квадратного уравнения вида

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1483.gif

при http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1484.gifразложим его левую часть на множители. Мы получим, что

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1485.gif

(4)

Произведение может быть равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1487.gifили http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1488.gif.

Следовательно корнями уравнения (4) являются значения

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1489.gifи http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1490.gif.

Неполное квадратное уравнение http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1483.gifпри http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1491.gifвсегда имеет два корня.


3. Корни квадратного уравнения общего вида (1) вычисляются по формуле:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1492.gif

(5)

Выражение D = b2 - 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения.

Из (5) следует, что:

а) если D>0, то уравнение (1) имеет два различных действительных корня;

б) если D=0, то уравнение (1) имеет один корень http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1493.gif

в) если D < 0, то уравнение (1) действительных корней не имеет.

Заметим здесь, что если в квадратном уравнении (1) коэффициент b - число четное, т.е. уравнение имеет вид

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1494.gif

(6)

то корни квадратного уравнения можно вычислить по формуле:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1495.gif

4. Корни приведенного квадратного уравнения можно вычислять по формуле:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1496.gif

Их также можно находить с помощью теоремы Виета.


Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1497.gifhttp://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1498.gif


Пример 1.

Решите уравнение: http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1499.gif. В ответе укажите больший корень уравнения.


Решение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1501.gifоткуда http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1502.gif.

Ответ: 1,5



Пример 2.

Решите уравнение: http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1503.gif. В ответе укажите меньший корень уравнения.


Решение. Вынесем x за скобку: hello_html_1c7eab9c.gif

hello_html_6f34565d.gifили hello_html_m5a627f19.gif

4х = 3

х = hello_html_m57c90caf.gif

Следовательно, hello_html_728c1579.gif х2 = hello_html_m57c90caf.gif

Ответ: 0


Пример 3.

Решите уравнение: http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1507.gif. В ответе укажите наименьший корень уравнения.


Решение. Введем новую переменную

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1508.gif

(7)

Тогда исходное уравнение примет вид:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1509.gif.

Найдем его корни:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1627.gif

Подставляя найденные значения y в формулу замены (6), получим два уравнения:

x 2- 2x – 8 = 0 и x2 – 2 x- 3 = 0.

Корни этих уравнений легко угадать, используя теорему Виета. Корни первого уравнения: x1= 4, x2= -2. Корни второго уравнения: x1= 3, x2= -1. Решение исходного уравнения: x1= 4, x2= -2, x3= 3, x4= -1.

Ответ: -2



Общий алгоритм решения квадратного уравнения


Исходя из вышесказанного, сформулируем

общий алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0


1) Определяем коэффициенты а, b, с.

2) Вычисляем дискриминант D = b2 - 4ас

3) Определяем сколько будет корней:

Dhello_html_m360d6129.gif корней нет

Dhello_html_m360d6129.gif два различных корня

Dhello_html_m360d6129.gif два равных корня

4) Находим корни уравнения по формулеhello_html_m25e1d655.gif

5) Записываем ответ.


Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и неполных, приведенных и не приведенных.


4. х2 – 3х – 40 = 0

1) а = 1 2) D = b2 - 4ас = (-3)2 - 4hello_html_79c0f69b.gif1hello_html_79c0f69b.gif(-40) = 9+160 = 169

в = - 3 3) 169hello_html_m360d6129.gif hello_html_m487aa38f.gif2 корня

с = - 40 4) hello_html_m25e1d655.gif

х1=hello_html_7d4c6b78.gif= 8 х2=hello_html_52bdd7e4.gif= -5

5) Ответ: х1=8; х2= -5

5.х2 – 24 = -5х

х2 – 24 + 5х = 0

1) а = 1 2) D= b2- 4ас = 52-4hello_html_79c0f69b.gif1hello_html_79c0f69b.gif(-24) = 25+96 = 121

в = -5 3) 121 hello_html_m360d6129.gif hello_html_m487aa38f.gif2 корня

с=-24 4) hello_html_m25e1d655.gif

х1= hello_html_52e6b970.gif= 3

х2 =hello_html_fab089d.gif= - 8

5) Ответ: х1= 3; х2 = - 8

5. х2- 6х = 5х – 12 - х2

Используя свойства уравнений, приведем к общему виду квадратного уравнения:

х2- 6х - 5х + 12+ х2= 0

2-11х+12=0

1)а= 2 2) D= b2- 4ас= (-15)2-4hello_html_79c0f69b.gif2hello_html_79c0f69b.gif13=225-104=121

b= -15 3) 121hello_html_m360d6129.gif hello_html_m487aa38f.gif2 корня

с=13 4) hello_html_m25e1d655.gif

х1=hello_html_25db5014.gif=1

х2= hello_html_m5ef532b4.gif= 6,5

5) Ответ: х1=1; х2=6,5

6.–х2+ 3х+ 55= (х+7)2

Открываем скобки в правой части по формуле квадрата суммы

2+ 3х+ 55 = х2+14х+49



Переносим все члены уравнения из правой части в левую, изменив знаки на противоположные:

2+ 3х+ 55 -х2- 14х -49=0



Приведем подобные, получим квадратное уравнение:

-2х2- 11х+ 6 =0



Решаем по алгоритму:

1)а= -2 2) D= b2-4ас= (-11)2-4hello_html_79c0f69b.gif6hello_html_79c0f69b.gif(-2)=121+48=169

b = -11 3) 169hello_html_m360d6129.gif hello_html_m487aa38f.gif2 корня

с = 6 hello_html_48cd7ec9.gif

х1= hello_html_m63f3bf2.gif= - 6

х2= hello_html_mf3afdd5.gif= 0,5

5) Ответ: х1= 6; х2 = 0,5



Тренажер

1)Решить уравнения:


а)2 + 3х – 2 = 0 б) 5 х2 – 7х + 2 = 0 в) 3 х2 + 8х – 3 = 0

г) - х2 + 2х + 8 = 0 д) 3 х2 + 5х – 2 = 0 е) 2 х2 – 7х + 3 = 0

ж) - х2 + 7х – 10 = 0 з) 3 х2 + 2х – 5 = 0 и) 9 х2 – 6х + 1 = 0

к) 5 х2 - 3х – 2 = 0 л) 4 х2 + 4х + 1 = 0 м) 6 х2 + х - 1 = 0

н) - х2 + 7х + 8 = 0 о) 2 х2 – 5х + 3 = 0 п) - х2 – 2х +15 = 0

р) х2 – 5х – 1 = 0 с) 5 х2- 8х – 4 = 0 т) х2 + 3х + 1 = 0

у)2 – 7х + 1 = 0 ф) 3 х2 + 7х – 6 = 0 ч) 5 х2 – 8х + 3 = 0

ц) 2 х2 – 9х + 4 = 0 ш)2 + 9х + 2 = 0 щ) 2 х2 + 3х – 5 = 0


2) Решить уравнения, приводящиеся к квадратным:


а) 3 х2 + 9 = 12х - х2 б) 18 - х2= 14 в) х2 + 3 = 3 – х

г) х(х+2)=2 д) х2- 6х = 4х – 25 е) х(2х+1) = 3х + 4

ж) (10х - 4)(3х + 2)=0 з) (х-1)(5х+hello_html_m1b704854.gif)= 0 и) 9(х-8)(6х-4) = 0

к) х(х+3) – 4(х-5) = 7(х+4) – 8



Дробно-рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называются дробно-рациональными уравнениями. Дробно-рациональные уравнения, как правило, приводятся к виду:

hello_html_ede0127.gif, где P(x) и Q(x) – многочлены.

Пример. hello_html_75d9cdaa.gif


Для решения подобных уравнений умножить обе части уравнения на Q(x), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, при решении дробно-рациональных уравнений необходима проверка найденных корней.


hello_html_ede0127.gifhello_html_m3043ea26.gifhello_html_m72ee4c6.gif

Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.

При решении дробного уравнения целесообразно поступать следующим образом:

1) определить область допустимых значений переменной х (ОДЗ);

2) найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель и привести подобные;

4) решить получившееся целое уравнение.

Описанные преобразования не сужают ОДЗ переменной х, но могут ее расширить. Следовательно, в результате указанных преобразований возможно появление посторонних корней, (но не их потеря). Получив решение преобразованного уравнения, следует отбросить те его корни, которые обращают в нуль общий знаменатель исходного уравнения.

Пример 1.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1544.gif


Решение. Найдем ОДЗ уравнения. Поскольку знаменатели дробей не могут обращаться в ноль, то hello_html_7cd5914c.gifи hello_html_6771b233.gif.

Умножим теперь обе части уравнения на общий знаменатель, который равен (х+1)(х+3). Мы получим уравнение:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1547.gif,


Раскроем скобки в обеих частях равенства и приведем подобные. Мы получим:

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1549.gif

откудаhello_html_11852162.gifhello_html_m24b49d47.gif

hello_html_3da7f9a5.gif

hello_html_m73ec3d58.gif

Решив неполное квадратное уравнение мы будем иметь

х1= 0 и х2= -1. Значение х2= -1 не входят в ОДЗ уравнения. Единственный корень исходного уравнения есть х=0.

Ответ: 0


Пример 2. Решить уравнениеhello_html_ee2931e.png



Решение. Приравняем уравнение к 0.

Перенесём член hello_html_m629cb3ad.png в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

hello_html_15b918da.png

Вспомним условия равенства дроби нулю: hello_html_m1e979c77.png

тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0);

2) знаменатель дроби отличен от нуля hello_html_78fc6372.png

Приравняв к нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

hello_html_239f8f9e.png

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение hello_html_78fc6372.png означает для уравнения (1), что hello_html_m4fa790b6.png

Значения х1 = 2 и х2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.

Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.

Алгоритм решения рационального уравнения:

hello_html_m44da0cef.png

Пример 3. Решить уравнение

hello_html_10ad794d.png

Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1) Преобразуем уравнение к виду

hello_html_m365201ad.png

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

hello_html_m29853da4.png

(одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе дроби).

Таким образом, заданное уравнение принимает вид

hello_html_7935b028.png

3) Решим уравнение х2 - 6x + 8 = 0. Находим

hello_html_34c1210.png

4) Для найденных значений проверим выполнение условия hello_html_7aa90eaa.png

Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень.

О т в е т: 4.


Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Покажем на примерах, как метод введения новой переменной применяется при решении рациональных уравнений.

Пример 4.

hello_html_4c2268dc.png

Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х2+3х. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х2 + 3х. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упрощается, и структура уравнения становится более ясной):

hello_html_67387f79.png

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.

1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:

hello_html_67387f79.png

= 0

2) Преобразуем левую часть уравнения

hello_html_299cf2fa.png

Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду

hello_html_m1ace6c16.png

3) Из уравнения - 7у2 + 29у -4 = 0 находим

hello_html_m7ae531db.png

4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1) hello_html_m5a707d19.jpg

Оба корня этому условию удовлетворяют.

Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено:

hello_html_267c7135.png

Поскольку у = х2 + 3х, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и hello_html_499ef3b0.jpg— нам еще предстоит решить два уравнения: х2 + 3х = 4;

х2 + 3х = hello_html_499ef3b0.jpg

Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа

hello_html_396bd1d5.png

В рассмотренных примерах одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований.


Пример 5.

х(х - 1)(x-2)(x-3) = 24.

Решение. Имеем

х(х - 3) = х2 - 3х;

(х - 1)(x - 2) = x2-Зx+2.

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

(x2 - 3x)(x2 + 3x + 2) = 24

Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х2 - 3х.

С ее помощью уравнение можно переписать в виде

у (у + 2) = 24

у2 + 2у - 24 = 0.

Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.

Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения х2 - 3х = 4 и х2 - 3х = - 6. Из первого уравнения находим х1 = 4, х2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.

О т в е т: 4, — 1.


Пример 6.

х4 + х2 - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х2.

Так как х4 = (х2)2 = у2, то заданное уравнение можно переписать в виде

у2 + у - 20 = 0.

Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у1 = 4, у2 = - 5.

Но у = х2, значит, задача свелась к решению двух уравнений:

x2=4; х2=-5.

Из первого уравнения находим hello_html_3bf5a3e5.png

второе уравнение не имеет корней.

Ответ: hello_html_m6da64bf2.jpg


Уравнение вида ах4+bx2+с=0 называют биквадратным уравнением («би» — два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 5:

  1. вводят новую переменную у = х2,

  2. решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у,

  3. возвращаются к переменной х.


1.hello_html_m1f12d327.gifhello_html_m6d45c9de.gifhello_html_751382c4.gif2) hello_html_5234ed85.gif= hello_html_73d6bf78.gifhello_html_4b249ad3.gifhello_html_me48197a.gif hello_html_7496662d.gif

Ответ: hello_html_7a94e1c8.gif

2. hello_html_m6e55d9aa.gifhello_html_m6d45c9de.gifhello_html_3a6d568e.gifhello_html_1abc93d4.gifhello_html_m3dfe0a21.gifhello_html_44161da.gifhello_html_m6f59fd92.gif-посторонний корень
hello_html_6e2613a8.gifОтвет:hello_html_706845c2.gif

3. hello_html_m62c9c5fb.gifhello_html_m6d45c9de.gifhello_html_c984835.gifhello_html_20ad6534.gifhello_html_m5735ce19.gif

hello_html_m7963ceb5.gifпосторонний корень
hello_html_12cc3672.gifhello_html_m421a4724.gifОтвет: hello_html_581e6501.gif

4. hello_html_2f8b5ff2.gifhello_html_m6d45c9de.gifhello_html_7ef0eecd.gifhello_html_m56ec692d.gifhello_html_738f5fca.gifhello_html_692b7934.gif
hello_html_m2fefccc2.gifhello_html_11852162.gifОтветhello_html_49493f6f.gif

hello_html_11852162.gif5. hello_html_bdaee6b.gifhello_html_m6d45c9de.gifhello_html_3d6a1b5e.gifhello_html_73168abb.gifhello_html_m12f66ac0.gifhello_html_55aad2d0.gif

Ответ: hello_html_1cab25ab.gif



Тренажер

Решить уравнения:

1.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1567.gif

Ответ: 4

2.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1568.gif

Ответ: 3

Решите уравнения. В ответе укажите наибольший корень уравнения.

3.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1569.gif

Ответ: 5

4.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1570.gif

Ответ: 5

5.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1571.gif

Ответ: 3

6.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1572.gif

Ответ: 1

7.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1573.gif

Ответ: 3

8.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1574.gif

Ответ: 2

Решите уравнения. В ответе укажите наименьший корень уравнения.

9.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1575.gif

Ответ: -0,5

10.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1576.gif

Ответ: -2

11.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1577.gif

Ответ: -2

12.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1578.gif

Ответ: 1,5

13.

http://twww.bti.secna.ru/education_/abiture/abitur/matem/image1579.gif

Ответ: -5

14.4 + х2 – 1 = 0

Неравенство – отношение, связывающее два числа а1 и а2 и посредством одного из знаков: < (меньше), (меньше или равно),> (больше), (больше или равно), (неравно), то есть

а1 > а2, а1 < а2, а1 а2, а1 а2, а1 а2.


Решением неравенств с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.


Решить неравенство значит найти все его решения или доказать, что решений нет.


Неравенство, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решения, также считают равносильными.


При решении неравенств используются следующие свойства:


  1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

  3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.


Например, неравенство

18+6х>0

равносильно неравенству

6х>-18,

а неравенство 6х>-18 равносильно неравенству х>-3.

Линейные неравенства

Нужно заменить заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах>b или ах<b, где а и b – некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

Например:

х+3 > 5х-5

Такие неравенства решаются с помощью тождественных преобразований неравенств.

Решаем это неравенство:

х+3 > 5х-5

Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:

Внимательно следим за знаком неравенства!


Первый шаг самый обычный. С иксами - влево, без иксов - вправо... Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.

Знак неравенства сохраняется:

х-5х > -5-3

Приводим подобные.

Знак неравенства сохраняется:

-4х > -8

Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.

Делим на отрицательное число.

Знак неравенства изменится на противоположный:

х < 2

Это ответ.

Так решаются все линейные неравенства.

Линейные неравенства на числовой оси

Любой ответ линейного неравенства, типа х < 2, или х ≥ -0,5 можно изобразить на числовой оси.

1. Решить неравенство:

4х - 3 0

Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, - встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака "=" (равно) ставить знак "" (не равно). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:

х 0,75

2. Найти наименьшее целое решение неравенства:

3(х - 1) < 5х + 9

Сначала просто решаем неравенство. Раскрываем скобки, переносим, приводим подобные... Получаем:

3х – 3 hello_html_m7c48e444.gif 5х + 9

3х – 5х hello_html_m7c48e444.gif 9 +3

- 2х hello_html_m7c48e444.gif 12

х hello_html_m7c48e444.gif 12 : (-2)

х hello_html_m37bf30c1.gif

Ответ: -7

Алгоритм решение линейных неравенств


  1. Раскрыть скобки (если нужно).

  2. Неизвестные перенести в левую часть неравенства, известные в правую часть. ( При переносе знаки перед слагаемыми изменить на противоположные: “-“ на “+“; “+“ на “-“; знак неравенства сохраняется).

  3. В каждой части привести подобные слагаемые, получаем неравенство вида: ax < b или ax > b или ax b или ax b.

  4. Чтобы найти x, число (b), стоящее в правой части разделить на коэффициент при x (a), причём, если a>o, то знак неравенства сохраняется, если a<0, то знак меняется на противоположный ( “<” на “>”; “>” на “<”; “” на “”; “” на “”).

  5. Решение изобразить на числовой прямой и ответ записать промежутком.


  1. -2 >17

3х >17+2

3х >19

х > 19 : 3

х > 6hello_html_7f8f9891.gif

Ответ: (6 hello_html_m55a2b0f6.gif+∞)



  1. -3 – 3х> 7x-9

-3x-7x>-6

-10x > -6

x< -6: (-10)

x<0,6

Ответ: (0,6;+∞)



  1. 3х – 2(х-5) ≤ -6

3х – 2х + 10 ≤ -6

х + 16 ≤ 0

х ≤ -16

Ответ: (- ∞; -16]



  1. hello_html_m231d9ee2.gif1

3х - 28 + 8х ≥ 12

11х ≥ 40

х ≥ 40 : 11

х ≥ 3,63

Ответ: [3,63; +∞)

  1. 10х – 2 < 0

10x < 2

х< 2 : 10

х<0,2

Ответ: (-∞; 0,2)



Неравенство второй степени с одной переменной

Неравенства вида ax2+bx+c>0 и ax2+bx+c<0, где х- переменная, a,b,c-некоторые числа и а0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.


Решить неравенство x2-5x+6 > 0.

Решение.

Сначала решим квадратное уравнение x2-5x+6=0, любым из известных способов. Его корни равны х=2 и х=3. 

Теперь разложим трехчлен x2-5x+6  на множители. Получим:

(х-2)(х-3).

Перепишем исходное неравенство:

 (х-2)(х-3) > 0.

Произведение двух сомножителей будет положительным, если оба сомножителя имеют одинаковый знак, то есть либо оба сомножителя больше нуля, либо оба сомножителя меньше нуля.

Рассмотрим два случая. 

1. Оба сомножителя больше нуля. Получаем систему уравнений.

{x-2 > 0
{x-3 > 0

Решаем её и получаем ответ х > 3.

2. Оба сомножителя меньше нуля. Получаем систему уравнений

{x-2<0
{x-3<0

Решаем её и получаем ответ х<2.

Объединяем оба полученных ответа, и записываем общий ответ.

Ответ: hello_html_6bfb0197.gifхhello_html_m7c48e444.gif3.


1)3х2 – 11х – 4 < 0

а= 3 D= в2-4ас= (-11)2- 4hello_html_79c0f69b.gif3hello_html_79c0f69b.gif(-4) = 121 + 48 = 169

в= - 11 hello_html_6df9428c.gif=13

с= - 4 hello_html_m25e1d655.gif

х1=hello_html_m62ab5385.gif= 4

х2=hello_html_mfa373f6.gif= hello_html_m586fcc3f.gif

Ответ: (hello_html_17681402.gif)



2)-5x2 – 9x + 2< 0

а= -5 D= в2-4ас= (9)2 – 4 hello_html_79c0f69b.gif2 hello_html_79c0f69b.gif (-5) =81 + 40 = 121

в= -9 hello_html_6df9428c.gif =11

с=-2 hello_html_m25e1d655.gif

х1=hello_html_6630f023.gif= hello_html_m3b2c01da.gif = - 2

х2=hello_html_m1d152ced.gif=hello_html_78c6633d.gif 0,2

Ответ: (-∞; -2) (0,2 ;∞)



3)(x – 1)(x – 2) ≥ 0

х – 1 ≥0 x- 2 ≥0

х ≥ 1 x ≥ 2

Ответ: (-∞; 1] ᴗ [2; ∞)

4)х2 - 9 ≤ 0

х2 ≤ 9

х ≤ ±3

Ответ: (-∞; - 3]ᴗ[3; ∞ )



  1. hello_html_m1b2013e5.gif

-3х2- 6х + 9 < 0

а= -3 D= в2-4ас= (-6)2 – 4*9*(-3) =36 +108 = 144

в= -6 D=12

с= 9 hello_html_m25e1d655.gif

х1=hello_html_m5c6a7aa4.gif= hello_html_m32d0042c.gif = - 3

х2=hello_html_204bb20.gif=hello_html_m5eae9128.gif 1

Ответ: (-∞; - 3) ᴗ (1;∞)


Решение неравенств методом интервалов

Решим неравенство (х+6)(х+1)(х-4)<0

Отметим на координатной прямой нули функции f(x)=(х+6)(х+1)(х-4)

Найдём знаки этой функции в каждом из промежутков

(-;-6), (-6;-1), (-1;4),(4;+)

hello_html_52a3aaea.png


-6 -1 4


Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-;-6)(-1;4).


Пример: hello_html_233e6f0c.png


Решим уравнения: х+17=0 и x2x − 6 = 0.

Из первого уравнения находим x1 = − 17.

Из второго уравнения находим x2=−2; x3=3.

Так как неравенство нестрогое, точку x1 = − 17 отметим закрашенной, а точки -2 и 3 выкалим, т.к. они не подходят по ОДЗ.

Эти точки разбивают ось на 4 интервала:

(-;-17],[-17;-2),(-2;3),(3;+∞)

hello_html_m23df7458.png

Ответ: х[-17;-2) (3;+∞)

Решение неравенства ax2+bx+c>0 или ax2+bx+c<0

можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция у = ax2+bx+c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции

у = ax2+bx+c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы − вверх или вниз, пересекает ли парабола ось х и если пересекает, то в каких точках.


Пример 1. Решим неравенство 5х2+9х-2<0


Рассмотрим функцию у=5х2+9х-2 это квадратичная функция; графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.


Выясним, как расположена эта парабола относительно оси х.

Для этого решим уравнение

2 + 9х – 2 = 0

D = 81 + 40 = 121>0 ( 2 корня)

х1 = 0,2 и х2 = -2.


Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости.

hello_html_m1480e9a3.gif


y>0 при х(-∞;-2)(0,2;+∞)

Ответ: (-∞;-2)(0,2;+∞)

Алгоритм решения неравенств  второй степени

с одной переменной


1. Привести неравенство к виду ах2+bх+с > 0 (ах2 + bх + с < 0).

2. Ввести функцию f (х) = ах2 + bх + с и охарактеризовать её.

3. Найти нули функции, т.е. решить уравнение f (х) = 0.

4. Отметить на оси х  нули функции и изобразить схематически параболу.

5. Отметить промежутки, которые будут являться решениями данного неравенства (внимательно смотреть знак неравенства).

6. Записать ответ.


hello_html_m6353b321.gifhello_html_md4bfbc7.gifhello_html_m65d4f704.gifhello_html_2b92f0a8.gif= -7
Ответ:
hello_html_m7f75c039.gif

hello_html_m5a07d434.gifhello_html_2adaec5d.gifhello_html_m7491fe69.gifhello_html_184584b3.gif
hello_html_m6af2c02d.gif hello_html_554b3652.gif hello_html_m1c7b9ae5.gif

Ответ: hello_html_484e09af.gif

hello_html_m124f983f.gifhello_html_m735b5f33.gifhello_html_m6f5de7e6.gif
hello_html_6f34565d.gif hello_html_c24804e.gif hello_html_m5d022174.gif0

hello_html_11852162.gifhello_html_m7ea44e56.gifhello_html_554b3652.gif

Ответ: hello_html_m63dbe338.gif



4. hello_html_m6d60f2b6.gif

hello_html_7603e6f0.gifhello_html_7a62e4db.gifhello_html_m67d17696.gifhello_html_3972436.gifhello_html_15692f70.gifhello_html_m1620da0.gif

Ответ: hello_html_2f91d63c.gif


5.hello_html_61c6be41.gif

hello_html_m3f25601d.gif
Ответ:
hello_html_36d6c69f.gif



























Общая информация

Номер материала: ДВ-364753

Похожие материалы