Сборник задач Прикладная геометрия

Муниципальное общеобразовательное учреждение

основная общеобразовательная школа № 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прикладная геометрия

 

Сборник задач с решениями

 

 

 

 

 

Мыски

2010

 

 

 

 

 

 

Составители: Аверьянова Н.Б., Жгут Н.И., Ростовцева Ю.В., Солопова А.М., Шабалова О.Ю.

 

 

 

 

 

 

 

Прикладная геометрия. Сборник задач с решениями.

 

 

Стандарты образования предполагают умение использовать полученные знания в практической деятельности. В курсе геометрии рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Такие задания являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Обучающиеся учатся применять необходимые формулы, овладевают практическими приёмами геометрических измерений и построений.

В сборник вошли задачи, предложенные для решения на городском физико-математическом турнире обучающихся 10-11 классов. Сборник адресован школьникам, учителям, всем любителям математики и физики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи, стоимостью 5 баллов

1.      Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в четыре раза меньше?

 

Ответ, что игрушечный кирпичик весит 1 кг, то есть всего вчетверо меньше, грубо ошибочен. Кирпичик ведь не только вчетверо короче настоящего, но и вчетверо уже да еще вчетверо ниже, поэтому объем и вес его меньше в 4х4х4 = 64 раза. Правильный ответ, следовательно, таков: игрушечный кирпичик весит 4000 : 64 = 62,5 г.

 

2.      Лампочка висит на расстоянии 2 м от пола. Считая лампочку точкой ответьте какую фигуру представляет собой множество точек плоскости пола, равноудаленных от лампочки на 3 м?

Ответ: Окружность.

3.      Из 35 спичек выложена большая спираль. Переложите 4 спички так, чтобы получилось 3 квадрата.

Ответ:

 

4.      Как в тетрадном листочке вырезать дыру, в которую сможет пролезть слон?

Ответ:

 

 

 

 

 

 

5.      Как расположить 12 момент в 6 рядов, по 4 монеты в каждом?

Ответ:  

 

6.      Существует ли замкнутая ломаная линия, пересекающая каждое свое звено ровно один раз и состоящая из 13 звеньев?

Ответ: Нет, так как число звеньев должно быть в 2 раза больше числа точек самопересечения, т.е. должно быть четным.

7.      Из 50 звеньев, одно из которых изображено на рисунке, составлена цепь. Какова длина цепи?

Ответ: 12х50 + 3х2 = 606 мм

 

8.      Угол 1,5˚ рассматривают в лупу, увеличивающую в четыре раза. Какой величины покажется угол?

Ответ: Если вы полагаете, что в лупу угол наш окажется величиной в 1,5˚х4 =6˚, то дали промах. Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу. Правда, дуга, измеряющая угол, несомненно увеличивается, но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остается без изменения.

 

9.      Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в 1,5 раза шире. Которая кружка вместительнее?

Ответ: Та кружка, которая в 1,5 раза шире. Так как была бы вместительнее в (1,5)² , то есть в 2,25 раза. Так как она все же она ниже только в два раза, но в конечном итоге она все же вместительнее, чем высокая кружка.

 

10.   Паркетчик, вырезая квадраты из дерева, проверял их так: он сравнивал длины сторон, и если все четыре стороны были равны, то считал квадрат вырезанным правильно. Надежна ли такая проверка?

Ответ: Такая проверка недостаточна. Четырехугольник мог выдержать это испытание, не будучи вовсе квадратом. Примером таких четырехугольников, у которых все стороны равны, но углы вовсе не прямые являются ромбы.

 

11.   Из одного и того же материала изготовлено четыре сплошных куба различной высоты, а именно в 6 см, 8 см, 10 см и 12 см. Надо разместить их на весах так, что бы чашки были в равновесии. Какие кубы или какой куб положите вы на одну чашку и какие (или какой) на другую?

Ответ: На одну чашку надо положить три меньших куба, а на другую один большой. Нетрудно установить, что весы должны остаться в равновесии. Покажем для этого, что сумма объемов трех меньших кубов равна объему самого большего. Это вытекает из равенства:

6³ + 8³ + 10³ = 12³,

то есть

216 + 512+1000= 1728.

 

12.   Существует мнение, что стол о трех ногах никогда не качается, даже если ножки его и неравной длины. Верно ли это?

Ответ: Трехногий стол всегда может касаться пола концами своих трех ножек, потому что через каждые три точки пространства может проходить плоскость, и притом только одна; в этом причина того, что трехногий стол не качается. Как видите, она чисто геометрическая, а не физическая. Вот почему так удобно пользоваться треногами для землемерных инструментов и фотографических аппаратов. Четвертая нога не сделала бы подставку устойчивее; напротив, пришлось бы тогда всякий раз заботиться о том, чтобы она не качалась.

 

13.   Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту 4 км над Землей (радиус Земли примерно равен 6370 км)?

Ответ:

По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть   OTM = 90^о. MO = 6370 +4= = 6374 км, тогда по теореме Пифагора:

MT ² + OT ² = MO ²

MT ² = MO ² – OT ²

MT = 112,9 км

 

14.   В 40 метрах одна от другой растут две сосны. Высота одной 31 м, другой – 6 м. Вычислить расстояние между их верхушками.

Ответ:

СD – AB = 31 – 6 = 25 м

BD = 40 м

ΔBDC – прямоугольный, по th Пифагора

BC² = BD²  + CD²

BC = 47,17 м

 

 

 

 

 

15. Величина угла на местности часто определяется линейными промерами. На сторонах угла откладывают отрезки  АВ = АС = 10 м и измеряют ВС. Какова величина угла, если ВС = 12 м?

Ответ: Пусть D — середина ВС. Тогда AD — высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Из прямоугольного треугольника ADB имеем:

 

Задачи, стоимостью 10 баллов

1.      Какой гвоздь держится крепче в деревянной стене — круглый, квадратный или треугольный, если забивают их на одну глубину и площади их поперечных сечений равны?

Ответ: Треугольный, так как он имеет наибольшую боковую поверхность.

 

2.      Почему передняя ось телеги больше стирается и чаще загорается, чем задняя?

Ответ: На первый взгляд задача эта кажется не относящейся вовсе к геометрии. Но в том-то и состоит овладение этой наукой, чтобы уметь обнаруживать геометрическую основу задачи там, где она замаскирована посторонними подробностями. Наша задача по существу безусловно геометрическая: без знания геометрии ее не решить.

Итак, почему же передняя ось телеги стирается больше задней? Всем известно, что передние колеса меньше задних. На одном и том же расстоянии малый круг оборачивается большее число раз, чем круг покрупнее; у меньшего круга и окружность меньше — оттого она укладывается в данной длине большее число раз. Теперь понятно, что при всех поездках телеги передние ее колеса делают больше оборотов, нежели задние, а большее число оборотов, конечно, сильнее стирает ось.

 

3.      Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м?

Ответ: Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое большем росте человек имеет объем не вдвое, а в восемь раз больший. Значит, наш великан весит больше карлика раз в восемь.

 

4.      Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем каждая точка наших ступней. Как велика эта разница?

Ответ: Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем: 2 X 3,14 X (R + 175) - 2 X 3,14 X R = 2 X 3,14 X 175 = 1100 см, то есть около 11 м. Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на исполинском Солнце и маленьком шарике.

 

5.      Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в восемь раз вместительней другой. Во сколько раз она тяжелее?

Ответ: Обе кастрюли — тела, геометрически подобные. Если большая кастрюля в восемь раз вместительнее, то все ее линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое шире по обоим направлениям. Но раз она вдвое выше и шире, то поверхность ее больше в 2х2, то есть в четыре раза, потому что поверхности подобных тел относятся, как квадраты линейных размеров. При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины ее поверхности. Отсюда имеем ответ на вопрос задачи: большая кастрюля вчетверо тяжелее меньшей.

 

6.      Имеется квадратный пруд. По углам его близ воды растут четыре старых дуба. Пруд понадобилось расширить, сделав вдвое больше по площади, сохраняя, однако, квадратную форму. Но старых дубов трогать не желают. Можно ли расширить пруд до требуемых размеров так, чтобы все четыре дуба, оставаясь на своих местах, не были затоплены водой, а стояли у берегов нового пруда?

Ответ: Расширить площадь пруда вдвое, сохраняя его квадратную форму и не трогая дубов, вполне возможно. Надо копать так, чтобы дубы оказались против середины сторон нового квадрата. Легко убедиться, что новая площадь вдвое больше прежней: достаточно лишь провести диагонали в прежнем пруде и сосчитать образующиеся при этом треугольники.

 

7.      На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля меда в 3 см от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха. Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли. Высота банки 20 см; диаметр 10 см. Не полагайтесь на то, что муха сама отыщет кратчайший путь и тем облегчит вам решение задачи; для этого ей нужно было бы обладать геометрическими познаниями, слишком обширными для мушиной головы.

Ответ: Для решения задачи развернем боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру; получим прямоугольник, высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, то есть 10 х 3,14 = 31,4 см.

Наметим на этом прямоугольнике положение мухи и медовой капли. Муха — в точке А, на расстоянии 17 см от основания; капля — в точке В, на той же высоте и на расстоянии полуокружности банки от А, то есть в 15,7 см. Чтобы найти теперь точку, в которой муха должна переползти край банки, поступим следующим образом. Из точки В проведем прямую под прямым углом к верхней стороне прямоугольника и продолжим ее на равное расстояние: получим точку С. Эту точку соединим прямой линией с А. Точка D и будет та, где муха должна переползти на другую сторону банки, а путь ADB окажется самым коротким. Найдя кратчайший путь на развернутом прямоугольнике, свернем его снова в цилиндр и узнаем, как должна бежать муха, чтобы скорее добраться до капли меда.

 

 

8.      Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город.

Попробуйте вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, а ширину ремешков, на которые Дидона ее разрезала, принять равной 1 мм.

Ответ: Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м, или 4 миллиона кв: мм, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) — 4 миллиона мм, или 4000 м, то есть 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок в 1 кв. км, а круглый участок — в 1,3 кв. км

 

9.      Имеется кусок картона треугольной формы. Нужно вырезать из него параллельно данному основанию и высоте прямоугольник наибольшей площади.

Ответ: Пусть АВС данный треугольник, MNOP – тот прямоугольник, который должен остаться после обрезки.

Из подобия треугольников АВС и NBM имеем BD:BE=AC:NM (ВЕ – высота треугольника  NDM, BD – высота треугольника АВС).

NM= (BE·AC)/BD.

Обозначив  сторону NM через у, BE -  через х, основание АС через а, а высоту BD через h, имеем: у=(ах)/h.

Площадь S прямоугольника MNOP равна MN·NO=MN·(BD-BE)=y(h-x)=(h-x)(ax)/h, следовательно, Sh/a=(h-x)x. Площадь S будет наибольшей тогда же когда и выражение Sh/a, а следовательно когда достигнет наибольшей величины произведение (h-x)x. Но сумма (h-x)+x=h – величина постоянная. Значит, произведение их максимально, когда (h-x)=x. Получаем х=h/2. Мы узнали, что сторона NM искомого прямоугольника проходит через середину высоты треугольника и, следовательно, соединяет середины его сторон. Значит, эта сторона прямоугольника равна а/2, а другая – равна h/2.

 

10.   Жестянщику заказали изготовить из квадратного куска жести в 60 см шириной коробку с квадратным дном и поставили условие, чтобы коробка имела наибольшую вместимость. Жестянщик долго примерял, какой ширины нужно для этого отогнуть края, но не мог прийти к определенному решению. Не удастся ли нам ему помочь?

Ответ: Пусть ширина отгибаемых полос равна х. Тогда ширина квадратного дна коробки равна 60-2х, объем же коробки выражается произведением (60-2х)2х.

При каком х произведение (60-2х)(60-2х)х  имеет наибольшее значение? Если бы сумма трех множителей была постоянна, произведение было бы наибольшим в случае их равенства. Но здесь сумма множителей 60-2х+60-2х+х=120-3х не есть постоянная величина, так как изменяется с изменением х. Умножим обе части равенства V=(60-2х)(60-2х)х   на 4. Получим 4V=(60-2х)(60-2х)4х. Сумма этих множителей равна  60-2х+60-2х+4х=120, величине постоянной. Значит, произведение этих множителей достигнет наибольшей величины при их равенстве, т.е. когда 60-2х=4х, х=10. Итак, коробка получится наибольшего объема, если у листа отогнуть 10 см.

11. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом 10⁰ к горизонту, а вершину – под углом 45⁰ к горизонту. Какова высота башни?

Ответ:

Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СВА =45⁰, то и угол ВСА =45⁰, значит СА=50м.

Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, tg (АВН) = АН/ АВ, отсюда

АН = АВ tg (АВН), т.е АН = 50tg 10⁰, отсюда АН =9м.

СН= СА+АН =50+9 = 59(м)

 

12. Невдалеке от двух населенных пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от нее до обоих пунктов были одинаковыми?

Ответ: Обозначим через А и В данные в задаче населенные пункты и проведем на местности серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от пунктов А и В и никакие другие точки этим свойством не обладают, то автозаправочную станцию нужно построить в точке пересечения перпендикуляра с шоссе (если такая точка найдется).

 

Задачи, стоимостью 15 баллов

1.              При строительстве домов нередко устраивается так называемая четырехскатная крыша, скаты которой представляют собой два треугольника и две трапеции с одинаковым уклоном. Найдите площадь кровли четырехскатной крыши дома длины а и ширины b, если известно, что угол наклона скатов крыши равен .

 

Ответ: Угол между плоскостями многоугольников — скатов крыши — и плоскостью ABCD равен , а ортогональные (вертикальные) проекции этих многоугольников на горизонтальную плоскость образуют прямоугольник ABCD. Поэтому площадь кровли

S =.

 

2.      Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара?

Ответ: При некотором усилии воображения задача эта, кажущаяся очень замысловатой, решается довольно просто. Предположим для простоты, что куски колотого сахара в поперечнике больше частиц сахарного песка в 100 раз. Представим себе теперь, что все частицы песка увеличились в поперечнике в 100 раз вместе со стаканом, в который песок насыпан. Вместимость стакана увеличится в 100 X 100 X 100, то есть в миллион раз; во столько же раз увеличится и вес содержащегося в нем сахара. Отсыплем мысленно один нормальный стакан этого укрупненного песку, то есть миллионную часть содержимого стакана-гиганта. Отсыпанное количество будет, конечно, весить столько, сколько весит обыкновенный стакан обыкновенного песку. Что же, однако, представляет собой отсыпанный нами укрупненный песок? Не что иное, как колотый сахар. Значит, колотого сахара в стакане заключается по весу столько же, сколько и песка.

Если бы вместо 100-кратного увеличения мы взяли 60-кратное или какое-нибудь другое, дело нисколько не изменилось бы. Суть рассуждения лишь в том, что куски колотого сахара рассматриваются как тела, геометрически подобные частицам сахарного песка и притом расположенные подобным же образом. Допущение это, конечно, не строго верно, но оно достаточно близко к действительности (если только речь идет именно о колотом, а не о пиленом сахаре).

 

3.      Шмель отправляется в дальнее путешествие. Из родного гнезда он летит прямо на юг, пересекает речку и наконец, после целого часа пути спускается на косогор, покрытый душистым клевером. Здесь, перелетая с цветка на цветок, шмель остается полчаса. Теперь надо посетить сад, где шмель вчера заметил цветущие кусты крыжовника. Сад лежит на запад от косогора, и шмель спешит прямо туда. Спустя 3/4 часа он был уже в саду. Крыжовник в полном цвету, и, чтобы посетить все кусты, понадобилось шмелю 1,5 часа. А затем, не отвлекаясь в стороны, шмель кратчайшей дорогой полетел домой, в родное гнездо. Сколько времени шмель пробыл в отсутствии?

Ответ: Задача решилась бы очень просто, если бы было сказано, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в гнездо. Этого в задаче не сказано, но геометрия поможет нам самим узнать это. Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60 минут. Затем он летел 45 минут «на запад», то есть под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», то есть по прямой линии, обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба катета АВ и ВС, и надо определить третью сторону — гипотенузу АС. Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катете три раза, а в другом четыре раза, то в третьей стороне —гипотенузе —та же величина должна содержаться ровно пять раз.

Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км, и т, п. В нашем случае один катет 3 X 15 минут пути, другой — 4 Х 15 минут пути; значит, гипотенуза АС — = 5 X 15 минут пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 минут, то есть 1 1/4 часа.

Теперь легко уже подсчитать, сколько времени пробыл шмель в отсутствии. На перелеты он употребил времени:

1 час + 3/4 часа + 1 1/4 часа — 3 часа.

На остановки у него ушло времени:

1/2 часа + 1 1/2 часа = 2 часа.

Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов.

 

4.      Для изготовления полки нужна доска строго определенного размера, а именно 1 м длиной и 20 см шириной. У вас есть доска длиной 75 см и шириной 30 см. Как поступить?

Ответ: 1) Можно отпилить вдоль доски полоску шириной в 10 см (пунктир), распилить ее на 3 равных кусочка длиной по 25 см каждый и двумя из них наставить доску. Такое решение задачи было бы неэкономным по числу операций (3 отпиливания и 3 склеивания) и не удовлетворяющим требованиям прочности (прочность была бы пониженной в том месте, где планки приклеены к доске).

2) Надо распилить доску ABCD по диагонали АС и сдвинуть одну из половинок (АВС) вдоль диагонали параллельно самой себе на 25 см (75см+25см=100см=1м). Теперь эти половинки надо склеить по линии АС₁ и излишки (заштрихованные треугольники) отпилить. Получится доска требуемых размеров.

Действительно, из подобия треугольников ADC и  С₁ЕС имеем: AD:DC=C₁E:EC, EC=DC/AD·C₁E, EC=30/75·25=10, DE=DC-EC=30-10=20(см).

 

 

5.      На горе находится башня, высота которой равна 100м. Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60⁰ к горизонту, а потом с её основания С под углом 30⁰. Найдите высоту Н горы.

Ответ:

Угол СВК = 30⁰, т.к. угол ЕВС =90⁰ и угол ЕВА =60⁰, отсюда угол СКА =60⁰, значит угол СКА = 180⁰ – 60⁰ = 120⁰.

В треугольнике СКА видим, что угол АСК = 30⁰, угол СКА = 120⁰, то угол САК = 30⁰, получим, что треугольник ВСА равнобедренный с основанием АВ, т.к. угол СВК = 30⁰ и угол ВАС = 30⁰, значит АС = 100м (ВС = АС).

Рассмотрим треугольник АСР, прямоугольный с острым углом в 30⁰ (РАС = АСК, накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых СК и АР секущей АС), а против угла в 30⁰ лежит катет вдвое меньше гипотенузы, поэтому РС = 50м.

 

6. Жильцы трех домов решили совместными усилиями построить колодец. Какое место для колодца следует выбрать, чтобы все три расстояния от него до домов были одинаковыми?

Ответ: Пусть А, В и С — точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек А, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО=ОВ и ВО=ОС, а если точку О выбрать иначе, то для нее хотя бы одно из указанных равенств будет несправедливо. Заметим, что проведенные перпендикуляры могут и не пересечься, но только в случае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Таким образом, искомое место для колодца — точку О — можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой.

 

7. Высевающий аппарат большинства сеялок представляет собой цилиндрическую катушку с желобками (см. рис.), которые при вращении катушки захватывают зерна и высыпают из сеялки. При проектировании катушки вначале определяют число желобков п и ширину желобка t, исходя из размеров и механических свойств зерен, для которых предназначена сеялка. Эти данные позволяют найти диаметр катушки.

 

Каким должен быть диаметр катушки высевающего аппарата зерновой сеялки у которой t=13,6 мм (с учетом ширины ребра между смежными желобками), п=12?

 

 

 

 Рис.

 

 

 

Ответ: Требуется найти диаметр окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной а_п — t. По известной формуле получаем:

 

8. Железная дорога пересекает канал под острым углом, внутри которого расположен населенный пункт. В каком месте железной дороги нужно расположить полустанок, чтобы расстояния от него до этого пункта и до канала оказались одинаковыми? Укажите положение полустанка, при котором эти расстояния минимальны.

Ответ: Из точки А пересечения железной дороги с каналом через данный населенный пункт В проведем луч. Опустим из какой-либо точки О железной дороги перпендикуляр ОС к каналу и найдем на луче АВ точки, удаленные

 

от точки О на расстояние ОС. Таких точек окажется две — это буду точки D и Е, лежащие на окружности с центром О и радиусом ОС. Для определенности будем считать, что DA>EA. Проведем отрезки BF и BG, соединяющие точку В с точками F и G на железной дороге и параллельные отрезкам DO и ЕО соответственно. Тогда из подобия соответствующих треугольников будет следовать, что точки F и G равноудалены от канала и от точки В, т. е. они укажут искомые места расположения полустанка. Никаких других возможностей для расположения полустанка нет, поскольку для любой искомой точки существует преобразование гомотетии относительно точки А, переводящее искомую точку в точку О, а точку В в точку луча АВ, удаленную от точки О на расстояние ОС, т. е. в одну из точек D или Е.

Минимальное расстояние до полустанка достигается в точке F, для которой имеем

,

ибо  и .

 

9. Телевизионные радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны. Определить, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20 м с Останкинской телебашни (ее высота 538м).

Ответ: Вершина В принимающей антенны за счет шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае еще видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности. В этом случае  где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2R, то , а потому . Полагая в этой формуле  получаем .

Определив таким же образом ВС, найдем АВ. Увеличив полученную величину на 15%, получаем искомую формулу для s (в м): s. Из нее теперь нетрудно получить ответ и на второй вопрос задачи.

S = 113434,5 м = 113,5 км

 

Задачи, стоимостью 20 баллов

1. Известно, что пучок света от фар расходится под углом  = 2° к направлению движения. Какова видимость от фар на повороте с радиусом закругления R = 100 м?

Ответ: Пусть автомобиль находится в точке А. Тогда фары освещают дугу АВ, длину которой l и требуется найти. Соединим точки А и В центром окружности О.

Пусть С — середина стороны АВ. Угол СОА равен углу РАВ, так как они дополняют угол ВАО до 90°. Поэтому .АОС =, AOB = Значит,  м.

 

 

2. Требуется выкопать канал для подачи воды к рыбоводному пруду. Имеется возможность устроить его в форме полувыемки — полунасыпи. В таком случае наиболее экономичным будет такое расположение канала, при котором сечение выемки равновелико сечению насыпи (не нужно будет ни отвозить, ни подвозить грунт). Определите, какой должна быть при этом глубина выемки, если общая глубина канала h = 2м, ширина по дну b = 1м, ширина гребня выемки а = 1м, а угол наклона откосов—45°.

Ответ: Пусть х — глубина выемки. Тогда площадь поперечного сечения выемки  площадь сечения насыпи . Приравняв площади, получим квадратное уравнение. Решив его, найдем х = 1,2м.

 

 

 

 

3. В различных расчетах по эксплуатации оросительных систем встречается величина R =  гидравлический радиус канала, где F — площадь поперечного сечения канала (живое сечение), Р — длина границы этого сечения (смоченный периметр). С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено, что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

Сечение канала — равнобедренный треугольник. Каким должен быть угол при вершине, чтобы канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль?

Ответ: Пусть F — живое сечение канала, х — величина угла при его вершине, а — длина боковой стороны треугольника. Так как F = Р = 2а, то

Смоченный периметр Р будет наименьшим, когда  будет наибольшим, т.е. при х = 90°.

 

4. Для хранения зерна на элеваторах часто сооружают емкости в форме цилиндров. При этом строят сразу несколько таких емкостей, примыкающих друг к другу в определенном порядке, а также в некоторых местах сооружают дополнительные круглые стенки. Получается монолитный корпус с поперечным сечением довольно сложной конструкции. Зерно засыпается не только в цилиндрические емкости (круглые силосы), но и в емкости образовавшиеся между ними (силосы-звездочки). Для расчета емкости силосного корпуса необходимо знать площади сечений всех его силосов.

На рисунке изображено поперечное сечение силосного корпуса одного из элеваторов. Найдите площади сечений силосов-звездочек 2 и 3, зная диаметр d силоса 1 и пренебрегая толщиной стенок.

 

 

 

 

 

 

Рис.

Ответ: Площадь  равна, очевидно, разности между площадью квадрата ABCD и площадью круга 1:

Если от площади квадрата EFGH (которая, очевидно, равна половине площади квадрата ) вычесть , то мы получим учетверенную площадь луночки. Поэтому площадь луночки

а площадь фигуры 2

 

5.      При одном из способов защиты почв от смыва на склонах штампуют лунки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона квадрата — 50 см) и высотой 10 см. Определите, сколько литров воды может собраться в такой лунке на склоне под углом наклона 10°, если дополнительно известно, что одна из сторон основания лунки горизонтальна.

 

 

Ответ: Так как (рис. 51) BL = 50tgl0° < 10, то в момент наибольшего наполнения слой воды представляет собой призму высоты 50 см, основанием которой является трапеция. Поэтому объем воды

 

6. Бревна и дрова на складах лесоматериалов укладывают в штабеля. Учет уложенной в штабеля древесины ведется через объем штабеля с помощью коэффициента полнодревесности, под которым понимается отношение объема древесины в штабеле к геометрическому объему штабеля (первый меньше из-за наличия пустот между стволами). Найдите коэффициент полнодревесности идеализированного прямоугольного штабеля, состоящего из одинаковых цилиндров.

Ответ: Пусть r— радиус основания цилиндра, h — его высота. Допустим, что по ширине штабеля уложено m цилиндров, а по высоте — п. Тогда объем древесины в штабеля

.

Штабель принимается за параллелепипед с измерениями 2mr, 2nr и h. Его объем

,

значит, коэффициент полнодревесности

.

Удивительно, что именно такой коэффициент полнодревесности указан в ГОСТ для правильного прямоугольного штабеля из метровых бревен без коры.

 

7. При защите почв от водной эрозии на склонах иногда делают лунки в форме полушара диаметром d. Сколько воды может накопиться в такой лунке на склоне с углом наклона ?

Ответ: Объем воды равен объему шарового сегмента:

где Н – высота сегмента. Так как расстояние от центра лунки до поверхности воды  то  Отсюда находим: