Семинар на тему "Методика формирования алгоритмической культуры старшеклассников при изучении стереометрии"

Введение

Главная задача российского образования – обеспечение современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства.

В соответствии с Конституцией Российской Федерации основное общее образование является обязательным и общедоступным. Содержание образования должно быть ориентировано не только на знаниевый, но в первую очередь на деятельностный  подход к образованию, что позволяет повысить мотивацию обучения, в наибольшей степени реализовать способности, возможности, потребности и интересы ребёнка. Специфика педагогических целей основной школы  в большей степени связана с личным развитием детей, чем с их учебными успехами. Но для школы, в данный момент, болезненными проблемами являются снижение интереса учащихся к учению, рост неуспеваемости, падение качества  знаний, умений и навыков, неудовлетворённость учителей  результатами своего труда, недовольство родителей школой. Особенно сложным в настоящее время оказалось преподавание математики, для которой характерны сильные внутрипредметные связи: если ученик плохо усвоил предшествующий материал, то он ещё хуже усвоит последующий. Мастерство учителя в том и заключается, что он за урок должен объяснить тему и закрепить её. Из методики известно, что дети  лучше понимают чёткие руководства к действию: что делать, как делать, в какой последовательности, то есть алгоритм.

Проблема формирования алгоритмической культуры учащихся особенно актуальна в современном образовательном процессе. Совокупность знаний, умений и навыков работы с  алгоритмами формируется у подростков при изучении всех школьных дисциплин. Большая роль при этом отводится школьному курсу математики. Математике принадлежит ведущая роль вформировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые алгоритмы.

В ходе изучения математики систематически и последовательно формируются навыки умственного труда: планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов.

из Методического письма о преподавании учебного предмета "Математика" в условиях введения Федерального компонента государственного стандарта общего образования:

Арифметика призвана способствовать приобретению практических навыков, необходимых для повседневной жизни. Она служит базой для всего дальнейшего изучения математики, способствует логическому развитию и формированию умения пользоваться алгоритмами.

Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, овладение навыками дедуктивных рассуждений.

Однако геометрия в развитии алгоритмической культуры играет далеко не последнюю роль. Геометрические задачи вызывают у учеников ещё куда большие трудности, чем задания по алгебре. В связи с этим мы считаем целесообразным разработать методический комплекс по развитию алгоритмической культуры старшеклассников при изучении стереометрии.

Тема: Методика формирования алгоритмической культуры старшеклассников при изучении стереометрии.

Цель работы: теоретически обосновать и разработать методику формирования элементов алгоритмической культуры старшеклассников при изучении стереометрии.

Объектом исследования является процесс обучения стереометрии в школе на основе алгоритмов.

Предмет исследования: основные организационные и содержательные компоненты модели обучения школьному курсу стереометрии на основе алгоритмов.

Задачи:

-изучить и проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу.

-проанализировать содержание учебного материала по изучению данной темы.

-на основе изучения психолого-педагогической и методической литературы разработать методику использования алгоритмов при изучении стереометрии на примере конкретной темы, включающей алгоритмы выполнения типовых заданий и предписания по работе с ними на уроках.

Методы исследования: анализ математической, методической и психологической литературы по данной теме; отбор учебного материала для использования на элективном курсе.

1 Теоретические основы алгоритмической культуры

1.1 Алгоритмы

Для математики алгоритмы – одно из фундаментальных понятий оснований математики. Алгоритм – общепринятое и однозначное предписание, определяющее процесс последовательного преобразования исходных данных в искомый результат. Обучение математике на любом уровне обязательно включает обучение алгоритмам. Умение формулировать и применять алгоритмы важно не только для развития математического мышления и математических умений; оно означает также и умение формулировать правила и выполнять их. Алгоритмизация обучения понимается в современном обучении двух смыслах: обучение учащихся алгоритмам, построение и использование алгоритмов в обучении.

Существует два способа обучения алгоритмам: а) сообщение готовых алгоритмов; б) подведение учащихся к самостоятельному открытию необходимых алгоритмов. Последнее является вариантом эвристического метода обучения и предполагает реализацию трех этапов изучения математического материала:

1. Выявление отдельных шагов алгоритма.

2. Формулировка алгоритма.

3. Применение алгоритма.

Построение алгоритмов обучения представляет собой описание обучающей деятельности учителя с помощью предписаний, правил, последовательности действий алгоритмического типа, с помощью которых, учитель решает определенные дидактические задачи. Тогда часть процесса обучения определённых учащихся конкретному содержанию может быть представлена в виде так называемого "алгоритма обучения", отражающего методическую характеристику учения. Для построения алгоритма нужно проанализировать содержание и цели обучения, деятельность учащихся по его усвоению, деятельность учителя по организации этого усвоения. Алгоритм обучения должен учитывать особенности учащихся данного класса. Алгоритмы обучения являются составной частью педагогических технологий.

1.2       Алгоритмическая культура учащихся

Под алгоритмической культурой принято понимать совокупность специфических представлений, умений и навыков, связанных с понятием

алгоритма, формами и способами его записи; Алгоритмическая культура – это специфическая подсистема культуры,которая прямо и непосредственно связана с социально-информационной деятельностью людей, информационной культурой, культурой мышления. Она характеризует уровень решения и оценки разнообразных задач (от глобальных до частных) как обществом, так и конкретным человеком.

Проблема формирования алгоритмической культуры учащихся особенно актуальна в современном образовательном процессе. Совокупность знаний, умений и навыков работы с алгоритмами формируется у подростков при изучении всех школьных дисциплин. Большая роль при этом отводится школьному математическому курсу. Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые алгоритмы. В ходе изучения математики систематически и последовательно формируются навыки умственного труда: планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов.

Математические навыки у учащихся закрепляются успешнее при введении в учебный процесс специальных предписаний и правил, что служит пропедевтикой формирования в дальнейшем алгоритмической культуры школьников. Постоянное использование в работе алгоритмов и предписаний должно ориентировать учащихся не на простое запоминание определенного плана или последовательности действий, а на понимание и осознание этой последовательности, необходимости каждого ее шага.

Алгоритмический подход – это обучение учащихся какому-либо общему методу решения посредством алгоритма, выражающего этот метод. Повышение алгоритмической культуры учащихся зависит от целей формирования основных компонентов алгоритмической культуры, которая на современном этапе развития общества должна составлять часть общей культуры каждого человека.

Школьный курс математики предлагает большой выбор алгоритмов:

- алгоритм приведения дробей к общему знаменателю;

- алгоритм построения биссектрисы угла;

- алгоритм решения задачи на построение;

- алгоритм исследования функции и построения ее графика;

- алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции и др.

Понимание языковых и алгоритмических аспектов общения составляет необходимый элемент культуры современного человека. Алгоритмы являются неотъемлемой составляющей деятельности людей в различных областях науки: филологии, истории, педагогике и др. Результат деятельности человека любой области знаний зависит от того, насколько четко он осознает алгоритмическую сущность своих действий: что он делает, в какой последовательности и каков ожидаемый результат его действий. Все это определяет аспект культуры мышления человека, характеризующийся умением составлять и использовать в своей деятельности различные алгоритмы.

1.   3 Принципы и компоненты алгоритмической культурыучащихся

Формирование алгоритмической культуры учащихся способствует осознанному восприятию математического материала, что предполагает обязательное наличие общих представлений:

а) об алгоритме и его свойствах;

б) о языковых средствах записи алгоритмов (развернутая форма, табличная форма, блок-схема);

в) об алгоритмических процессах (линейном, разветвляющемся, циклическом).

Язык блок-схем – самый наглядный из всех человеческих языков, используемых для записи алгоритмов.

Выше нами было раскрыто понятие алгоритмической культуры, алгоритмического метода и в частности алгоритма. Выделим основные компоненты данного понятия (М.П.Лапчик):

1. Понятие алгоритма и его свойства. Понятие алгоритма является центральным понятием алгоритмизации и, соответственно, основным компонентом алгоритмической культуры. В обучения алгоритмизации нет необходимости (да и возможности) использовать строгое математическое уточнение этого понятия, достаточно его толкования на интуитивно-наглядном уровне. Существенное значение при изложении приобретают такие содержательные свойства алгоритмов, как понятность, массовость, детерминированность и результативность.

2. Понятие языка описания алгоритмов. Задача описания алгоритма всегда предполагает наличие некоторого языка, на котором должно быть выполнено описание. По этой причине само понятие алгоритма находится в неразрывной связи с понятием языка как средства выражения (представления) алгоритма. Выбор языка в каждом отдельном случае определяется областью применения алгоритма, т.е., по существу, свойствами объекта (человека, автомата, компьютера), выступающего в роли исполнителя. Соблюдение требования строго следовать границам языковых возможностей в общении с тем или иным исполнителем служит в некотором роде первоосновой алгоритмизации.

3. Уровень формализации описания. Понятие уровня формализации описания неразрывно связано с понятием языка. Если описание составлено для автомата, то используемый при этом язык подчиняется строгим ограничениям, которые обычно могут быть сведены в систему формальных правил, образующих синтаксис языка. Сам язык в подобных случаях становится формализованным. Однако на практике в процессе разработки алгоритмов, особенно при построении предварительных описаний, могут использоваться языковые средства, не обязательно строго ограниченные. Более того, такая ситуация возможна и не только в процессе предварительной разработки. Если, к примеру, алгоритм адресуется человеку, то и окончательный вариант алгоритмизации может иметь неформальное, «расплывчатое» представление. Немалое множество используемых на практике алгоритмов «работают» именно в неформализованном варианте. Важно лишь, чтобы алгоритм был понятен исполнителю, т.е. не использовал средств представления, выходящих за границы его возможностей. Таким образом, применяемые на практике уровни формализации представления алгоритмов могут варьироваться в довольно широком диапазоне: от уровня полного отсутствия формализации до уровня формализации «в той или иной мере» и, наконец, до уровня «абсолютной» формализации.

4. Принцип дискретности (пошаговости) описания. Построение алгоритма предполагает выделение четкой целенаправленной последовательности допустимых элементарных действий, приводящих к требуемому результату. Организованная совокупность этих действий образует определенную дискретную структуру описания алгоритма, сообщающую ему ясность и четкость. В различных языках такие отдельные этапы алгоритма представляются различными средствами. В словесных представлениях алгоритма (на естественном языке) – это отдельные предложения, указания, пункты, в языке схем – это отдельные блоки, в объектном языке ЭВМ – это отдельные команды, в алгоритмическом языке высокого уровня – операторы.

5. Принцип блочности. Возможности языка, используемого для построения алгоритмов, вынуждают избирать ту или иную степень детализации описаний. Это обстоятельство не препятствует, однако, тому, чтобы в процессе работы по составлению требуемого алгоритма при описании его первоначальной схемы употребить язык, единицы действия которого более крупны по сравнению с возможностями исполнителя, которому алгоритм адресуется. По сути дела, речь в данном случае идет об умении расчленять сложную задачу на более простые компоненты. Такой путь приходится избирать всегда, когда задача оказывается достаточно сложной, чтобы алгоритм ее решения в нужном языке можно было описать сразу. В этом случае задача разбивается на информационно замкнутые части (блоки), которым придается самостоятельное значение, и после составления первоначальной схемы, связывающей части задачи, проводится работа по детализации отдельных блоков. Каждый из этих блоков может быть детализирован по только что описанному принципу. При окончательном построении алгоритма из блоков возможны два принципиально различных подхода:

а) детальное представление блока помещается в соответствующее место алгоритма, а сам блок, исчерпав свою роль общего приема поиска алгоритма, как бы «растворяется» в нем;

б) содержание блоков не встраивается в алгоритм, а в его соответствующих местах помещаются ссылки – обращение к размещенным отдельно блокам; окончательным алгоритмом считается совокупность главного алгоритма и всех его отдельных блоков (вспомогательных алгоритмов).

6. Принцип ветвления. Требование алгоритмической полноты языков, используемых для представления алгоритмов, должно обеспечивать наличие средств, позволяющих реализовывать в алгоритмических описаниях логические ситуации, т.е. ситуации, в которых требуется принятие решения в зависимости от заданных начальных условий. Организация таких алгоритмов требует умелого использования логических (разветвляющих) средств языка. Существенными компонентами алгоритмической грамотности здесь является осознание того, что:

а) описание должно предусматривать все возможные варианты исходных данных и для каждой их комбинации быть результативным;

б) для конкретных значений исходных данных исполнение алгоритма всегда проходит только по одному из возможных путей, определяемому конкретными условиями.

7. Принцип цикличности. Эффективность алгоритмических описаний в большинстве случаев определяется возможностью неоднократного использования одних и тех же фрагментов описаний при различных значениях входных величин. Именно на этом приеме основано построение описаний, не удлиняющихся при увеличении объема действий, предусматриваемых этими описаниями. Возвращение к повторному прохождению одного и того же фрагмента описания может быть организовано с применением логических средств языка, однако язык может содержать и специальные средства организации циклических алгоритмов (например, операторы цикла в языках высокого уровня). И в том и другом случае существенным компонентом алгоритмической культуры здесь является понимание общей схемы функционирования циклического процесса и, что особенно важно, умение выделять при построении алгоритмов повторяющуюся (рабочую) часть цикла.

8. Выполнение (обоснование) алгоритма. Существенно важным компонентом алгоритмической грамотности является постоянно привлекаемое в процессе алгоритмизации умение воспринимать и исполнять разрабатываемые фрагменты описания алгоритма отвлеченно от планируемых результатов – так, как они описаны, а не так, как может быть, в какой-то момент хотелось бы самому автору или исполнителю. Говоря иными словами, требуется развитое умение четко сопоставлять (и разделять) то, что задумано автором, с тем, к чему приводит фактически написанное.

9. Организация данных. Исходным материалом для алгоритма является информация или исходные данные, которые надлежит обработать. Составитель алгоритма обязан думать не только о том, как и в какой последовательности производить обработку, но и о том, где и как фиксировать промежуточные и окончательные результаты работы алгоритма.

Обучение алгоритмам должно строиться с учётом следующих принципов:

а) создание у учащихся полной ориентировочной основы его применения;

 б) осуществление алгоритмизации на основе приёмов, раскрывающих их происхождение;

 в) алгоритмическая линия должна пронизывать весь процесс обучения математике в школе;

 г) развитие логической культуры учащихся;

 д) обеспечение взаимосвязи алгоритмов;

 е) формирование основных элементов алгоритмической культуры учащихся.

Работа по алгоритмам развивает интерес учащихся к процессу обучения, они стремятся заменить предложенный алгоритм более простым и обосновать целесообразность такой замены, что развивает их творческое и конструктивное мышление. Алгоритмизация обучения предполагает единство между анализом и синтезом и активно влияет на развитие творческого мышления учащихся. Свободное творчество возможно только на базе осознанных алгоритмов.

1.4 Пути формирования алгоритмического стиля мышления учащихся

В учебном процессе необходимо чаще практиковать перевод учебного теоретического материала на язык схем и алгоритмов, что позволит избежать таких негативных явлений в обучении, как:

- отсутствие четкого разделения между шагами действий;

- трудности в определении последовательности выполнения и решения тех или иных задач:

- сложность и невозможность изложения учебного материала четко и алгоритмически.

Особую роль при обучении математике в аспекте формирования алгоритмической культуры учащихся играют алгоритмические задачи . Таковыми являются задачи, для решения которых требуется определенный алгоритм. Роль таких упражнений в обучении математике велика. Решение по алгоритму быстро и легко приводит к желаемому результату. Ученики, хорошо усвоившие необходимые алгоритмы, могут оперировать свернутыми знаниями при решении других сложных задач, причем им не нужно будет прилагать усилия на поиск решения частичных проблем, которые решаются по алгоритму.

Умение учащихся оформить свои рассуждения и весь ход решения задачи в виде таблицы или блок-схемы существенно дисциплинирует мышление учащихся, становится необходимым практическим качеством, способствует более быстрому и сознательному овладению алгоритмическим языком в будущем.

Определение и обеспечение условий для формирования необходимых элементов алгоритмической культуры учащихся являются важнейшими педагогическими задачами по развитию прикладной направленности математического курса.

Составление алгоритмов в курсе математики активизирует умственную деятельность школьников и развивает их математические способности. В процессе преподавания математики необходимо использовать методы, формирующие алгоритмическую культуру учащихся. К таким методам относятся: выполнение заданий по алгоритму, выработка последовательности действий с обоснованием, составление и апробация алгоритмов, конструирование алгоритмов и др.

В современном обучении появилась новая школьная дисциплина – алгоритмика, направленная на формирование и развитие алгоритмического мышления учащихся. Алгоритмика – часть математики, она изучается в 5-7 классах и носит пропедевтический характер. Алгоритмика предусматривает изучение основных алгоритмических конструкций и учит учащихся построению алгоритмов различных типов.

Сознательное выполнение требуемых операций возможно, на наш взгляд, только с помощью чёткого и краткого выполнения последовательности шагов. При систематическом применении учителем в практике своей работы алгоритмов у учащихся вырабатываются навыки алгоритмической культуры.

1.5 Алгоритмическая культура в системе основных требований
к содержанию математического образования и уровню подготовки учащихся

Учебные пособия по математике и алгебре насыщены разнообразными алгоритмами. Практически каждую тему школьного курса математики можно сообщить учащимся в виде алгоритма действия. Как нами было упомянуто выше, алгоритмический подход к изложению материала способствует более качественному усвоению учащимися правил вычисления и некоторых тем. Однако гораздо более приоритетным направлением выступает обучение алгоритмическому подходу в решении задач, умению оценивать эффективность разработанного алгоритма с точки зрения решаемой задачи, выбору технологии для его реализации – то есть, речь идет о знакомстве с методами разработки алгоритмических моделей, реализация которых возможна в рамках любой парадигмы. Простором для алгоритмизации решения задач, конечно, может служить школьный курс стереометрии.

В рамках поставленной проблемы мы проанализируем учебники по геометрии для старшей общеобразовательной школы. В анализ не будут включены учебники профильного уровня обучения.

Проанализировав школьные учебники по геометрии для старших классов таких коллективов авторов как: Атанасян Л. С. и др, Погорелов А. В., Шарыгин И. Ф. приходим к выводу, что алгоритмы действий и решений задач в них практически отсутствуют. В методических пособиях к данным учебникам есть рекомендации по введению алгоритмов на построение пространственных фигур, однако нет ни одного алгоритма к решению тех или иных задач. Во всех пособиях имеются алгоритмы на построение сечений многогранников методом следов. В учебном пособии Шарыгина И. Ф. рассматривается построение сечений многогранников ещё и методом внутреннего проецирования. Тема «Построение сечений» вводится у него алгоритмическим методом базовых задач.

В учебном пособии Погорелова А. В. в объяснительной части присутствуют задачи, которые при определённом приближении, возможно, считать базовыми. Однако это относится не к каждой теме.

В учебном пособии Л. С. Атанасяна нами не было выявлено алгоритмов даже на уровне типовых задач.

Наиболее пестрит разнообразными алгоритмами, базовыми задачами учебное пособие Шарыгина И. Ф. Каждая новая тема содержит достаточное количество примеров в объяснительной части для того, чтобы учащиеся не только смогли понять как работать с данным материалом, но и самостоятельно составить алгоритм решения задачи, т. е. подвести её под какой-либо класс задач. А это уже способствует развитию мыслительной деятельности школьников. Это говорит о способности критически подойти к решению задачи и к её анализу.

Таким образом, нами был подведён итог, что наиболее приближен к алгоритмическому изложению материала учебно-методический комплект разработанный Шарыгиным И. Ф. и др. Однако на наш взгляд, должна быть проделана огромная работа по отбору базовых задач и подаче алгоритмов на первой ступени изучения стереометрии в готовом виде.

2 Методика использования алгоритмов при изучении
стереометрии

1.1 Возможности формирования отдельных компонентов алгоритмической
культуры в процессе изучения стереометрии

Главная  цель  непрерывного образовательного  процесса – не только дать знания о конкретном предмете, но и обеспечить условия для творческой самореализации каждого  ученика, сформированные интеллектуальный и духовный потенциал личности. Одним из важных направлений достижения поставленной цели является поиск и разработка современных форм и методов формирования у школьников алгоритмической культуры. В современном обществе существуют противоречия между потребностямиинформационного общества и уровнем алгоритмической культуры личности, требованиями к алгоритмической деятельности учащихся старших звеньев и их алгоритмической подготовкой на пропедевтическом уровне. 

Понимание языковых и алгоритмических аспектов общения составляет необходимый элемент культуры современного человека. Алгоритмы являются неотъемлемой составляющей деятельности людей в различных областях науки: математике, информатике, филологии, истории, педагогике, и др. Результат деятельности человека любой области знаний зависит от того, насколько четко он осознает алгоритмическую сущность своих действий: что он делает, в какой последовательности и каков ожидаемый результат его действий. Все это определяет аспект культуры мышления человека, характеризующийся умением составлять и использовать в своей деятельности различные алгоритмы.

Школьный курс стереометрии – неплохое подспорье для развития алгоритмической культуры школьников. Задачи – вот аппарат для развития этой культуры. Ни что так не заставляет думать, анализировать, проводить аналогию как задача. Школьный курс стереометрии выстроен таким образом, что каждый новый факт, доказывается, обосновывается предыдущим. В связи с этим не только полезно, но и необходимо вывести общий алгоритм действий при доказательстве теорем или решении задач. Школьный курс стереометрии пестрит разнообразными методами решения задач. Каждый метод возможно представить в виде алгоритма действия, что будет способствовать более качественному усвоению школьниками материала. Гораздо проще один раз запомнить алгоритм применения метода и границы его применимости, нежели каждый раз вспоминать и проводить аналогию с решёнными задачами и уж тем более изобретать решение заново. Другой вопрос, если мы говорим о базисных задачах, речь о которых пойдёт ниже. Но это один из разновидностей алгоритмов. Базисные задачи довольно просты, наглядны и зачастую компактны.

Исходя из анализа учебно-методической литературы по стереометрии, мы пришли к выводу, что материал школьного курса стереометрии является отличным подспорьем для формирования алгоритмической культуры школьников.

Анализ исследований разных авторов, по проблемам алгоритмической культуры учащихся, позволил нам выделить наиболее актуальные компоненты  алгоритмической культуры. Мы предлагаем, для развития алгоритмической культуры, взять за основу компоненты, которые обозначил А.А. Наумов, но перестроить их применительно к обучению школьников десятого класса: 

- мотивационно-ценностный, призванный обеспечить готовность к действию на основе понимания алгоритмизации поставленной задачи; 

-когнитивный, отражающий содержание  алгоритмической  подготовки десятиклассника; 

- технологический – умение использовать алгоритмизацию для решения задач, развивать интерес к алгоритмической деятельности и стереометрии;

- коммуникативный,  предполагающий  конструктивное  ведение  диалога,  обмен  информацией [8].

На наш взгляд, построенная нами система творческих задач и упражнений,  подобранных  таки  образом, чтобы формировать  каждый,  выделенный  выше,  компонент  будет  эффективна  для  формирования  алгоритмической культуры десятиклассников в целом.

2.2 Методика использования алгоритмов при изучении стереометрии на примере конкретной темы

Если говорить о старшей школе, то здесь мы можем выделить несколько типов алгоритмов. В данной курсовой работе мы рассмотрим два различных типа, отражающих выделенные нами компоненты.

2.2.1 Алгоритмы, построенные на основании схем

Первый тип алгоритмов – это своего рода схемы. Ими можно насытить школьный курс геометрии, не придавая особого значения методам и приёмам, благодаря которым этот алгоритм отрабатывается. Ученики просто запоминают схему и двигаются по ней, исходя из условия задачи. Такие схемы можно сделать буквально по каждой главе школьного курса геометрии. Приведём некоторые из них.

«Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»

I.          Случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве

1.Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис.1). Условное обозначение: аúú b.

Определение. Прямые в пространстве могут не пересекаться, но лежать в разных плоскостях. В этом случае они называются скрещивающимися (Рис.2).

Случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве (схема I)

СХЕМА I

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Какие прямые называются параллельными, скрещивающимися? Покажите на параллелепипеде ребра, параллельные и скрещивающиеся с ребром АВ.

2. Какими способами может быть задана плоскость?

3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

4. Назовите случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. На модели параллелепипеда, призмы и пирамиды укажите пары параллельных и скрещивающихся ребер, ответ обоснуйте.

2. Какие две прямые в пространстве не являются параллельными? Почему?

3. Верно ли, что 2 прямые, лежащие в разных плоскостях скрещиваются?

4. Три вершины параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и четвертая вершина принадлежит той же плоскости? Почему?

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Прямая с пересекает параллельные прямые а и в. докажите, что прямые а, в и с лежат в одной плоскости.

2. Пусть а и b пересекающиеся прямые, с- параллельна b. Что можно сказать о взаимном расположении плоскостей, определяемых прямыми а и b, b и с?

3. Пусть а и b-скрещивающиеся прямые. Известно, что прямая а лежит в плоскости a. Известно, что прямая а лежит в плоскости a. Определите может ли прямая в:

А) лежать в плоскости a;

Б) быть параллельной плоскости a;

В) пересекать плоскость a.

Ответ подтвердите чертежами.

5. Выполните контрольные задания

Основной уровень: 1. Пусть а и b- скрещивающиеся прямые. Прямые А₁В₁ и А₂В₂ пересекают прямые а и b. Могут ли прямые А₁В₁ и А₂В₂ быть пересекающимися или параллельными (Рис.3)?

2. Седьмое свойство стереометрии в "Началах" Евклида формулируется так: "Если будут две параллельные прямые и на каждой из них взято по произвольной точке, то соединяющая эти точки прямая будет в одной и той же плоскости с параллельными." Докажите.

Повышенный уровень. В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости?

                   II.     Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

1. Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости (схема II)

Не имеют общих точек (параллельны)

Имеют общие точки

Прямая и плоскость

СХЕМА II  

2. Проверьте усвоение теоретического материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение прямой параллельной плоскости.

2. Какие случаи взаимного расположения прямой и плоскости вы знаете?

3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости,

4. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.

3. Примите участие в учебной беседе. Материал для беседы

1. Докажите признак параллельности двух прямых другим способом, который называется доказательством от противного и заключается в следующем: предположив, что утверждение не выполняется, приходят к противоречию.

2. Всегда ли две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?

3. Верно ли утверждение: “2 прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не лежат в одной плоскости?" Нет ли в нем лишних условий?

4. Верно ли утверждение: “Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости”?

5. Используя признак параллельности прямых и плоскости, в кубе и октаэдре укажите параллельные ребра и грани.

4. Самостоятельно выполните задания, затем проверьте решение

1. Дан параллелограмм ABCD. Через сторону АВ проведена плоскость α, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что CD úú α..

2. Используя признак параллельности прямой и плоскости, в правильной 6-тиугольной призме ABCDEFA₁В₁С₁D₁Е₁F₁ укажите параллельные ребра и грани.

3. Докажите, что в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая АВ параллельна DD₁C₁C.

4. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит прямая, параллельная этой плоскости. Сколько таких прямых?

5. Выполните контрольные задания

Основной уровень.1. Докажите, что если 2 прямые параллельны, то через одну из них проходит плоскость, параллельная другой. Сколько таких плоскостей? 2. Докажите, что если прямая параллельная плоскости, пересекает данную плоскость, то она также пересекает и эту плоскость.

Повышенный уровень. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

               III.     Случаи взаимного расположения двух плоскостей

1.            Ознакомьтесь со следующими теоретическими положениями

Определение. Две плоскости в пространстве называется параллельными, если они не пересекаются.

Случаи взаимного расположения двух плоскостей (схема III)

СХЕМА III

Теорема. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

2. Проверьте усвоение теории материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение двух параллельных плоскостей в пространстве.

2. Какие случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве вы знаете?

3. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

4. Сформулируйте теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей.

3. Примите участие в учебной беседе. Материалы для беседы

1. Докажите терему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей методом от противного.

2. Верно ли утверждения: «Если прямая лежащая в одной плоскости, параллельна прямой лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны?»

3. Верно ли утверждение: «Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны?»

4. Используя признак параллельности двух плоскостей, укажите параллельные грани на модели параллелепипеда, призмы.

4. Самостоятельно выполните задание, затем проверьте решение

1. Докажите, что через точку, не принадлежащей данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная исходной плоскости.

2. Плоскость a пересекает плоскости по параллельным прямым в и с соответственно. Будут ли плоскости b и g параллельны? Ответ обоснуйте. Сделайте соответствующий чертёж.

3. Докажите, что если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

5. Выполните контрольные задания

Основной уровень.1. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 2. Докажите, что для двух скрещивающихся прямых а и в существует единственная пара параллельных плоскостей a и b, таких, что a проходит через а, b проходит через в.

Повышенный уровень. 1. Как могут быть расположены относительно друг друга три плоскости? Рассмотрите два случая: какие-нибудь две плоскости параллельны; среди плоскостей нет параллельных, они попарно пересекаются.

Таким образом, отрабатывая каждую схему так, как предложено нами выше, можно развить алгоритмическую культуру учащихся. Следует отметить, что данная методика отработки каждой схемы-алгоритма включает в себя выеленные ранее компоненты.

2.2.2 Базисные задачи

Обучение решению геометрических задач – важная состав­ная часть изучения школьного курса геометрии. При решении задач закрепляются теоретические знания, вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность.

Эффективный метод обучения решению геометрических задач основан на использовании при отыскании плана решения задачи некоторых выводов, полученных в решениях так называемых базисных задач. Такой алгоритмический подход к отысканию плана решения той или иной конкретной задачи помогает быстрее найти этот план и успешно реализовать его.

Базисными мы называем задачи на доказательство зависимостей (соотношений), эффективно используемых при решении многих других геометрических задач.

Разумеется, нет и не может быть полного перечня базисных задач, которые должен знать учащийся. В каждом конкретном случае объем алгоритмических сведений может быть больше или меньше того, который приводится в данном курсе. Но какой-то минимум этих сведений решающему задачу должен быть известен, так как без знания такого минимума вряд ли можно продвинуться дальше решения легких задач. Для лучшего запоминания алго­ритмических сведений можно записывать их в отдельную общую тетрадь, в которую обычно записывают также и другие важные сведения из школьного курса математики. Эта тетрадь может служить личным справочником по математике, позволяющим легко найти и вспомнить забытую формулу или алгоритм. Ведение такой тетради способствует быстрейшему запоминанию со­держащихся в ней сведений.

Мы рассмотрим некоторые базисные задачи школьного курса стереометрии применительно к разделу «Прямые, плоскости, углы».

Базисная задача 1.Пусть а – величина угла между наклонной t и ее проекцией на плоскость τ, р–величина угла между проекцией наклонной t и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и у –величина угла между наклонной t и прямой, проведенной через ее основание в плоскости проекции (Рис. 5). Доказать, что справедливо следующее соотношение:cosv = cosacosp. (*)

Рисунок – 5

Примечание 1. Эта зависимость справедлива и в том случае, когда прямая в плоскости проекции не проходит через основание наклонной, но пересекает ее проекцию. В этом случае у – угол между скрещивающимися прямыми.

Примечание2. Зависимость(*)часто называют теоремой о трех косинусах.

Решение. Пусть АО, АВ – наклонная к τ ,ВО – ее проекция на плоскость τ и ВС – прямая, проведенная через основание наклонной в плоскости τ (Рис. 5). Тогда согласно принятому выше ABO = a, OBC=и ABC = y. Проведем ODBCи соединим точкиАи D. Ясно, что ADBC.

Положим АВ = х. Тогда из   АО В:ВО = х cosa,

из  BOD:BD = xcosаcosβ,

изABD: BD = xcosу.

Следовательно,cosy = cosacosβ.

Задача. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами аир. Найти угол между этими диагоналями.

Методический комментарий.  Данная задача решается прямым применением результатов базисной задачи 1⁰ с использованием формул приведения.

Рисунок – 6                                    Рисунок – 7

Задача. Высота правильной треугольной призмы равна А. Через одно из ребер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость (Рис. 6). Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол ее при взятой вершине призмы равен 2а. Определить допустимые значения а.

Методический комментарий.Затруднения в решении этой задачи связаны с тем, что данные в условии линейный элемент и угол не принад­лежат одной плоскости и потому нет такого прямоугольного треугольника, с которого можно было начать решение. Однако с по­мощью зависимости (*) эти затруднения легко преодолеваются.

Базисная задача 2°. Доказать, что, для того чтобы проекция прямой, проведенной через вершину угла (меньшего 180°), вне его плоскости являлась биссектрисой данного угла, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая составляла со сторонами этого угла равные острые углы.

Рисунок – 8

Решение: а) Достаточность. Пусть прямая АВ,проходящая через вершинуВугла CBD, лежащего в плоскости τ, составляет со сторонами данного угла равные углы (Рис. 8). Положим ABC= ABD = y. Из произвольной точки Fлуча ВА опустим перпендикуляр FOна плоскость τ и проведем луч ВО. Положим далее

FBO = a,  CBO = β₁иDBO = ₂.

В соответствии с условием 0°<у<90° нетрудно показать, что a, β₁ и β₂ также удовлетворяют этому требованию. Используя результат задачи1°, имеем

cosy = cosacosβ₁,  cosy = cosаcosβ₂,

откуда cosβ₁ = cos β₂, следовательно, β₁= β₂, т. е. луч ВО— бис­сектриса угла CBD.

б) Необходимость. Пусть ВО— биссектриса угла CBD. Положим

CBO=DBO = β,  ABO = a,

АВС = у₁и  ABD = y₂.

Из задачи 1° имеем:

cosу₁ = cos a cosβ, cosу₂ = coscos β.

Из выписанных равенств следует, что y₁=y₂, т.е.

АВС = ABD.

Задача. Основанием призмы ABCA_lB_lC_lслужит правильный треугольник ABCсо стороной а (Рис. 9). Вершина А₁проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА₁наклонено к плоскости основания под углом 60°. Определить боковую поверхность призмы.

Методический комментарий. Так как вершина А₁проектируется в центрОнижнего основания призмы, то на основании задачи 2° боковое ребро АА₁ составляет со сторонами основания АВ и АС равные углы. Используя задачу 1°, получают «нужные» углы, находят их значения и выражают стороны с помощью углов.

В грани АА₁С₁С из вершиныСпроведем перпендикуляр на ребро АА₁. Аналогично из вершины В. Из равенства углов А₁АВ и А₁АС следует, что оба перпендикуляра попадут в одну и ту же точку Е на ребре АА₁и BE – СЕ. Из построения ясно, что треугольник ВСЕ – перпендикулярное сечение призмы. Далее переходят к формулам площадей.

Рисунок – 9

Задача. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCDсо стороной, равной а, и острым углом 60° (Рис. 10). Ребро АА₁также равно а и образует с ребрами АВ и ADуглы 45°. Определить объем параллелепипеда.

Методический комментарий.Так как ребро АА₁образует с ребрами основания АВ и ADравные углы, то ортогональная проекцияОвершины А₁на плоскость основания принадлежит его диагонали АС.Используя задачу 1°, находим значения углов, с помощью которых выражаем стороны и подставляем в формулу объёма параллелепипеда.

Рисунок – 10

Задача3°. В одной из граней двугранного угла, величина которого равна а, проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол р (0° < β < 90°). Определить угол, который эта прямая образует с другой гранью.

Рисунок – 11

Решение. Пусть АВС – линейный угол данного двугранного угла, грани которого обозначим буквами τ и σ (Рис. 11). Согласно условию АВС = а. Пусть AD–данная в условии прямая: ADτ и ADB = β. Так как АС, то ADCискомый.

Положим  ADC = yи AD = x.

ИзADB

AB =x sin β.

Из  АВС

AC = xsinβsina.

ИзADC

siny=AC : AD = sin а sin β. Итак, имеем:

sin y = sin a sin β.

Примечание.По аналогии с задачей 1° мы будем называть получен­ную зависимость теоремой о трех синусах. Эту задачу можно сформулировать так: доказать, что синус угла, образованного прямой, лежащей в плоскости одной из граней двугранного угла, с другой гранью, равен произведению синуса двугранного угла на синус угла, который упомянутая прямая составляет с ребром двугранного угла.

Задача. Найти объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и образует с боковой гранью угол а.

Методический комментарий. Сначала следует воспользоваться данными, полученными из задачи 3⁰. Далее найдём площадь нижнего основания пирамиды с помощью радиуса вписанной окружности. Можно найти объём пирамиды, воспользовавшись для начала функцией тангенса, а затем перейти к функциям синуса и косинуса в конечной формуле.

2.4°. Доказать, что для трехгранного угла, плоские углы которого равны a, β и y и двухгранный угол при ребре, противолежащем плоскому углу y, равен φ, имеет место следующая зависимость:

Рисунок – 12

Примечание. Эту зависимость часто называют теоремой косинусов для трехгранного угла.

Решение. В трехгранном угле SABC(Рис. 12) имеем BSC = a, ASC = β и ASB = y. Через произвольную точку С₁принадлежащую ребру SC, проводим плоскость, перпендикуляр­ную этому ребру и пересекающую ребра SAи SBв точках А₁ и В₁соответственно. Угол А₁С₁В₁ – линейный угол двугранного угла при ребре SC, и согласно условию А₁С₁В₁ = φ. Положим SC_x = x. Тогда из  SB₁C₁

B₁C₁=xtgα;

изSA₁C₁

  A₁C₁=x tg β;

Из A₁B₁ (по теореме косинусов)

A₁=

Из A₁B₁C₁ (аналогично)

A₁=

Из (1) и (2) имеем:

 – 2

откуда cosϕ = .

Задача.  Основанием призмы служит правильный треуголь­ник со стороной, равной а. Боковое ребро равно bи составляет с пересекающими его сторонами основания острые углы, соответственно равные аи β. Найти объем призмы.

Методический комментарий.Пусть АВСА₁В₁С₁(Рис. 13) – данная в условии призма, основанием которой является правильный треугольник ABC.

Проведем А₁ЕАС и соединим точкуЕс основанием О высоты призмы А₁О. В зависимости от числовых значений а, Р и Ь точкаОможет находиться внутри, на границе и вне треугольника АВС, однако ее положение не влияет на ход решения.

На рисунке 13 точка О лежит внутри треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах OEAC, и потому угол А_хЕО– линейный угол двугранного угла пря ребре основания АС. Положим А₁ЕО = . Тогда по 4° для трехгранного угла с вершинойАвыражаем косинус угла. Для нахождения объёма необходима функция синуса, поэтому выразим синус через косинус и преобразуем формулу объёма призмы.

Рисунок – 13

Задача5°. Плоскость пересекает боковые ребра SA, SB и SCпроизволъной треугольной пирамиды SABC в точках A₁, В₁и С₁так, что SA₁= kSA, SB₁=lSB и SC₁ = mSC, где каждое из чисел k, l и m больше 0, но меньше 1. Доказать, что объем отсекаемой плоскостью пирамиды V₁связан с объемом данной пирамиды V соотношением 

V₁=klmV                                       

                                         Рисунок – 14

Решение. Примем за основание данной пирамиды грань SBC(или, как иногда говорят, «положим пирамиду на грань SBC») (Рис. 14). ТогдаА– вершина пирамиды. Проведем АОSBCи соединим точкиОи S. Из точки А₁ на ребре SAпроведем А₁О₁пл. SBC. Тогда  О₁принадлежит отрезку SO.

Из подобия треугольников SA₁O₁и SAOи данных условия следует, что А₁О₁=kAO. Положим и найдем объем V₁ пирамиды A₁SB₁C₁:

V₁=

Задача. Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найти отношение объемов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три ребра, сходящиеся в одной вершине, в отношениях 1:2, 1:2 и 2:1, считая от этой, вершины.

Рисунок – 15

Методический комментарий. Данная задача решается строго с использованием  базисной, так как коэффициенты отношений уже даны.