Сборник "Методы решения уравнений, неравенств и их систем".

Содержание.

1. Теорема Безу

2. Симметрические уравнения

3. Возвратные уравнения

4. Метод выделения полного квадрата

5. Однородные уравнения

6. Уравнения вида , где и

7. Уравнения вида , где

8. Решение иррациональных уравнений

9. Показательные уравнения

10. Логарифмические уравнения

11. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

12. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

13. Иррациональные неравенства

14. Показательные неравенства

15. Логарифмические неравенства

16. Системы показательных и логарифмических уравнений.

Список использованной литературы

1. Математика. Пособие для подготовки к вступительным экзаменам. Под редакцией Барыкина Б.Ю. НАПКС г.Симферополь 2005

2. Сборник задач по математике. Авторы А.Г. Гайштут; Р.П.Ушаков. Киев «А.С.К.» 2002

3. 2002 задачи по математике для выпускников и абитуриентов. Ю.В. Кириченко, О.В.Кириченко, В.И.Омельченко. Харьков «Фолио» 2003

4. Алгебра и математический анализ для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд. «Просвещение» Москва 1999

5. Математика. К.М.Гуринович. Минск 2003

6. Сборник конкурсных задач по математике. Под ред. Сканави М.И.

Упражнения.

1) ;

2)

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9)

-48-

Теорема Безу и следствия из нее.

Если коэффициенты приведенного уравнения , где , ,… - целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.

Если целый корень подбором найден, то делим многочлен на . Частное от деления – многочлен (n-1)-й степени. Аналогично ищем его корень.

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим после деления многочлен второй степени. Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.

Пример1. Решить уравнение

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -6, т.е. среди чисел Подставляя эти числа в уравнение, находим корень =-1. Делим данный многочлен на х+1:

0

Решаем полученное уравнение =0. Находим корень среди делителей свободного члена методом подбора. Имеем . Выполним деление: на х-2, получим .

-1-

Решая уравнение =0, находим, что оно не имеет

корней.

Ответ: -1; 2.

Деление может быть упрощено по правилу, которое имеет название схемы Горнера:

Уравнение, имеющее рациональные корни

, где ,…, - целые числа, сводится к уравнению, имеющему целые корни.

Умножим почленно обе части уравнения на . Получим

Обозначим . Тогда

.

Если данное уравнение имело рациональные корни, то полученное имеет целые корни, которые, как и в предыдущем случае следует искать среди делителей свободного члена.

Решив полученное уравнение, возвращаемся к подстановке и находим корни данного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на . Имеем:

. Обозначим

5х=у,

тогда уравнение примет вид

.

Целые корни его ищем среди делителей числа 50, т. е. среди чисел

. Имеем: .

-2-

Пример 2. Решить систему уравнений.

.

Решение. Обозначим , а , z>0, t>0.

Тогда получим равносильную систему:

, так как z>0, t>0, то и z+t>0

Откуда

1) 2)

Подставляя вместо z и t их значения, получаем две системы уравнений:

1) ;

2) ;

Ответ: (8;9),

-47-

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

Системы показательных и логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Область определения: х>0, y>0.

. Решив эту систему, получим решение и данной системы. (6;3), (3;6)

Ответ: (6;3), (3;6)

-46-

Возвращаясь к подстановке, получим

Упражнения

Решить уравнения:

Симметрические уравнения

Симметрическим называется целое рациональное

уравнение вида

.

Симметрическое уравнение третьей степени имеет вид и решается группировкой:

,

откуда .

Решаем совокупность уравнений:

х+1=0 и .

-3-

Уравнения вида: и где а0, называются

симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как х=0 не является их корнем, то, разделив уравнения

на , получим равносильные уравнения:

и

Замена или . Так как , то ,

а .

Подставляем в уравнение: или .

Таким образом, если и или и - корни уравнения,

то исходные уравнения эквивалентны совокупностям

-4-

Ответ: ,

Пример 3. Решить неравенство.

Решение. Это неравенство равносильно двум системам неравенств:

1) ; и 2)

Решением первой системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству .

Решением второй системы являются все значения х, удовлетворяющие неравенству

Ответ: , .

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

-45-

4. Решение неравенств вида

сводится к решению систем:

а) б)

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Пользуясь свойством логарифмической функции, получаем, что данное неравенство равносильно неравенству

, то есть

,

Решим эти неравенства. Получим, что 3<x<5; -1<x<1

Ответ: 3<x<5; -1<x<1

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Это неравенство равносильно неравенству

, решая которое, получаем:

, или

Откуда

.

Решив данное неравенство методом интервалов, получим ответ.

-44-

и

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Делим все слагаемые уравнения на , получаем: , группируем:

, заменим

Получаем: , или

1) ,

2) , Д<0,

Решений нет на множестве R.

Ответ:

Упражнения Решить уравнения

1)

2)

3)

4)

5)

-5-

6)

7)

8)

Возвратные уравнения

Возвратно симметрическим четвертой степени называется уравнение вида , в котором выполняется зависимость между коэффициентами

Решение. Разделим обе части уравнения на и сгруппируем первый член уравнения с пятым, второй – с четвертым:

Используя зависимость между коэффициентами уравнения, запишем его в виде:

(*)

Вводим вспомогательную переменную:

(**)

Возводим обе части уравнения (**) в квадрат и выделяем квадрат первого и квадрат второго выражения:

(***)

Подставив значения (**) и (***) в уравнение (*), получим

-6-

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

Логарифмические неравенства.

Рассмотрим основные виды логарифмических неравенств.

1. Решение неравенств вида сводится к решению систем

а) б)

2. Решение неравенств вида сводится к решению систем:

а) б)

3. Решение неравенств вида

сводится к решению систем:

а) б)

-43-

и

Решение неравенства сводится к решению таких систем:

и

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Используя монотонность показательной функции, заменим данное неравенство равносильной совокупностью двух систем:

1) 2)

Решением первой системы является неравенство х>4

Решением второй системы является неравенство 2<x<3.

Ответ: х>4, 2<x<3.

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

-42-

уравнение , которое и решим. Затем возвращаемся к подстановке.

Пример1. Решить уравнение

Решение. Убеждаемся, что уравнение возвратное:

- равенство выполняется. Разделим обе части уравнения на . После группировки получим

Обозначим , откуда

(*)

Подставив (*) в уравнение, получим

, или .

Отсюда , . Возвращаемся к подстановке и получаем, что а

Ответ: , .

Упражнения

1)

2)

3)

4)

5)

-7-

6)

7)

8)

Метод выделения полного квадрата.

Некоторые уравнения удобно решать дополнением левой части до полного квадрата суммы или разности двух выражений.

Пример 1. Решить уравнение

ОДЗ: х≠1

Решение.

или

или

Замена приводит к квадратному уравнению

, , или возвращаясь к подстановке, получим или . Откуда

Ответ: , .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

. Дополним левую часть до полного квадрата суммы, прибавив к обеим частям . Имеем

-8-

или

Получим, что и у>6 – решения.

Возвращаемся к подстановке, тогда

1)

2) , ,

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Обе части неравенства разделим на

Каждая из функций и определена на множестве действительных чисел. Кроме того, обе они монотонно убывающие. Поэтому функция

является монотонно убывающей.

Поскольку f(2)=0, то х=2 – единственный корень функции

f(x) и, таким образом, f(x) >0 при х<2.

Ответ: х<2.

Решение неравенства сводится к решению двух систем:

-41-

Решение.

Запишем неравенство в виде

, или , откуда –х-1>-2х-2, х>-1

Ответ: х>-1

Пример 2. Решить неравенство

Решение. , откуда

.

Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Запишем данное неравенство в виде

Обозначим . Очевидно, что . Получим

.

Решая неравенство

Имеем

,

-40-

.

Получим . Отсюда

. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

и

Ответ:

Упражнения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

-9-

Однородные уравнения

Уравнение вида , (*)

где -натуральное число, , f(x) и g(x)- некоторые функции, называется однородным относительно функций f(x) и g(x).

Делением на и заменой это уравнение сводится к уравнению вида:

Пример 1. Решить уравнение

Это однородное уравнение, в котором , а

-11-

; . Разделим уравнение на

.

, замена

Приводит к квадратному уравнению , находим корни или => .

Ответ:

-10-

Решение.

Запишем неравенство в виде

, или , откуда –х-1>-2х-2, х>-1

Ответ: х>-1

Пример 2. Решить неравенство

Решение. , откуда

.

Полученное неравенство не имеет решений, поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Запишем данное неравенство в виде

Обозначим . Очевидно, что . Получим

.

Решая неравенство

Имеем

,

-39-

9)

10)

11)

12)

Показательные неравенства

Решение простейших показательных неравенств основывается на использовании свойств монотонности показательной функции.

1. Неравенство вида ;

а) если , то неравенство выполняется при произвольном значении х ( поскольку для любого значения х );

б) если c>0, то, записав неравенство в виде ,

получим:

если а>1,

если 0<a<1,

2. Неравенство :

а) если , то неравенство не имеет решений;

б) если c>0 , то, записав неравенство в виде

, получим:

Если а>1,

Если 0<a<1,

Пример 1. Решить неравенство

-38-

Упражнения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Уравнения вида , где

a<b<c<d и b-a=d-c.

Уравнения такого вида можно решать, используя замену переменных (симметризацию уравнения):

Пример Решить уравнение

Решение.

Перепишем уравнение в виде:

Так как и , то введем новую переменную:

-11-

, т. е.

Подставим в уравнение:

. Отсюда находим

, т. е. . Возвращаясь к подстановке, имеем: ,

Ответ: .

Упражнения

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Уравнения вида ,

где .

Решение. Объединим сомножители: и разделим обе части на . Получим:

Введем замену переменных, обозначив , получим квадратное уравнение, из которого найдем t.

-12-

Решение.

I. и II

I. II

Итак,

Ответ:

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

-37-

3) ;

4)

Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом осуществлять равносильный переход на области определения или ее части.

Пример 1. Решить неравенство.

Решение.

; ;

Таким образом, решением системы, а следовательно и исходного неравенства являются все числа из промежутка

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство.

-36-

Пример. Решить уравнение

Решение.

Так как 2•12=3∙8, то перегруппируем сомножители

или

Разделим на

, введем замену

, получим квадратное уравнение:

, . Т.е. => =>

Ответ:

Упражнения

1)

2)

3)

-13-

Решение иррациональных уравнений

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.

Решение иррациональных уравнений состоит в приведении их к соответствующим рациональным уравнениям, которые являются

следствиями данных иррациональных уравнений. Одним из стандартных способов решения иррациональных уравнений есть освобождение их от корней при помощи последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.

Заметим, что когда при решении иррациональных уравнений обе его части возводятся в четную степень, возможно нарушение равносильности и появление посторонних корней, которые исключаются при помощи проверки.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. I- способ

Возведем обе части уравнения в квадрат:

, откуда

Снова возведем в квадрат:

,

То есть

Откуда . Делаем проверку и убеждаемся, что -посторонний корень, а удовлетворяет уравнению.

Ответ: 1.

II-способ. Запишем уравнение в виде :

Это уравнение равносильно системе:

-14-

17)

II.Иррациональные неравенства.

Иррациональными называются неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала, причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. Но необходимо помнить.

1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным преобразованием.

2. Если обе части неравенства на некотором множестве Х определены и имеют только положительные значения, то можно возвести обе части неравенства в квадрат или другую четную степень с сохранением знака исходного неравенства, поскольку получим неравенство, равносильное исходному на множестве Х.

3. Для иррациональных неравенств вида

q(x)<0, возводить в четную степень обе части неравенства нельзя. Необходимо учитывать дополнительные условия.

Методы решения иррациональных неравенств.

1) ;

2)

-35-

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

-34-

Откуда

Правая часть уравнения при любом значении x неотрицательна, то есть дополняем систему еще одним дополнительным условием:

Или

(*)

, или

Система (*) имеет одно решение х=1, которое и является корнем уравнения.

Ответ: 1.

-15-

Пример 2 Решить уравнение

Решение. Уравнение такого вида решается возведением обеих частей в третью степень по формуле:

.

Получим

Учитывая, что по условию , имеем:

, ,

Откуда ,

Ответ: .

В некоторых случаях целесообразно заменить иррациональное уравнение равносильной рациональной системой при помощи введения нескольких вспомогательных неизвестных.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Обозначим ;

Сложим почленно левые и правые части этих уравнений и введем их в условие уравнения. Получим систему уравнений, которую решаем:

,

Решив второе уравнение системы, найдем , ,

и, возвращаясь к подстановке, получим

, ,

Ответ: 1;2;10.

-16-

и

Решаем эти системы неравенств:

1) ; ;

Откуда

2) ; ;

Решений нет.

Ответ: .

Упражнения.

-33-

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству или системе неравенств

, откуда ,

Данная система равносильна системе :

Решаем полученную систему методом интервалов.

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем:

-32-

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

-17-

Показательные уравнения

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

, где и . Очевидно, что при это уравнение корней не имеет ( в области действительных чисел), поскольку для всех действительных значений х.

I. Решением уравнения вида

( по определению степени с нулевым

показателем ) будет f(x)=0

Пример 1. Решить уравнение

Решение. По определению степени с нулевым показателем имеем: , то есть откуда

, решая полученное уравнение, получим

,

Ответ: ,

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем данное уравнение в виде

Тогда уравнение равносильно данному.

Решая полученное уравнение, находим х=10.

Ответ: 10.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Прологарифмировав обе части уравнения, получим

,

,

-18-

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Неравенства

1. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются с помощью определения модуля.

1. .

а) Если , неравенство решений не имеет;

б) Если , то данное неравенство эквивалентно неравенству .

2.

а) Если , то неравенство равносильно совокупности неравенств

б) Если , то решением неравенства будет область определения функции f(x).

Пример 1. Решить неравенство

-31-

,

т.е. решений нет.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде:

Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение будет иметь решение при , откуда . Кроме того, левая часть уравнения является четной функцией, то есть если

х является корнем уравнения, то и –х тоже его корень.

Таким образом, достаточно найти корни данного уравнения на промежутке , а если они есть, то к ним следует добавить корни, противоположные по знаку найденным. На данном промежутке имеем:

Откуда . Это уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

-30-

Откуда

II.Уравнения вида , где постоянные величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. , , ,

, отсюда х=1

Ответ: 1.

Пример5. Решить уравнение.

Решение.

,

Разделив обе части на 12, имеем

, , отсюда

Ответ:

III. Уравнения вида

-19-

при помощи подстановки сводятся к квадратному уравнению

Решив это уравнение, найдем корни и . После этого решение исходного уравнения сводится к решению. Таких двух уравнений:

и .

Пример 6. Решить уравнение

.

Решение. Запишем уравнение в виде

И обозначим

Получим уравнение , имеющее корни

и .

Второй корень не удовлетворяет заданному условию. Таким образом, исходное уравнение в области допустимых значений неизвестного равносильно уравнению , а последнее уравнение равносильно уравнению .

Возведя обе части в квадрат, найдем х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появится посторонние корни, проверка необходима именно на этом этапе. Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х= - 0,25 удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.

Ответ: -0,25.

-20-

Решение. Найдем критические точки.

х+5=0 х-3=0

х=-5 х=3

Тогда числовая ось разбивается на три интервала:

1. Если

-х-5+х-3=8

-8=8

Уравнение решений не имеет.

2) Если

х+5+х-3=8

2х=6

х=3

3)Если

х+5-х+3=8

8=8

Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде:

.

Левая часть уравнения неотрицательна. Итак, уравнение может иметь действительные корни, если , то есть при .

А на этом промежутке выражения, записанные в каждом из модулей, положительны.

Уравнение равносильно системе:

-29-

19)

20)

21)

22)

23)

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

На практике это делается так:

1. находят критические точки, то есть значения переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль;

2. разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3. на каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 1. Решить уравнение.

-28-

IV. Уравнение вида , легко сводится к предыдущим уравнениям делением обеих частей на .

Тогда получим

Обозначив , имеем

Решив уравнение, найдем и , после чего возвращаемся к подстановке:

или .

Пример 7. Решить уравнение.

Решение. Поскольку , то данное уравнение равносильно уравнению , или .

Пусть , приходим к квадратному уравнению

.

Его корни , . Решая уравнение и , получим в первом случае х=0, а во втором , т.е.

-21-

2х=1, или

Ответ: 0; .

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

-22-

Упражнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

-27-

Решив это уравнение, найдем, что

, ,

Получим . Все эти значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение

Решение.

, ,

, х=64

Проверка. Если х=64, то , 0=0

Ответ: 64.

Иногда при решении логарифмических уравнений используется формула: , где

Пример 8. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: х>0

На этом множестве , поэтому данное уравнение равносильно уравнению

, , х=625.

Ответ: 625.

-26-

15)

16)

17)

18)

Логарифмические уравнения

Логарифмическими называются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Способы решения

1. Решение уравнений, основанное на определении логарифма

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. , , х-1=3, х=4.

Проверка подтверждает правильность полученного результата.

Ответ: 4.

2. Решение уравнений потенцированием.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. , , => (х=-1)

Ответ: -1.

3. Решение уравнений логарифмированием

Пример 3 Решить уравнение .

-23-

Решение.

, пусть , тогда

, откуда ;

Возвращаемся к подстановке, имеем:

и ,

х=100

Ответ: ; 100.

4. Применение основного логарифмического тождества

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Согласно основному логарифмическому тождеству

, при х>0. Заметим, что и по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

; => х=3

Ответ: 3.

5. Замена переменной.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: х>0.

Пусть , тогда . Находим корни

-24-

, . Откуда и

Получаем, что х=10 и х=100.

Ответ: 10; 100.

6. Переход к новому основанию

Пример 6. Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

Приводим все логарифмы к основанию 2, применяя формулу перехода к новому основанию:

.

Учитывая, что , получим

Введем подстановку

, тогда уравнение примет вид:

. Где

-25-