Инфоурок / Математика / Конспекты / «Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2

отдела образования администрации города Кировское







«Сечение куба плоскостью

и практическое их применение в задачах».


Подготовила учитель математики

учитель-методист

Чумакова Г.В.




2015 г.

Введение:

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной плоскости.

Проиллюстрирую построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:

№1. Постройте хотя бы два сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью АМ1С, если точка М1 движется по отрезку ВВ1 от В до В1. Найдите границы измерения высоты сечения, проведённой из точки М1.

hello_html_m8e862bc.gif

Решение: Построим два требуемых сечения, взяв точку М1 ближе к точке В, а точку М2 ближе к В1. Оба сечения показаны на рисунке .В начале движения когда точка М1только отошла от точки В1, сечение представляет собой треугольник с основанием АС и высотой М1О, которая чуть больше отрезка ВО, т.е. hello_html_557b6aba.gif Если точка М1 займёт положение М2 расположенной очень близко к точке В1, то hello_html_2e85d6ba.gifАМ2С почти совпадёт с hello_html_2e85d6ba.gifАВ1С, а его высота М1О – с отрезком В1О, длина которого равна hello_html_mfb9d6a5.gif (ОВ1=hello_html_2e55fda.gif=hello_html_396d0d82.gif).

Отсюда по соображениям непрерывности делаем вывод: hello_html_m66cb64d2.gif

Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М1 займёт положение вершины В.

2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки А1, E и L, лежащие на рёбрах куба.


hello_html_efc3954.gif


Плоскости граней A1ADD1 и DD1C1C пересекаются по прямой DD1, а плоскости граней A1B1C1D1u DD1C1C – по прямой D1C1. Соединив точки А и Е , получим прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA1D1D, а продолжив её, найдём точку N, принадлежащую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней AA1D1D u DD1C1C.

Аналогично найдём точку М, общую трём плоскостям: плоскости сечения и плоскостям граней A1B1C1D1u DD1C1C. Таким образом, точки N u M принадлежат секущей плоскости и плоскости DD1C1C; прямая MN – линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани DD1C1C, а F и K – точки пересечения её с рёбрами куба CD u CC1. Последовательно соединив прямыми точки A1, E, F, K u L, получаем пятиугольник A!EFKL, который и даст нам искомое сечение.

hello_html_m5e7f68f2.gifhello_html_673de6d8.gif

hello_html_254d5cf3.gifhello_html_2f5d8d73.gif

hello_html_7ea358af.gifhello_html_611a4703.gif

hello_html_m61dfc2b2.gifhello_html_m7be1fa29.gif


При построении сечения куба плоскостью Х при произвольном расположении точек в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида расположения точек задающих это сечение

Я решил провести исследование, цель которого является выяснение.

Построить сечения куба плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

hello_html_e61e3c6.gif

hello_html_m7d3ca94f.gif

hello_html_m2c39c18a.gif



Взяты три точки A1, D, C1, которые принадлежат вершине D1, а сами являются вершинами куба.

В сечении получился равносторонний треугольник, так как A1C1, A1D u DC1 – диагонали граней этого куба.














Три точки: A1u C1 – вершины куба, а точка F принадлежит ребру куба DD1. Точки принадлежат прямым выходящим из вершины D1.

В сечении получился равнобедренный треугольник, так как F равноудалена от точек A1u C1.









Три точки: A1u C1 – вершины куба, а точка F принадлежит прямой ребра куба DD1. Точки принадлежат прямым выходящим из одной вершины D1.

В сечении получается равнобедренная трапеция, так как F равноудалена от точек A1 u C1, то есть LA1=KC1.

hello_html_m4c75bdaf.gif

hello_html_m5a8031c0.gif

hello_html_2512f25.gif




Три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной D1. Точки F u M принадлежат продолжениям рёбер D1D u D1C соответственно, а точка A1 является вершиной куба.

В сечении получился пятиугольник A1KLNG.















Взяты три точки F, M u Q так, что лежат на продолжении рёбер D1D, D1C1, и D1A1 соответственно.

В сечении получился шестиугольник KLNGJH.










Три точки лежат на рёбрах с одной вершиной D1.

В сечении получился произвольный треугольник, но если точки расположить так чтобы D1Q=D1M=D1F, то есть если они были бы равноудалены от вершины D1 то в сечении получился бы равносторонний треугольник.





hello_html_467a0abc.gif


hello_html_m71481f36.gif










Секущая плоскость задана точками Н, Q и M. В сечении получается параллелограмм, так как KC ││ MP и MK ││ PC по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей.







































hello_html_2107a9c1.gif






Если точки H, Q и M, задают секущую плоскость, удаленные от D, на расстоянии 2a, где а – для ребра куба, то в сечении получается правильный треугольник ACB1.








Вывод: три задающих сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник трапеция, параллелограмм.



Построение сечения куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.


hello_html_24072972.gif








hello_html_m139b9cb3.gif












Три точки M, K u F, взяты так что M u F принадлежат рёбрам с одной вершиной A1, а точка K лежит на ребре не смежным с ними.

В сечении получается прямоугольник, так как А1М=D1K и по теореме о трёх перпендикулярах можно доказать что MKLF – прямоугольник., а если А1Мhello_html_3750bfcb.gifD1K, то может получится трапеция или пятиугольник.














hello_html_m2fb1d84a.gif






hello_html_3b98fcee.gif

hello_html_73dae2ac.gif





Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A1, а точка N принадлежит ребру CC1, не смежному сними. K, L u N середины рёбер A1A, A1B1u CC1 – соответственно.

В сечении получается правильный шестиугольник KLGNHM























Взяты три точки так, что K u L принадлежат рёбрам выходящим из одной вершины A1, а точка T принадлежит ребру DC.

В сечении получается шестиугольник KLFRTZ.





hello_html_6e383c51.gif





hello_html_m122e4a96.gif







Три точки взяты так, что K u L принадлежат рёбрам куба с одной вершины A1, а точка M ребре DD1.

В сечении получается трапеция LKQM.















Три точки K u L которые принадлежат рёбрам с одной вершиной A1.и точка R которая лежит на ребре BC.

В сечении получается пятиугольник KLFRT.




Вывод: Если секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник, пятиугольник, шестиугольник, трапеция.


В сечении куба параллелограмм и его частные случаи.



hello_html_m226ea83e.gif

hello_html_m2a19f1e1.gif

hello_html_m5f5b156d.gif

hello_html_6fd31a57.gif






Точки T, H, J задающие сечение расположены так, что THhello_html_m3369453f.gifAD, HJhello_html_m3369453f.gifAD. В сечении получается квадрат HTKJ.















Сечение задано точками C, F, L, причём DF=FD1, BL=LB1. В сечении получается ромб AFCL.












Сечение задано точками C, G, H. B1H=DG. В сечении параллелограмм A1GCH.








Точки задающие сечение являются вершинами куба A, D, C1. В сечении получается прямоугольник





В сечении куба правильные многоугольники

hello_html_m7a0d73df.gif

hello_html_18bf7042.gif

hello_html_m6374b636.gif

hello_html_m6d18da20.gif




Треугольник АВВ1 равносторонний, так как его стороны это диагонали граней куба.










Треугольник КМТ равносторонний, так как КВ=МВ=ТВ.














КМТЕ – квадрат, так как сечение задано точками М, К, Е и МКhello_html_m3369453f.gifAD, EKhello_html_m3369453f.gifAD.













В сечении правильный шестиугольник КМТНЕО, так как точки Н, Е, К задающие сечение являются серединами рёбер СС1, DC, АА1 соответственно.

Куб и несколько задач по стереометрии с ЕГЭ.


В пособии “ЕГЭ 2005. Математика. Типовые тестовые задачи” (Корникова Т. А. и др.) Содержит 10 задач (С4) по стереометрии, объединенных общей идеей: дана треугольная призма АВСА1В1С1 стороны основания АВ и ВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны ребру ВВ1, АВ=ВС=ВВ1, вершина А является вершиной конуса (или центром одного из оснований цилиндра, или центром сферы), основание конуса (сфера или второе основание цилиндра) проходит через середину одного ребра призмы, длина его известна. Надо найти объем или поверхность конуса (сферы, цилиндра). hello_html_2f9744a5.gif

Общий пример решения:

Данную призму дополнить до куба. Шестиугольник DEFKLM – сечение куба плоскостью основания конуса , окружность которого проходит через середину А1В1, А – вершина конуса, или

hello_html_m5beaf8d1.gif

DEFKLM – сечение куба плоскостью основания цилиндра, окружность которого проходит через середину А1В1, А – центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А1В1.

Шестиугольник DEFKLM – сечение куба плоскостью, проходящей через середину рёбер А1В1, ВВ1, ВСЖ при построении получаются точки K, L, M, которые являются серединами соответствующих рёбер. Стороны этого шестиугольника являются гипотенузами треугольников DB1E, EBF, FCK, KQL, LRM, MA1D, катеты которых равны половине ребра куба. Тогда центр этого шестиугольника является центром описанной около него окружности, которая пересекает рёбра куба в точках D,E, F, K, L и М, радиус этой окружности hello_html_m1878e8a0.gif, где А1В1=а.

AO hello_html_m3369453f.gifEL, т. к. hello_html_2e85d6ba.gifEAL – равнобедренный: AL=AE.

(hello_html_2e85d6ba.gifABE u hello_html_2e85d6ba.gifEAL – прямоугольные, AB=AQ= а, BE=LQ=hello_html_13c956b9.gif)

EO=OL как середина диагонали ЕL шестиугольника DEFKLM, т. е. АО – медиана ,а по свойствам равнобедренного треугольника и высота. Аналогично доказывается АО hello_html_m3369453f.gifDK. Так как АО перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости шестиугольника, то АО перпендикулярна ко всей плоскости.

Если А – вершина конуса то АО – его высота, если А – центр второго основания цилиндра, то АО- высота цилиндра.

hello_html_2e85d6ba.gifАВС: АС=hello_html_6237faf4.gif, P – точки пресечения диагоналей основания куба, АР=hello_html_m11f4c5e2.gif, РР1=АА1= а. ОР=hello_html_7101a730.gifРР1= hello_html_13c956b9.gif, тогда из прямоугольного hello_html_2e85d6ba.gifРОА АО=hello_html_74af869c.gif. И так АО=hello_html_7cd6a9c9.gif.

Тогда, если идёт речь о конусе:

hello_html_70254b4e.gif=hello_html_m5f99fbee.gifhello_html_348d8dda.gif

hello_html_12d23e73.gif(из hello_html_606a391f.gif).

hello_html_73cf69bb.gifhello_html_72888127.gif

Ответ: hello_html_6d4f53ca.gif

hello_html_7fe48241.gif

Если речь идёт цилиндре:

hello_html_m2ace470c.gif

hello_html_m605c4315.gif

Ответ: hello_html_5eb70f8b.gif

hello_html_181f6eb1.gif

Если речь идёт о сфере:

hello_html_7b1c4af2.gif

hello_html_36a93176.gif

Ответ: hello_html_4acc42fd.gifhello_html_m445e4b85.gif

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Вариант 6.

Задача. Даны призма АВСА1В1С1 и цилиндр. Стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ1 и взаимно перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А1 окружность второго основания проходит через середину ребра А1В1.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ВВ1=АВ=ВС=10. Найдите его объём.

Решение:

hello_html_m59934a8d.gif

hello_html_6fa1d3d4.gif. hello_html_m719cd1fe.gif.

Так как стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ1 и взаимно перпендикулярны и АВ=ВС=ВВ1, то призма АВСА1В1С1 – это половина куба с ребром АВ. Окружность второго основания цилиндра проходит через середину А1В1. Эта окружность пересекает и другие рёбра куба. И эти точки пересечения окружности второго основания цилиндра и рёбер куба лежит в одной плоскости (плоскость сечения) и равноудалены от центра второго основания цилиндра. Плоскость второго основания цилиндра образует в сечении куба шестиугольник DEFKLM, все вершины которого являются вершинами соответствующих рёбер. Тогда ED=АР=R, hello_html_2e85d6ba.gifЕВ1D, hello_html_7707454f.gifВ=900 (по условию), B1E=DB1=hello_html_37730126.gif, тогда по теореме Пифагора ED=hello_html_3e07eb72.gif, R=hello_html_3e07eb72.gif.

Докажем, что АО перпендикулярно к сечению DEFKLM,так как является его высотой цилиндра.

hello_html_2e85d6ba.gifРОА , hello_html_7707454f.gifР=900 РА=hello_html_4cd106c8.gif, РО=hello_html_6d3212d2.gif.

По теореме Пифагора ОА=hello_html_m9d31592.gif (ОА=h=hello_html_29095b85.gif).

hello_html_2e85d6ba.gifSPO, hello_html_7707454f.gifP=900 PS=hello_html_5976a09d.gif SOhello_html_1ac5890c.gif

hello_html_m11d1ec71.gifв hello_html_2e85d6ba.gifAOS: hello_html_m4c13e93b.gif AO2=75 SO2=hello_html_3822252b.gif

AS2=AO2+SO2. hello_html_2e85d6ba.gifAOS – прямоугольный АОhello_html_m3369453f.gifSO.

hello_html_5642329.gif

hello_html_m72779035.gif

Ответ: hello_html_1eb98e35.gif

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Вариант 10.

Задача. Даны призма АВСА1В1С1 и конус. Стороны АВ и ВС основания перпендикулярны ребру ВВ1 и взаимно перпендикулярны. Вершина конуса располагается в точке А, окружность основания проходит через середину ребра А1В1.

Найдите площадь полной поверхности конуса, если ВВ1=АВ=ВС=8. Найдите объём этого конуса.

Решение:

hello_html_5c16b24c.gif

hello_html_m1984e9.gif. hello_html_3b11261d.gif.

Так как по условию дана прямая призма, в которой ВВ1=АВ=ВС, то эта призма является половиной куба. Вершина куба А является и вершиной конуса, основание которого пересекает А1В1 в точке D, следовательно AD – образующая конуса AD=hello_html_m3b43973f.gif. Сечение куба плоскостью основания конуса – это правильный шестиугольник DEFKLM, т.к. АD, AE, AF, AK, AL, AM – это образующие конуса, вершины D, E, F, K, L, M – равноудалены от основания высоты конуса в точке О, являются серединами рёбер куба. R=ED, hello_html_2e85d6ba.gifEB1D, B1D =B1E=4, ED=4hello_html_512891fd.gif.

hello_html_2e85d6ba.gifAA1D, hello_html_7707454f.gifA1=900, AD=hello_html_m2e714827.gif.

hello_html_m4701c89b.gif

hello_html_3b11261d.gif.

AC=hello_html_277d687b.gif hello_html_m387545bf.gif (из hello_html_2e85d6ba.gifОАН, ОН hello_html_m3369453f.gifАН, НО=4, АН=4hello_html_512891fd.gif).

hello_html_3037bfe8.gif

Ответ:hello_html_m719c26b7.gif

3. Заключение.

В результате проведённого компьютерного эксперимента в работе было выявлено: что в зависимости от точек задающих секущую плоскость в сечении куба могут получиться треугольники (произвольный, равнобедренный и правильный), четырёхугольники (квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм), пятиугольники и шестиугольники. Особое выделены правильный треугольник и шестиугольник, рассмотрены свойства этих многоугольников и задачи с ними связанные располагавшиеся в одном из пособий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Выполнение работы расширило мои представления о выполнении построений сечения многогранников плоскостью, дало возможность более глубоко освоить некоторые компьютерные программы способствующие развитию конструктивных навыков, которые позволили разобраться в решении задач по стереометрии, предлагающихся в ЕГЭ по математике.


Общая информация

К учебнику: Геометрия. Учебник для 10-11классов. Атанасян Л.С. и др. 22-е изд. - М.: 2013. - 255с.

К уроку: 14. Задачи на построение сечений

Номер материала: ДВ-426678

Похожие материалы