Содержание.
- Теорема Безу
- Симметрические уравнения
- Возвратные уравнения
- Метод выделения полного квадрата
- Однородные уравнения
- Уравнения вида ,
где и
- Уравнения вида ,
где
- Решение иррациональных уравнений
- Показательные уравнения
- Логарифмические уравнения
- Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля
- Неравенства, содержащие переменную под
знаком модуля
- Иррациональные неравенства
- Показательные неравенства
- Логарифмические неравенства
- Системы показательных и логарифмических
уравнений.
Список
использованной литературы
- Математика.
Пособие для подготовки к вступительным экзаменам. Под редакцией
Барыкина Б.Ю. НАПКС г.Симферополь 2005
- Сборник задач по математике. Авторы А.Г. Гайштут; Р.П.Ушаков. Киев «А.С.К.»
2002
- 2002 задачи по математике для выпускников
и абитуриентов. Ю.В. Кириченко, О.В.Кириченко,
В.И.Омельченко. Харьков «Фолио» 2003
- Алгебра и математический анализ для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
Н.Я.Виленкин, С.И.Шварцбурд. «Просвещение» Москва 1999
- Математика. К.М.Гуринович. Минск 2003
- Сборник конкурсных задач по математике.
Под ред. Сканави М.И.
Упражнения.
1) ;
2)
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9)
-48-
Теорема Безу и следствия из
нее.
Если коэффициенты приведенного уравнения , где , ,… - целые числа, то
целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.
Если целый корень подбором
найден, то делим многочлен на . Частное от деления –
многочлен (n-1)-й степени. Аналогично ищем его корень.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не
получим после деления многочлен второй степени. Приравняв его к нулю, получаем
уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.
Пример1. Решить
уравнение
Решение. Целые
корни ищем среди делителей числа -6, т.е. среди чисел Подставляя
эти числа в уравнение, находим корень =-1.
Делим данный многочлен на х+1:
0
Решаем полученное
уравнение =0. Находим корень среди делителей свободного
члена методом подбора. Имеем . Выполним
деление: на х-2, получим .
-1-
Решая уравнение =0,
находим, что оно не имеет
корней.
Ответ: -1; 2.
Деление может быть упрощено по правилу,
которое имеет название схемы Горнера:
Уравнение, имеющее рациональные корни
, где ,…, - целые числа, сводится к уравнению,
имеющему целые корни.
Умножим почленно обе части уравнения на . Получим
Обозначим .
Тогда
.
Если данное уравнение имело рациональные
корни, то полученное имеет целые корни, которые, как и в предыдущем случае
следует искать среди делителей свободного члена.
Решив полученное уравнение, возвращаемся к
подстановке и находим корни данного уравнения.
Пример 2. Решить
уравнение
Решение. Умножим
обе части уравнения на . Имеем:
. Обозначим
5х=у,
тогда уравнение примет вид
.
Целые корни его ищем среди делителей числа 50,
т. е. среди чисел
. Имеем: .
-2-
Пример 2. Решить
систему уравнений.
.
Решение.
Обозначим , а , z>0, t>0.
Тогда получим равносильную систему:
, так как z>0, t>0, то и z+t>0
Откуда
1) 2)
Подставляя вместо z и t их значения, получаем две системы уравнений:
1) ;
2) ;
Ответ: (8;9),
-47-
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Системы
показательных и логарифмических уравнений.
Пример 1. Решить
систему уравнений
Решение. Область
определения: х>0, y>0.
. Решив эту систему,
получим решение и данной системы. (6;3), (3;6)
Ответ: (6;3),
(3;6)
-46-
Возвращаясь к подстановке, получим
Упражнения
Решить уравнения:
Симметрические
уравнения
Симметрическим
называется целое рациональное
уравнение вида
.
Симметрическое уравнение третьей степени имеет вид и решается группировкой:
,
откуда .
Решаем совокупность уравнений:
х+1=0 и .
-3-
Уравнения вида: и где а0, называются
симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как х=0 не является их корнем, то,
разделив уравнения
на , получим равносильные
уравнения:
и
Замена или . Так как , то ,
а .
Подставляем в уравнение: или .
Таким образом, если и
или и - корни уравнения,
то исходные уравнения эквивалентны
совокупностям
-4-
Ответ: ,
Пример 3. Решить
неравенство.
Решение. Это неравенство
равносильно двум системам неравенств:
1) ;
и 2)
Решением первой системы являются все значения
х, удовлетворяющие неравенству .
Решением второй системы являются все значения
х, удовлетворяющие неравенству
Ответ: , .
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-45-
4. Решение неравенств вида
сводится
к решению систем:
а) б)
Пример 1. Решить
неравенство
Решение.
Пользуясь свойством логарифмической функции, получаем, что данное неравенство
равносильно неравенству
, то
есть
,
Решим эти неравенства. Получим, что 3<x<5; -1<x<1
Ответ: 3<x<5; -1<x<1
Пример 2. Решить
неравенство
Решение. Это
неравенство равносильно неравенству
, решая которое,
получаем:
, или
Откуда
.
Решив данное неравенство методом интервалов,
получим ответ.
-44-
и
Пример 1. Решить
уравнение
Решение. Делим
все слагаемые уравнения на , получаем: , группируем:
, заменим
Получаем: , или
1) ,
2) , Д<0,
Решений нет на множестве R.
Ответ:
Упражнения Решить уравнения
1)
2)
3)
4)
5)
-5-
6)
7)
8)
Возвратные
уравнения
Возвратно симметрическим четвертой степени называется уравнение вида ,
в котором выполняется зависимость между коэффициентами
Решение. Разделим
обе части уравнения на и сгруппируем первый член
уравнения с пятым, второй – с четвертым:
Используя зависимость между коэффициентами
уравнения, запишем его в виде:
(*)
Вводим вспомогательную переменную:
(**)
Возводим обе части уравнения (**) в квадрат и
выделяем квадрат первого и квадрат второго выражения:
(***)
Подставив значения (**) и (***) в уравнение
(*), получим
-6-
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Логарифмические
неравенства.
Рассмотрим основные виды логарифмических
неравенств.
1.
Решение неравенств вида сводится к решению систем
а) б)
2. Решение неравенств вида сводится к решению систем:
а) б)
3. Решение неравенств вида
сводится
к решению систем:
а) б)
-43-
и
Решение неравенства сводится к решению таких систем:
и
Пример 4. Решить
неравенство
Решение. Используя монотонность показательной
функции, заменим данное неравенство равносильной совокупностью двух систем:
1) 2)
Решением первой системы является неравенство
х>4
Решением второй системы является неравенство
2<x<3.
Ответ: х>4,
2<x<3.
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-42-
уравнение , которое и решим. Затем возвращаемся к
подстановке.
Пример1. Решить
уравнение
Решение.
Убеждаемся, что уравнение возвратное:
- равенство
выполняется. Разделим обе части уравнения на . После
группировки получим
Обозначим ,
откуда
(*)
Подставив (*) в уравнение, получим
, или .
Отсюда , . Возвращаемся к подстановке и получаем,
что а
Ответ: , .
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
-7-
6)
7)
8)
Метод выделения
полного квадрата.
Некоторые уравнения удобно решать дополнением
левой части до полного квадрата суммы или разности двух выражений.
Пример 1. Решить уравнение
ОДЗ: х≠1
Решение.
или
или
Замена приводит
к квадратному уравнению
, , или возвращаясь к подстановке, получим или .
Откуда
Ответ: , .
Пример 2. Решить
уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде
. Дополним левую часть
до полного квадрата суммы, прибавив к обеим частям .
Имеем
-8-
или
Получим, что и у>6
– решения.
Возвращаемся к подстановке, тогда
1)
2) , ,
Ответ: .
Пример 3. Решить
неравенство
Решение. Обе
части неравенства разделим на
Каждая из функций и
определена на множестве действительных
чисел. Кроме того, обе они монотонно убывающие. Поэтому функция
является монотонно убывающей.
Поскольку f(2)=0, то
х=2 – единственный корень функции
f(x) и, таким образом, f(x)
>0 при х<2.
Ответ: х<2.
Решение неравенства сводится к решению двух систем:
-41-
Решение.
Запишем
неравенство в виде
, или , откуда –х-1>-2х-2, х>-1
Ответ: х>-1
Пример 2. Решить
неравенство
Решение. , откуда
.
Полученное неравенство не имеет решений,
поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.
Ответ: нет
решений.
Пример 3. Решить
неравенство
Решение. Запишем
данное неравенство в виде
Обозначим .
Очевидно, что . Получим
.
Решая неравенство
Имеем
,
-40-
.
Получим .
Отсюда
. Данное уравнение
равносильно совокупности уравнений:
и
Ответ:
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
-9-
Однородные
уравнения
Уравнение вида , (*)
где -натуральное
число, , f(x) и g(x)-
некоторые функции, называется однородным относительно функций f(x) и g(x).
Делением на и
заменой это уравнение сводится к уравнению
вида:
Пример 1. Решить уравнение
Это однородное уравнение, в котором , а
-11-
; . Разделим уравнение на
.
, замена
Приводит к квадратному уравнению , находим корни или =>
.
Ответ:
-10-
Решение.
Запишем
неравенство в виде
, или , откуда –х-1>-2х-2, х>-1
Ответ: х>-1
Пример 2. Решить
неравенство
Решение. , откуда
.
Полученное неравенство не имеет решений,
поскольку дискриминант трехчлена в левой части неравенства отрицателен.
Ответ: нет решений.
Пример 3. Решить
неравенство
Решение. Запишем
данное неравенство в виде
Обозначим .
Очевидно, что . Получим
.
Решая неравенство
Имеем
,
-39-
9)
10)
11)
12)
Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основывается на
использовании свойств монотонности показательной функции.
1.
Неравенство вида ;
а) если , то неравенство выполняется при
произвольном значении х ( поскольку для любого значения х );
б) если c>0,
то, записав неравенство в виде ,
получим:
если а>1,
если 0<a<1,
2. Неравенство :
а) если , то неравенство не имеет решений;
б) если c>0 , то, записав неравенство в виде
,
получим:
Если а>1,
Если 0<a<1,
Пример 1. Решить неравенство
-38-
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Уравнения вида , где
a<b<c<d и b-a=d-c.
Уравнения такого вида можно решать,
используя замену переменных (симметризацию уравнения):
Пример Решить
уравнение
Решение.
Перепишем уравнение в виде:
Так как и , то введем новую переменную:
-11-
, т. е.
Подставим в уравнение:
. Отсюда находим
, т. е. .
Возвращаясь к подстановке, имеем: ,
Ответ: .
Упражнения
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Уравнения вида ,
где .
Решение. Объединим сомножители: и разделим обе части на . Получим:
Введем замену переменных, обозначив , получим квадратное уравнение, из
которого найдем t.
-12-
Решение.
I. и II
I. II
Итак,
Ответ:
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
-37-
3) ;
4)
Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо
прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом
осуществлять равносильный переход на области определения или ее части.
Пример 1. Решить неравенство.
Решение.
; ;
Таким образом,
решением системы, а следовательно и исходного неравенства являются все числа из
промежутка
Ответ:
Пример 2. Решить
неравенство.
-36-
Пример. Решить
уравнение
Решение.
Так как 2•12=3∙8, то перегруппируем
сомножители
или
Разделим на
,
введем замену
, получим квадратное
уравнение:
, . Т.е.
=> =>
Ответ:
Упражнения
1)
2)
3)
-13-
Решение
иррациональных уравнений
Иррациональным называется
уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
Решение иррациональных уравнений состоит в
приведении их к соответствующим рациональным уравнениям, которые являются
следствиями данных иррациональных уравнений.
Одним из стандартных способов решения иррациональных уравнений есть освобождение
их от корней при помощи последовательного возведения обеих частей уравнения в
соответствующую степень.
Заметим, что когда при решении
иррациональных уравнений обе его части возводятся в четную степень, возможно
нарушение равносильности и появление посторонних корней, которые исключаются
при помощи проверки.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. I-
способ
Возведем обе
части уравнения в квадрат:
, откуда
Снова возведем в квадрат:
,
То есть
Откуда . Делаем проверку и убеждаемся, что -посторонний корень, а удовлетворяет уравнению.
Ответ: 1.
II-способ.
Запишем уравнение в виде :
Это уравнение равносильно системе:
-14-
17)
II.Иррациональные неравенства.
Иррациональными называются неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала,
причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.
Основным методом
решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного
неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности
таких систем. Но необходимо помнить.
1.
Возведение обеих частей неравенства в нечетную
степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным
преобразованием.
2.
Если обе части неравенства на некотором множестве Х
определены и имеют только положительные значения, то можно возвести обе части
неравенства в квадрат или другую четную степень с сохранением знака исходного
неравенства, поскольку получим неравенство, равносильное исходному на
множестве Х.
3.
Для иррациональных неравенств вида
q(x)<0, возводить в четную степень обе части
неравенства нельзя. Необходимо учитывать дополнительные условия.
Методы
решения иррациональных неравенств.
1) ;
2)
-35-
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
-34-
Откуда
Правая часть уравнения при любом значении x неотрицательна, то есть дополняем систему еще одним дополнительным
условием:
Или
(*)
, или
Система (*) имеет одно решение х=1, которое
и является корнем уравнения.
Ответ: 1.
-15-
Пример 2 Решить
уравнение
Решение. Уравнение
такого вида решается возведением обеих частей в третью степень по формуле:
.
Получим
Учитывая, что по условию , имеем:
, ,
Откуда ,
Ответ: .
В некоторых случаях целесообразно заменить
иррациональное уравнение равносильной рациональной системой при помощи введения
нескольких вспомогательных неизвестных.
Пример 3. Решить
уравнение
Решение. Обозначим ;
Сложим почленно левые и правые части этих
уравнений и введем их в условие уравнения. Получим систему уравнений, которую
решаем:
,
Решив второе уравнение системы, найдем , ,
и, возвращаясь к
подстановке, получим
, ,
Ответ: 1;2;10.
-16-
и
Решаем эти системы
неравенств:
1) ; ;
Откуда
2) ; ;
Решений нет.
Ответ: .
Упражнения.
-33-
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству или системе неравенств
, откуда ,
Данная система
равносильна системе :
Решаем полученную
систему методом интервалов.
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем:
-32-
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
-17-
Показательные
уравнения
Простейшим показательным уравнением
является уравнение вида
, где и . Очевидно, что при это уравнение корней не имеет ( в области
действительных чисел), поскольку для всех
действительных значений х.
I. Решением
уравнения вида
( по
определению степени с нулевым
показателем ) будет f(x)=0
Пример 1. Решить
уравнение
Решение. По определению степени с нулевым
показателем имеем: , то есть откуда
, решая полученное уравнение,
получим
,
Ответ: ,
Пример 2. Решить
уравнение
Решение. Запишем
данное уравнение в виде
Тогда уравнение равносильно
данному.
Решая полученное уравнение, находим х=10.
Ответ: 10.
Пример 3. Решить
уравнение
Решение.
Прологарифмировав обе части уравнения, получим
,
,
-18-
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Неравенства
I.
Неравенства,
содержащие переменную под знаком модуля.
Неравенства,
содержащие переменную под знаком модуля, решаются с помощью определения модуля.
1. .
а) Если , неравенство решений не имеет;
б) Если , то данное неравенство эквивалентно
неравенству .
2.
а) Если , то неравенство равносильно совокупности
неравенств
б) Если , то решением неравенства будет область
определения функции f(x).
Пример 1. Решить неравенство
-31-
,
т.е. решений нет.
Ответ: решений
нет.
Пример 3. Решить
уравнение
Решение. Запишем
уравнение в виде:
Левая часть уравнения неотрицательна. Итак,
уравнение будет иметь решение при , откуда . Кроме того, левая часть уравнения
является четной функцией, то есть если
х является корнем уравнения, то и –х тоже его
корень.
Таким образом, достаточно найти корни
данного уравнения на промежутке , а если они есть, то к
ним следует добавить корни, противоположные по знаку найденным. На данном
промежутке имеем:
Откуда . Это
уравнение решений не имеет.
Ответ: нет
решений.
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
-30-
Откуда
II.Уравнения вида
, где постоянные
величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.
Пример 4. Решить
уравнение
Решение. , , ,
,
отсюда х=1
Ответ: 1.
Пример5. Решить
уравнение.
Решение.
,
Разделив обе части на 12, имеем
, , отсюда
Ответ:
III. Уравнения вида
-19-
при помощи подстановки сводятся к
квадратному уравнению
Решив это уравнение, найдем корни и . После
этого решение исходного уравнения сводится к решению. Таких двух уравнений:
и .
Пример 6. Решить
уравнение
.
Решение. Запишем
уравнение в виде
И обозначим
Получим уравнение , имеющее
корни
и .
Второй корень не удовлетворяет заданному
условию. Таким образом, исходное уравнение в области допустимых значений
неизвестного равносильно уравнению , а последнее уравнение
равносильно уравнению .
Возведя обе части в квадрат, найдем
х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут
появится посторонние корни, проверка необходима именно на этом этапе.
Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х=
- 0,25 удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -0,25.
-20-
Решение. Найдем критические точки.
х+5=0
х-3=0
х=-5 х=3
Тогда числовая ось
разбивается на три интервала:
1)
Если
-х-5+х-3=8
-8=8
Уравнение решений
не имеет.
2) Если
х+5+х-3=8
2х=6
х=3
3)Если
х+5-х+3=8
8=8
Уравнение
выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.
Ответ:
Пример 2. Решить
уравнение
Решение. Запишем
уравнение в виде:
.
Левая часть уравнения неотрицательна.
Итак, уравнение может иметь действительные корни, если ,
то есть при .
А на этом промежутке выражения, записанные
в каждом из модулей, положительны.
Уравнение равносильно системе:
-29-
19)
20)
21)
22)
23)
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Чтобы решить
уравнение или неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо
освободиться от знака модуля, используя его определение.
На практике это
делается так:
1)
находят критические точки, то есть значения
переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля обращаются в нуль;
2)
разбивают область допустимых значений переменной на
промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля,
сохраняют знак;
3)
на каждом из найденных промежутков решают уравнения
без знака модуля.
Совокупность
решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого
уравнения.
При решении
уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее
модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в
полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 1. Решить
уравнение.
-28-
IV. Уравнение вида ,
легко сводится к предыдущим уравнениям делением обеих
частей на .
Тогда получим
Обозначив ,
имеем
Решив уравнение, найдем и , после
чего возвращаемся к подстановке:
или
.
Пример 7. Решить
уравнение.
Решение. Поскольку
, то данное уравнение равносильно
уравнению , или .
Пусть ,
приходим к квадратному уравнению
.
Его корни , . Решая уравнение и
, получим в первом случае х=0, а во
втором , т.е.
-21-
2х=1, или
Ответ: 0; .
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
-22-
Упражнения.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
-27-
Решив это
уравнение, найдем, что
, ,
Получим . Все эти значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: .
Пример 7. Решить уравнение
Решение.
, ,
, х=64
Проверка. Если
х=64, то , 0=0
Ответ: 64.
Иногда при
решении логарифмических уравнений используется формула: , где
Пример 8. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: х>0
На этом множестве , поэтому данное уравнение равносильно
уравнению
, , х=625.
Ответ: 625.
-26-
15)
16)
17)
18)
Логарифмические
уравнения
Логарифмическими называются
уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.
Способы решения
I.
Решение уравнений, основанное на определении
логарифма
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. , ,
х-1=3, х=4.
Проверка
подтверждает правильность полученного результата.
Ответ: 4.
II.
Решение уравнений потенцированием.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. , , => (х=-1)
Ответ: -1.
III.
Решение уравнений логарифмированием
Пример 3 Решить уравнение .
-23-
Решение.
, пусть , тогда
, откуда ;
Возвращаемся к подстановке, имеем:
и
,
х=100
Ответ: ;
100.
IV.
Применение основного логарифмического тождества
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Согласно основному логарифмическому тождеству
, при х>0. Заметим, что и по основному логарифмическому
тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное
уравнение равносильно системе:
; => х=3
Ответ: 3.
V.
Замена переменной.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: х>0.
Пусть , тогда .
Находим корни
-24-
, .
Откуда и
Получаем, что
х=10 и х=100.
Ответ: 10; 100.
VI.
Переход к новому основанию
Пример 6. Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
Приводим все
логарифмы к основанию 2, применяя формулу перехода к новому основанию:
.
Учитывая, что , получим
Введем подстановку
, тогда уравнение примет вид:
. Где
-25-
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.