Сборник задач В1 (задание 1) для подготовке к ЕГЭ по математике

Задача 1

Условно все задачи В1 можно разделить на две части: 1) вычислительные задачи, т.е. задачи, в которых необходимо выполнить 1 – 3 действия и, при необходимости округлить результат; 2) задачи на проценты.

1. Вычислительные задачи

Пример 1.

Летом килограмм клубники стоит 70 рублей. Маша купила 4 кг 300 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 350 рублей?

Решение.

Данную задачу легко решить по действиям.

1. Найдем стоимость покупки. Учитывая, что 4 кг 300 г = 4,3 кг, получим:

 (руб.).

2. Найдем сдачу, которую должна получить Маша:

 (руб.).

Ответ: 49 руб.

Часто в задачах В1 необходимо округлить результат вычислений. Напоминаем, что при округлении чисел используют следующее правило: если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется, если же она равна или больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример 2.

Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Решение.

Из условия имеем:

1 фут = 0,305 м = 30,5 см;

1 дюйм = 2,54 см.

Тогда рост Джона составит:

 (см).

Так как в полученном результате число десятых равно 5, значит, число надо округлить в большую сторону. Следовательно, рост Джона составил 186 см.

Ответ: 186 см.

Но в части задач требуется не просто округлить ответ по правилам математики, а округлить полученное число, исходя из практических соображений.

Пример 3.

В летнем лагере 165 детей и 23 воспитателя. В автобус помещается не более 44 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Решение.

Сначала найдем, сколько всего человек находится в летнем лагере:

165 + 23 = 188 (чел.).

Чтобы найти необходимое число автобусов, разделим общее количество людей на число пассажиров, помещающихся в один автобус:

 (авт.).

Следовательно, требуется 5 автобусов, т.к., во-первых, число автобусов может быть только целым, а, во-вторых, если округлить полученное значение по правилам округления в математике, то четырех автобусов будет недостаточно для перевозки детей и воспитателей из летнего лагеря.

Ответ: 5 автобусов.

2. Задачи на проценты

Один процент (1%) – это одна сотая часть числа. Рассмотрим основные типы задач В1, в которых используется понятие процента.

Пример 4.

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 17000 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Решение.

В данной задаче необходимо определить процент от заданного числа.

Сначала определим размер налога, который должен заплатить Иван Кузьмич. Он составляет 13%, т.е. 0,13 от заработной платы:

 (руб.).

Теперь определим, сколько рублей Иван Кузьмич получит после вычета налога на доходы:

 (руб.).

Ответ: 14790 рублей.

Следовательно, чтобы найти проценты от числа, нужно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Пример 5.

Призерами городской олимпиады по математике стало 57 учеников, что составило 19% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.

В данном примере надо решить обратную задачу: найти число по его проценту.

Следовательно, если х – это число участников, то по условию имеем:

 (учеников).

Тогда получаем искомое число:

 (учеников).

Ответ: 300 учеников.

Следовательно, чтобы найти число по его процентам, нужно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Пример 6.

Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 632 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение.

В данном случае необходимо определить, сколько процентов одно число составляет от другого.

Сначала определяем, на сколько рублей была снижена цена футболки:

800 – 632 = 168 (руб.).

Теперь определим, сколько процентов число 168 составляет от 800:

 %.

Ответ: 21%.

Следовательно, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого нужно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.

Также при решении задач на проценты можно использовать свойства пропорций.

Тренировочные задачи

1. Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 17 поездок. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 207 рублей, а разовая поездка – 19 рублей?

2. На счету Дашиного мобильного телефона было 73 рубля, а после разговора с Костей осталось 40 рублей. Сколько минут длился разговор с Костей, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек.

3. Оля отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 12 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 80 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Оли было 27 рублей. Сколько рублей останется у Оли после отправки всех сообщений?

4. Выпускники 11 "А" покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 16 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 25 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

5. В доме, в котором живет Митя, один подъезд. На каждом этаже по 11 квартир. Митя живет в квартире 74. На каком этаже живет Митя?

6. В доме, в котором живет Петя, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Петя живет в квартире №62. В каком подъезде живет Петя?

7. Поезд Санкт-Петербург-Москва отправляется в 23:55, а прибывает в 7:55 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

8. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 70 коп. Сдачи клиент получил 175 руб. 80 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

9. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 36 литров бензина по цене 26 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?

10. Таксист за месяц проехал 5000 км. Стоимость 1 литра бензина 19.5 рубля. Средний расход бензина на 100 км составляет 10 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

11. В квартире, где проживает Владлен, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 мая счётчик показывал расход 109 куб. м воды, а 1 июня – 125 куб. м. Какую сумму должен заплатить Владлен за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 21 руб. 30 коп.? Ответ дайте в рублях.

12. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 300 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

13. Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

14. Бегун пробежал 400 м за 45 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

15. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 6 человек следует взять 3/14 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 7 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

16. Диагональ экрана телевизора равна 109 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

17. В обменном пункте 1 гривна стоит 4 рубля 10 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили арбуз весом 6 кг по цене 2 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

18. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 55 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

19. Сырок стоит 8 рублей 40 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 70 рублей?

20. Шоколадка стоит 25 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за три шоколадки, покупатель получает четыре (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 230 рублей в воскресенье?

21. В летнем лагере на каждого участника полагается 50 г сахара в день. В лагере 154 человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 6 дней?

22. Теплоход рассчитан на 1100 пассажиров и 35 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 90 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и членов команды?

23. В общежитии института в каждой комнате можно поселить четырех человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 59 иногородних студентов?

24. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по общей медицине для 3-5 курсов, по 140 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

25. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 65 рублей за штуку. У Вани есть 300 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

26. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель?

27. Каждый день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 9 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?

28. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 15 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 5 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 7 литров маринада?

29. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0.25 г 3 раза в день в течение 10 дней. В одной упаковке 14 таблеток по 0.25 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

30. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?

31. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,1 м?

32. Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

33. Железнодорожный билет для взрослого стоит 530 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 19 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

34. В сентябре 1 кг огурцов стоил 40 рублей. В октябре огурцы подорожали на 30%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после подорожания в октябре?

35. Только 61% из 23500 выпускников города правильно решили задачу B11. Сколько человек правильно решили задачу B11?

36. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 6%. Книга стоит 300 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

37. Тетрадь стоит 16 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 15% от стоимости всей покупки?

38. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 20%?

39. Флакон шампуня стоит 180 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 800 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 30%?

40. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 15% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 3300 рублей?

41. Студент получил свой первый гонорар в размере 1400 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет астр для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество астр сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, астры стоят 80 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

42. Клиент взял в банке кредит 6000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

43. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 7%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 850 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

44. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 18% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,2 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 6 кг в течение суток?

45. В сентябре 1 кг клубники стоил 110 рублей, в октябре клубника подорожала на 20%, а в ноябре еще на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг клубники после подорожания в ноябре?

46. В школе 1150 учеников, из них 30% – ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 40% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

47. Среди 75000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 70% смотрело по телевизору финал Чемпионата мира. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

48. Цена на электрический чайник была повышена на 23% и составила 2337 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

49. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

50. Розничная цена учебника 138 рублей, она на 15% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 3150 рублей?

51. 45 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

52. В школе 114 учеников изучают французский язык, что составляет 38% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

55. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка пельменей стоит в магазине 60 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку пельменей 57 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

54. Мобильный телефон стоил 2500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 1550 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

55. В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3300 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Ответы