Сценарий урока по геометрии "Конус"

Урок – семинар на тему: «Конус, усеченный конус»

(по учебнику Атанасяна Л.С., глава 14, §130   )

Тема урока: Цилиндр, конус, усеченный конус.

Класс: 9

Учебная задача: посредством самостоятельной деятельности учащихся «открыть» новые пространственные фигуры – тела вращения, формулы их боковой и полной площадей.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

−   знает определение цилиндра, конуса, усеченного конуса;

−   знает формулы боковой и полной поверхностей цилиндра, конуса, усеченного конуса и их вывод;

−   умеет изображать цилиндр, конус, усеченный конус;

−   знает основные элементы цилиндра, конуса, усеченного конуса и может их показать на готовом рисунке, модели;

−   знает, как получены цилиндр, конус, усеченный конус (знает какую фигуру и как нужно вращать, чтоб получить цилиндр, конус или усеченный конус);

Ход урока:

I.                         Организационный момент.

1.     Актуализация.

2.     Мотивация.

3.     Постановка учебной задачи.

II.                      Формирование новых знаний.

1.     Историческая справка.

2.     Цилиндр.

3.     Конус.

4.     Усеченный конус.

III.                   Рефлексивно-оценочный этап.

1.     Подведение итогов.

2.     Постановка домашнего задания.

I. Организационный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Давайте вспомним, какие геометрические тела мы изучали ранее.

Учитель: Выберите из предложенных моделей многогранники. Какие тела остались? Что у них особенного?

Ученики: Их ограничивают не многогранники. Наш сегодняшний урок-семинар мы посвятим еще одному особому виду пространственных тел – телам вращения.

Учитель: По какой схеме мы изучаем новые объекты?

Ученики: Даем название, изучаем структуру (элементы, виды) и свойства.

Учитель: То есть, какова цель нашего урока?

Ученики: Изучить новый вид тел: цилиндр, конус, усеченный конус.

Учитель: Итак, тема нашего урока – семинара «Конус, усеченный конус» Цель нашего урока – узнать об этих геометрических фигурах и выяснить, как и откуда они появляются.

II. Формирование новых знаний.

Учитель: Сначала я предлагаю вам выслушать историческую справку по данному вопросу.

Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. КОНУС – это латинская форма греческого слова  «конос», что означает сосновая  шишка.

С конусом люди знакомы с глубокой древности. Первое упоминание о нем мы встречаем в XI книге «Начал» Евклида, где он дает определение конуса и дает несколько теорем. Также понятие конуса рассматривали такие известные ученые как АРХИМЕД и т.д.

ЦИЛИНДР происходит от латинского слова «цилиндрус», означающего «валик»,  «каток».

Изучением таких понятий как шар и цилиндр занимались такие известные ученые как ЕВДОКС КНИДСКИЙ, АРХИМЕД и т.д.

Практическое применение:

- конические детали в машинах и механизмах;

- в автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни;

- носовая часть самолетов и ракет;

- в строительстве.

Я вам раздаю таблицы, которые вы должны будете заполнить в процессе изучения материала. Теперь заполним соответствующие колонки в таблице. В колонке тело вращения изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг оси m. Из чего состоит развертка цилиндра?

Ученики: Из прямоугольника и двух кругов.

Учитель: Обозначьте радиусы оснований. Чему равна длина окружности?

Ученики: 2πr.

Учитель: Чему равны стороны прямоугольника?

Ученики: h и 2πr.

Учитель: Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра? (спросить нескольких человек)

Ученики: .

Учитель: Чему равна площадь полной поверхности цилиндра?

Ученики: .

Учитель: Запишите формулы в таблицу.

1. Заполнение опорных листочков. (Заранее раздается каждому ученику листочек – заготовка. По желанию, ученики могут сами себе изготовить опорные листочки).

Цилиндр	Конус	Усеченный конус
l – образующая цилиндра. h – высота цилиндра. r – радиус основания. Sбок = 2 rh V = r2h	l –  h – r – S бок = V =	r –  r1 – h –  l –  S бок = V =

Далее рассмотрим понятие конуса.

Рассмотрим окружность L с центром O и радиусом r; прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную к плоскости этой окружности. На этой прямой возьмем точку Р. Изображаем у себя в тетрадях. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую.  Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая ОР – осью конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Записываем себе определение конуса под диктовку                    ( открываем учебни).

- Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключенных между вершиной и основанием, - образующие конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхности конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, - высотой конуса. Запишите название элементов конуса. /Как в презентации/

- Следует отметить свойство конуса: все образующие конуса равны друг другу. Их равенство следует из равенства прямоугольных треугольников, катетами которых являются высота конуса и радиусы основания. Запишите это свойства в тетрадях.

- Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Поэтому конус – фигура вращения.

- Рассмотрим площадь поверхности конуса. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула:  .

- Рассмотрим сечения конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, так как образующие конуса равны, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром расположенным на оси конуса.

Теперь заполним соответствующие колонки в таблице. В колонке тело вращения изобразите конус, полученный вращением прямоугольного треугольника АВS вокруг оси m. Из чего состоит развертка конуса?

Ученики: Из кругового сектора и круга.

Учитель: Обозначьте радиус основания. Чему равна длина окружности?

Ученики: 2πr.

Учитель: Чему равен радиус и длина кругового сектора?

Ученики: l и 2πr.

Учитель: Чему равна площадь боковой поверхности конуса?

Ученики:

Учитель: Чему равна площадь полной поверхности конуса?

Ученики: .

Учитель: Запишите формулы в таблицу.

Далее рассмотрим усеченный конус, об этом нам расскажет четвертая группа.

-  Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает его на две части. Верхнюю часть представляет собой конус, нижняя часть называется усеченным конусом. Запишите определение усеченного конуса. Часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания, называется усеченным конусом.

- Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса. Часть конической, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу. Изобразите усеченный конус и  подпишите его элементы, как сделано в презентации.

- Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Поэтому усеченный конус так же является телом вращения.

- Теперь найдем площадь полной поверхности усеченного конуса. Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей боковой поверхности и оснований. Площади оснований конуса равны . А площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: . Тогда получаем, что . Здесь R и r – радиусы его верхнего и нижнего оснований; l – его образующая.

- Сечение усеченного конуса различными плоскостями аналогично сечению конуса, только в осевом сечении усеченного конуса получается не равнобедренный треугольник, а равнобедренная трапеция.

Теперь заполним соответствующие колонки в канве-таблице. В колонке тело вращения изобразите усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг оси m, а я изображу на доске. Обозначьте радиусы оснований, как r  и r₁. Длины окружностей соответственно равны 2πr и 2πr₁. Обозначьте образующую усеченного конуса, как l. Чему равна площадь боковой поверхности усеченного конуса?

Ученики:  

Учитель: Чему равна площадь полной поверхности усеченного конуса?

Ученики: .

Учитель: Запишите формулы в таблицу.

Задача. Сколько понадобиться краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

Учитель: Что известно?

Ученики: Диаметр основания 1,5 м и высота 3 м,  на один квадратный метр расходуется 200 г краски.

Учитель: Что нужно найти?

Ученики: Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы.

Учитель: Как будем находить?

Ученики: Давайте сначала найдем площадь поверхности цилиндра.

Учитель: Сразу условимся, что бак будет с крышкой. Тогда будем находить площадь полной поверхности цилиндра или боковой поверхности цилиндра?

Ученики: Площадь полной поверхности цилиндра.

Учитель: А что потом?

Ученики: Полученную площадь умножим на 200 г.

Учитель: Записываем решение и ответ.

II. Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель: Итак, ребята, какова была цель нашего урока?

Ученики: Изучить новый вид тел: цилиндр, конус и усеченный конус.

Учитель: Достигли мы её?

Ученики: Да.

Учитель: Что называется цилиндром?

Ученики: Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами – окружностями.

Учитель: Что называется конусом?

Ученики: Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей – окружностью.

Учитель: Что называется усеченным конусом?

Ученики: Часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания, называется усеченным конусом.

Учитель: Перечислите свойства цилиндра и конуса…

Ученики:

1.     Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу.

2.     Все образующие конуса равны друг другу.

3.     Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания.

 Учитель: Давайте запишем домашнее задание. Дополнительная информация о конусе. В геологии, биологии, физики

2.     §§ 1,2

3.     №521, №547.

1. Дополнительная информация о конусе. 

А) В геологии существует понятие “конус выноса”. Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

Б) В биологии есть понятие “ конус нарастания”. Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

В) “ Конусами” называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

Г) По статистике на Земле ежегодно гибнет от разряда молний 6 человек на 1000000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случилось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются, и дерево может быть источником напряжения.

Д) В физике встречается понятие “ телесный угол”. Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерений телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Цилиндр	Конус	Усеченный конус
l – образующая цилиндра. h – высота цилиндра. r – радиус основания. Sбок = 2 rh V = r2h	l –  h – r – S бок = V =	r –  r1 – h –  l –  S бок = V =

б) Каждой паре учащихся раздаются кроссворды (рисунок 1, рисунок 2). Необходимо угадать принцип составления кроссвордов и зашифрованные слова. Слова означают геометрические термины, относящиеся к стереометрии.

4. Кроссворд-фантом
5. 
6. 
7. Рисунок 1
8. Кроссворд
9.  
10. Рисунок 2
11. 3. Повторение основных сведений о конусе.

Ответы:

Кроссворд-фантом .

Кроссворд.

4. Графический диктант.

Ответьте на вопросы. Если вы согласны с ответом или утверждением, то поставьте “__”, иначе “ ”. Первому, правильно выполнившему все задания, оценка ставиться в журнал. Все остальные сдают листочки с ответами на проверку.

• Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую. Ответ: 5 м.
• Образующая конуса L наклонена к плоскости основания под углом в 30⁰. Найдите высоту. Ответ: 2L.
• Развертка конуса состоит из треугольника и круга.
• В прямоугольном треугольнике АВС, (рисунок 3),  В = 60⁰, ВС = 1. Найдите длину катета АС, используя теорему Пифагора.

                               Ответ: .

• MNK прямоугольный (рисунок 4),  К = 45⁰, катет KN = 8. Найдите длину катета MN.

Ответ: 8.

• Высота конуса равна 6, радиус основания равен 8. Найдите боковую поверхность. Ответ: 80.
• Радиус оснований усеченного конуса 3м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую. Ответ 5 м.

Ключ: __   __ __  __.