Система уравнений с двумя неизвестными.
Габриэль Крамер – швейцарский математик - заложил основы теории определителей. Известная под именем «правила Крамера» теорема была им сформулирована и доказана в 1750 г.
Теорема (Правило
Крамера). Если в
системе n линейных уравнений с n неизвестными 
, то система имеет решение и притом единственное.
Это решение задается формулами
=
, 
=
, …, 
=
,
Рассмотрим
систему уравнений 
(каждое из них представляет
прямую на плоскости XOY).
Введем обозначения
(определитель системы), 
, 
. 
формулы Крамера.
Определитель
получается из 
заменой элементов
первого столбца свободными членами системы. Аналогично получается .
Возможны три случая.
С л у ч а й 1.
Определитель
системы не равен нулю:
, 
Тогда система имеет единственное решение.
Пример (3 вариант ОГЭ 2014):
Решить
систему уравнений 
.
-20
-21= - 41
0
=
=
8 – 49= - 41, 
=
=
35 + 6 =41
Х= - 41: (-41)= 1; у=41 : (- 41) = -1. Ответ: (1; - 1)
С л у ч а й 2.
Определитель
системы равен нулю:
(т. е. коэффициенты при
неизвестных пропорциональны). Пусть при этом один из определителей 
не равен нулю (т. е свободные члены не
пропорциональны коэффициентам при неизвестных). 
х
0
или 
у 0,
т.е.
=
.
В
этом случае система не имеет решений.
Пример:
=
4 - 4=0 , =
=
10 – 7 = 3 0, =
=
14- 20 = - 6 0
х= 3: 0; у = - 6 : 0 Ответ: система не имеет решений.
С л у ч а й 3.
(т. е. и коэффициенты и
свободные члены пропорциональны = =
),
если одно из уравнений, есть следствие другого; система сводится к одному
уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.
Пример:
∆ = 
=
24 -24 = 0, =
=
4 – 4 = 0,
=
=
3 - 3 =0.
Ответ: система имеет множество решений.
Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами.
Результаты экзаменов по математике показывают, что задачи с параметрами представляют для школьников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена. Рассмотрим,
на примерах, как с помощью определителей можно решать уравнения с параметрами.
Пример: Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет
единственное решение.
Решение: Данная система
имеет единственное решение при условии . Так
как 
=
- 40-6а, то система имеет единственное решение при а
Ответ: при
система
имеет единственное решение.
Пример: Найдите все значения параметра в, при которых система
не
имеет решений.
Решение:
=
-184 + 120 = - 64
0
данная система не будет иметь решений, если
=-8в
+24=0
то есть при в = 3 .
Ответ: при в = 3 система не имеет решений.
Пример: Найдите все значения а, при которых система
не имеет решений.
Решение.
= -20а-10
,
=
=
-20а+14а= -6а,
=49-5(4-5а)=29+25а.
Чтобы
данная система не имела решений, необходимо, чтобы и 
или
.
,
=0 при а=0 или при а =
-2.
При
а=0 
При
а = -2 
Значит, при а=0 , а = -2 система не имеет решений.
Ответ: при а = 0 система не имеет решений.
Пример: Найдите все значения параметра в, при которых система
имеет бесконечно много решений.
Решение: 
то данная система имеет бесконечно много решений при условии
и
=
-8в= -12, в =1,5 и 6-4в=0, -4в= -6, в =1,5
Ответ: при в = 1,5 система имеет бесконечно много решений.
Пример: Найдите все значения а, при которых система
не имеет решений.
Решение.
при а = 
.
1) а
= 
2) a=
Ответ:
при а = -
система не имеет решений.
Примеры решения системы уравнений с тремя неизвестными методом определителей.
Рассмотрим применение определителя при решении системы уравнений с тремя неизвестными.
1.
4
(56-32)-6(24-16)+10(24-28) = 96-48-40=8
= 20 (56 – 32) – 6 (24 –
16) + 10 (24 – 48) =
480 + 48 –240= 288
= 4 (24 – 48 )–20 (24 –16
) + 10 ( 36 -12 ) = -24 -160 + 240 = 56
=4(84-24)-6(36-12)+20(24-28)=240-144-80=16
Х=
; у =
; z
= 
Ответ: (36; 7; 2).
2.
10(-24+40)+12(24-32)+8(-60+48)=
=160-96-96= -32
6(-24+40)+12(16-8)+8(-40+12)=
= 96+96-224=-32
10(16-8)-6(24-32)+8(12-32)=80+48-160=
-4
10(-12+40)+12(12-32)+6(-60+48)=280-240-72=
-32.
Х=
; у =
; z
=
.
Ответ: (1;1;1)
3.
Перепишем систему в виде:
=8(-16+36)=6(48-60)+4(-72=40)=
=160-72-128= -40
=
-4(-4+9)+3(-2+9)+2(3-6)= -20+21-6= -5
=4(-2+9)+4(12-15)+2(-18+5)=28-12-26=
-10
=4(6-3)+3(-18+5)-4(-18+10)=12-39+32=5
Х=
; у =
; z
=
-1.
Ответ: (1; 2; -1).
4.
Приведем систему к виду:
5(-4-20)-2(4-15)+3(8+6)=
-120+22+42= -56
-2(-4-20)-2(0+50)+3(0-20)=48-100-60=
-112
5(0+50)+2(4-15)+3(-20-0)=250-22-60=168
5(20-0)-2(-20-0)-2(8+6)=100+40-28=112
Х=
; у =
; z
=
Ответ: (2; -3; -2).
5.
3(-18+20)-4(15-16)+2(25-24)=6+4+2=12
5(-18+20)-4(-9+4)+2(-15+6)=10+20-18=12
=3(-9+4)-5(15-16)+2(5-12)=-15+5-14=
-24
Х=
; у =
; z
=
.
Ответ: (1; -2; 5).
6.
1(-1-0)+1(1-1)+1(0+1)=-1+1=0
5(-1-0)-1(1-2)+1(0+2)=-5+1+2=-2
1(1-2)-5(1-1)+1(2-1)=-1-0+1=0
1(-2-0)-1(2-1)+5(0+1)=-2-1+5=2
Данная
система не имеет решений, так как 
.
Ответ: система не имеет решений.
7.
1(-1-0)-1(1-1)+1(0+1)=-1-0+1=0
5(-1-0)-1(1-3)+1(0+3)=-5+2+3=0
1(1-3)-5(1-1)+1(3-1)=-2-0+2=0
1(-3-0)-1(3-1)+5(0+1)=-3-2+5=0
Система
имеет бесконечно много решений, так как 
Ответ: система имеет бесконечно много решений.
Полученные знания и приобретённые навыки при решении систем уравнений с тремя неизвестными, если не помогут при сдачи ЕГЭ, то наверняка помогут при изучении математического анализа.
Решение экономических задач.
При решении экономических задач часто используют матрицы и определители. Особенно этот вопрос актуален в наши дни, так как нельзя представить нашу жизнь без баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
Рассмотрим задачи, использующие понятие матрицы и определителя.
Задача 1.
Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели приведены в таблице.
|
Вид изделия, п/п |
Количество изделий, ед. |
Расход сырья, кг/изд. |
Норма времени изготовления, ч/изд. |
Стоимость изделия, ден. ед./ изд. |
|
1 |
10 |
5 |
10 |
15 |
|
2 |
20 |
4 |
5 |
10 |
|
3 |
30 |
3 |
15 |
20 |
|
4 |
40 |
2 |
20 |
25 |
Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.
Решение. По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:
•
= (10,
20, 30, 40) — вектор ассортимента;
• 
= (5,
4, 3, 2) — вектор расхода сырья;
• 
= (10,
5, 15, 20) — вектор затрат рабочего времени;
• 
= (15,
10, 20, 25) — вектор стоимости.
Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие
скалярные произведения вектора
ассортимента на три других
вектора, т. е.
S
= = 10·5 + 20· 4 + 30·3
+ 40·2 = 50 + 80 + 90+80 =300 кг;
T
= = 10·10 + 20·5 + 30·15
+ 40·20 = 100+100+450+800=1450 ч;
Р
= = 10·15 + 20·10 + 30·20 + 40·25 =
150+200+600+1000=1950 ден.ед.
Рассмотрим типичную ситуацию. Некоторая фирма занимается реализацией четырех видов товаров в трех городах: Шелехов, Иркутск и Ангарск,. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу
A
= (aij)
=
Величина aij, которая находится в i-й строке и j-м столбце матрицы A, обозначает количество j-го товара, проданное в i-м районе. Таким образом, строки матрицы соответствуют районам, а столбцы – видам товаров. Обозначим через ci, i= 1, 2, 3, 4 цены на реализуемые товары. Они образую матрицу-столбец
C
= 
Если хотим найти суммарный объем продаж в первом районе, то мы должны вычислить следующее выражение:
a11c1 + a12c2 + a13c3 + a14c4,
которое является скалярным произведением первой строки матрицы A на столбец цен C. И строчка, и столбец являются арифметическим 4-х мерными векторами. Про выражение (a11c1 + a12c2 + a13c3 + a14c4) говорят, что оно получено при умножении первой строки матрицы A на столбец C.
Производя такое умножение на столбец C второй и третьей строк, получаем еще две величины, которые представляют собой суммарные продажи во втором и третьем районах. Эти две величины вместе с ранее найденной величиной образуют вектор суммарных продаж
P
= 
.
Задача 2.
В три разных магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество телевизоров, пылесосов, электропечей. В первый – по 12 телевизоров, 8 пылесосов, 10 электропечей, во второй – по 7 телевизоров, 9 пылесосов, 10 электропечей, а в сельский третий магазин – по 2 телевизора, 3 пылесоса и 5 электропечей. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их до завоза. Найти, в каком магазине самая маленькая и самая большая выручка, если матрица цен выглядит так:
P=
(цены
указаны в тыс.руб.).
Решение.
Найдем матрицу поступлений товаров:
A=
,
найдем суммарные выручки:
C=
=
(цены
указаны в тыс.руб.)
Ответ: самая маленькая выручка в третьем магазине, а самая большая в первом.
Задача 3.
На каждый из двух складов три раза в месяц привозят товар трёх наименований. Найти суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров. Если поступление товаров на первый склад можно описать матрицей
A1=
,
а поступление товаров на второй склад
матрицей
A2=
.
Решение.A1+A2=
+
=
,
12(A1+A2)
= 12
=
.
Задача 4.
Со склада в магазин доставили товары, поступление которых описывается матрицей
A1=
,
однако не все товары пользовались спросом. Найти количество товаров, оставшихся
в магазине, если количество купленных товаров описывается матрицей
A2=
.
Решение: Найдем разность этих двух матриц:
A1
- A2=
-
=
.
Задача 5.
Пусть в магазин поступили три вида товаров: телефоны, планшеты и ноутбуки, - тогда вектор
x1= (15;17;13); будет означать, что поступило 15 телефонов, 17 планшетов и 13 ноутбуков. Если во второй завоз поступление этих товаров имело вид:
x2=(10;18;20), мы можем найти суммарное поступление товаров:
x1+x2 = (15+10; 17+18; 13+20) = (25; 35; 33).
Если магазин не один, а два, тогда завоз товаров можно описать матрицей, у которой две строки и три столбца. Первая строка относится к первому магазину, а вторая – ко второму.
Допустим, что во второй магазин завезли в первый раз 5 телефонов, 20 планшетов и 14 ноутбуков. Тогда общий завоз в первый раз можно записать матрицей
A1
=
Если во второй завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей
A2=
,
тогда мы можем найти суммарный завоз товаров в магазины:
A1+A2
= +
=
Если завоз товаров в магазины, который описывается матрицей A1, был произведен троекратно, то результирующий завоз будет описываться матрицей:
3A1=
3 =
Задача 6.Пусть
матрица уровня продаж имеет вид:A
= 
(Объемы продаж даны в
тысячах штук). Пусть цены заданы с помощью матрицы: C
= 
Тогда для нахождения вектора-столбца суммарных продаж мы произведем вычисления
C
=
=
=
В этом примере применено действие умножения матриц.
Задания для самостоятельного решения.
1. Решить систему уравнений (задание из пробного ОГЭ 2014год)
4 вариант
Решение:
Δ
= 
=
-35 + 4 = - 31
=
=
-55 +24 = -31
=
= 84 – 22 = 62
х
= 
=
=
1, у= 
=
=
- 2
Ответ: (1; -2)
7 вариант
Решение:
Δ
=
= 20 + 21 =41
=
= -8 + 49 = 41
= 
= 35 + 6 = 41
х
= 
= 
= 1, у = 
= = 1
Ответ: (1; 1)
8 вариант
Решение:
Δ
=
=
35 – 4 = 31
=
=
55 – 24 = 31
=
=
84 – 22 = 62
х
= =
=
1, у = =
=
2
Ответ: (1; 2)
2.Определить, при каких значениях λ существует матрица, обратная данной:
А
=
Решение:
Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдём определитель матрицы А:
Δ
А = 
=
3 - 0 + 2 λ -12-0 + 2 λ = 4 λ –
9.
Если
4 λ – 9 ≠ 0, т.е. λ ≠ 
,то
Δ А ≠ 0, т.е. матрица А невырожденная, имеет обратную.
3.Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):
Решение:
=
- 9 +3 = - 6;
=
= 18 + 4 = 22
=
=
12 + 18= 30; 
= 
= 
; 
= 
= - 5
4.Решите систему уравнений (ГИА -9 под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова):
Решение:
=
6 - 6 = 0
=
=
-12 + 6 = -6 ≠ 0
=
=
18 - 12= 6 ≠ 0
х
0
или 
у 0,
т.е.
В этом случае система не имеет решений.
система
не имеет решений.
5. Решите систему уравнений (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):
Решение:
=
1 + 0 +1 – 0 - 0 – 0 = 2
= 
= 3 +0 -5 – 0- 0- 2 = -
4
=
=
-2
=
2 + 0 + 3 -0 + 5 – 0 = 10
=
=
5 , аналогично находим Z.
Но решение может быть иным, например, найдя х, мы можем подставить данное
значение в первое уравнение и вычислить у, а подставив в третье вместо, найдём z b
или через второе уравнение.
(-2; 5;-3)
6 .Аналогично можно решить систему (Алгебра 9 класс. Итоговая аттестация- 2010. Предпрофильная подготовка под редакцией Д.А. Мальцева, А.Г. Клово):
прежде,
чем решать систему уравнений, нужно её упорядочить 
= 3+
3 + 3 – 27-1-1 = -20
= 
= 6
+ 18 + 12 – 108 -2 -6 = 30 -110= -80
= 
= 6 + 36 + 6 – 54
-12 -2 = 48 -68 = -20
Х = - 80 : -20 = 4; у = - 20 : ( -20) = 1;
3· 4 -1 + z=12; z = 1
Ответ: (4; 1;-1)
7. Решить систему уравнений (И.В. Ященко и др. ГИА 9 класс тематическая рабочая тетрадь):
Δ
= 
=
40+8 = 48; 
=
=
10 – 22 = -12
Х
= - 12 : 48 = - 0, 25; 
=
=88+
8 = 96; у = 96: 48 =2
Ответ: (- 0,25; 2).
Желаем успехов!
Настоящий материал опубликован пользователем Кириллова Татьяна Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Знаете, как применять формулы Крамера при решении систем уравнений? Как решить простые экономические задачи интересными и нестандартными методами.
Познакомьтесь со сборником составленным моим учеником Цымбалом Ильёй и возможно вы, овладеете новыми приёмами решения уравнений.
Если вы учащиеся 9 класса вы встретие полезные для вас задания, в том числе и для профилей.
Многие не знают, что такое матрица и определители, но ещё больше людей не имеют представления, как применитять матричный метод при решении экономических задач,как можно решать системы из ОГЭ, и не только,интересным способом.
7 245 763 материала в базе
Вам будут доступны для скачивания все 222 248 материалов из нашего маркетплейса.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.