Система уравнений с двумя неизвестными.

Габриэль Крамер – швейцарский математик - заложил основы теории определителей. Известная под именем «правила Крамера» теорема была им сформулирована и доказана в 1750 г.    

Теорема     (Правило Крамера).  Если в системе  n линейных уравнений с  n  неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

 =,   =,  …,    =,        

Рассмотрим систему уравнений    (каждое из них представляет прямую на плоскости XOY).

  Введем обозначения                     

   (определитель системы), ,   .                                                           формулы Крамера. 

Определитель  получается из  заменой элементов первого столбца свободными членами системы.  Аналогично получается .

Возможны три случая.

С л у ч а й  1.

Определитель системы не равен нулю:,       

Тогда система имеет единственное решение.

Пример (3 вариант ОГЭ 2014): 

  Решить систему уравнений    .        

   -20 -21= - 410

== 8 – 49= - 41,        = =  35 + 6 =41

Х= - 41: (-41)= 1;    у=41 : (- 41) = -1.     Ответ: (1; - 1)

С л у ч а й  2.

Определитель системы равен нулю: (т. е. коэффициенты при неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей  не равен нулю (т. е свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных).      х  0 или    у  0, т.е.

   = .  В этом случае система не имеет решений.

Пример:    

 = 4 - 4=0 ,  =  = 10 – 7 = 3 0,  =  =  14- 20 = - 6  0

 х= 3: 0;    у = - 6 : 0    Ответ: система не имеет решений.

С л у ч а й  3.

 (т. е. и коэффициенты и свободные члены пропорциональны     =  = ), если одно из уравнений, есть следствие другого; система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Пример:         

∆ =  = 24 -24 = 0,   =  = 4 – 4 = 0,

=  = 3 - 3 =0.

 Ответ: система имеет множество решений.

Решение  систем  линейных уравнений с двумя неизвестными  с параметрами.

Результаты экзаменов по математике показывают, что задачи с параметрами представляют для школьников  наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена. Рассмотрим,

 на примерах,  как с помощью определителей можно решать уравнения с параметрами.

Пример: Найдите все значения параметра а, при которых система

   имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение при условии . Так как  = - 40-6а, то система имеет единственное решение при а

Ответ: при система имеет единственное решение.

Пример:  Найдите все значения параметра  в, при которых система

не имеет решений.

Решение:

 = -184 + 120 = - 640

 данная система не будет иметь решений, если

 =-8в +24=0

то есть при в = 3 .

Ответ: при  в = 3  система не имеет решений.

Пример:  Найдите все значения а, при которых система

не имеет решений.

Решение.

= -20а-10,

== -20а+14а= -6а,

=49-5(4-5а)=29+25а.

Чтобы данная система не имела решений, необходимо, чтобы и  или.

,

=0 при а=0 или при а = -2.

При а=0

При а = -2

Значит, при а=0 , а = -2 система не имеет решений.

Ответ: при а = 0 система не имеет решений.

Пример: Найдите все значения параметра в, при которых система

имеет бесконечно много  решений.

Решение: 

то данная система имеет бесконечно много решений при условии

   и  =

-8в= -12, в =1,5 и 6-4в=0, -4в= -6, в =1,5

Ответ: при в = 1,5 система имеет бесконечно много решений.

Пример: Найдите все значения а, при которых система

не имеет решений.

Решение.

 при а = .

1)    а =  

2)    a=

Ответ: при а = - система не имеет решений.

Примеры решения системы уравнений с тремя неизвестными  методом определителей.

Рассмотрим применение определителя при решении системы уравнений с тремя неизвестными.

1.  

4 (56-32)-6(24-16)+10(24-28) = 96-48-40=8

= 20 (56 – 32) – 6 (24 – 16) + 10 (24 – 48) =

480 + 48 –240= 288

= 4 (24 – 48 )–20 (24 –16 ) + 10 ( 36 -12 ) = -24 -160 + 240 = 56

=4(84-24)-6(36-12)+20(24-28)=240-144-80=16

       Х=; у =; z =

Ответ: (36; 7; 2).

2.  

10(-24+40)+12(24-32)+8(-60+48)=

 =160-96-96= -32

6(-24+40)+12(16-8)+8(-40+12)=

= 96+96-224=-32

10(16-8)-6(24-32)+8(12-32)=80+48-160= -4

10(-12+40)+12(12-32)+6(-60+48)=280-240-72= -32.

Х=; у =; z =.

Ответ: (1;1;1)

3.

Перепишем систему в виде:

=8(-16+36)=6(48-60)+4(-72=40)=

=160-72-128= -40

= -4(-4+9)+3(-2+9)+2(3-6)= -20+21-6= -5

=4(-2+9)+4(12-15)+2(-18+5)=28-12-26= -10

=4(6-3)+3(-18+5)-4(-18+10)=12-39+32=5

Х=; у =; z =-1.

Ответ: (1; 2; -1).

4.

Приведем систему к виду:

5(-4-20)-2(4-15)+3(8+6)= -120+22+42= -56

 -2(-4-20)-2(0+50)+3(0-20)=48-100-60= -112

 5(0+50)+2(4-15)+3(-20-0)=250-22-60=168

5(20-0)-2(-20-0)-2(8+6)=100+40-28=112

Х=; у =; z =

Ответ: (2; -3; -2).

5.

3(-18+20)-4(15-16)+2(25-24)=6+4+2=12

5(-18+20)-4(-9+4)+2(-15+6)=10+20-18=12

=3(-9+4)-5(15-16)+2(5-12)=-15+5-14= -24

Х=; у =; z =.

Ответ: (1; -2; 5).

6.

1(-1-0)+1(1-1)+1(0+1)=-1+1=0

5(-1-0)-1(1-2)+1(0+2)=-5+1+2=-2

1(1-2)-5(1-1)+1(2-1)=-1-0+1=0

1(-2-0)-1(2-1)+5(0+1)=-2-1+5=2

Данная система не имеет решений, так как .

Ответ: система не имеет решений.

7.  

1(-1-0)-1(1-1)+1(0+1)=-1-0+1=0

5(-1-0)-1(1-3)+1(0+3)=-5+2+3=0

1(1-3)-5(1-1)+1(3-1)=-2-0+2=0

1(-3-0)-1(3-1)+5(0+1)=-3-2+5=0

Система имеет бесконечно много решений, так как

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Полученные знания и приобретённые навыки при решении систем уравнений с тремя неизвестными, если не помогут при сдачи ЕГЭ, то наверняка помогут при изучении математического анализа.

Решение экономических задач.

При решении экономических задач часто используют матрицы и определители. Особенно этот вопрос   актуален в наши дни, так как нельзя представить нашу жизнь без баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим задачи, использующие понятие матрицы и определителя.

Задача 1.

 Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные  производственно-экономические показатели  приведены в таблице.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Решение. По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

• = (10, 20, 30, 40) — вектор ассортимента;

• = (5, 4, 3, 2) — вектор расхода сырья;

• = (10, 5, 15, 20) — вектор затрат рабочего времени;

•  = (15, 10, 20, 25) — вектор стоимости.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие

скалярные произведения вектора ассортимента   на три других

вектора, т. е.

S =  = 10·5 + 20· 4 + 30·3 + 40·2 = 50 + 80 + 90+80 =300 кг;

T =  = 10·10 + 20·5 + 30·15 + 40·20 = 100+100+450+800=1450 ч;

Р =  = 10·15 + 20·10 + 30·20 + 40·25 = 150+200+600+1000=1950 ден.ед.

Рассмотрим типичную ситуацию. Некоторая фирма занимается реализацией четырех видов товаров в трех городах: Шелехов,  Иркутск и Ангарск,. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу

A = (a_ij) =

   Величина a_ij, которая находится в i-й строке и j-м столбце матрицы A, обозначает количество j-го товара, проданное в i-м районе. Таким образом, строки матрицы соответствуют районам, а столбцы – видам товаров. Обозначим через c_i, i= 1, 2, 3, 4 цены на реализуемые товары. Они образую матрицу-столбец

 C =   

     Если хотим найти суммарный объем продаж в первом районе, то мы должны вычислить следующее выражение:

        a₁₁c₁ + a₁₂c₂ + a₁₃c₃ + a₁₄c₄,

которое является скалярным произведением первой строки матрицы A на столбец цен C. И строчка, и столбец являются арифметическим 4-х мерными векторами. Про выражение          (a₁₁c₁ + a₁₂c₂ + a₁₃c₃ + a₁₄c₄) говорят, что оно получено при умножении первой строки матрицы A на столбец C.

   Производя такое умножение на столбец C второй и третьей строк, получаем еще две величины, которые представляют собой суммарные продажи во втором и третьем районах. Эти две величины вместе с ранее найденной величиной образуют вектор суммарных продаж

       P = _.

Задача 2.

В три разных  магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество телевизоров, пылесосов, электропечей. В первый – по 12 телевизоров, 8 пылесосов, 10 электропечей, во второй – по 7 телевизоров, 9 пылесосов, 10 электропечей, а в сельский третий магазин  – по 2 телевизора, 3 пылесоса и 5 электропечей. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их до завоза. Найти, в каком магазине самая маленькая и самая большая  выручка, если матрица цен выглядит так:

P=(цены указаны в тыс.руб.).

Решение.

Найдем матрицу поступлений товаров:

A=, найдем суммарные выручки:

C=

=   (цены указаны в тыс.руб.)

Ответ:  самая маленькая выручка  в третьем магазине, а самая большая в первом.

Задача 3.

На каждый из двух складов три раза в месяц привозят товар трёх наименований. Найти суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров. Если поступление товаров на первый склад можно описать матрицей

A₁=, а поступление товаров на второй склад  

матрицей

A₂=.

Решение.A₁+A₂=  +  = ,

12(A₁+A₂) = 12=.   

Задача 4.

 Со склада в магазин доставили товары, поступление которых описывается матрицей

A1=, однако не все товары пользовались спросом. Найти количество товаров, оставшихся в магазине, если количество купленных товаров описывается матрицей

A2=.

Решение: Найдем разность этих двух матриц:

A1 - A2= - = .     

Задача 5. 

Пусть в магазин поступили три вида товаров: телефоны, планшеты и ноутбуки, - тогда вектор

x₁= (15;17;13); будет означать, что поступило 15 телефонов, 17 планшетов и 13 ноутбуков. Если во второй завоз поступление этих товаров имело вид:

x₂=(10;18;20), мы можем найти суммарное поступление товаров:

x₁+x₂ = (15+10; 17+18; 13+20) = (25; 35; 33).

 Если  магазин  не один, а два, тогда завоз товаров можно описать матрицей, у которой две строки и три столбца. Первая строка относится к первому магазину, а вторая – ко второму.

Допустим, что во второй магазин завезли в первый раз 5 телефонов, 20 планшетов и 14 ноутбуков. Тогда общий завоз в первый раз можно записать матрицей

A₁ =  

Если во второй завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей

A₂=, тогда мы можем найти суммарный завоз товаров в магазины:

A₁+A₂ =  +  =

Если завоз товаров в магазины, который описывается матрицей A₁, был произведен троекратно, то результирующий завоз будет описываться матрицей:

3A₁= 3  =     

Задача 6.Пусть матрица уровня продаж имеет вид:A =  (Объемы продаж даны в тысячах штук).    Пусть цены заданы с помощью матрицы: C =  

Тогда для нахождения вектора-столбца суммарных продаж мы произведем вычисления

C ===

В этом примере  применено действие умножения матриц.

Задания для самостоятельного решения.

1. Решить систему уравнений (задание из пробного ОГЭ 2014год)

 4 вариант 

Решение:

Δ =  = -35 +  4 = - 31

  =  = -55 +24 = -31

 =  = 84 – 22 = 62

 х =  =  = 1,    у=   =  = - 2

Ответ: (1; -2)

  7 вариант

 Решение:

Δ = = 20 + 21 =41

  = =  -8 + 49  = 41

 =  = 35 + 6 = 41

х =  =  = 1,    у =   =  = 1

Ответ: (1; 1)

8 вариант

Решение:

Δ = = 35 – 4 = 31

  = =  55 – 24 = 31

 =  =  84 – 22 = 62

х =  =  = 1,    у =   =  = 2

Ответ: (1; 2)

2.Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной:

А =

Решение:

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:

 Δ А =   = 3  - 0 + 2 λ -12-0 + 2 λ = 4 λ – 9.

Если  4 λ – 9 ≠ 0, т.е. λ ≠  ,то Δ А ≠ 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.

3.Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):

Решение:

 = - 9 +3 = - 6;

          = = 18 + 4 = 22

 = = 12 + 18= 30;       =  = ;       =    = - 5

4.Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):

Решение:

 = 6 - 6 = 0

 == -12 + 6 = -6 ≠ 0

 = = 18 - 12= 6 ≠ 0

     х  0 или    у  0, т.е.

В этом случае система не имеет решений.

 система не имеет решений.

5. Решите систему уравнений (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):

Решение:

  = 1 + 0 +1 – 0 - 0 – 0 = 2

 =  = 3 +0 -5 – 0- 0- 2 = - 4

 =  = -2

  = 2 + 0 + 3 -0 + 5 – 0 = 10

  =  = 5 , аналогично находим Z. Но решение может быть иным, например, найдя х, мы можем подставить данное значение в первое уравнение и вычислить у, а подставив в третье вместо, найдём z b или через второе уравнение.

 (-2; 5;-3)

6 .Аналогично  можно решить систему (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):

 прежде, чем  решать  систему уравнений, нужно её  упорядочить     

 = 3+ 3 + 3 – 27-1-1 = -20

 =  = 6 + 18 + 12 – 108 -2 -6 = 30 -110= -80

 =  = 6 + 36 + 6 – 54 -12 -2 = 48 -68 = -20

 Х =  - 80 : -20 = 4;      у = - 20 :  ( -20) = 1; 

3· 4 -1 + z=12;  z = 1

Ответ: (4; 1;-1)

7. Решить систему уравнений  (И.В. Ященко и др. ГИА 9 класс тематическая рабочая тетрадь):

Δ =  = 40+8 = 48;  =  = 10 – 22  = -12

 Х = - 12 : 48 =  - 0, 25;   =  =88+ 8 = 96;    у = 96: 48 =2

Ответ: (- 0,25; 2).

Желаем успехов!