Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник задач на переливания "Переливашка"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник задач на переливания "Переливашка"

библиотека
материалов


hello_html_32a73af7.jpg







Сборник задач


ПЕРЕЛИВАШКА







Составитель

учитель математики

гимназии №93

Ефимик М.Н.









Если вы хотите научиться плавать,

то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи,

то решайте их.

Д. Пойа


Введение


В настоящее время традиционный взгляд на содержание курса математики, ее роль и место в общем образовании учащихся пересматривается. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека буквально во всем. Это и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали владение математическими знаниями. В Индии, например, только тот юноша считался подготовленным к жизни, кто овладевал искусством решения задач, физических упражнений и стихосложений.

Казалось бы, в математике все изучено и доказано давно. Но мир не стоит на месте, а, значит, даже хорошо знакомые темы математики предстают, меняются по-новому.

данное пособие рассчитано на всех желающих научиться решать задачи на переливания и отработать эти навыки. В пособии представлены методические рекомендации к решению задач; сказка Страна волшебных рек, где представлены самые простейшие задачи на переливания; задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний, задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов и подборка задач на отработку навыков.

Сборник могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение. А также будет полезно и для учеников, которое желают расширить и углубить свои знания по математике.

Методические указания

"Решение задач на переЛИВАНИЯ"


В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Примеры решения задач.

Задача 1. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

Решение.

В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

8-литровый сосуд

5-литровый сосуд

3-литровый сосуд

8

0

0

3

5

0

3

2

3

6

2

0

6

0

2

1

5

2

1

4

3

4

4

0

После переливания оказалось по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача 2. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение.

В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

бочка

ведро

бидон

не менее 10

0

0

не менее 5

0

5

не менее 5

5

0

не менее 0

5

5

не менее 0

9

1

не менее 9

0

1

не менее 9

1

0

не менее 4

1

5

не менее 4

6

0


Задача 3. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

Решение.

4-литровый сосуд

5-литровый сосуд

6-литровый сосуд

4 л сиропа

0

0

0

4 л сиропа

0

4 л воды

4 л сиропа

0

0

4 л сиропа

4 л воды

4 л воды

4 л сиропа

4 л воды

2 л воды

4 л сиропа

6 л воды

2 л воды

4 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

2 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

0

2 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

2 л сиропа

2 л сиропа

2 л воды, 2 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

2 л воды, 2 л сиропа

0


Задача состоит в том, чтобы разделить 8 л воды, находящейся в 8 л ведре, пополам, т. е. по 4 л с помощью пустых дополнительных ведер - по 3 л и 5 л. [5]

Эта задача решается за 7 ходов. Сразу придумать это решение не так просто. Но можно переформулировать задачу и расширить ее границы сложности. Попробуем найти решение для получения и других количеств воды - 1 л, 2 л, :, 7 л. Мы увидим, что получение некоторых количеств (3 л, 5 л) находятся за одно действие, другие - за два, а деление по 4 л - окажется самой трудной задачей. Пусть количество переливаний - стоимость решения задачи, ее сложность. Таким образом, из исходной задачи, для заданных объемов сосудов мы получим восемь задач сложностью в 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 условных баллов.

Задавая различные объемы сосудов, различные требуемые количества жидкости, можно получить большой набор задач разного уровня сложности.

Страна Волшебных Рек

Однажды Юра пускал в ручейке кораблики и нашёл на дне странный камешек-кубик. На каждой из его граней было высечено одно или два слова.

Буквы оказались маленькими и бледными. Некоторые из них едва различимы, видно кубик долго пролежал в воде. Знаки препинания вообще не видны.

На одной из сторон было написано: "ОКАЖЕТСЯ".

На другой: "В СТРАНЕ".

На третьей: "В РУЧЕЙ".

На четвёртой: "ТОТ КТО".

На пятой: "ВОЛШЕБНЫХ РЕК".

На шестой: "БРОСИТ МЕНЯ".

Ага, всё ясно, - сообразил Юра. - Надписи надо прочитать в определённом порядке. Но в каком?

Мальчик повертел в руках таинственный кубик и хлопнул себя по лбу:

Ну, конечно! Читать нужно так: "Тот, кто окажется в Стране Волшебных Рек, бросит меня в ручей". Что же выходит? Тот, кто называет наши края Страной Волшебных Рек, бросил камешек в этот ручей. Так? Вряд ли. Нет у нас Волшебных рек. Значит, мне надо отправиться в Страну Волшебных Рек и там бросить камень в ручей. Но где находится такая страна? Да, и не поеду я туда. Не люблю приключения.

В задумчивости Юра подбросил кубик в руке, но поймать не смог. Камешек проскочил между пальцами и упал в ручей.

Тут среди ясного неба прогремел гром, какая-то неведомая сила подхватила Юру, завертела и понесла, понесла, понесла. Раздался ещё один раскат грома, и в тот же миг мальчик сообразил, что он неправильно расшифровал надпись.

"Тот, кто бросит меня в ручей, окажется в Стране Волшебных Рек", - вот как следовало читать!

Но камень уже попал в ручей и ничего не изменишь.

Прозвучал третий удар грома, и Юра потерял сознание...

Очнулся мальчик в незнакомом месте, неподалеку от реки, вода в которой оказалась на удивление белой. На берегу стоял столб с прибитой табличкой:

"Молочная река. Если хочешь перебраться на другую сторону, то реши десять задач. Вот первая. Возьми две стеклянные банки. В одну из них, наполненную до краёв, помещается ровно один литр молока, а в другую - два. Как сделать так, чтобы в двухлитровой банке оказался точно один литр?

Если сделаешь это двумя различными способами, можешь выпить молока".



Л

Л


Вот ещё, буду я задачи решать! Я и в школе-то голову не ломаю, у товарищей списываю! Да и ни к чему мне на другую сторону, - фыркнул Юра и пошёл прочь от берега.

Но в стороне от реки везде, сколько мог охватить взгляд, тянулась гряда непроходимых гор. Не поверил Юра, что нигде не сможет найти дороги, и побрёл вдоль горной гряды. Долго шёл и, в конце концов, достиг места, где путь ему преградили отвесные скалы. Нет прохода.

Отправился Юра в противоположную сторону, но и там попал в тупик.

Делать нечего, пришлось вернуться к столбу с табличкой, тем более что мальчик проголодался.

Всё равно не буду задачу решать, так молока напьюсь, - пробурчал Юра, взял маленькую банку, наполнил её молоком из реки и поднёс ко рту.

Но тут молоко непонятным образом исчезло! Ещё трижды пытался мальчик сделать глоток из банки, но не получилось.

Тогда он отставил её в сторону и склонился над рекой. Но и тут испить не удалось. Поднялась волна и больно шлёпнула мальчика по губам, при этом не оставив ни одной капли молока на лице.

Юра был ошеломлён.

- Вот уж действительно меня ОЗАДАЧИЛИ, - вздохнул мальчик и снова подошёл к
столбу.



Л

Л


Размышлять над задачей Юре было лень, а выпить молока очень хотелось.

- Литр молока надо налить в большую банку? Попробую зачерпнуть ею из реки так, чтобы заполнилась половина банки.

Сказано - сделано. Зачерпнул. Но получился ровно один литр или нет? Юра поднёс банку по рту - молоко исчезло.

Значит, не литр. Опять зачерпнул. Опять поднёс. Снова молоко пропало. И так - раз за разом... Скоро у Юры заболела правая рука, которой он вначале наливал молоко, а потом и левая.

- Трудная задача досталась, - проворчал мальчик. - Вот если бы нужно было налить один литр молока в литровую банку, я бы сразу догадался, как поступить! Я бы опустил в реку маленькую банку и наполнил её молоком. Вот так.


Л

Юра набрал молока в литровую банку, вздохнул и вылил обратно в реку. Опять набрал, снова вылил. Налил в третий раз. Эх, жаль выливать молоко в реку, и Юра перелил его в двухлитровую банку.








Вдруг молоко в ней вспыхнуло золотым пламенем, словно пронзённое множеством солнечных лучей.

- Ух, ты! А ведь я нечаянно решил задачу! - удивился Юра. - Она совсем лёгкая. Как же я сразу не сообразил.

Удача подстегнула мальчика, и вскоре он нашёл второй способ: требовалось всего-навсего заполнить молоком двухлитровую банку,


а затем из неё налить молока до краёв в литровую.







Тогда в двухлитровой остался ровно один литр молока. Тут молоко снова вспыхнуло золотым пламенем, Юра с трепетом поднёс банку с молоком ко рту и с наслаждением отпил.

Нужно ли писать о том, что вскоре двухлитровая банка была пуста?

Юра вернулся к столбу и с удивлением обнаружил, что на табличке появилась новая надпись:

"Молодец! Взгляни на банки, двухлитровая превратилась в трёхлитровую. Теперь на берегу реки ты видишь банки вместимостью 1 литр и 3 литра. Внимательно прочитай условие второй задачи и реши её.

Задача 2. Перед тобой литровая и трёхлитровая банки. Добейся того, чтобы в одной из них оказалось ровно два литра молока и затрать на это наименьшее количество переливаний".





3 Л

1 Л



В меньшей банке два литра не поместятся, только в большей, - сам себе сказал Юра. -Ага, всё ясно. Первое действие: из реки наполняю молоком литровую банку. Второе -переливаю один литр в трёхлитровую банку. Третье - снова набираю молока в литровую. И четвёртое - опять переливаю его из меньшей банки в большую. За четыре переливания в трёхлитровой банке окажется два литра молока! Ой, ведь можно быстрее - из реки наполнить доверху большую банку, и из неё налить молоко в меньшую. Также доверху. Тогда всего за две операции наливания-переливания в большей банке будет ровно два литра молока, ведь 3 - 1 = 2.















Когда мальчик всё это проделал, молоко в трёхлитровой банке заискрилось в солнечных лучах. От радости Юра захлопал в ладоши, а затем взглянул на столб: что там новенького?

На табличке появились условия остальных задач:

"Теперь реши остальные восемь задач. Запомни: они будут считаться решёнными правильно, если ты используешь как можно меньшее количество переливаний!

Задача 3. Опять ты располагаешь литровой и трёхлитровой банками. Как налить во вторую из них ровно один молока?

Задача 4. Сейчас трёхлитровая банка превратится в четырёх литровую. Располагая литровой и четырёхлитровой банками, сделай так, чтобы в большей из них оказался ровно один литр молока.

Задача 5. Перед тобой те же банки вместимостью 1 литр и 4 литра. Как налить во вторую из них два литра? Реши задачу двумя способами.

Задача 6. С помощью тех же банок налей в одну из них ровно 3 литра.

Задача 7. Четырёхлитровая банка превращается в пятилитровую. Имея под рукой литровую и пятилитровую банки, добейся того, чтобы в одной из них находилось два литра молока.

Задача 8. С помощью тех же банок налей в одну из них 3 литра молока.

Задача 9. Пятилитровая банка превращается в шестилитровую. Располагая банками вместимостью 1 литр и 6 литров, помести в большую из них четыре литра молока.

Задача 10. С помощью тех же банок налей в одну из них 3 литра молока. Сообрази, сколькими способами можно решить данную задачу".

Нелегко пришлось Юре. Восемь задач правильно решить - не одну!

Долго провозился с банками мальчик, но, в конце концов, решил все головоломки. Многие из них имели больше одного решения, и чтобы найти кратчайшее из них, требовалось безошибочно считать количество переливаний. Если первые задачи Юра решал больше с помощью практических действий — сначала делал, а потом думал, то последние головоломки пришлось разгадывать в уме, так как банки с молоком становились всё тяжелее, и лишний раз поднимать их не хотелось.

Как только Юра осилил последнюю задачу, то увидел перекинутый через реку мостик, сотканный из солнечных лучей. Мальчик с опаской ступил на него, но, почувствовав под ногами твёрдую поверхность, быстро побежал на противоположный берег. Ему почему-то казалось, что там, на другой стороне, стоит его дом, а на пороге ждёт мама. Но чудеса случаются не всегда. Дальше текла другая река, компотная. Это Юра узнал из надписи на новой табличке:

"Компотная река. Если хочешь перебраться на другую сторону, то реши двадцать пять задач. Они будут считаться решёнными правильно, если ты используешь как можно меньшее количество переливаний. Внимательно изучи условие заданий, иногда в них указано, в какой именно сосуд (больший или меньший) нужно налить компот.

Задача 1. Взгляни на берег - там ты увидишь два кувшина. В один из них, наполненный до краёв, помещается ровно два литра компота, а в другой - три. Как налить в двухлитровый кувшин точно один литр? Укажи два способа.











Задача 2. Налей в те же кувшины четыре литра компота.

Задача 3. Сейчас трёхлитровый кувшин превратится в пятилитровый. Располагая двухлитровым и пятилитровым кувшинами, сделай так, чтобы в одном из них оказался ровно литр компота.

Задача 4. Опять ты располагаешь теми же кувшинами. Как налить в один из них три литра компота?

Задача 5. Перед тобой те же кувшины вместимостью 2 литра и 5 литров. Как налить в один из них 4 литра?

Задача 6. Налей в те же кувшины шесть литров компота.

Задача 7. Пятилитровый кувшин превращается в шестилитровый. Располагая кувшинами вместимостью 2 литра и 6 литров, налей в один из них четыре литра компота.

Задача 8. Шестилитровый кувшин превращается в семилитровый. Имея под рукой двухлитровый и семилитровый кувшины, добейся того, чтобы в одном из них находился один литр компота.

Задача 9. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 3 литра компота.

Задача 10. Располагая кувшин вместимостью 2 литра и 7 литров, помести в один из них четыре литра компота.

Задача 11. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 5 литров компота.

Задача 12. Опять ты располагаешь теми же кувшинами. Как налить в один из них шесть литров компота?

Задача 13. Налей в кувшины ёмкостью 2 литра и 7 литров восемь литров компота.

Задача 14. Семилитровый кувшин превращается в восьмилитровый. Имея под рукой двухлитровый и восьмилитровый кувшины, добейся, чтобы в одном из них находилось четыре литра компота.

Задача 15. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 6 литров компота.

Задача 16. Восьмилитровый кувшин превращается в девятилитровый. Имея под рукой двухлитровый и девятилитровый кувшины, добейся того, чтобы в одном из них находился один литр компота.

Задача 17. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 3 литра компота.

Задача 18. Располагая кувшином вместимостью 2 литра и 9 литров, помести в один из них четыре литра компота.

Задача 19. С помощью тех же кувшинов налей в один из них 5 литров компота.

Задача 20. Снова у тебя те же кувшины. Как налить в один из них шесть литров компота?

Задача 21. Девятилитровый кувшин превращается в четырёхлитровый. Можно ли с помощью двухлитрового и четырёхлитрового кувшинов налить один литр компота? А три литра? А пять литров?

Задача 22. Четырёхлитровый кувшин превращается в шестилитровый. Удастся ли тебе, располагая кувшинами вместимостью 2 литра и 6 литров, налить в них один литр компота? Три литра? Пять? Семь?

Задача 23. Шестилитровый кувшин превращается в восьмилитровый. Можно ли с помощью двухлитрового и восьмилитрового кувшинов добиться того, чтобы в них находился один литра компота? Три? Пять? Семь? Девять?

Задача-шутка 24. Восьмилитровый кувшин превращается в четырёхлитровый. Вдобавок на берегу появляется очень тяжёлая бочка, которую тебе не удастся даже сдвинуть с места. В каком случае с помощью кувшинов вместимостью два литра и четыре литра можно налить в бочку ровно три литра компота? Приведи хотя бы один вариант решения.

Задача-шутка 25. Перед тобой снова двухлитровый и трёхлитровый кувшины, а также девятилитровая тяжёлая бочка. Как бы ты не старался с помощью кувшинов налить в неё ровно один литр компота, у тебя ничего не получится. Как думаешь, почему? Дай хотя бы один верный ответ".

Юра упал духом. Он-то уже рассчитывал очутиться дома, а нужно снова задачки решать!

Волей неволей пришлось мальчику брать в руки кувшины и заняться тяжёлым умственным и физическим трудом.

Долго Юра манипулировал кувшинами и, наконец, раскрыл секреты всех задач. Труднее всего мальчику пришлось с двумя последними задачами.

Ну и шуточки! - недовольно бурчал Юра, но, в конце концов, ответил и на них.
Итак, Юра расправился с последним заданием и вздохнул:

Сейчас через речку перекинется мост. Я по нему пробегу и увижу новую реку. На её берегу опять будут вкопан столб с новыми задачами.

Все, конечно же, так и случилось. На новой табличке значилось:

"Лимонадная река. Если хочешь вернуться домой, то реши одну единственную задачу. Представь, что перед тобой две неодинаковые ёмкости с лимонадом. В каждой из них помещается однозначное нечетное количество литров этого напитка. Также известно, что с помощью данных ёмкостей ни одну из них нельзя наполнить ровно одним литром лимонада. Сообрази, какова вместимость данных сосудов".

Сердце мальчика готово было выпрыгнуть из груди. Наконец-то он попадёт домой! Но сначала вновь следовало заняться математикой. Немного успокоившись, Юра принялся размышлять. Он думал очень долго, но всё же решил последнюю задачу и оказался дома.

А вы решите её?

Решения задач

Вот как решаются математические задания у молочной реки:

Задача 3. Наполняем литровую банку молоком из реки и переливаем молоко в трёхлитровую (2 операции).


1 литр

3 литра

0

0

1

0

0

1


Задача 4. Заполняем меньшую банку молоком из реки и переливаем молоко в банку большего объёма (2 операции).


1 литр

4 литра

0

0

1

0

0

1


Задача 5. Первый способ. Набираем молока в большую банку, отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из большей (4 операции). Второй способ. Набираем из реки молока в меньшую банку и переливаем в большую, затем те же действия повторяем (также 4 операции).



1 литр

4 литра

0

0

1

0

0

1

1

1

0

2


Задача 6. Выливаем "лишнее" молоко из заполненной банки большего объёма в меньшую (2 операции).

1 литр

4 литра

0

0

0

4

1

3


Задача 7. Набираем молока в меньшую банку и переливаем в большую. Затем те же действия повторяем (4 операции).


1 литр

5 литров

0

0

1

0

0

1

1

1

0

2


Задача 8. Заполняем молоком большую банку, отливаем литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из большей (4 операции)

1 литр

5 литров

0

0

0

5

1

4

0

4

1

3


Задача 9. Набираем молока в шестилитровую банку, отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку. Снова заполняем меньшую банку молоком из больше. (4 операции).

1 литр

6 литров

0

0

0

6

1

5

0

5

1

4


Задача 10. Первый способ. Три раза повторяем такие действия - набираем молока из реки в меньшую банку и переливаем в большую. Второй способ. Набираем молока в большую банку, затем трижды повторяем следующую операцию - отливаем один литр в меньшую и выливаем молоко из литровой банки в реку (в последний раз выливать молоко нет необходимости). В обоих случаях потребуется 6 переливаний.

1 литр

6 литров

0

0

1

0

0

1

1

1

0

2

1

2

0

3


Вот так решаются математические задания у компотной реки:

Задача 1. Первый способ. Компот нужно зачерпнуть большим кувшином, два литра перелить в меньший кувшин, из меньшего всё вылить в реку и перелить оставшийся один литр компота из большего кувшина в меньший (4 операции). Второй способ. Наполняем двухлитровый кувшин компотом из реки, и переливаем компот в трёхлитровый. Снова заполняем меньший кувшин компотом и отливаем "излишек" в больший (также 4 операции).


2 литра

3 литра

0

0

0

3

2

1

0

1

1

0


Задача 2. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем вкусную жидкость в трёхлитровый. Снова заполняем меньший кувшин компотом (3 операции): 2 + 2 = 4.


2 литра

3 литра

0

0

2

0

0

2

2

2


Задача 3. Окунаем пятилитровый кувшин в реку и заполняем его компотом. Переливаем два литра компота в меньший кувшин. Опорожняем двухлитровый кувшин. Снова отливаем два литра компота в меньший кувшин. В большем кувшине останется один литр компота (4 операции).

2 литра

5 литров

0

0

0

5

2

3

0

3

2

1


Задача 4. Заполняем пятилитровый кувшин компотом из реки и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).


2 литра

5 литров

0

0

0

5

2

3


Задача 5. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем жидкость в пятилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).


2 литра

5 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4


Задача 6. Начало решения такое же, как и в предыдущей задаче. В конце двухлитровый кувшин в третий раз заполняется компотом из реки (5 операций): 4 + 2 = 6.


2 литра

5 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4

2

4


hello_html_m247bf2eb.gifЗадача 7. Заполняем больший кувшин компотом и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции). Другой путь длиннее.


2 литра

6 литров

0

0

0

6

2

4


Задача 8. Наполняем жидкостью больший кувшин и трижды отливаем по два литра в меньший, дважды его опорожняя (6 операций).


2 литра

7литров

0

0

0

7

2

5

0

5

2

3

0

3

2

1


Задача 9. Набираем компот в семилитровый кувшин и дважды переливаем в двухлитровый, из которого в первый раз компот выливается в реку (4 операции).


2 литра

7 литров

0

0

0

7

2

5

0

5

2

3


Задача 10. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем его в семилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).


2 литра

7 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4


Задача 11. Заполняем семилитровый кувшин компотом и переливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).


2 литра

7 литров

0

0

0

7

2

5


Задача 12. Трижды спускаемся с двухлитровым кувшином к реке за компотом и переливаем жидкость в семилитровый (6 операций).


2 литра

7 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4

2

4

0

6


Задача 13. Начало решения такое же, как в предыдущей задаче, а в конце двухлитровый кувшин в четвёртый раз заполняется компотом из реки (7 операций).


2 литра

7 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4

2

4

0

6

2

6

1

7


Задача 14. Дважды набираем компот из реки в двухлитровый кувшин и переливаем в восьмилитровый (4 операции).


2 литра

8 литров

0

0

0

8

2

6

0

6

2

4


Задача 15. Заполняем восьмилитровый кувшин компотом и отливаем два литра в меньший кувшин (2 операции).


2 литра

8 литров

0

0

0

8

2

6


Задача 16. Наполняем жидкостью девятилитровый кувшин и четырежды отливаем по два литра в меньший, трижды его опорожняя (8 операций).


2 литра

9 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4

2

4

0

6

2

6

0

8

2

8

1

9


Задача 17. Набираем компот из реки в девятилитровый кувшин и трижды переливаем в двухлитровый, из которого дважды жидкость выливается в реку (6 операций

2 литра

9 литров

0

0

0

9

2

7

0

7

2

5

0

5

2

3


Задача 18. Наполняем двухлитровый кувшин компотом и переливаем его в девятилитровый. Затем те же действия повторяем (4 операции).


2 литра

9 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4


Задача 19. Окунаем больший кувшин в реку и заполняем его компотом. Переливаем два литра в меньший кувшин и опорожняем его. Снова отливаем два литра компота из большего кувшина в меньший (4 операции).


2 литра

9 литров

0

0

0

9

2

7

0

7

2

5


Задача 20. Трижды спускаемся с двухлитровым кувшином к реке за компотом и переливаем жидкость в девятилитровый (6 операций).


2 литра

9 литров

0

0

2

0

0

2

2

2

0

4

2

4

0

6


Задачи 21, 22, 23. Нельзя, не удастся.

Задача 24. Правильные варианты ответа: а) в том случае, если ёмкость бочки составляет три литра, б) если внутри бочки есть разметка и др.

Задача 25. Правильные варианты ответа: а) в бочке дырка, б) бочка без дна, в) бочка очень высокая и др.


I. Задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний

1. Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

2. Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]

3. У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

4. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

5. На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

6. (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

7. Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт?

8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9. Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

10. Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

II. Задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов

(при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

Разобравшись с задачами на переливания с помощью сосудов конечного объема, можно перейти ко второму набору задач, в которых вместо одного из сосудов присутствует бесконечный источник или водоем, из которого можно набирать жидкость любое количество раз, а также сливать жидкость в него. Эти задачи можно рассматривать как дополнительные к задачам первого набора.

11.Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

12. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

13. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

14. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

15. Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

16. Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

  1. Современный вариант старинной задачи.

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?


18. Имеются З-литровая банка сока и 2 пустые банки:1 литровая и 2 литровая. Как разлить сок так, чтобы во всех банках было по 1 литру?

19. Имеются 4 литровая банка сока и 2 пустые банки:2 и З литровые. Как налить в каждую из пустых банок по 2 литра сока?

20. Имеются 5 литровая банка сока и 2 пустые банки:2 иЗ литровые. Как, используя только эти банки, оставить в 5 литровой банке 4 литра сока?

21. Имеются 6 литровая банка сока и 2 пустые банки: 3 и4; литровые. Как налить 1 литр сока в 3 литровую банку?

22. Имеются 2 сосуда 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из крана 7 л. воды? 23. 23. Как, имея 2 сосуда 5 л и 7 л, налить из крана 6 л воды?

24. Имеются 2 сосуда 17 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из крана 13 л воды?

25. Как с помощью семилитрового ведра и трёхлитровой банки налить в кастрюлю 5 л воды?

26. Как, имея 2 ведра ёмкостью 4 и 9 литров, налить из крана 6 литров воды?

27. В первый сосуд входит 9 л, во второй-5 л, а в третий-3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные 2 пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л? Как 4 литра?

28. Бидон ёмкостью в 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона в 7 литровый бидон 5 л молока, используя при этом ещё 1 бидон, ёмкостью 3 л. Как это сделать?

29. В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеются ещё 2 пустых сосуда ёмкостью 5 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 литр воды?

30. Имеются 7 литровая банка сока и 2 пустых банки: 3 и 4 литровая. Как налить в 3 литровую 2 л сока?

31. Имея 2 полных 10 литровых бидона молока и пустые 4 литровую и 5литровую кастрюли, отмерьте по2 литра молока в каждую кастрюлю.

32. Имеются 2 сосуда 3 и 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить из крана 4 л воды?

33.В бочке находится не менее 13 вёдер бензина. Как отлить из неё 8 вёдер с помощью 9вёдерной и 5вёдерной бочек?

34.Имеются 3 сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на 2 равные части используя только эти сосуды?

35.Как отмерить 4 литра воды с помощью сосудов в 3 л и 5 л?

36. Бочка в 12 л наполнена керосином. Необходимо разлить на 2 равные части, пользуясь при этом бочками в 5 и 9 литров.

37. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л бензина, пользуясь сосудами в 9 л и 5 л?

38. В бочке 18 л бензина. Имеются 2 ведра ёмкостью 7 л, в которые нужно налить по 6 л бензина. Кроме этого есть черпак в 4 л. Как это сделать?

39. Имеются 3 бочонка ёмкостью 6 л, 3 л и 7л. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 л кваса. Требуется, пользуясь только 3 бочонками разделить квас поровну на 2 части.

40. Имеются 4 бочки. В первую входит 24 ведра. В начале была наполнена она одна; вторая имеет емкость 13 вёдер, третья 11 вёдер, 4-я - 5 вёдер. Требуется содержимое первой бочки разлить на три равные части так, чтобы первые три бочки содержали по восемь ведер, а четвертая оставалась пустой.

41. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

42. Имеется три сосуда без делений объемами 4 л, 5 л, 6 л, кран с водой, раковина и 4 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?

43. Как отмерить 4 л воды с помощью сосудов 5 л и 3 л?

44. Как, имея сосуды в 5 л и 7 л отмерить 6 л воды?

45. Как, имея 2 бидона в 4 л и 5 л налить 3 л воды, в ведро ёмкостью не менее 3 литров?

46. Как, имея 2 сосуда в 4 л и 9 л отмерить 6 л воды?

47. Бидон ёмкостью в 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона в 7 литровый бидон 5 л молока, используя при этом ещё 1 бидон, ёмкостью 3 л. Как это сделать?




Решение

Для учителя в ниже приведенных решениях задач приводятся полные сведения о том, какие количества жидкости и за сколько ходов могут быть получены с помощью сосудов данного объема. Количество действий, необходимых для получения того или иного заданного количества жидкости определяет сложность задачи и помогает учителю оценить работу ученика. Для удобства в конце приведена сводная таблица, в которой данные задачи распределены по сложности.

Так как мы рассматриваем решения задач за наименьшее число ходов, то в задачах 1 и 2 надо сделать поправку (в связи с тем, что объем А больше, чем объемы Б и В в сумме): количество, равное разности объемов A - Б - В (1л в первой и второй задачах) быстрее всего можно получить за два хода, наполнив вначале сосуды Б и В.

Если рассматривать порядок действий с конца, то действия запишутся соответственно в обратном порядке (например, если прямое действие записано как А-Б, то обратное будет записано как Б-А).

Задача 1. Решение возможно за 3 хода.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(2л)

0


10

0

0

1

А-Б

3

7

0

2

Б-В

3

5

2

3

В-А

5

5

0

4

Б-В

5

3

2

5

В-А

7

3

0

6

Б-В

7

1

2

7

В-А

9

1

0

8

Б-В

9

0

1

9

А-Б

2

7

1

10

Б-В

2

6

2

11

В-А

4

6

0

12

Б-В

4

4

2

13

В-А

6

4

0

14

Б-В

6

2

2

15

В-А

8

2

0

16

Б-В

8

0

2

17

В-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2

6 литров - за 3 хода

2 литра - за 1 ход

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 1 ход

4 литра - за 4 хода

9 литров - за 7 ходов

5 литров - за 2 хода

 

Задача 2. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(12л)

Б(8л)

В(3л)

0


12

0

0

1

А-В

9

0

3

2

В-Б

9

3

0

3

А-В

6

3

3

4

В-Б

6

6

0

5

А-В

3

6

3

6

В-Б

3

8

1

7

Б-А

11

0

1

8

В-Б

11

1

0

9

А-В

8

1

3

10

В-Б

8

4

0

11

А-В

5

4

3

12

В-Б

5

7

0

13

А-В

2

7

3

14

В-Б

2

8

2

15

Б-А

10

0

2

16

В-Б

10

2

0

17

А-В

7

2

3

18

В-Б

7

5

0

19

А-В

4

5

3

20

В-Б

4

8

0

21

Б-А

12

0

0


1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода

7 литров - за 3 хода

2 литра - за 4 хода

8 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

9 литров - за 1 ход

4 литра - за 1 ход

10 литров - за 5 ходов

5 литров - за 2 хода

11 литров - за 7 ходов

6 литров - за 3 хода

 



Задача 3. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(7л)

Б(4л)

В(3л)

0


7

0

0

1

А-Б

3

4

0

2

Б-В

3

1

3

3

В-А

6

1

0

4

Б-В

6

0

1

5

А-Б

2

4

1

6

Б-В

2

2

3

7

В-А

5

2

0

8

Б-В

5

0

2

9

А-Б

1

4

2

10

Б-В

1

3

3

11

В-А

4

3

0

12

Б-В

4

0

3

13

В-А

7

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 2 хода

4 литра - за 1 ход

2 литра - за 4 хода

5 литров - за 5 ходов

3 литра - за 1 ход

6 литров - за 3 хода

Задача 4. Решение возможно за 5 ходов.

N

Действие

А(6л)

Б(5л)

В(1л)

0


6

0

0

1

А - Б

1

5

0

2

Б - В

1

4

1

3

В - А

2

4

0

4

Б - В

2

3

1

5

В - А

3

3

0

6

Б-В

3

2

1

7

В-А

4

2

0

8

Б-В

4

1

1

9

В-А

5

1

0

10

Б-В

5

0

1

11

В-А

6

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 1 хода

4 литра - за 2 хода

2 литра - за 3 хода

5 литров - за 1 ход

3 литра - за 4 хода

 

Задача 5. Решение возможно за 8 ходов.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(4л)

0


10

0

0

1

А-В

6

0

4

2

В-Б

6

4

0

3

А-В

2

4

4

4

В-Б

2

7

1

5

Б-А

9

0

1

6

В-Б

9

1

0

7

А-В

5

1

4

8

В-Б

5

5

0

9

А-В

1

5

4

10

В-Б

1

7

2

11

Б-А

8

0

2

12

В-Б

8

2

0

13

А-В

4

2

4

14

В-Б

4

6

0

15

А-В

0

6

4

16

В-Б

0

7

3

17

Б-А

7

0

3

18

В-Б

7

3

0

19

А-Б

3

3

4

20

В-Б

3

7

0

21

Б-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 4 хода

6 литров - ха 1 ход

2 литра - за 3 хода

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 9 ходов

4 литра - за 1 ход

9 литров - за 5 ходов

5 литров - за 7 ходов

 

Задача 6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:

N

Действие

А(10ун)

Б(6ун)

В(4ун)

0


10

0

0

1

А-Б

4

6

0

2

Б-В

4

2

4

3

В-А

8

2

0

4

Б-В

8

0

2

5

А-Б

2

6

2

6

Б-В

2

4

4

7

В-А

6

4

0

8

Б-В

6

0

4

9

В-А

10

0

0

Возможно получение четного количества унций:

2 унции - за 2 хода

6 унций - за 1 ход

4 унции- за 1 ход

8 унций - за 3 хода

Задача 7. Решение возможно за 7 ходов.

N

Действие

А(12п)

Б(8п)

В(5п)

0


12

0

0

1

А-Б

4

8

0

2

Б-В

4

3

5

3

В-А

9

3

0

4

Б-В

9

0

3

5

А-Б

1

8

3

6

Б-В

1

6

5

7

В-А

6

6

0

8

Б-В

6

1

5

9

В-А

11

1

0

10

Б-В

11

0

1

11

А-Б

3

8

1

12

Б-В

3

4

5

13

В-А

8

4

0

14

Б-В

8

0

4

15

А-В

0

8

4

16

Б-В

0

7

5

17

В-А

5

7

0

18

Б-В

5

2

5

19

В-А

10

2

0

20

Б-В

10

0

2

21

А-Б

2

8

2

22

Б-В

2

5

5

23

В-А

7

5

0

24

Б-В

7

0

5

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества пинт:

1 пинта - за 5 ходов

7 пинт - за 1 ход

2 пинты - за 3 хода

8 пинт - за 1 ход

3 пинты - за 2 хода

9 пинт - за 3 хода

4 пинты - за 1 ход

10 пинт - за 5 ходов

5 пинт - за 1 ход

11 пинт - за 9 ходов

6 пинт - за 6 ходов

 

Задача 8. Приготовить можно любое количество порций:

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(5ч)

0


12

0

0

1

А-В

7

0

5

2

В-Б

7

5

0

3

А-В

2

5

5

4

В-Б

2

9

1

5

Б-А

11

0

1

6

В-Б

11

1

0

7

А-В

6

1

5

8

В-Б

6

6

0

9

А-В

1

6

5

10

Б-В

1

9

2

11

Б-А

10

0

2

12

В-Б

10

2

0

13

А-В

5

2

5

14

В-Б

5

7

0

15

А-В

0

7

5

16

В-Б

0

9

3

17

Б-А

9

0

3

18

В-Б

9

3

0

19

А-В

4

3

5

20

В-Б

4

8

0

21

А-В

0

8

4

22

Б-А

8

0

4

23

В-Б

8

4

0

24

А-В

3

4

5

25

В-Б

3

9

0

26

Б-А

12

0

0


1 чашка - за 4 хода

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 3 хода

8 чашек - за 3 хода

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 2 хода

10 чашек - за 11 ходов

5 чашек- за 1 ход

11 чашек - за 5 ходов

6 чашек - за 7 ходов

 

Задача 9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(7ч)

0


12

0

0

1

А-Б

3

9

0

2

Б-В

3

2

7

3

В-А

10

2

0

4

Б-В

10

0

2

5

А-Б

1

9

2

6

Б-В

1

4

7

7

В-А

8

4

0

8

Б-В

8

0

4

9

А-Б

0

8

4

10

В-А

4

8

0

11

Б-В

4

1

7

12

В-А

11

1

0

13

Б-В

11

0

1

14

А-Б

2

9

1

15

Б-В

2

3

7

16

В-А

9

3

0

17

Б-В

9

0

3

18

А-Б

0

9

3

19

Б-В

0

5

7

20

В-А

7

5

0

21

Б-В

7

0

5

22

А-Б

0

7

5

23

В-А

5

7

0

24

Б-В

5

0

7

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества чашек кроме 6:

1 чашка - за 5 ходов

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 2 хода

8 чашек - за 7 ходов

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 6 ходов

10 чашек - за 3 хода

5 чашек- за 1 ход

11 чашек - за 12 ходов



Задача 10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

N

Действие

А(8б)

Б(6б)

В(3б)

0


8

0

0

1

А-Б

2

6

0

2

Б-В

2

3

3

3

В-А

5

3

0

4

Б-В

5

0

3

5

В-А

8

0

0


Возможно получение следующего запаса воды:

2 бочки за 1 ход

5 бочек за 1 ход

3 бочки за 1 ход

6 бочек за 1 ход

Распределение задач по сложности
(в зависимости от сложности - количества ходов - приведены объемы жидкости, которые можно получить путем переливаний с помощью трех сосудов заданного объема)

Например, для задачи 7, т.е. для сосудов объемами 12, 8 и 5 пинт за 1 ход можно получить в каком либо сосуде 4, 5, 7 или 8 пинт. Данные задания могут быть оценены в 1 условный балл. 11 пинт сока для этих же емкостей можно получить не менее, чем за 9 ходов. Значит, данная задача будет "стоить" в 9 раз дороже - 9 условных баллов. Самая сложная задача - N 9, отливание 11 чашек воды из 12-чашечной кастрюльки с помощью 9 и 7-чашечных. Она требует 12 ходов.

N задачи

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Объемы

10-7-2

12-8-3

7-4-3

6-5-1

10-7-4

10-6-4

12-8-5

12-9-5

12-9-7

8-6-3

1 ход

2,3,7,8

3,4,8,9

3, 4

1, 5

3,4,6,7

4, 6

4,5,7,8

3,5,7,9

3,5,7,9

2,3,5,6

2 хода

1, 5

1, 5

1

4

-

2

3

4

2

-

3 хода

по5, 6

6, 7

6

2

2

8

2, 9

2, 8

10

-

4 хода

4

2, по 6

2

3

1

-

-

1

-

-

5 ходов

-

10

5

по 3

9

-

1, 10

11

1

-

6 ходов

-

-

-

-

-

-

6

-

4

-

7 ходов

9

11

-

-

5

-

по 6

6

8

-

8 ходов

-

-

-

-

по 5

-

-

по 6

-

-

9 ходов

-

-

-

-

8

-

11

-

-

-

10 ходов

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

11 ходов

-

-

-

-

-

-

-

10

-

-

12 ходов

-

-

-

-

-

-

-

-

11

-

В таблице приведены данные для формирования 86 (как минимум) вариантов задач на переливания (пересыпания) с различным уровнем сложности - количеством ходов - от 1 до 12 условных баллов.


Задача 11. Задача имеет решение за 4 хода.

N

Действие

А

Б(9л)

В(5л)

0



0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

9

1



Задача 12.Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.

N

Действие

А(6л)

Б(5л)

В(1л)

0



0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

6

Б-В

3

4

3


Задача 13.Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро:

N

Действие

А

Б(900г)

В(500г)

0



0

0

1

Б

0

900

0

2

Б-В

0

400

500

3

В-А

500

400

0

4

Б-В

500

0

400

5

Б

500

900

400

6

Б-В

500

800

500

7

В-А

1000

800

0

8

Б-В

1000

300

500


Задача 14. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.

N

Действие

А

Б(9л)

В(4л)

0



0

0

1

Б

0

9

0

2

Б-В

0

5

4

3

В-А

4

5

0

4

Б-В

4

1

4

5

В-А

8

1

0

6

Б-В

8

0

1

7

Б

8

9

1

8

Б-В

8

6

4


Задача 15. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.

N

Действие

А

Б(7л)

В(3л)

0



0

0

1

Б

0

7

0

2

Б-В

0

4

3

3

В-А

3

4

0

4

Б-В

3

1

3

5

В-А

6

1

0

6

Б-В

6

0

1

7

Б

6

7

1

8

Б-В

6

5

3


Задача 16. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.

N

Действие

А

Б(17л)

В(5л)

0



0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

10

0

5

В

0

10

5

6

В-Б

0

15

0

7

В

0

15

5

8

В-Б

0

17

3

9

Б-А

17

0

3

10

В-Б

17

3

0

11

В

17

3

5

12

В-Б

17

8

0

13

В

17

8

5

14

В-Б

17

13

0


Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5- литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.


Задача 17. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу второго типа, а потом вариант первого типа.

Сначала получим 7 литров с помощью 5-ти и 3-х-литровых сосудов:

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0



0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2


Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:

N

Действие

А(7л)

Б(5л)

В(3л)

0


7

0

0

1

А-В

4

0

3

2

В-Б

4

3

0

3

А-В

1

3

3

4

В-Б

1

5

1


Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить один литр из бочки.


Задача 18. Задача решается за 3 хода.

3 л сосуд

1 л сосуд

2 л сосуд

3

0

0

2

1

0

2

0

1

1

1

1


Задача 19. Задача решается за 2 хода.

4 л сосуд

2 л сосуд

3 л сосуд

4

0

0

2

2

0

0

2

2


Задача 20. Задача решается за 3 хода.

5 л сосуд

2 л сосуд

3 л сосуд

5

0

0

2

0

3

2

2

1

4

0

1


Задача 21. Задача решается за 4 хода.

6 л сосуд

3 л сосуд

4 л сосуд

6

0

0

2

0

4

2

3

1

5

0

1

5

1

0


Задача 22. Задача решается за 5 ходов.

8 л сосуд

5 л сосуд

0

0+5

0

5

5

0+5

5

5

8

2

0

2

2

0+5

2

5

7

0


Задача 23. Задача решается за 7 ходов.

5 л сосуд

7 л сосуд

0+5

0

5

0

0+5

5

5

5

3

7

3

0

0+5

3

5

3

1

7

1

0

0

1

5

1

0

6


Задача 24.

17 л сосуд

5 л сосуд

0+17

0

17

0

12

5

7

5

2

5

0+17

2

17

2

14

0

9

0

4

0

0+17

4

17

4

16

0

11

0

6

0

1

0

0+17

1

17

1

13

5


Задача 25.

7 л сосуд

3 л сосуд

Не менее 5 л сосуд

0

0

0

7

0

0

4

3

0

4

0

0

1

3

0

1

0

0

0+7

1

0

7

1

0

5

3

0

0

3

5


Задача 26.

4 л сосуд

9 л сосуд

0

0+9

0

9

4

5

0

5

4

1

0

1

1

0+9

1

9

4

6


Задача 27.

9 л сосуд

5 л сосуд

3 л сосуд

9

0

0

4

5

0

1

5

3


Задача 28.

10 л сосуд

7 л сосуд

3 л сосуд

10

0

0

7

0

3

7

3

0

4

3

3

4

6

0

1

6

3

1

7

2

8

0

2

8

2

0

5

2

3

5

5

0


Задача 29.

8 л сосуд

5 л сосуд

3 л сосуд

8

0

0

5

0

3

5

3

0

3

5

0

3

2

3

6

2

0

6

0

2

1

5

2


Задача 30.

7 л сосуд

3 л сосуд

4 л сосуд

7

0

0

4

3

0

4

0

3

1

3

3

1

2

4


Задача 31.

10 л сосуд

10 л сосуд

4 л сосуд

5 л сосуд

10

10

0

0

10

5

0

5

6

5

4

5

6

9

0

5

10

9

0

1

10

9

1

0

10

4

1

5

10

4

4

2

10

8

0

2

6

8

4

2

6

10

2

2


Задача 32.

3 л сосуд

5 л сосуд

0

0+5

0

5

3

2

0

2

2

0+5

2

5

3

4


Задача 33.

Не < 13 литров

Не < 13 литров

0

0

Не < 4 литров

9

0

Не < 4 литров

4

5

Не < 0 литров

8

5


Задача 34.

8

0

0

3

5

0

3

2

3

6

0

2

1

5

2

1

4

3

4

4

0


Задача 35.

0

0

0

5

3

2

0

2

2

0

2

5

3

4


Задача 36.

12л

12

0

0

3

0

9

0

3

9

0

5

7

5

0

7


Задача 37.

Не < 10л

5л

9л

Не < 10

0

0

Не < 1

0

9

Не < 1

5

4

Не < 6

4

0

Не < 0

4

6


Задача 38.

18л

18

0

0

0

11

7

0

0

11

3

0

4

4

3

7

4

8

3

7

0

8

3

3

4

8

6

0

4

1

6

7

4

5

6

7

0

5

6

3

4

9

6

3

0

9

6

0

3

2

6

7

3

2

6

6

4

6

6

6

0


Задача 39.

4

0

6

4

3

3

6

1

3

2

1

7

2

3

5

5

0

5


Задача 40.

24л

13л

11л

24

0

0

0

11

13

0

0

11

8

0

5

16

0

8

0

3

13

8

0

3

8

8

5

8

8

8

0

Задача 41.

В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.


бочка

ведро

бидон

не менее 10

0

0

не менее 5

0

5

не менее 5

5

0

не менее 0

5

5

не менее 0

9

1

не менее 9

0

1

не менее 9

1

0

не менее 4

1

5

не менее 4

6

0

Задача 42.

4-литровый сосуд

5-литровый сосуд

6-литровый сосуд

4 л сиропа

0

0

0

4 л сиропа

0

4 л воды

4 л сиропа

0

0

4 л сиропа

4 л воды

4 л воды

4 л сиропа

4 л воды

2 л воды

4 л сиропа

6 л воды

2 л воды

4 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

2 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

0

2 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

2 л сиропа

2 л сиропа

2 л воды, 2 л сиропа

0

2 л воды, 2 л сиропа

2 л воды, 2 л сиропа

0


Задача 43.

5 л сосуд

3 л сосуд

0

3

3

0

3

3

5

1

0

1

1

0

1

3

4

0


Задача 44.

5 л сосуд

7 л сосуд

0

7

5

2

0

2

2

0

2

7

5

4

0

4

4

0

4

7

5

6


Задача 45.

5 л сосуд

4 л сосуд

Не менее 3 л

0

4

0

4

0

0

4

4

0

5

3

0

5

0

3

Задача 46.


9 л сосуд

4 л сосуд

9

0

5

4

5

0

1

4

1

0

0

1

9

1

6

4











Задача 47.

10 л сосуд

7 л сосуд

3 л сосуд

10

0

0

3

7

0

3

4

3

6

4

0

6

1

3

9

1

0

9

0

1

2

7

1

2

5

3



Краткое описание документа:

данное пособие рассчитано на всех желающих научиться решать задачи на переливания и отработать эти навыки. В пособии представлены методические рекомендации к решению задач;  сказка Страна волшебных рек, где  представлены самые простейшие задачи на переливания;  задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух дополнительных пустых сосудов за наименьшее число переливаний, задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов  и  подборка задач на отработку навыков.

 

Сборник  могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение. А также будет полезно и для учеников, которое желают расширить и углубить свои знания по математике.

Автор
Дата добавления 04.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров3872
Номер материала 171672
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх