Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник "Методы решения уравнений, неравенств и их систем".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник "Методы решения уравнений, неравенств и их систем".

библиотека
материалов

hello_html_m63fd4a69.jpg





































































Содержание.

  1. Теорема Безу

  2. Симметрические уравнения

  3. Возвратные уравнения

  4. Метод выделения полного квадрата

  5. Однородные уравнения

  6. Уравнения вида hello_html_m2390ec1a.gif, где hello_html_4ac22f09.gif и hello_html_m399fcd60.gif

  7. Уравнения вида hello_html_45069708.gif, где hello_html_36c496ad.gif

  8. Решение иррациональных уравнений

  9. Показательные уравнения

  10. Логарифмические уравнения

  11. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

  12. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

  13. Иррациональные неравенства

  14. Показательные неравенства

  15. Логарифмические неравенства

  16. Системы показательных и логарифмических уравнений.

















Список использованной литературы


  1. Математика. Пособие для подготовки к вступительным экзаменам. Под редакцией Барыкина Б.Ю. НАПКС г.Симферополь 2005

  2. Сборник задач по математике. Авторы А.Г. Гайштут; Р.П.Ушаков. Киев «А.С.К.» 2002

  3. 2002 задачи по математике для выпускников и абитуриентов. Ю.В. Кириченко, О.В.Кириченко, В.И.Омельченко. Харьков «Фолио» 2003

  4. Алгебра и математический анализ для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд. «Просвещение» Москва 1999

  5. Математика. К.М.Гуринович. Минск 2003

  6. Сборник конкурсных задач по математике. Под ред. Сканави М.И.
















Упражнения.

1) hello_html_5a4cc82f.gif;

2) hello_html_75bc12e.gif

3) hello_html_m273fe225.gif;

4) hello_html_8798493.gif;

5) hello_html_5a08eb31.gif;

6) hello_html_m3954f6b6.gif;

7) hello_html_m6bec7c78.gif;

8) hello_html_m703dd0b5.gif;

9) hello_html_15602eae.gif









-48-

Теорема Безу и следствия из нее.

Если коэффициенты приведенного уравнения hello_html_mdf70ca4.gif, где hello_html_m347226c3.gif, hello_html_m734afb91.gifhello_html_m4bcd60e4.gif,… - целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.

Если целый корень hello_html_1c7bfa0b.gif подбором найден, то делим многочлен на hello_html_m750102f0.gif. Частное от деления – многочлен (n-1)-й степени. Аналогично ищем его корень.

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим после деления многочлен второй степени. Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.

Пример1. Решить уравнение

hello_html_5fd1c93d.gif

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -6, т.е. среди чисел hello_html_4d571998.gif Подставляя эти числа в уравнение, находим корень hello_html_1c7bfa0b.gif=-1. Делим данный многочлен на х+1:

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_m36d2df2a.gifhello_html_m25210de9.gifhello_html_71b26c16.gif

hello_html_m59492c59.gifhello_html_3d1c32c2.gif

hello_html_73c92859.gif

hello_html_1cbd7991.gifhello_html_m4f09f6ee.gif

hello_html_24a32c62.gif

hello_html_m2bddf96.gifhello_html_24a32c62.gif

hello_html_7b12c212.gif 0

Рhello_html_m3e238b84.gifешаем полученное уравнение =0. Находим корень среди делителей свободного члена методом подбора. Имеем hello_html_m3b56c1e4.gif. Выполним деление: на х-2, получим hello_html_m1ea12d6d.gif.






-1-


Решая уравнение hello_html_m1ea12d6d.gif=0, находим, что оно не имеет

корней.

Ответ: -1; 2.


Деление может быть упрощено по правилу, которое имеет название схемы Горнера:

Уравнение, имеющее рациональные корни

hello_html_2e25c1d3.gif, где hello_html_555eb8fa.gifhello_html_m347226c3.gif,…, hello_html_21d5a54f.gif- целые числа, сводится к уравнению, имеющему целые корни.

Умножим почленно обе части уравнения на hello_html_m3179593c.gif. Получим

hello_html_4966e0ac.gif

Обозначим hello_html_40a3f19d.gif. Тогда

hello_html_6014065d.gif.

Если данное уравнение имело рациональные корни, то полученное имеет целые корни, которые, как и в предыдущем случае следует искать среди делителей свободного члена.

Решив полученное уравнение, возвращаемся к подстановке и находим корни данного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_164831b5.gif

Решение. Умножим обе части уравнения на hello_html_m16bbcd3e.gif. Имеем:

hello_html_4e0b7aa2.gif. Обозначим

5х=у,

тогда уравнение примет вид

hello_html_m3fc5bb0c.gif.

Целые корни его ищем среди делителей числа 50, т. е. среди чисел

hello_html_m44a6b14f.gif. Имеем: hello_html_295d4643.gif.






-2-



Пример 2. Решить систему уравнений.

hello_html_m7e6deb33.gif.

Решение. Обозначим hello_html_128a846b.gif, а hello_html_6b1d8173.gif, z>0, t>0.

Тогда получим равносильную систему:

hello_html_16c7550.gif

hello_html_6fbe94bb.gif, так как z>0, t>0, то и z+t>0

hello_html_4cba5402.gif Откуда

1) hello_html_m21a2fafe.gif 2) hello_html_m2f2d589c.gif

hello_html_m1f597621.gifhello_html_7ed220a7.gif

Подставляя вместо z и t их значения, получаем две системы уравнений:

1) hello_html_m3af9d90a.gif; hello_html_4b0763d5.gifhello_html_46c9a2e9.gifhello_html_7a6de418.gif

2) hello_html_536e6b9c.gif; hello_html_57ae2208.gifhello_html_62187b3c.gif


Ответ: (8;9), hello_html_1d1f9745.gif






-47-

8) hello_html_m431562f5.gif

9) hello_html_38c2309e.gif

10) hello_html_m4d4be0c8.gif

11) hello_html_905b463.gif

12) hello_html_m54f1915c.gif

13) hello_html_m17054976.gif

14) hello_html_199d8469.gif


Системы показательных и логарифмических уравнений.


Пример 1. Решить систему уравнений

hello_html_1c9a2560.gif

Решение. Область определения: х>0, y>0.

hello_html_m67da5cc9.gif

hello_html_213e81c3.gif

hello_html_me721925.gif. Решив эту систему, получим решение и данной системы. (6;3), (3;6)

Ответ: (6;3), (3;6)



-46-

Возвращаясь к подстановке, получим hello_html_25dc995d.gif

Упражнения

Решить уравнения:

hello_html_m71409bf9.gif

hello_html_m29746aa4.gif



Симметрические уравнения

Симметрическим называется целое рациональное

уравнение вида

hello_html_m2b4f819d.gif.

Симметрическое уравнение третьей степени имеет видhello_html_m1fea5480.gif и решается группировкой:

hello_html_m170eca91.gif,

откуда hello_html_m4aa86f7.gif.

Решаем совокупность уравнений:

х+1=0 и hello_html_m1cc2ab02.gif.




-3-


Уравнения вида: hello_html_1dcc5046.gif и hello_html_ff76aca.gif где аhello_html_3750bfcb.gif0, называются

симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как х=0 не является их корнем, то, разделив уравнения

на hello_html_m4d1d4174.gif, получим равносильные уравнения:

hello_html_2a205fad.gif и

hello_html_6c3445a1.gif


Замена hello_html_4bd00c3a.gif или hello_html_m59a3e13.gif. Так как hello_html_63b65f99.gif, то hello_html_2ebe735b.gif,

а hello_html_m2f06c889.gif.

Подставляем в уравнение: hello_html_m3319588f.gif или hello_html_559c2b62.gif.

Таким образом, если hello_html_108e64f7.gif и hello_html_m465e5e5b.gif или hello_html_768d6e4a.gif и hello_html_md8fa6c4.gif- корни уравнения,

то исходные уравнения эквивалентны совокупностям













-4-

Ответ: hello_html_e960b5f.gif, hello_html_m2d30f493.gif


Пример 3. Решить неравенство.

hello_html_m72742305.gif

Решение. Это неравенство равносильно двум системам неравенств:

1) hello_html_m28de2cc4.gif; и 2) hello_html_73da43e1.gif

Решением первой системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству hello_html_7f154384.gif.

Решением второй системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству hello_html_2bc1ea6d.gif


Ответ: hello_html_7f154384.gif, hello_html_2bc1ea6d.gif.


Упражнения.

1) hello_html_m4df0f181.gif

2) hello_html_me882e65.gif

3) hello_html_2b750f81.gif

4) hello_html_29498ab4.gif

5) hello_html_e60b983.gif

6) hello_html_m7b74d1cf.gif

7) hello_html_m2680e38d.gif




-45-

4. Решение неравенств вида

hello_html_m5fa440e4.gifсводится к решению систем:

а) hello_html_m1406ccc5.gif б) hello_html_43376d2a.gif

Пример 1. Решить неравенство

hello_html_m730c5410.gif

Решение. Пользуясь свойством логарифмической функции, получаем, что данное неравенство равносильно неравенству

hello_html_m17c9310e.gif, то есть

hello_html_mca73ef7.gif, hello_html_297e990e.gif

Решим эти неравенства. Получим, что 3<x<5; -1<x<1


Ответ: 3<x<5; -1<x<1


Пример 2. Решить неравенство

hello_html_46e8325d.gif

Решение. Это неравенство равносильно неравенству

hello_html_m5a0a5b86.gif, решая которое, получаем:

hello_html_m7a020932.gif, или hello_html_39ff4473.gif

Откуда

hello_html_6066d9d0.gif.

Решив данное неравенство методом интервалов, получим ответ.





-44-

hello_html_1c1528d8.gif и hello_html_7a941e0f.gif


Пример 1. Решить уравнение hello_html_74c3a15f.gif

Решение. Делим все слагаемые уравнения на hello_html_m4d1d4174.gif, получаем: hello_html_m7846c0cf.gif, группируем:

hello_html_m8208ce4.gif , заменим hello_html_4bd00c3a.gif

Получаем: hello_html_75da4643.gif, hello_html_226ed7b6.gif или

hello_html_m2fb15a0.gif

1) hello_html_6081065c.gifhello_html_m1648dc0c.gif , hello_html_10138621.gif

2) hello_html_m152a48ab.gifhello_html_33355b55.gif, Д<0,

Решений нет на множестве R.

Ответ: hello_html_10138621.gif


Упражнения Решить уравнения

1) hello_html_769a1c9.gif

2) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m693c2098.gif

3) hello_html_65fbc6f9.gif

4) hello_html_1199d9b1.gif

5) hello_html_mb4e90c.gif


-5-

6) hello_html_m9dacf17.gif

7) hello_html_m5c1a612e.gif

8) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_20b088cd.gif


Возвратные уравнения

Возвратно симметрическим четвертой степени называется уравнение вида hello_html_m20d25ce3.gif, в котором выполняется зависимость между коэффициентами hello_html_392895ef.gif

Решение. Разделим обе части уравнения на hello_html_m4d1d4174.gif и сгруппируем первый член уравнения с пятым, второй – с четвертым:

hello_html_1e125891.gif


hello_html_2c9d7563.gif

Используя зависимость между коэффициентами уравнения, запишем его в виде:

hello_html_31781b05.gif (*)

Вводим вспомогательную переменную:

hello_html_m1538f035.gif (**)

Возводим обе части уравнения (**) в квадрат и выделяем квадрат первого и квадрат второго выражения:


hello_html_2eb7336b.gif (***)


Подставив значения (**) и (***) в уравнение (*), получим



-6-



8) hello_html_m5e9bb253.gif

9) hello_html_m65f0d7af.gif

10) hello_html_3d95aee2.gif

11) hello_html_5df10f14.gif

12) hello_html_m77c887fa.gif

13) hello_html_11237d44.gif

14) hello_html_m17d8caed.gif


Логарифмические неравенства.

Рассмотрим основные виды логарифмических неравенств.

  1. Решение неравенств вида hello_html_m3e69a685.gif сводится к решению систем

а) hello_html_4a09f922.gif б) hello_html_m37f07e90.gif

2. Решение неравенств вида hello_html_757b13a8.gif сводится к решению систем:

а) hello_html_m2935bebd.gif б) hello_html_m27a2d6e7.gif

3. Решение неравенств вида

hello_html_m201de666.gifсводится к решению систем:

а) hello_html_a4de266.gif б) hello_html_41150c1f.gif





-43-


hello_html_m635aa56a.gif и hello_html_52b70054.gif

Решение неравенства hello_html_31cb7dea.gif сводится к решению таких систем:

hello_html_m20a9cc1.gifи hello_html_6fb10966.gif


Пример 4. Решить неравенство hello_html_m1522a643.gif

Решение. Используя монотонность показательной функции, заменим данное неравенство равносильной совокупностью двух систем:

1) hello_html_18cf1d49.gif 2) hello_html_195e96b1.gif

Решением первой системы является неравенство х>4

Решением второй системы является неравенство 2<x<3.


Ответ: х>4, 2<x<3.

Упражнения.

1) hello_html_m339914c3.gif

2) hello_html_m156e5f5e.gif

3) hello_html_m6bd81fd4.gif

4) hello_html_306e0f9e.gif

5) hello_html_6b1a1f1f.gif

6) hello_html_m6a27504d.gif

7) hello_html_m2a76f811.gif



-42-

уравнение hello_html_m66e73e3e.gif, которое и решим. Затем возвращаемся к подстановке.


Пример1. Решить уравнение

hello_html_m7d988ce8.gif

Решение. Убеждаемся, что уравнение возвратное:

hello_html_c200164.gif- равенство выполняется. Разделим обе части уравнения на hello_html_m4d1d4174.gif. После группировки получим

hello_html_6026ac8e.gif

Обозначим hello_html_3d1098d2.gif, откуда

hello_html_4e61a763.gif (*)

Подставив (*) в уравнение, получим

hello_html_5e8e2006.gif, или hello_html_m23507e0c.gif.

Отсюда hello_html_m67c557e2.gif, hello_html_m36842f99.gif. Возвращаемся к подстановке и получаем, что hello_html_56b6ba40.gif а hello_html_1f1a6073.gif

Ответ: hello_html_56b6ba40.gif , hello_html_1f1a6073.gif.

Упражнения

1) hello_html_393a9cb.gif

2) hello_html_393a9cb.gif

3) hello_html_m21e7a201.gif

4) hello_html_1199d9b1.gif

5) hello_html_4359ceee.gif



-7-


6) hello_html_363e8d5c.gif

7) hello_html_m470a244b.gif

8) hello_html_m47bfe5e3.gif

Метод выделения полного квадрата.


Некоторые уравнения удобно решать дополнением левой части до полного квадрата суммы или разности двух выражений.

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m3ce03f52.gif ОДЗ: х≠1

Решение.

hello_html_m2e32ac45.gif или


hello_html_m8fbc367.gif или hello_html_m775642f6.gif

Замена hello_html_22a24d20.gif приводит к квадратному уравнению

hello_html_42217fe2.gif, hello_html_m52630b19.gif, hello_html_2c1bb202.gif или возвращаясь к подстановке, получим hello_html_4180d589.gif или hello_html_21733c9e.gif. Откуда hello_html_m4de6f6d2.gifhello_html_m6b07d93d.gif

Ответ: hello_html_m4de6f6d2.gif , hello_html_m6b07d93d.gif.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m5cabb9de.gif

Решение. Запишем уравнение в виде

hello_html_m424cbb95.gif. Дополним левую часть до полного квадрата суммы, прибавив к обеим частям hello_html_5d070264.gif. Имеем



-8-

или hello_html_m6c6cf60a.gif

Получим, что hello_html_m2a74526.gif и у>6 – решения.

Возвращаемся к подстановке, тогда

1) hello_html_m5a970ba1.gifhello_html_m2ae3190a.gifhello_html_m4d3a3183.gif

2) hello_html_43f6e087.gif, hello_html_798daaea.gif, hello_html_m17b4a53a.gif


Ответ: hello_html_m4d3a3183.gifhello_html_m17b4a53a.gif.

Пример 3. Решить неравенство hello_html_m79a6590b.gif

Решение. Обе части неравенства разделим на hello_html_m5ae1de34.gif

hello_html_7f85db1a.gif

Каждая из функций hello_html_52ab0320.gif и hello_html_1c9c469a.gif определена на множестве действительных чисел. Кроме того, обе они монотонно убывающие. Поэтому функция

hello_html_m113546ec.gif

является монотонно убывающей.

Поскольку f(2)=0, то х=2 – единственный корень функции

f(x) и, таким образом, f(x) >0 при х<2.

Ответ: х<2.

Решение неравенства hello_html_m136927f1.gif сводится к решению двух систем:





-41-


Решение.

Запишем неравенство в виде

hello_html_m156aeeaa.gif, или hello_html_m4238d90f.gif , откуда –х-1>-2х-2, х>-1

Ответ: х>-1


Пример 2. Решить неравенство

hello_html_m3cff13aa.gif

Решение. hello_html_m1bf50f08.gif, откуда

hello_html_48760be9.gif.

Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.


Ответ: нет решений.

Пример 3. Решить неравенство

hello_html_51ef5f13.gif

Решение. Запишем данное неравенство в виде

hello_html_m5f4d1d70.gif

Обозначим hello_html_61da57be.gif. Очевидно, что hello_html_50801a95.gif. Получим

hello_html_5bad4a12.gif.

Решая неравенство

hello_html_m59496d0f.gif

Имеем

hello_html_18b8f197.gif,





-40-

hello_html_m3395b6ba.gif.

Получим hello_html_m34e6bce4.gif. Отсюда

hello_html_m3ce9985a.gif. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

hello_html_29a25419.gif и hello_html_m544b0ad.gif


Ответ: hello_html_58787af6.gif

Упражнения


1) hello_html_63616561.gif

2) hello_html_m717f2503.gif

3) hello_html_430b47db.gif

4) hello_html_521903ff.gif

5) hello_html_686252ad.gif

6) hello_html_801c0a2.gif

7) hello_html_m7779cf65.gif

8) hello_html_1228b1f.gif

9) hello_html_36d8dbb0.gif

10) hello_html_224a8fd7.gif




-9-

Однородные уравнения

Уравнение вида hello_html_m168953f8.gif, (*)

где hello_html_5aed7073.gif-натуральное число, hello_html_18f7162e.gif, f(x) и g(x)- некоторые функции, называется однородным относительно функций f(x) и g(x).

Делением на hello_html_220d3748.gif и заменой hello_html_1891efb7.gif это уравнение сводится к уравнению вида: hello_html_1dd6217b.gif

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m45c96245.gif

Это однородное уравнение, в котором hello_html_6bf5f67c.gif, а hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

-11-

hello_html_73169ca8.gif; hello_html_m6a9f2d12.gif. Разделим уравнение на

hello_html_19ce11a8.gif.

hello_html_m137b3ab1.gif, замена hello_html_52133ee8.gif

Приводит к квадратному уравнению hello_html_6697b493.gif, находим корни hello_html_m38ff17bc.gifhello_html_m4087ec52.gif или hello_html_1574b106.gif => hello_html_377641e5.gifhello_html_m9ee6072.gifhello_html_m6b19b59a.gifhello_html_m2d88a088.gif.

Ответ: hello_html_377641e5.gifhello_html_m9ee6072.gifhello_html_m6b19b59a.gifhello_html_m2d88a088.gif






-10-

Решение.

Запишем неравенство в виде

hello_html_m156aeeaa.gif, или hello_html_m4238d90f.gif , откуда –х-1>-2х-2, х>-1

Ответ: х>-1


Пример 2. Решить неравенство

hello_html_m3cff13aa.gif

Решение. hello_html_m1bf50f08.gif, откуда

hello_html_48760be9.gif.

Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.


Ответ: нет решений.

Пример 3. Решить неравенство

hello_html_51ef5f13.gif

Решение. Запишем данное неравенство в виде

hello_html_m5f4d1d70.gif

Обозначим hello_html_61da57be.gif. Очевидно, что hello_html_50801a95.gif. Получим

hello_html_5bad4a12.gif.

Решая неравенство

hello_html_m59496d0f.gif

Имеем

hello_html_18b8f197.gif,





-39-


9) hello_html_cae1d2a.gif

10) hello_html_59dbd236.gif

11) hello_html_6645f715.gif

12) hello_html_m726c680c.gif


Показательные неравенства

Решение простейших показательных неравенств основывается на использовании свойств монотонности показательной функции.

  1. Неравенство вида hello_html_m609a602b.gif;

а) если hello_html_466748ca.gif , то неравенство выполняется при произвольном значении х ( поскольку для любого значения х hello_html_m4f71ad19.gif );

б) если c>0, то, записав неравенство в виде hello_html_m66b5aa17.gif,

получим:

если а>1, hello_html_m386428a7.gif

если 0<a<1, hello_html_6b43bef7.gif

2. Неравенство hello_html_4cbfd47f.gif :

а) если hello_html_466748ca.gif, то неравенство не имеет решений;

б) если c>0 , то, записав неравенство в виде

hello_html_3a83f778.gif , получим:

Если а>1, hello_html_6b43bef7.gif

Если 0<a<1, hello_html_a615067.gif

Пример 1. Решить неравенство

hello_html_208b5a7b.gif





-38-

Упражнения

1) hello_html_2a515c33.gif

2) hello_html_m27cf722f.gif

3) hello_html_m468980ae.gif

4) hello_html_m7bae68a9.gif

5) hello_html_582f55b3.gif

6) hello_html_m40ed3d32.gif

7) hello_html_411de141.gif

8) hello_html_m4ca5005c.gif


Уравнения вида hello_html_m2390ec1a.gif, где

a<b<c<d и b-a=d-c.

Уравнения такого вида можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения):

hello_html_2e1fe3fa.gif

Пример Решить уравнение

hello_html_m75d4443d.gif

Решение.

Перепишем уравнение в виде: hello_html_3280d721.gif


Так как hello_html_16539623.gif и hello_html_5a5eab0e.gif, то введем новую переменную:




-11-

hello_html_meda9de.gif, т. е. hello_html_ed45713.gif

Подставим в уравнение:

hello_html_34ead83e.gif. Отсюда находим

hello_html_2b1f3025.gif, т. е. hello_html_1796d7bd.gif. Возвращаясь к подстановке, имеем: hello_html_26f06e1f.gif, hello_html_ma6d726e.gif

Ответ: hello_html_26f06e1f.gifhello_html_ma6d726e.gif.

Упражнения

1) hello_html_m205725c6.gif

2) hello_html_m25add591.gif

3) hello_html_m1e9f9ec0.gif

4) hello_html_m134bede8.gif

5) hello_html_806277b.gif

6) hello_html_m6f12d19f.gif


Уравнения вида hello_html_45069708.gif,

где hello_html_m781db44.gif.

Решение. Объединим сомножители: hello_html_m48c56f2c.gif и разделим обе части на hello_html_25a0bda3.gif. Получим:

hello_html_581ac4f5.gif

Введем замену переменных, обозначив hello_html_69c76030.gif, получим квадратное уравнение, из которого найдем t.



-12-

Решение.

I. hello_html_m415beb74.gifи II hello_html_m11035d9b.gif

I. hello_html_1be0b002.gifII hello_html_cddd98d.gif


Итак, hello_html_m61273922.gif

Ответ: hello_html_m1bf34700.gif

Упражнения.

1) hello_html_772d741f.gif

2) hello_html_m1e156a2d.gif

3) hello_html_bc86a62.gif

4) hello_html_m39584e67.gif

5) hello_html_m3c45620f.gif

6) hello_html_27d96ecf.gif

7) hello_html_m471fdb62.gif

8) hello_html_m136da81c.gif






-37-

3) hello_html_m7b6fa2e4.gif;


4) hello_html_30cd8470.gif

Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом осуществлять равносильный переход на области определения или ее части.


Пример 1. Решить неравенство.

hello_html_1782cbb5.gif

Решение.

hello_html_72bf0ba2.gif; hello_html_m7b6c4a26.gif; hello_html_m5e64fe5f.gif

Таким образом, решением системы, а следовательно и исходного неравенства являются все числа из промежутка

hello_html_m74cb3212.gif


Ответ: hello_html_246b4358.gif


Пример 2. Решить неравенство.

hello_html_m411a2278.gif




-36-


Пример. Решить уравнение

hello_html_1bd1ae17.gif

Решение.

Так как 2•12=3∙8, то перегруппируем сомножители

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1f927272.gif или

hello_html_1cf4be10.gif

Разделим на hello_html_25a0bda3.gif

hello_html_27be53ca.gif, введем замену


hello_html_m1d793046.gif, получим квадратное уравнение:

hello_html_m2cc0d631.gif, hello_html_5770faf8.gifhello_html_537d8ef1.gif. Т.е. hello_html_f6f6f99.gif =>hello_html_m6cb83f1a.gif =>hello_html_117c6700.gif


Ответ: hello_html_4e0339e5.gif

Упражнения

1) hello_html_m37094cb5.gif

2) hello_html_m3fed0e8e.gif

3) hello_html_1bd1ae17.gif




-13-


Решение иррациональных уравнений

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.

Решение иррациональных уравнений состоит в приведении их к соответствующим рациональным уравнениям, которые являются

следствиями данных иррациональных уравнений. Одним из стандартных способов решения иррациональных уравнений есть освобождение их от корней при помощи последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.

Заметим, что когда при решении иррациональных уравнений обе его части возводятся в четную степень, возможно нарушение равносильности и появление посторонних корней, которые исключаются при помощи проверки.

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m1d6cc134.gif

Решение. I- способ

Возведем обе части уравнения в квадрат:

hello_html_58f73a81.gif, откуда

hello_html_m6dd7beb.gif

Снова возведем в квадрат:

hello_html_m726f6a11.gif,


То есть

hello_html_m47ab121.gif

Откуда hello_html_2394f710.gifhello_html_1f8e3c74.gif. Делаем проверку и убеждаемся, что hello_html_2394f710.gif-посторонний корень, а hello_html_m143463e.gif удовлетворяет уравнению.


Ответ: 1.

II-способ. Запишем уравнение в виде :

hello_html_m18f3ff6c.gif

Это уравнение равносильно системе:


-14-

17) hello_html_m1b15d767.gif


II.Иррациональные неравенства.


Иррациональными называются неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала, причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Но необходимо помнить.

  1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным преобразованием.

  2. Если обе части неравенства на некотором множестве Х определены и имеют только положительные значения, то можно возвести обе части неравенства в квадрат или другую четную степень с сохранением знака исходного неравенства, поскольку получим неравенство, равносильное исходному на множестве Х.

  3. Для иррациональных неравенств вида hello_html_1f2ada2a.gif

q(x)<0, возводить в четную степень обе части неравенства нельзя. Необходимо учитывать дополнительные условия.

Методы решения иррациональных неравенств.

1) hello_html_m3f4f3809.gif;

2) hello_html_682588d8.gif







-35-

1) hello_html_m28f5b2cf.gif

2) hello_html_3326fc65.gif

3) hello_html_m330b7ff1.gif

4) hello_html_6d404383.gif

5) hello_html_5dc1aaae.gif

6) hello_html_m79872bf0.gif

7) hello_html_6bcc47e6.gif

8) hello_html_53e2347d.gif

9) hello_html_76b53621.gif

10) hello_html_2f69f44.gif

11) hello_html_5fc7ad5c.gif

12) hello_html_3b4dd1ab.gif

13) hello_html_m3dff62a9.gif

14) hello_html_m1daf6e8.gif

15) hello_html_4607e104.gif

16) hello_html_m17aeee1a.gif





-34-

hello_html_388b8e16.gif

Откуда

hello_html_m1a60383e.gif

Правая часть уравнения при любом значении x неотрицательна, то есть дополняем систему еще одним дополнительным условием:

hello_html_m565d61c4.gif

Или

hello_html_m6d97a43b.gif (*)


hello_html_m372a08a7.gif, или hello_html_m30e311c5.gif

Система (*) имеет одно решение х=1, которое и является корнем уравнения.

Ответ: 1.




-15-


Пример 2 Решить уравнение

hello_html_5d55e2cd.gif

Решение. Уравнение такого вида решается возведением обеих частей в третью степень по формуле:

hello_html_m553627fd.gif.

Получим hello_html_281a1687.gif

Учитывая, что по условию hello_html_5d55e2cd.gif, имеем:

hello_html_2797a048.gif , hello_html_346c4dcd.gif,

Откуда hello_html_7cad8767.gif, hello_html_b218b27.gif


Ответ: hello_html_b218b27.gif.

В некоторых случаях целесообразно заменить иррациональное уравнение равносильной рациональной системой при помощи введения нескольких вспомогательных неизвестных.

Пример 3. Решить уравнение

hello_html_678210c6.gif

Решение. Обозначим hello_html_m3209d657.gif; hello_html_22e8e854.gif

Сложим почленно левые и правые части этих уравнений и введем их в условие уравнения. Получим систему уравнений, которую решаем:

hello_html_m6574b2e9.gif, hello_html_65d994cb.gif

Решив второе уравнение системы, найдем hello_html_45069fda.gif, hello_html_35410830.gif,

hello_html_6b66558d.gif и, возвращаясь к подстановке, получим

hello_html_36c3a5d6.gif, hello_html_5a6d3469.gif, hello_html_m2871e830.gif

Ответ: 1;2;10.




-16-

hello_html_1355c269.gif и hello_html_m5a3c2936.gif

Решаем эти системы неравенств:

1) hello_html_m6e16bd06.gif ; hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m480255b7.gif; hello_html_a2e6fc7.gif


Откуда hello_html_m84451b4.gif


2) hello_html_m28bdb6ea.gif; hello_html_m18df8364.gif; hello_html_m19abbc26.gif


Решений нет.

Ответ: hello_html_m84451b4.gif.


Упражнения.





-33-


Решение. Данное неравенство равносильно неравенству hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1c5637eb.gif или системе неравенств

hello_html_10ea033.gif, откуда hello_html_m2d4be125.gif,


hello_html_m5f23b9fe.gif

Данная система равносильна системе :

hello_html_352347ff.gif

Решаем полученную систему методом интервалов.

Ответ: hello_html_5d18dc01.gif


Пример 2. Решить неравенство

hello_html_6c60634b.gif

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем:









-32-

Упражнения.

1) hello_html_11984af0.gif

2) hello_html_5b1d759c.gif

3) hello_html_m6dcac7f8.gif

4) hello_html_f4f05ef.gif

5) hello_html_559d71f9.gif

6) hello_html_m1c259be3.gif

7) hello_html_586d4023.gif

8) hello_html_m20f1ef28.gif

9) hello_html_m6949f740.gif

10) hello_html_11fdf94f.gif

11) hello_html_m418da96d.gif

12) hello_html_m224a9820.gif

13) hello_html_m60a89988.gif

14) hello_html_5b277bfd.gif

15) hello_html_m3c4ae0a7.gif

16) hello_html_77f97d7.gif

17) hello_html_m6861f572.gif

18) hello_html_m3f14001a.gif

19) hello_html_886a215.gif

20) hello_html_42690bcf.gif

21) hello_html_352e8677.gif

22) hello_html_m13b4f9cc.gif




-17-



Показательные уравнения

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

hello_html_m36b3823a.gif, где hello_html_m19ee7f0a.gif и hello_html_36f5e451.gif. Очевидно, что при hello_html_m3491058a.gifэтоhello_html_m36b3823a.gif уравнение корней не имеет ( в области действительных чисел), поскольку hello_html_m4f71ad19.gif для всех действительных значений х.

I. Решением уравнения вида

hello_html_m5378bfc5.gif( по определению степени с нулевым

показателем ) будет f(x)=0

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m5e298cb8.gif

Решение. По определению степени с нулевым показателем имеем: hello_html_m2d43e8fd.gif, то есть hello_html_mad83724.gif откуда

hello_html_637de7ab.gif, решая полученное уравнение, получим

hello_html_56b6ba40.gif, hello_html_m1120713f.gif

Ответ: hello_html_56b6ba40.gif, hello_html_m1120713f.gif

Пример 2. Решить уравнение hello_html_5cd723dc.gif

Решение. Запишем данное уравнение в виде

hello_html_m6a96edd7.gif

Тогда уравнение hello_html_4046b5c3.gif равносильно данному.

Решая полученное уравнение, находим х=10.


Ответ: 10.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m1d94d10e.gif

Решение. Прологарифмировав обе части уравнения, получим

hello_html_22df9b37.gif,

hello_html_496f16d7.gif,

hello_html_m10423ffb.gif




-18-

5) hello_html_b591cc5.gif

6) hello_html_545e3b16.gif

7) hello_html_3715e44e.gif

8) hello_html_m3330cc27.gif

9) hello_html_10ad19b6.gif

10) hello_html_m4f11e675.gif


Неравенства

  1. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются с помощью определения модуля.

1. hello_html_m69d2a2c5.gif.

а) Если hello_html_19789f1e.gif, неравенство решений не имеет;

б) Если hello_html_m19ee7f0a.gif, то данное неравенство эквивалентно неравенству hello_html_27ed71af.gif.

2. hello_html_m199324e2.gif

а) Если hello_html_m19ee7f0a.gif, то неравенство равносильно совокупности неравенств hello_html_656b6a24.gif

б) Если hello_html_19789f1e.gif, то решением неравенства будет область определения функции f(x).


Пример 1. Решить неравенство

hello_html_m6ead55a3.gif





-31-


hello_html_m3c4dd23c.gifhello_html_48e8371a.gif,

т.е. решений нет.


Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить уравнение

hello_html_584c4753.gif

Решение. Запишем уравнение в виде:

hello_html_m270bf3ee.gif

Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение будет иметь решение при hello_html_m38337158.gif, откуда hello_html_m73564a47.gif. Кроме того, левая часть уравнения является четной функцией, то есть если

х является корнем уравнения, то и –х тоже его корень.

Таким образом, достаточно найти корни данного уравнения на промежутке hello_html_m42f854d8.gif, а если они есть, то к ним следует добавить корни, противоположные по знаку найденным. На данном промежутке имеем:

hello_html_m241aca46.gif

Откуда hello_html_m430d4209.gif. Это уравнение решений не имеет.


Ответ: нет решений.


Упражнения.

1) hello_html_4989316.gif

2) hello_html_m3e750eec.gif

3) hello_html_49761d66.gif

4) hello_html_7bcf3481.gif





-30-

hello_html_6d485a5d.gif

Откуда hello_html_50dc7358.gif

II.Уравнения вида hello_html_69d7d115.gif, где hello_html_1ae84f01.gifпостоянные величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.


Пример 4. Решить уравнение

hello_html_m6afea44c.gif

Решение. hello_html_2c57565f.gif, hello_html_m4c7470fc.gif, hello_html_m4e440972.gif,

hello_html_m1e756a5c.gif, отсюда х=1


Ответ: 1.


Пример5. Решить уравнение.

hello_html_7906c061.gif

Решение.

hello_html_m383454c2.gif

hello_html_54342d5e.gif, hello_html_m7261575.gif

Разделив обе части на 12, имеем

hello_html_1a427d7e.gif, hello_html_m3ead6f1d.gif, отсюда hello_html_m300947bd.gifhello_html_85feedf.gif


Ответ: hello_html_85feedf.gif


III. Уравнения вида





-19-

hello_html_3c6beb5.gif при помощи подстановки hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2e3509a4.gif сводятся к квадратному уравнению

hello_html_m76b3568e.gif

Решив это уравнение, найдем корни hello_html_m2cdaa1dd.gif и hello_html_14f233d7.gif. После этого решение исходного уравнения сводится к решению. Таких двух уравнений:

hello_html_2e3509a4.gif и hello_html_ma1cb4ac.gif.

Пример 6. Решить уравнение

hello_html_m279ddacd.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде

hello_html_m321e1a10.gif

И обозначим

hello_html_e4c4594.gif

Получим уравнение hello_html_5bb335f4.gif, имеющее корни

hello_html_m57cea447.gif и hello_html_m50d7c520.gif.

Второй корень не удовлетворяет заданному условию. Таким образом, исходное уравнение в области допустимых значений неизвестного равносильно уравнению hello_html_65e01416.gif, а последнее уравнение равносильно уравнению hello_html_m6cc4ebd7.gif.

Возведя обе части в квадрат, найдем х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появится посторонние корни, проверка необходима именно на этом этапе. Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х= - 0,25 удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.

Ответ: -0,25.






-20-

hello_html_5f4a53bd.gif

Решение. Найдем критические точки.

х+5=0 х-3=0

х=-5 х=3

Тогда числовая ось разбивается на три интервала:

hello_html_3d2dcd9f.gif

  1. Если hello_html_m30544f0c.gif

-х-5+х-3=8

-8=8

Уравнение решений не имеет.

2) Если hello_html_m58fdcc12.gif

х+5+х-3=8

2х=6

х=3 hello_html_m40032ebb.gif

3)Если hello_html_m2f2927a7.gif

х+5-х+3=8

8=8

Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.


Ответ: hello_html_m2f2927a7.gif


Пример 2. Решить уравнение

hello_html_m4df4b594.gif

Решение. Запишем уравнение в виде:

hello_html_1fe5d39b.gif.

Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение может иметь действительные корни, если hello_html_7c2ff6c8.gif, то есть при hello_html_4446d639.gif.

А на этом промежутке выражения, записанные в каждом из модулей, положительны.

Уравнение равносильно системе:



-29-


19) hello_html_m5af496eb.gif

20) hello_html_m6ae1b750.gif

21) hello_html_m1801da90.gif

22) hello_html_138a8333.gif

23) hello_html_m5ec7876b.gif


Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

hello_html_e1a0f20.gif

На практике это делается так:

  1. находят критические точки, то есть значения переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль;

  2. разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

  3. на каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 1. Решить уравнение.




-28-

IV. Уравнение вида hello_html_51871c80.gif, легко сводится к предыдущим уравнениям делением обеих частей на hello_html_16fc087d.gif.

Тогда получим

hello_html_m567a7fef.gif

Обозначив hello_html_m2c044c3d.gif, имеем

hello_html_m69044df0.gif

Решив уравнение, найдем hello_html_m2cdaa1dd.gif и hello_html_14f233d7.gif, после чего возвращаемся к подстановке:

hello_html_59114a46.gif или hello_html_m6e2f872a.gif.

Пример 7. Решить уравнение.

hello_html_7726fab8.gif

Решение. Поскольку hello_html_35c5ada5.gif, то данное уравнение равносильно уравнению hello_html_2a02c636.gif, или hello_html_24fefeb5.gif.

Пусть hello_html_9450f49.gif, приходим к квадратному уравнению

hello_html_m1ce3cae6.gif.

Его корни hello_html_295d4643.gif, hello_html_m414438c7.gif. Решая уравнение hello_html_20c2f568.gif и hello_html_m6b72db2.gif, получим в первом случае х=0, а во втором hello_html_m647ce88c.gif, т.е.





-21-


2х=1, или hello_html_7b953392.gif

Ответ: 0; hello_html_m3d4efe4.gif.


Упражнения.

1) hello_html_7c382b43.gif

2) hello_html_m175cb64c.gif

3) hello_html_m496a0360.gif

4) hello_html_188b6ed3.gif

5) hello_html_m21536456.gif

6) hello_html_m6ee266e4.gif

7) hello_html_1e524979.gif

8) hello_html_43a3f6f2.gif

9) hello_html_m1ab76a37.gif

10) hello_html_m683b9b98.gif

11) hello_html_699fedc9.gif

12) hello_html_72790630.gif

13) hello_html_372da383.gif

14) hello_html_53b3bbb5.gif





-22-



Упражнения.

1) hello_html_m7b5e8d1e.gif

2) hello_html_m45b81f12.gif

3) hello_html_6179ee9a.gif

4) hello_html_m60df96ab.gif

5) hello_html_m6b37eb65.gif

6) hello_html_m4dd3cc3.gif

7) hello_html_m1a66497f.gif

8) hello_html_m476d5380.gif

9) hello_html_3bd31b53.gif

10) hello_html_m4b69d91a.gif

11) hello_html_497a1b6e.gif

12) hello_html_692892cb.gif

13) hello_html_m7f8fe0b4.gif

14) hello_html_m37b2f7fb.gif

15) hello_html_m6ceba0c6.gif

16) hello_html_m44e5da4f.gif

17) hello_html_m157e5e1.gif

18) hello_html_593b55e2.gif




-27-


Решив это уравнение, найдем, что hello_html_28b93052.gif

hello_html_m511ef3e4.gif, hello_html_41b7087f.gif, hello_html_4af54613.gif

Получим hello_html_12951ba.gif. Все эти значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: hello_html_m5489b9e1.gif.

Пример 7. Решить уравнение

hello_html_725eb504.gif

Решение.

hello_html_m2269c04b.gif, hello_html_m2a157d0.gif, hello_html_m4635796.gif

hello_html_m2c2c24aa.gif, х=64

Проверка. Если х=64, то hello_html_1307516e.gif, 0=0


Ответ: 64.


Иногда при решении логарифмических уравнений используется формула: hello_html_5e842943.gif, где hello_html_c92508d.gif

Пример 8. Решить уравнение

hello_html_m1f6d1323.gif

Решение. ОДЗ: х>0

На этом множестве hello_html_m46b614d9.gif, поэтому данное уравнение равносильно уравнению

hello_html_6acfcdb6.gif

hello_html_914be0b.gif, hello_html_3d372c59.gif, х=625.


Ответ: 625.




-26-

15) hello_html_m3539358e.gif

16) hello_html_2e3574ba.gif

17) hello_html_m17b3ea8e.gif

18) hello_html_7726fab8.gif


Логарифмические уравнения

Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Способы решения


  1. Решение уравнений, основанное на определении логарифма

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m3fbdc7fc.gif.

Решение. hello_html_m64e74b3.gif, hello_html_mfc2f24c.gif, х-1=3, х=4.

Проверка подтверждает правильность полученного результата.


Ответ: 4.

  1. Решение уравнений потенцированием.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m1a984af6.gif

Решение. hello_html_m5f5646f4.gif, hello_html_m70b3ab6c.gif, hello_html_6c003898.gif=> (х=-1)


Ответ: -1.


  1. Решение уравнений логарифмированием

Пример 3 Решить уравнение hello_html_m5bb492ec.gif.



-23-



Решение. hello_html_m25138b59.gif

hello_html_m18313dd4.gif, пусть hello_html_18371202.gif, тогда

hello_html_m3220763e.gif, откуда hello_html_m3511fbfa.gif; hello_html_m1c59280d.gif

Возвращаемся к подстановке, имеем:

hello_html_39ef7fc3.gif и hello_html_m2a1f7452.gif,

hello_html_m582e68b5.gif х=100


Ответ: hello_html_388e8c77.gif ; 100.


  1. Применение основного логарифмического тождества

Пример 4. Решить уравнение hello_html_m36d77543.gif

Решение. Согласно основному логарифмическому тождеству

hello_html_66839b91.gif, при х>0. Заметим, что hello_html_43087b0f.gif и по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_721dfb0.gif; hello_html_3232c206.gif => х=3

Ответ: 3.


  1. Замена переменной.

Пример 5. Решить уравнение hello_html_4971486c.gif

Решение. ОДЗ: х>0.

Пусть hello_html_1d273d9f.gif, тогда hello_html_m77b8423f.gif. Находим корни



-24-

hello_html_m56f8626d.gif, hello_html_m290ad5d4.gif. Откуда hello_html_1443a44f.gif и hello_html_m2a1f7452.gif

Получаем, что х=10 и х=100.

Ответ: 10; 100.


  1. Переход к новому основанию

Пример 6. Решить уравнение

hello_html_m7cb569c4.gif

Решение.

ОДЗ: hello_html_3e6e0bc2.gif


Приводим все логарифмы к основанию 2, применяя формулу перехода к новому основанию:

hello_html_fd32ef.gif.

Учитывая, что hello_html_6020b931.gif, получим

hello_html_63c99fa0.gif

Введем подстановку

hello_html_41b7087f.gif, тогда уравнение примет вид:

hello_html_m7cc111e6.gif. Где hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m21ac7882.gif



-25-


Краткое описание документа:

Работая в профильных классах по спецкурсу "Методы решения уравнений, неравенств и их систем, решила систематизировать материал из разных источников в одной брошюре. Большая часть заданий составлена самостоятельно, в основном это системы линейных уравнений; уравнения высших степеней с целыми коэффициентами; уравнения, содержащие модуль.
Этот проект презентовала на учительской научно-практической конференции на базе УВК, как инновационный продукт научно-экспериментальной работы по своей проблеме.

Сбоник может быть использован на  уроках, факультативах, при подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Автор
Дата добавления 06.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1644
Номер материала 176653
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх