Сечения геометрических тел. 10 класс

ВСТУПЛЕНИЕ

Решение задач на построение сечений многогранников занимают важное место в курсе геометрии 10-11 классов.

 Задачи такого вида способствуют усвоению аксиом и теорем стереометрии, а также следствий из них; систематизируют знания и умения, развивают пространственное мышление и конструктивные навыки учащихся.

Многие преподаватели математики отмечают трудности, возникающие у школьников в решении задач на построение сечений, особенно в связи  с отсутствием в учебных программах  курса Черчение, имеющее место в последние годы.

Настоящая работа имеет цель помочь заинтересованным лицам, как в построении многогранников различных видов по правилам аксонометрии, так и построении сечений этих многогранников.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.    Построение призмы.

2.    Построение пирамиды.

3.    Построение овала.

4.    Построение конуса.

5.    Построение цилиндра.

6.    Построение сечений призм плоскостью параллельной граням призмы.

7.    Диагональное сечение прямой призмы.

8.    Построение сечения четырёхугольной призмы

Построение пирамиды.

Построение любого геометрического тела начинают с построения аксонометрических осей.

Аксонометрические оси располагают на плоскости следующим образом: для ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИЗОМЕТРИЧЕСКОГО проецирования -  из общего центра точки О вертикально – ось OZ, вправо и влево от неё под углом 120⁰ соответственно оси OX и OY,  для ФРОНТАЛЬНОГО ДИМЕТРИЧЕСКОГО проецирования - из общего центра точки О вертикально – ось OZ, вправо под углом 135⁰ ось OY, влево под прямым углом ось OX. Вдоль этих осей и производят построение геометрических тел в выбранной проекции.

Построение призмы

во фронтальной диметрической проекции.

Построение прямой призмы в изометрической или диметрической проекции начинают с построения основания призмы: если в основании призмы квадрат, прямоугольник, ромб и т.д., то стороны основания строят  соответственно в плоскости XOY параллельно осям OX и OY по указанным размерам; вертикальные рёбра соответственно параллельны оси OY и равны между собой (АА₁=BB₁=CC₁=…); отмеченные таким образом точки А₁,В₁,С₁ и т.д. последовательно соединяют, отмечают штриховой линией невидимые рёбра призмы.

ЗАМЕЧАНИЕ: все натуральные размеры, которые при построении мы откладываем вдоль оси OY, уменьшаются вдвое.

Построение пирамиды

Основания прямых пирамид строится так же, как и основания призм в выбранных проекциях. Затем из центра основания поднимают перпендикуляр к плоскости основания, который в свою очередь параллелен оси OZ, и является высотой пирамиды. Отложив необходимую высоту, определяем положение вершины пирамиды и соединяем её с каждой вершиной основания пирамиды.

Отмечают штриховой линией невидимые рёбра призмы.

Построение овала в прямоугольной

изометрической проекции.

Построение сечений призм плоскостью,

параллельной граням призмы.   

Плоскости параллельные граням призмы, пересекают прилежащие грани по отрезкам параллельным рёбрам соответствующих оснований: MF║FD, FE║DC и т.д. Сечение – прямоугольник MNEF; S_MNEF=S_ABCD

      

Диагональное сечение прямой призмы образовано секущей плоскостью, проходящей через соответствующие диагонали оснований призмы. Сечение – прямоугольник AA₁C₁C, Sсеч = АС*АА_1.

                              Построение сечения

четырёхугольной призмы АВСDA₁B₁C₁D₁ плоскостью,

 проходящей через три заданные точки (С₁;М;N).

Проведём прямую С₁М, образованную пересечением секущей плоскости с гранью C₁D₁DC до пересечения с плоскостью основания АВСD в точке F, аналогично проведём прямую С₁N, образованную пересечением секущей плоскости с гранью C₁В₁ВC до пересечения с плоскостью основания АВСD в точке Е. Таким образом, плоскость основания пересекается секущей плоскостью по прямой FE,  имеющей общую точку А. Плоскости АDD₁A₁  АВВ₁А₁   пересекаются секущей плоскостью соответственно по прямым MA и NA. Полученное сечение – четырёхугольник MANC₁.

Построение сечения

правильной шестиугольной призмы плоскостью,

проходящей через три заданные точки.

Секущая плоскость задана тремя точками NMS. Проведем прямые, по которым секущая плоскость пересекает соответствующие грани, до пересечения с плоскостью основания призмы, т. е. до пересечения с  соответствующими рёбрами основания (NM∩AB=К и NS∩BC = L). Обе точки пересечения лежат в плоскости основания, а значит, пересекают её по прямой (KL), которая в свою очередь пересекает основание по отрезку RV. Искомое сечение – многоугольник  MNSVK.

Осевое сечение конуса и усечённого конуса.

1. Осевое сечение конуса – сечение, образованное плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечение прямого конуса равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания, боковые стороны – образующая конуса, высота конуса – высота осевого сечения.

2. Осевое сечение усечённого конуса – сечение, образованное плоскостью, проходящей через ось конуса. Сечение прямого усечённого конуса равнобедренная трапеция, нижнее основание которой – диаметр нижнего основания, верхнее основание – диаметр верхнего основания, боковые стороны – образующая конуса, высота сечения равна высоте усечённого конуса.

3. Сечение конуса плоскостью, проходящей параллельно основанию – круг, радиус которого пропорционален расстоянию от вершины конуса до сечения

 (т. к. ∆АОО₁ подобен ∆ВОО₂ и т. д.)

В настоящее время проблемам преподавания математики и черчения в школе стали уделять большое внимание. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием научноёмких производств. Технические науки, среди которых в последнее время развиваются и имеют огромное значение такие, как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы  без математического аппарата.

Основы математической грамотности закладываются именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание.

Математика (в частности геометрия, а также черчение) является одним из опорных предметов в школе. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Математика развивает личность учащегося, изучение математики способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.