Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Серия факультативных занятий по теме "Задачи на разрезания"

Серия факультативных занятий по теме "Задачи на разрезания"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Серия факультативных занятий по теме «Решение задач на разрезание»

Пояснительная записка

Основные цели, которые мы ставим на факультативных занятиях заключаются в следующем:

  1. Изложить материал о видах разрезания многоугольников;

  2. Способствовать формированию умений у учащихся мысленно осуществлять такие преобразования как:

    • параллельный перенос,

    • поворот,

    • центральную симметрию и различные композиции данных преобразований.

  3. И главною целью всех занятий: добиться положительного изменения способностей к пространственному мышлению.

Задачи, предлагаемые на факультативных занятиях носят творческий характер, их решение требует от учащихся следующих умений:

  1. умение совершать такие мысленные преобразования, которые видоизменяют местоположение имеющихся у учащихся в представлении образов, их структуру, строение;

  2. умение изменять образ и по местоположению, и по структуре одновременно и неоднократно совершать композиции отдельных операций.

Тематическое планирование:

1. Анкета № 1 – 1 час.

2. Задачи на разрезание. Разрезание типа R – 1 час.

3. Разрезание типа Р – 1 час.

4. Разрезание типа Q – 1 час.

5. Разрезание типа S – 1 час.

6. Разрезание типа T – 1 час.

7. Анкета № 2 – 1 час.

При составлении серии факультативных занятий были использованы задачи из журналов «Квант», «Математика в школе» и книги Г. Линдгрена.

Методические рекомендации: При знакомстве учащихся с задачами мы рекомендуем данные задачи рассматривать именно по типам разрезания, предложенным Г. Линдгреном, что позволяет, с одной стороны, классифицировать данные задачи, с другой – на занятиях решать задачи на пространственные преобразования различного уровня сложности (на второй и третий типы оперирования образами, по И.С. Якиманской). Задачи факультативных занятий рекомендуем использовать при работе с учащимися 7 – 9 классов.

Занятие № 1

Тема: Задачи на разрезание. Разрезание типа R (рациональное разрезание).

Цель: Познакомить учащихся с понятием задачи на разрезание, изложить суть разрезания типа R, осуществив разбор решения задач на данный тип разрезания, в процессе решения задач способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, плакат.

I этап: Ориентированный этап

Метод: объяснительно – иллюстративный.

Учитель: на доске плакат:

Схема: Задачи на разрезание

Задачи на разрезание

1)Фигуру разрезать на несколько фигур

3)Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

hello_html_52240516.gifhello_html_m1586c114.gifhello_html_2206d408.gif




2) Сложить фигуру из заданных фигур




Среди всех задач на разрезания большую их часть составляют задачи на рациональные разрезания. Это связано с тем, что подобные разрезания легко придумать да и головоломки на них основанные не слишком простые и не слишком сложные.

Задачи на R - разрезание

hello_html_52240516.gifhello_html_m1586c114.gifhello_html_2206d408.gif




1) Фигуру разрезать на несколько (в основном равных) фигур

3) Перекроить одну или несколько фигур в заданную фигуру

2) Сложить фигуру из заданных (в основном равных) фигур






3.1. С использованием ступенчатого разрезания

3.2. Без использования ступенчатого разрезания

hello_html_463f4a12.gifhello_html_3d4e1250.gif








Познакомимся с решением задач на каждый вид R разрезания.

II этап: Этап решения задач

Методы: частично-поисковый

Задача № 1 (AII): Разрежьте квадрат со стороной четыре клетки на две равные части. Найдите как можно больше способов разрезания.

Замечание: Разрезать можно только по сторонам клеток.

Решение:


hello_html_m76ab272e.pnghello_html_m5e2aeec.pnghello_html_m6cc215e2.png



hello_html_m41caeb2b.pnghello_html_m528031de.pnghello_html_m10636dd2.png


Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний, затем учитель обобщает все способы разрезаний найденные учащимися.

Задача № 2 II): Разрежьте данные фигуры на две равные части.

Замечание: Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по диагонали.


hello_html_m648388df.pnghello_html_m10183c05.pnghello_html_145d44b0.png

hello_html_1f96be49.pnghello_html_356a015b.png


Учащиеся в тетрадях осуществляют поиск таких разрезаний с помощью учителя.

Квадрат имеет много замечательных свойств. Прямые углы, равные стороны, симметричность придает ему простоту и совершенство формы. На складывание квадратов из одинаковых и различных по форме частей существует множество головоломок.

Кhello_html_2272ece2.gif примеру задача № 3 II): Даны четыре одинаковые детали. Составьте из них мысленно, используя каждый раз все четыре детали квадрат. Все пробы делайте на бумаге. Результаты решения оформите в виде рисунка, сделанного от руки.

Решение:

hello_html_5e869615.gif



Разрезанная на части шахматная доска, которую надо правильно сложить – одна из популярных и известных головоломок. От того, на сколько частей доска разделена, зависит сложность сборки.

Предлагаю следующую задачу:

Задача № 4 II): Собрать шахматную доску из частей изображенных на рисунке.


hello_html_16585c36.pnghello_html_6df9575f.pnghello_html_eaffed6.png

hello_html_7801ffb7.pnghello_html_254a7e4e.png

Решение:

hello_html_m5e0676f9.png

Задача №5 II): Разрежьте «Кораблик» на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

hello_html_m46243739.png

Решение:

hello_html_m53c7ea84.png

1) разрезать на две части как на рисунке

  1. одну из частей перевернуть (т. е. осуществить поворот)

hello_html_5bac30d0.png

Задача № 6 II): Любую из трех фигур, можно разрезать на две части, из которых нетрудно сложить квадрат. Найдите такие разрезания.


а) hello_html_3e962af9.pngб) hello_html_m3c0620d6.png


в) hello_html_m5cba5f63.png

Решение:

а

поворот части 1 относительно части 2

параллельный перенос части 1 относительно части 2

поворот части 1 относительно части 2

) hello_html_m38753867.png б) hello_html_721a7766.pngв) hello_html_4c1ce7d5.png



Задача № 7 II): Прямоугольник со сторонами 4 и 9 единиц разрезать на две равные части, сложив которые надлежащим образом, можно было бы получить квадрат.



hello_html_793cdc78.png

4

9

В данной задаче рекомендуют использовать ступенчатое разрезание, суть которого заключается в следующем:

  1. разрез делается в виде ступенек, высота и ширина которых одинакова;

  2. фигура разбивается на части и одну часть передвигаем на одну (или несколько) ступеньку вверх, поместив ее на другую часть.

Решение:

hello_html_13b6565a.png

параллельный перенос части 1

hello_html_34be6a63.png



Задача № 9 II): Разрезав фигуру, изображенную на рисунке, на две части сложите из них квадрат так, чтобы цветные квадратики были симметричны относительно всех осей симметрии квадрата.

hello_html_m34549b21.png

Решение:

hello_html_m62955b21.png

параллельный перенос части 1

hello_html_m5384f7ae.png


Задача № 9 III): Как нужно разрезать два квадрата 3 х 3 и 4 х 4, чтобы из получившихся частей можно было бы сложить один квадрат? Придумайте несколько способов. Постарайтесь обойтись как можно меньшим числом частей.

hello_html_m556022cf.pnghello_html_m54f3eba.png

Решение:

1hello_html_m53a5d0eb.gif

параллельный перенос частей

способ: hello_html_791a6915.pnghello_html_536b275.pnghello_html_mb3d2f60.png




2hello_html_m53a5d0eb.gif

параллельный перенос и поворот

способ: hello_html_m7e9cd6df.pnghello_html_4cce2034.pnghello_html_m41c070d5.png



3

параллельный перенос и поворот

hello_html_m53a5d0eb.gif способ: hello_html_m32e6dd3c.pnghello_html_cf60276.pnghello_html_3e4e4920.png


4hello_html_m53a5d0eb.gif способ: hello_html_m244aa554.pnghello_html_48d29a.pnghello_html_666c0a00.png

параллельный перенос и поворот частей



Учащиеся с помощью учителя осуществляют поиск разрезаний.

III этап: Постановка домашнего задания.

Задача № 10 III): Фигуру изображенную на рисунке, требуется разделить на 6 одинаковых частей, делая разрезы только по линиям сетки. Сколькими способами вам удастся это сделать?

hello_html_m5059adc6.png

Решение: Два возможных решения.

hello_html_m9eb5aa8.pnghello_html_23c01ab4.png

Задача № 11 II): Сложите шахматную доску из заданных частей.

hello_html_1cbea377.pnghello_html_m76e2e3dd.pnghello_html_4f3fdbee.pnghello_html_m30cf0f5e.pnghello_html_51e3b042.png

hello_html_m3ea5acb8.pnghello_html_m467e8822.pnghello_html_7fd9c4c9.pnghello_html_63835de.pnghello_html_m48016abb.png

Решение:

hello_html_607dcc85.png


Задача № 12 III): Преобразуйте прямоугольник размера 3 х 5 в прямоугольник размером 5 х 3, причем соответствующие части не должны поворачиваться.

Примечание: воспользуйтесь ступенчатым разрезанием.

Решение: (параллельный перенос)

hello_html_m607b69dd.pnghello_html_m53a5d0eb.gifhello_html_98608df.gifhello_html_4093e87d.pnghello_html_m707d9608.png

Задача № 13 III): Разрежьте одним разрезом фигуру на 2 части, чтобы сложить квадрат 8 х 8.

hello_html_m37476bfd.png

Решение:

hello_html_m5931532a.pnghello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_m1524d680.png

поворот части 2 относительно части 1


Методические указания: Задачи на разрезание типа R одни из легких и интересных. Многие задачи на данный тип разрезания подразумевают несколько способов решения и самостоятельное решение учащимися данных задач может способствовать выявлению всех способов решения. Задачи 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 предполагают работу учащихся с изображением фигур, путем осуществления мыслительных преобразований («разрезание», сложение, поворот, параллельный перенос). Задачи 4, 5, 9, 11 предполагают работу учащихся с моделями (из бумаги), путем непосредственного разрезания фигуры ножницами и осуществлением математических преобразований (поворота, параллельного переноса) происходит поиск решения задач. Задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 – на второй тип оперирования образами, задачи 9, 10, 12 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 2

Тема: Разрезание типа P ( Р сдвиг параллелограмма).

Цель: Изложить суть разрезания типа Р, в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекраивание, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит проблему (решить задачу № 1) и показывает ее решение.

Задача № 1 III): Преобразовать параллелограмм со сторонами 3 и 5 см в новый параллелограмм с теми же углами, что и у исходного параллелограмма, одна из сторон которого равна 4 см.

Решение: 1)

hello_html_m44060e70.png

2)

hello_html_50c78fae.png

3)

4) hello_html_69b391f4.png

АВСD – параллелограмм

АВ = 3, АD = 5

  1. проводим разрез АО ВО = DК = 4;

  2. сдвигаем часть 1 вверх (параллельный перенос) вправо вдоль линии разреза до тех пор, пока точка О не попадет на продолжение стороны DC;

  3. проводим разрез КА’ так, что КА’ || DC;

  4. и Δ АА’К вставляем в выемку, расположенную ниже точки О (параллельный перенос Δ АА’К вдоль прямой АО).

КВОD искомый параллелограмм (КD = 4)

KDO = ADC, BAD = 1 + 4,

1 = 2 и 4 = 3 – накрест лежащие при параллельных прямых.

Следовательно, BAD = 2 +3 = BOC = BKD, BAD = BKD и т.д.

У

Задачи на Р сдвиг

Перекроить одну или несколько фигур в другую фигуру

hello_html_m2df47aa7.gifчитель:







Суть разрезания типа Р:

  1. делаем разрез данной фигуры, который удовлетворяет требованиям задачи;

  2. осуществляем параллельный перенос отрезанной части вдоль линии разреза до совпадения вершины отрезанной части с продолжением другой стороны исходной фигуры (параллелограмма);

  3. делаем второй разрез параллельный стороне параллелограмма, получаем еще часть;

  4. осуществляем параллельный перенос вновь отрезанной части вдоль линии первого разреза до совпадения вершин (вкладываем часть в выемку).

II этап: Этап решения задач

Методы: объяснительно – иллюстративный

Задача № 2 II): Преобразуйте квадрат 5 х 5 в прямоугольник с шириной 3.

Решение:

1)hello_html_m2461c506.png2) – 3) hello_html_c0964f4.png4)hello_html_11868647.png

  1. разрез АО / ВО = DТ = 3

  2. параллельный перенос ΔАВО вдоль прямой АО до тех пор пока точка О (DC)

  3. разрез ТА’ / ТА’ || СD

  4. ΔAAT параллельным переносом вдоль прямой АО.

TBOD искомый прямоугольник (ТВ = 3).

Задача № 3 III): Сложить из трех одинаковых квадратов один большой квадрат.

Примечание: из трех квадратов сложите прямоугольник затем примените Р сдвиг.

Решение:

Sпр = 1.5 * 4,5 = 6,75

S

hello_html_4b37c9f0.gif

кв = 6,75 = hello_html_4b37c9f0.gif

1) hello_html_m29c9d17f.png2) – 3) hello_html_4594ff23.png

4) hello_html_8c347d0.png


Задача № 4 III): Перекроите прямоугольник 5 х 1 в квадрат

П

hello_html_27051504.gif

римечание: сделайте разрез АВ (АW =hello_html_27051504.gif), к прямоугольнику ХУВА примените Р сдвиг.

hello_html_331e82b8.png

Решение:

1) hello_html_198b795d.png

2) – 3) hello_html_m764750dc.png4) hello_html_289ce262.png5) hello_html_ma14c3.png

  1. УС = hello_html_27051504.gif;

  2. параллельный перенос ΔХУС вдоль ХС;

  3. разрез Х’К / КХ’ ||АВ;

  4. параллельный перенос ΔХХ’К вдоль ХС;

  5. прямоугольник КУСА помещаем на прямоугольник ABZW;

  6. AУСW – искомый квадрат.

Задача № 5 III): Преобразуйте русское Н в квадрат.

Примечание: сделайте разрез как показано на рисунке, из полученных частей сложите прямоугольник.

hello_html_m291c547b.png

Решение:

hello_html_m6042010d.png


hello_html_18938f03.pnghello_html_m4158a580.png

Задача № 6 (BIII): Треугольник преобразуйте в трапецию.

Примечание: сделайте разрез как на рисунке.

hello_html_491e3dc1.png

Решение:

hello_html_70511505.pnghello_html_1a46bf90.png

hello_html_4f91f4ae.png

  1. поворот части 1;

  2. разрез АВ;

  3. ΔАВС параллельным переносом вдоль АВ до тех пор пока точка В (FM)

  4. разрез ОР / ОР || FM;

  5. ΔАОР параллельным переносом вдоль АВ. Точка Р совпадает с точкой В;

  6. OFBC искомая трапеция.


Задача № 7 III): Из трех равных греческих крестов сделать один квадрат.

Решение:

hello_html_60b0cb7.pnghello_html_m54462b5e.pnghello_html_m2c308608.png

hello_html_751df0ba.pnghello_html_m6be2b63a.pnghello_html_7fb220bd.png

III этап: Постановка домашнего задания

Задача № 8 III): Преобразовать букву Т в квадрат.

Примечание: Сначала из буквы т перекроите прямоугольник.

Решение: Sт = 6 (ед2), Sкв = (hello_html_m75351874.gif)2

hello_html_m31bd5f14.pnghello_html_38d8ff39.gifповорот hello_html_6297ab19.png

hello_html_50c7ac1e.pnghello_html_5351c983.gif

композиция параллельных переносов

hello_html_m4f3e2ed6.png

МВ = КС = hello_html_m75351874.gif

Задача № 9 III): Перекроите изображенный на рисунке флаг в квадрат.

Примечание: Сначала флаг преобразуйте в прямоугольник

Решение:

hello_html_3556bf35.pnghello_html_98608df.gifповорот hello_html_455617fe.png

Sфл = 6,75 АВ = СD =hello_html_4b37c9f0.gifSкв = (hello_html_4b37c9f0.gif)2

hello_html_m6d8ddce6.pnghello_html_m14104ae5.gif

параллельный перенос

hello_html_m11883708.png

Методические указания: При знакомстве учащихся с задачами на разрезание типа Р, суть данного типа разрезания мы рекомендуем излагать при решении конкретной задачи. Решения задач мы советуем сначала осуществлять на моделях (из бумаги), непосредственным разрезанием фигур ножницами и совершением параллельного переноса, а затем в процесс решения задач от моделей фигур переходить к работе с изображением геометрических фигур, путем осуществления мыслительных преобразований (разрезание, параллельный перенос).

Занятие № 3

Тема: Разрезание типа Q (Q – сдвиг четырехугольника).

Цель: Изложим суть разрезания типа Q, в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: проблемное изложение.

Учитель ставит перед учащимися проблему (решить задачу № 1) и показывает решение.

Задача № 1 (BIII): Данный четырехугольник преобразуйте в новый четырехугольник.

hello_html_mcd560a8.png


Решение:

hello_html_28020295.pnghello_html_69b0060f.png

  1. проводим разрез НР так, что ВН = МН, PF = DF;

  2. проводим разрез МЕ / МЕ || ВС;

  3. проводим разрез РТ / РТ || AD;

  4. Δ3 и Δ1 поворачиваем по часовой стрелке относительно части 2;

  5. Часть 1 параллельным переносом по прямой HF до тех пор пока точка Т АР;

  6. АМСР искомый четырехугольник (со стороной СР и АМ (в условии могут быть заданы)).

Задача № 2 III): Преобразовать четырехугольник в новый четырехугольник (длинный четырехугольник).

hello_html_7115e52e.png

Решение:

hello_html_m5c625309.pnghello_html_m53a5d0eb.gifhello_html_m65280e3.png

  1. (поворот части 1 относительно точки О пока УО совпадет с АО);

  2. (поворот части (1 – 2) относительно точки Т пока ВТ не совпадет с WT);

XAZW искомый четырехугольник.

В задачах с использованием Q разрезаний делаются разрезы и отрезанные части подвергаются преобразованию поворота.


Задачи на Q разрезание


hello_html_m2df47aa7.gif


преобразовать данную фигуру (четырехугольник) в другую фигуру (четырехугольник)





Во многих задачах элементы Q сдвига используются при преобразовании треугольника в какой-либо четырехугольник или наоборот (треугольник как «четырехугольник», одна из сторон которого имеет нулевую длину).

II этап: Этап решения задач

Задача № 3 II): От треугольника отрезан маленький треугольник, как показано на рисунке. Переложи маленький треугольник так, чтобы получился параллелограмм.

hello_html_437920d3.pnghello_html_5107acc0.png

Поворот части 1 относительно точки Р пока КР совпадет с МР.

АОО’М – искомый параллелограмм.

Задача № 4 (BII, BIII): Какие из данных треугольников можно превратить в прямоугольники, сделав один (два) разрез и переложив полученные части?

1)hello_html_m1011c116.png2)hello_html_m6c98db61.png3)hello_html_m1bb64775.png4)hello_html_bf96f5.png

5)hello_html_5be0a118.png

Решение:

1)hello_html_5b18d447.pnghello_html_m430fa936.png

5) hello_html_2f1e3194.pnghello_html_m5fa89403.png

1), 5) один разрез (разрез – средняя линия треугольника)

2)hello_html_545f67f4.pnghello_html_7a091ff.png

3)hello_html_m4744d416.pnghello_html_mee938d9.png

4) hello_html_743f1ab8.pnghello_html_30774b9d.png

2), 3), 4) два разреза (1-ый разрез – средняя линия , 2-ой разрез – высота из вершины треугольника).

Задача № 5 II): перестройте трапецию в треугольник.

hello_html_m2c62f77f.png

Решение:

hello_html_m118ff32f.pnghello_html_46febe9b.pnghello_html_m2887a83d.png

  1. разрез КС (АК = КВ)

  2. поворот ΔКВС вокруг точки К так, чтобы отрезки КВ и КА совместились.

ΔFCD искомый треугольник.

Задача № 6 III): Как разбить трапецию на фигуры, из которых можно составить прямоугольник?

hello_html_1d504c41.png



Решение:

hello_html_13be41ca.png

hello_html_496ad46e.png

1) разрез ОР (АО = ОВ, ОР┴АD)

2) разрез TF (CT = TD, TFAD)

  1. поворот части 1 относительно точки О так, чтобы АО и ВО совместились.

  2. Поворот части 2 относительно точки Т так, чтобы DT и СТ совместились.

  3. PLMF – прямоугольник.

III этап: постановка домашнего задания.

Задача № 7 III): преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольный треугольник.

Замечание:

1) сначала преобразуйте произвольный треугольник в прямоугольник.

2) прямоугольник в прямоугольный треугольник.

Решение:

hello_html_3a237014.pnghello_html_m53a5d0eb.gifhello_html_m408e67fc.gifповорот hello_html_m389ae043.png


hello_html_2f71f418.png

Задача № 8 II): Произвольный параллелограмм преобразуйте в треугольник, сделав лишь один разрез.

Решение:

hello_html_2b6c9097.pnghello_html_135117ce.gifповорот

hello_html_a345273.png

Поворот части 2 вокруг точки О на 180º (центр симметрии)

Методические указания: Изложение сути Q разрезания мы рекомендуем

осуществлять в процессе решения конкретных задач. Основными математическими преобразованиями, которыми пользуются в решении задач на данный тип разрезания являются: поворот (в частности центральная симметрия, параллельный перенос). Задачи 1, 2, 7 – на практические действия с моделями геометрических фигур, в задачах 3, 4, 5, 6, 8 подразумевается работа с изображением геометрических фигур. Задачи 3, 4, 5, 8 – на второй тип оперирования образами, задачи 1, 2, 4, 6, 7 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 4.

Тема: Разрезание типа S.

Цель: Изложить суть разрезания типа S, в процессе решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, перекрывание, поворот, параллельный перенос, центральная симметрия), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап.

Метод: объяснительно-иллюстративный.

Задача № 1 II): как перекроить параллелограмм, стороны которого 3,5 см и 5 см, в параллелограмм со сторонами 3,5 см и 5,5 см, сделав лишь один «разрез»?

hello_html_m78bc312c.png


Решение:

hello_html_6e9177a8.png

hello_html_m436595a4.png

1) проведем отрезок (разрез) СО = 5,5 см, параллелограмм разбили на две части.

2) треугольник СОМ прикладываем к противоположной стороне параллелограмма АК. (т. е. параллельный перенос ∆ СОМ на отрезок СА в направлении СА).

3) САОО` искомый параллелограмм (СО = 5,5 см, СА = 3,5 см).

Задача № 1 III): покажите как можно разрезать квадрат на 3 части, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, у которого одна из сторон вдвое больше другой.

Решение:

hello_html_11d4e58.pnghello_html_20bc5cb1.png

Постройте квадрат ABCD

  1. проведем диагональ АС

  2. проведем половину диагонали BD отрезок OD (ODAC), OD = ½ AC. Постройте из полученных 3-ех частей прямоугольник (длиной АС, шириной AD

Для этого:

  1. осуществите параллельный перенос частей 1 и 2. часть 1 (∆1) в направлении DА, ∆2 в направлении АВ на отрезок АВ.

АОО`С искомый прямоугольник (со сторонами АС, ОА = ½ АС).

Учитель: Мы рассмотрели с вами решение 2-х задач, тип разрезания используемый в решении данных задач носит образное название S-разрезание.

S-разрезание – это в основном преобразование какого-то одного параллелограмма в другой параллелограмм.

Суть данного разрезания в следующем:

  1. проводим разрез, равный по длине стороне требуемого параллелограмма;

  2. осуществляем параллельный перенос отрезанной части до совпадения равных противоположных сторон параллелограмма (т.е. прикладываем отрезанную часть к противоположной стороне параллелограмма)

В зависимости от требования задачи будет зависеть и количество разрезов.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача №3 (BII): разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Начертим произвольный параллелограмм.

Решение:

hello_html_mecb38a5.pnghello_html_m7fba51ef.png


  1. из точки В опустим высоту ВН (ВН┴AD)

  2. осуществим параллельный перенос ∆ АВН на отрезок ВС в направлении ВС.

Сделайте чертеж полученного прямоугольника.

ВНРС – прямоугольник.

Задача№4 (BIII): Стороны параллелограмма 3 и 4см. Превратите его в параллелограмм со сторонами 3,5см, сделав два разреза.

Решение:

hello_html_4ee2047c.png

1) hello_html_m2b0df92.png

hello_html_180ea9fe.png

2) hello_html_m10cc93ce.png

hello_html_535db1a5.png

Искомый параллелограмм.

В общем случае S-разрезание основано на методе наложения полосок, которые позволяют решить задачу о преобразовании любых многоугольников.

В выше изложенных задачах, в связи с их легкостью, мы обошлись без метода наложения полосок, хотя все эти решения могут быть получены именно с помощью данного метода. Но в более сложных задачах без полосок не обойтись.

Кратко метод наложения полосок сводится к следующему:

1) Разрежьте (в этом есть необходимость) каждый многоугольник (многоугольник, который преобразовывают и многоугольник, в который надо преобразовать исходный многоугольник) на части, из которых можно сложить две полоски.

2) Наложите полоски друг на друга под подходящим углом, при этом края одной из них всегда должны быть расположены одинаково по отношению к элементам другой полоски.

3) При этом все линии, расположенные в общей части 2-х полосок, покажут места нужных разрезов.

Буква S, используется в термине «S-разрезание», происходит от английского Strip – полоска.

II этап: Этап решения задач

Убедимся на примере задачи 3, что метод наложения полосок дает искомое решение.

Задача № 3 II): Разделите параллелограмм на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Решение:

1) hello_html_m7d48b7a.png

2) hello_html_m2aea7a74.png

3) hello_html_m1e78b85c.png

1) получим полосу из параллелограмма

2) полосы из прямоугольников

3) наложим полосу 2 на полосу 1, так как показано на рисунке 3

4) получаем требуемое задачи.

Задача № 5 (BIII): В равнобедренном треугольнике отмечены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмеченные точки проведены две прямые. Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

Решение:

hello_html_m23cbe0f3.pnghello_html_m408e67fc.gifhello_html_m7a347bef.png


часть2, 3 – поворот вокруг точки

часть 4 – параллельный перенос

В данной задаче разрезание треугольников уже указано, можем убедиться, что это S-разрезание.

hello_html_2cab4051.png

Задача № 6 (BIII): Преобразуйте три греческих креста в квадрат (используя полоски).

Решение:

hello_html_7d7e1619.pnghello_html_m7c9164b3.pnghello_html_ma3a1d2d.png


1) hello_html_m3d262ab2.png


hello_html_6be00955.png

hello_html_m5f12c188.png

  1. разрежем данные кресты так, чтобы из них сложить элемент полоски;

  2. Sкрестов = 5 х 3 = 15

  3. Sкв = 15 (hello_html_4b3c5209.gif)2 сторона квадрата hello_html_4b3c5209.gif АВ = hello_html_4b3c5209.gif, ВС = hello_html_4b3c5209.gif

Налагаем полоску из квадратов на полоску из крестов так чтобы точка А и точка С принадлежали краям полоски из крестов.

∆АВН = ∆СDВ, следовательно, квадрат состоит из ∆АВС и ∆АВМ.

III этап: Постановка домашнего задания

Задача № 7 III): Данный прямоугольник преобразуйте в другой прямоугольник, стороны которого отличны от сторон исходного прямоугольника.

Примечание: Посмотрите решение задачи 4.

Решение:

hello_html_m2078304a.png

hello_html_785e6be.png

  1. разрез АО (АО – ширина требуемого прямоугольника);

  2. разрез DP / DP AO (DP – длина требуемого прямоугольника);

  3. параллельный перенос ∆АВО в направлении ВС на отрезок ВС;

  4. параллельный перенос ∆АPD на отрезок АО в направлении АО;

  5. PFED требуемый прямоугольник.

Задача № 8 (BIII): Правильный треугольник разбит на части отрезком, из данных частей сложите квадрат.

Примечание: Можете убедиться с помощью наложения полосок, что это S разрезание.

hello_html_m408e67fc.gifhello_html_36c315ca.pnghello_html_1eb35f05.png


hello_html_3ab9dbdc.png

  1. поворот части 2 вокруг точки О;

  2. поворот части 3 вокруг точки С;

  3. параллельный перенос части 4

Дополнительная задача № 9 (BII): Разрежьте параллелограмм по прямой проходящей через его центр, так чтобы из полученных двух кусков можно было сложить ромб.

Решение:

hello_html_m796f280e.png

hello_html_m6e76dfe5.png

AF = AD

QT || AF

QT = AF

O QT

  1. разрез QT;

  2. часть 1 параллельным переносом на ВС отрезок в направлении ВС (CD и АВ совмещаются).

Методические указания: S – разрезание – один из наиболее сложных типов разрезания. Мы рекомендуем излагать суть данного разрезания на конкретных задачах. На занятиях по решению задач на S – разрезание мы рекомендуем использовать задачи, в которых разрезания фигур даны и необходимо из полученных частей сложить требуемую фигуру, это объясняется сложностью самостоятельного осуществления учащимися метода наложения полосок, который составляет суть S – разрезания. При этом учитель на более доступных для учащихся задачах (например, на задачах 3, 5, 8) может показать, как метод наложения полосок позволяет получить разрезания, данные в условиях задач. Задачи 4, 5, 6, 8, 9 – на практические действия с моделями геометрических фигур, задачи 1, 2, 3, 7 – на работу с изображением геометрических фигур. Задачи 1, 3, 9 – на второй тип оперирования образами, задачи 2, 4, 5, 6, 7, 8 – на третий тип оперирования образами.

Занятие № 5

Тема: Разрезание типа Т.

Цель: Изложить суть разрезания типа S, в процессе разбора решения задач на данный тип разрезания, при этом способствовать формированию умений мысленно осуществлять операции (разрезание, сложение, поворот, параллельный перенос), тем самым способствовать развитию пространственного мышления.

Оборудование: бумага, цветные пасты, ножницы, цветные пасты, кодопозитивы.

I этап: Ориентированный этап

Метод: объяснительно-иллюстративный

Учитель: Использование для решения задач Т – разрезания подразумевает составление мозаики, и их последующее наложение. Полоски используемые в S – разрезании могут быть получены из мозаики. Следовательно, метод наложения мозаики обобщает метод полосок.

Рассмотрим суть Т – разрезания на примере решения задач.

Задача № 1 (BIII): Преобразовать греческий крест в квадрат.

1) первый шаг состоит в том, чтобы исходный многоугольник преобразовать в элемент мозаики (и в этом есть необходимость);

2) из данных элементов составляем мозаику № 1 (составляем мозаику из греческих крестов);

hello_html_m577bbf96.png

3) из многоугольника, который требуется составить составляем мозаику № 2 (составляем мозаику из квадратов).

Sкреста = 5

S кв = (hello_html_27051504.gif)2, сторона квадрата = hello_html_27051504.gif.

hello_html_m457771b2.png

4) накладываем мозаику № 2 на мозаику № 1 , так чтобы центры мозаик совпадали (накладываем мозаику из квадратов на мозаику из крестов, так чтобы центры крестов совпали с вершинами квадратов).

hello_html_2f9173c9.png

5) все линии расположенные в общей части двух мозаик покажут места нужных разрезов.

hello_html_6a5ec86b.pnghello_html_5073de46.gifhello_html_m7b7c9666.png

II этап: Этап решения задач

Метод: частично - поисковый

Задача № 2 (BIII): Греческий крест разрезан на три части, сложите из этих частей прямоугольник.

Примечание: можем убедиться, что данное разрезание есть разрезание типа Т.

Решение:

hello_html_63074407.pnghello_html_51e8a203.png

  1. поворот части 1 вокруг точки О;

  2. поворот части 2 вокруг точки А.

hello_html_m3f6dab2a.png

Задача № 3 (BIII): Выпуклый четырехугольник разрежем по двум прямым, соединяющим середины противоположных сторон. Покажите, что из полученных четырех кусков всегда можно сложить параллелограмм.

hello_html_58979c53.pnghello_html_533887e8.png

  1. часть 2 поворот вокруг точки О (или центр симметрии) на 180 ;

  2. часть 3 поворот вокруг точки С (или центр симметрии) на 180 ;

  3. часть 1 – параллельный перенос.

Покажем мозаику, из которой данное разрезание получено.

hello_html_80d8ffd.png

Задача № 4 (BIII): Три одинаковых треугольника разрезали по разным медианам. Сложите из шести полученных кусков один треугольник.

hello_html_370bdf7a.pnghello_html_m54926929.pnghello_html_m42478a5b.png

Рис. 1

Решение:

1) из данных треугольников составляем треугольники как на рисунке 1 (центральная симметрия);

2)составляем из трех новых треугольников другой треугольник (равные стороны совпадают).

hello_html_m13508cae.png

Покажем, как данные разрезы получились, пользуясь мозаиками.

hello_html_56f7c5f1.png

Задача № 5 (BIII): Греческий крест разрезали на части, составить из этих частей прямоугольный равнобедренный треугольник.

Решение:

hello_html_49ef5222.pnghello_html_52badb7d.pnghello_html_8bcbc79.png

  1. часть 1 центральная симметрия;

  2. часть 3 центральная симметрия;

  3. части 3 и 4 – поворот.

hello_html_502ac8ac.png

Задача № 6 (BIII): Данную фигуру перекроите в квадрат.

hello_html_m6ccf15dc.png

Решение:

hello_html_m26e121e0.png

  1. часть 1 поворот вокруг точки О;

  2. часть 3 поворот на 90  вокруг точки А.

hello_html_73fa1004.png


Задача № 7 (BIII): Греческий крест перекроите в параллелограмм (разрезы даны).

Решение:

hello_html_4b57b557.pnghello_html_m53a5d0eb.gifhello_html_264323dd.png

  1. часть 2 – параллельный перенос относительно части 1;

  2. часть 3 параллельный перенос по линии разреза.

III этап: Постановка домашнего задания.

Задача № 8 (BIII): Два одинаковых бумажных выпуклых четырехугольника разрезами: первый – по одной из диагоналей, а второй – по другой диагонали. Докажите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм.

hello_html_m2673aea6.pnghello_html_m3625b948.png

Решение: композиция поворотов.

hello_html_969f556.png

Задача № 9 (BIII): Из двух одинаковых греческих крестов сложите квадрат.

hello_html_m30a464d.pnghello_html_13fb6d33.png

Решение:

hello_html_m3d9200cf.png

hello_html_6fb99e28.png

Методические указания: Т – разрезание – наиболее сложный тип разрезания, образующий разрезания типа S. Суть Т – разрезания рекомендуем излагать в процессе решения задач. Из-за сложности реализации для учащихся метода наложения мозаик, составляющего суть Т – разрезания, на занятиях мы советуем использовать задачи, в условиях которых заданы разрезания и требуется из полученных частей фигуры с помощью математических преобразований (поворота, параллельного переноса) получить искомую фигуру. При этом на более доступных для учащихся задачах учитель может показать способ получения данных разрезаний, с помощью метода наложения мозаик. Задачи, предложенные на занятии № 5, на третий тип оперирования образами и предполагает работу учащихся с моделями геометрических фигур, путем осуществления поворота и параллельного переноса.


Общая информация

Номер материала: ДВ-407672

Похожие материалы