Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник задач практического содержания по теме: «КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сборник задач практического содержания по теме: «КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_72a67c2c.gifhello_html_72a67c2c.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_2a486eb7.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m8f2809b.gifhello_html_m69a5bc42.gifhello_html_60eb11f6.gifМинистерство образования и науки Челябинской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

(среднее специальное учебное заведение)

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»











Сборник задач практического содержания по теме:

«КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
































Челябинск, 2015 год

Одобрены

Цикловой методической комиссией

блока ЕН дисциплин








Составитель: Е.А. Кондратьева, преподаватель математики


Рецензенты: М.А. Вуйлова, преподаватель математики, методист ГБОУ СПО (ССУЗ) «Южно-Уральский многопрофильный колледж»

Л.И. Кундель, преподаватель математических дисциплин ГБОУ СПО (ССУЗ) «Челябинский техникум текстильной и лёгкой промышленности»






В сборнике представлены задачи с решениями по темам математики: комбинаторика, статистика и теория вероятностей для студентов 1 курса, обучающиеся через балльно-рейтинговую систему как инструмент системы зачётных единиц.

Данные задачи используются для выполнения практических занятий через обязательные результаты обучения в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика».

Все задачи имеют прикладную (профессиональную) направленность с целью усвоения знаний и освоения умений по комбинаторике, теории вероятностей и математической статистики.

Сборник входит в КУМО дисциплины «Математика» для студентов 1 курса гуманитарных и финансово-экономических направлений ССУЗов.







Задача №1 .

В денежно – вещевой лотерее на серию 300 000 билетов приходится a -денежных , b- вещевых и с- золотых выигрышей.

Какова вероятность получить:

  1. денежный выигрыш;

  2. вещевой выигрыш;

  3. золотой выигрыш;

  4. выигрыш вообще;

  5. ничего не выиграть.

Ответ выразить в процентах.

Указание:1).Числа a , b и с выбираются по формулам:

a = 1000 k-3m, b = 1500 n + 23, c = 4000 m – 20k, где k, n и m-порядковые номера в русском алфавите буквы, с которой начинаются соответственно фамилия , имя и отчество студента.

2).В последующих задачах №1- 4 выбор чисел через k, m, n осуществляется таким же образом. Пусть к=2 (Божко), n=10 (Ирина), m=19 (Сергеевна).

Решение.

а=1000*2-3*19=2000-57=1943

b=1500*10+23=15023

с=4000*19-20*2=76000-40=75960

1. А – событие получить денежный выигрыш

hello_html_791237bc.gif

hello_html_m5d8eef33.gif

2. В – событие получить вещевой выигрыш

hello_html_m5ee84783.gif

hello_html_1cc690aa.gif


3. С – событие получить золотой выигрыш


hello_html_m61202256.gif

hello_html_m29131ac6.gif


4. D – событие получить выигрыш вообще

hello_html_m5eef94dd.gif

hello_html_6595b73f.gif

5. Е – событие ничего не выиграть или событие противоположное событию D является hello_html_m52daf10e.gifhello_html_27f06932.gif

hello_html_1fdcaea5.gif

Р(D) =100-30,65=69,35%.


Ответ: 0,65 %; 5%; 25%; 30,65%; 69,35%.


Задача №2 .

Ежемесячно в течение 5 месяцев велся учёт качества обучения студентов техникума. Распределение случайной величины Х по закону следующее:

2+2n

4

6+m

35-k

10+2k

1

4

1

8

1

4

1

8

1

4

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Изобразить графически статистические данные.

Решение.

hello_html_m15345b05.gif

22

4

25

33

14

hello_html_493637c3.gif

hello_html_685d8d49.gif

hello_html_m6e3ecaf7.gif

hello_html_685d8d49.gif

hello_html_m6e3ecaf7.gif

hello_html_685d8d49.gif


hello_html_m541b3c30.gif

hello_html_m382afc3f.gif



hello_html_7f2f96b8.gif


D х =MХ2-M2Х

hello_html_m1e00d2f8.gif


hello_html_6b833246.gif

M(Х)2 =hello_html_195e3951.gif*222+hello_html_39fe566d.gif*42+hello_html_195e3951.gif*252+hello_html_39fe566d.gif*332+hello_html_195e3951.gif*142=hello_html_195e3951.gif(484+625+196)+hello_html_39fe566d.gif(16+1089)=hello_html_m6d511dde.gif=464,4


hello_html_m317c818c.gif

hello_html_1a7022aa.gif

5 10 15 20 25 30 35



Pi







Полигон частот







Хi



Ответ: 19,9; 68,39; 8,3.


Задача №3 .

Ежедневно в течение 30 дней велся учет Х посетителей нотариальной конторы. Количество посетителей по дням следующее:

92;

96;

2k + 1;

n + 13;

m+25;

50;

204-3m;

91;

84;

29;

m + n;

k+1;

n + k;

96;

84;

121-n;

321-4k;

78;

88;

44;

90;

94;

400-4k;

300-4n;

200-5n;

4 + k;

2k + n;

2m + k;

69;

101;


Событие А заключается в том, что ежедневное количество посетителей является нечетным числом.

Событие В заключается в том, что ежедневное количество посетителей заключено между числами 68 и 102.

Определить:

1. а) вероятности p(A) и p(B) событий А и В; вероятности пересечения и

объединения событий А и В; условные вероятности p(A/B) и p(B/A).

b) Зависит ли событие А от события В?

c) Зависит ли событие В от события Ā?

d) Совместимы события А и В? А и В?

2. Для случайной величины Х определить

  1. Множество значений принимаемых хi;

  2. Вероятности p(Xi) = pi.

  3. Математическое ожидание М (Х).

  4. Дисперсию D(X).

Решение.

С учетом данных k, m, n .

Всего посещений:

92;96;5;23;44;69;147;50;91;84;29;3;12;96;84;111;313;78;88;44;90;94;392;260;150;6;14;40;

69; 101.

События:

A={5;23;69;147;91;29;3;111;313;69;101},

B={92;96;69;91;84;96;84;78;88;90;94;69;101}.

1. а.

Вероятности Р(А) и Р(В) событий А и В

hello_html_m636f452f.gif

где hello_html_m13d74c71.gif= 11 и n = 30

hello_html_mdb20be1.gif

hello_html_m2d6b90f0.gif

где hello_html_m26cb68af.gif= 13 и n =30

hello_html_m2fe738b5.gif

Вероятности пересечения событий А и В

hello_html_m616f9b07.gif

где А∩В ={общие элементы для событий А и В}

Общие элементы для А и В = {69; 91; 69; 101}=4 эл.

Р (А∩В)= 2/15

Вероятности объединения событий А и В

hello_html_m6efc402a.gif

где АВ={элементы из множества А и недостающие элементы из множества В} АВ={5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69; 101; 92; 96; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94} =20 hello_html_m1e5a2ce4.gif

Условные вероятности Р (А/В) и Р (В/А)

hello_html_m59da0984.gif

hello_html_2b1e52e8.gif

P(B/A)=hello_html_m18232124.gifhello_html_m62a00377.gif

P(B/A)=hello_html_5b2c2044.gif *hello_html_m594f0ce4.gifhello_html_m62a00377.gif=hello_html_71c387cb.gif.


1b. Зависит ли событие А от события В.

События зависимы, если Р (А/В)hello_html_m530e5cb2.gifhello_html_7eeb9f88.gifhello_html_m530e5cb2.gifР(А)

hello_html_m12492a6a.gif


hello_html_6eb9bd49.gif

1.с. Зависит ли событие В от события hello_html_41c8538f.gifhello_html_m24eb6df0.gifhello_html_41c8538f.gif

P(B/hello_html_60c4617e.gif)=hello_html_637dd6b4.gifhello_html_m62a00377.gifhello_html_m62a00377.gif

А = {5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69;101} = 11эл.

hello_html_mf945240.gifэл.

hello_html_695ec1ca.gifВ = {92; 96; 69; 91; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94; 69; 101} =13эл.

m(Bhello_html_m57e80d34.gifhello_html_258dabb7.gif) ={92; 96; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94} = 9 эл.

hello_html_1c93cb94.gif

hello_html_9c21bb0.gif

1.d. Совместимы ли события А и В?

События А и В совместимы, если А∩Вhello_html_m559de350.gif0hello_html_16fdee67.gif

А∩В=4 эл.; 4hello_html_m4239defc.gifсовместны

Совместимы ли события А и hello_html_6b9fadc4.gifhello_html_m478f0749.gif?

События А и hello_html_6b9fadc4.gifhello_html_m478f0749.gif совместны, если hello_html_7188ad19.gif А∩hello_html_6b9fadc4.gifhello_html_m478f0749.gifhello_html_m559de350.gif0hello_html_16fdee67.gif

А ={5; 23; 69; 147; 91; 29; 3; 111; 313; 69; 101} = 11эл.

В = {92; 96; 69; 91; 84; 96; 84; 78; 88; 90; 94; 69; 101} = 13эл.

hello_html_6b9fadc4.gifhello_html_m478f0749.gif = {5; 23; 44; 147; 50; 29; 3; 12; 111; 313; 44; 392; 260; 150; 6; 14; 40} = 17 эл.

hello_html_m62a00377.gifAhello_html_mb8012c0.gif= {5; 23; 147; 29; 3; 111; 313} = 7 эл. Значит, 7hello_html_m4ece31b3.gifhello_html_16fdee67.gifсобытия А и В совместны.

2. а.

Множество значений принимаемых Хi – количество дней в задаче, т.к. в условии 30 дней, то Хi=30.

2.b. Вероятности Р(Х=Хi)=Pi

hello_html_1c9f3734.gif

т.к. количество элементов в задаче 30 (30 дней), а благоприятных исходов 1 (исход по дням - равновероятен).

2.с. Математическое ожидание М (х)

hello_html_53dd37ff.gif


Mх =hello_html_m174435f2.gif(92+96+5+23+44+69+147+50+91+84+29+3+12+96+84+111+313+78+88+44+90+94+


+392+260+150+6+14+40+69+101 ) =


hello_html_519b3fb1.gif

2.d. Дисперсия D(х)

Dх = Mх2-M2х


hello_html_177b2499.gif

M(Х)hello_html_3046c012.gif=Mхhello_html_3046c012.gif=hello_html_m174435f2.gif(922+962+52+232+442+692+1472+502+912+842+292+32+122+962+842+1112+

+3132 +782+882+442+902++942+3922+2602+1502+62+142+402+692+1012 )hello_html_m3543dfb4.gifhello_html_3712a1d4.gif=


hello_html_m46fdfec6.gif

hello_html_2c9e2958.gif

hello_html_516e20fb.gif

hello_html_67c6ca35.gif

Dx=16155,03-8556,25=7598,78.


Ответ: Мх=92,5; Dх=7598,78.



Задача № 4.

Среди 90k+3n-2m юристов составляют 4n+1 кандидаты юридических наук. Какова вероятность того, что выбранные три юриста для избрания в депутаты Государственной Думы, будут кандидатами юридических наук? Ответ выразить в процентах.

Решение.

90k+3n-2m=90*2+3*10-2*19=172

4n+1=4*10+1=41

А – событие, которое определяет, что выбранные три юриста для избрания в депутаты Государственной Думы, будут кандидатами юридических наук.

hello_html_5f681c41.gif

где m – благоприятный исход;

n – всего исходов.

n - ?

Сочетание без повторений

hello_html_m3d19446b.gif

m -?

Сочетание без повторений

hello_html_59ef4de9.gif

hello_html_m724420fc.gif

hello_html_239c98de.gif

Ответ: 1,3 %.


Задача № 5.

Замок имеет семизначный цифровой шифр. Наугад выбираются семь цифр. Какова вероятность открыть при этом замок, если известно, что в коде все цифры различны.

Ответ выразить в процентах.

Решение.

А – событие открыть замок

hello_html_5f681c41.gif

где m – благоприятный исход

n – всего исходов

n - ?

10 цифр (0, 1, 2, 3,…,9)

Размещение без повторений

hello_html_m19384abf.gifhello_html_48171f82.gif

m=1, т.к. замок откроется только при одном наборе цифр.

hello_html_1354b63c.gif

Ответ: 0,00016%.



Задача № 6.

Вероятность встретить реку, загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и обоими факторами Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05.

Найти:

а) вероятность того, что река загрязняемая временным фактором будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. Р (А/В)?

б) вероятность того, что загрязняемая постоянным фактором, будет загрязнена и временным фактором, т.е. Р(В/А)?

Решение.

Р(А/В)hello_html_m924edb0.gif

Р (В/А)hello_html_3e8fb789.gif

Ответ: 0,5; 0,125.


Задача № 7.

Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут равна 0,7.

В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями

находятся только что родившиеся два организма. Какова вероятность того, что через

20 минут они будут живы?

Решение.

Обозначим:

А – событие, что I организм жив через 20 минут;

В – событие, что II организм жив через 20 минут.

События А и В – независимы, считаем, что между ними нет внутривидовой конкуренции.

Событие, что оба организма живы, есть событие Аhello_html_m759a56a1.gif, то по правилу вероятности умножения независимых событий Р(Аhello_html_m759a56a1.gif)hello_html_m3af886ff.gif

Ответ: 0,49.


Задача № 8.

Партия деталей изготовляется тремя рабочими:1рабочий – 60% всех деталей,

2рабочий– 30% всех деталей,

3рабочий– 10% всех деталей.

Из них, бракованных 1 рабочим допускаются 10%,

2 рабочим – 7%,

3 рабочим – 1%.

Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь является бракованной.

Решение.

Обозначим:

А – наудачу взятая деталь является бракованной.

Н12, Н3 – полная группа несовместимых событий соответственно для 1 рабочего, 2 рабочего, 3 рабочего.

Р(А) = hello_html_7dbaca90.gif(А/Нi) Р(Нi) = Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) + Р(А/Н3) Р(Н3), где Р(А/Н1) = hello_html_4e50609c.gif Р(А/Н2) = hello_html_m1e217d12.gifР(А/Н3) = hello_html_m7966bd42.gif

Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1.

Р(А) = 0,1 0,6 + 0,3 hello_html_7e6cc508.gif0,07 + 0,1 0,01 = 0,06 + 0,021 + 0,001 = 0,082 (0,82%).

Ответ: 0,082 (0,82%).


Задача № 9.

В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое больше чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95%, для второго цеха – 90%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие.

Найти вероятность того, что оно окажется изделием высшего качества.

Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества?

Решение.

Обозначим:

А – выбранное изделие является изделием высшего качества;

Н1 и Н2 – 2 гипотезы, соответственно: выбранное изделие изготовлено в первом

цехе; выбранное изделие изготовлено во втором цехе.

Р(Н1) = hello_html_6a1c94eb.gif и Р(Н2) = hello_html_7f8f9891.gif (по условию задачи: производительность в 2оев 1 цехе, чем во 2 цехе).

Р(А/Н1) = 0,95 = hello_html_m2f4a2274.gif, Phello_html_52b2d7d5.gif(А/Н2) = hello_html_a5deafe.gif.

По формуле полной вероятности:

Р(А) = hello_html_6aad2fcc.gif(А/Нi) Р(Нi) = hello_html_485f346.gif(А/Нi)hello_html_7e6cc508.gif Р(Нi) = Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) = =0,95. hello_html_5d256b0d.gif

По формуле Байеса:

Р(Н2/А)=hello_html_55741ad3.gif.

Ответ:0,321.

Задача № 10.

Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно – сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно: 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно – сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Решение.

Обозначим:

А – случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно – сосудистое заболевание;

Н1 – человек придерживался специальной диеты;

Н2 – человек принадлежал к контрольной группе.


Р(Н1) = Р(Н2) = hello_html_25ea8cfd.gif т.к. вероятные события этих групп – равновероятны

Р(А/Н1) = hello_html_1c1b4133.gif Р(А/Н2) = hello_html_42e12d57.gif


По формуле полной вероятности:

Р(А) = hello_html_6aad2fcc.gif(А/Нi) hello_html_7e6cc508.gifР(Н1) = hello_html_485f346.gif(А/Нi)hello_html_7e6cc508.gifР(Нi) = Р(А/Н1)hello_html_7e6cc508.gifР(Н1) + Р(А/Н2)hello_html_7e6cc508.gifР(Н2) = 0,31hello_html_m1869b4de.gif


Искомая вероятность (по формуле Байеса):

Р(Н2/А) = hello_html_a084acb.gif

Ответ:0,6076(60,76%).


Задача № 11.

В некоторый день на фабрике из 1000 изготовленных спичек 8 бракованных.

Найти относительную частоту события «выпущена бракованная спичка».

Решение.

Пусть А – событие «выпущена бракованная спичка, то относительная частота hello_html_m584e2318.gif

Ответ:0,008 (0,8%).


Задача № 12.

Для оценки числа рыб в озере отловили 100 рыб, пометили их и выпустили назад

в озеро. Через несколько часов поймали 120 рыб, среди них оказалось 3 меченных.

Что можно сказать о числе рыб в озере?

Решение.

1. Пусть в озере n рыб. Тогда вероятность поймать наудачу меченную рыбу: hello_html_57062d41.gif

2. Относительная частота меченных рыб среди 120 отловленных равна: hello_html_m7976baa.gif.

При большом количестве опытов, проведенных в одинаковых условиях,

вероятность события P(A) примерно равна его относительной частоте, т.е. hello_html_m6b4d264c.gif, n=4000.

Ответ:4000.


Задача № 13.

Из ящика, содержащего 20 годных и 5 бракованных деталей, наудачу извлекают 2 детали. Чему равна вероятность того, что обе детали годны?

Решение.

1.Порядок выбора деталей неважен.

hello_html_3429bb8e.gif

выборка неупорядоченная,

без повторений

hello_html_3429bb8e.gif

сочетание hello_html_m39e0aa9f.gif

2. hello_html_m5a42139a.gifнеупорядоченная выборка, без повторений, из 20 по2

hello_html_m41ff0105.gif

Ответ:0,633(63,3%).


Задача №14.

Из 1000 произвольно выбранных деталей 4 бракуются. Сколько бракованных

окажется среди 2400 деталей? Вычислить приближенно.

Решение.

Пусть А - событие бракованных деталей.

hello_html_76c2b413.gifhello_html_3a1cab4.gif

hello_html_m53168c97.gif; hello_html_m689f2098.gifдеталей

Ответ:10 деталей.


Задача № 15.

В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают 2

растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?

Решение.

Всего событий – 2:

А – выбирают первое растение здоровое;

В – выбирают второе растение здоровое.

События А и В – совместные, т.к. одно не исключает появление другого.

hello_html_a7360a3.gif , где hello_html_m13a8c00d.gif ;

hello_html_34fa1019.gif

hello_html_m29ed9f9f.gif

hello_html_1c8a8abe.gif

Ответ:0,9975(≈100%).


Задача № 16.

Из партии изделий, ОТК проверяет половину и признает годной всю партию, если среди изделий бракованных не более одной. Какова вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой две бракованных, будет признана годной?

Решение.

Пусть A - событие, что среди проверяемых изделий бракованных не окажется.

B – событие, что среди отобранных для проверки изделий одно бракованное.

A и B – несовместимы hello_html_m23785cf1.gifhello_html_m24efbac1.gif

hello_html_m19be948.gif

hello_html_41b210f2.gif

hello_html_m33702890.gif

Ответ:hello_html_37f5b5d7.gif.


Задача № 17.

Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные – в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение.

Пусть A – событие выбора детали отличного качества

H1, H2,H3 – (события) гипотезы заключаются в том, что выбранная деталь изготовлена в соответствии в I, во II, и в III цехах.

hello_html_4b50e92f.gif; hello_html_56120024.gif; hello_html_m3387d5b6.gif.

Условные вероятности события A при условии, что имеют место гипотезы H1, H2,H3 заданы, причем

hello_html_m67f9d308.gifhello_html_m23785cf1.gifA,H1,H2,H3-независимые события hello_html_29ea4a1.gif

Ответ:0,78.


Задача № 18.

Что вероятнее: выиграть у равносильного партнера три партии из четырех или пять партий из восьми? (Ничья исключается).

Решение.

Всего 100% - все партии

1.Три партии из четырех – 75% очков;

2.Пять партий из восьми –

hello_html_m67ad4d40.gifhello_html_2fff7bf5.gif×5=62,5% очков.

Одерживать верх в борьбе с равносильным партнером в более продолжительном турнире сложнее, чем в менее продолжительном.

hello_html_m1799e5cb.gif

Следовательно:

Р4(3) Р8(5).

Ответ: Вероятность выиграть у равносильного партнера три партии из четырех , чем вероятность выиграть у него пять партий из восьми.








Краткое описание документа:

В сборнике представлены задачи с решениями по темам математики: комбинаторика, статистика и теория вероятностей для  студентов 1 курса, обучающиеся через балльно-рейтинговую систему как инструмент системы зачётных единиц.

Данные задачи используются для выполнения практических занятий через обязательные результаты обучения в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика».

Все задачи имеют прикладную (профессиональную) направленность с целью усвоения знаний и освоения умений по комбинаторике, теории вероятностей и математической статистики.

Сборник входит в КУМО дисциплины «Математика» для студентов 1 курса гуманитарных и финансово-экономических направлений ССУЗов.

Автор
Дата добавления 06.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров928
Номер материала 557556
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх