8
класс
Задание 1
Какой
цифрой оканчивается сумма ?
Ответ: Нулём.
Решение: .
Задание
2
Три математика
ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции,
математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал,
каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три
раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?
Ответ: 7 скамеек.
Решение: Очевидно, что тот, кто до
остановки проехал большую часть перрона, насчитал большее число скамеечек.
Пусть первый насчитал 15 скамеек, второй 12, третий 7. Так как первый насчитал
на 3 скамейки больше, чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй
увидит эти 3 скамейки, т.е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый.
Аналогично третий насчитает на 8 скамеек больше, чем первый, и на 5 скамеек
больше, чем второй. Раз кто-то насчитал в 3 раза больше, чем другой, то разница
между насчитанными ими скамейками – четное
число (3x-x=2x). В нашем случае разность насчитанных
скамеек четна только между первым и третьим и она равна 8. Значит, первый
насчитал 8:2=4 скамейки, тогда второй 4+3=7 скамеек.
Замечание: Можно было
обойтись и без четности. Пусть первый насчитал x скамеек. Тогда второй x+3, а
третий x+8. А дальше составить всевозможные пары и решить получившиеся три
уравнения (один насчитал в три раза больше, чем другой в паре): 3x=x+3, 3x=x+8,
3(x+5)=x+8. Только одно из них имеет целое решение.
Задание
3
Найдите
3 числа, обладающие следующими свойствами: они целые, положительные и сумма
обратных величин этих чисел равна 1.
Ответ: (2; 4; 4),
(2; 3; 6), (3; 3; 3)
Задание 4
Фирма
изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма
производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время
генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%.
На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при
тех же объёмах поставок лимонов?
Ответ: На 50%.
Решение: 1
способ. Содержание лимонного сока в напитке после указания
генерального директора снизилось в полтора раза. Значит, из тех же лимонов
можно приготовить в полтора раза больше лимонного напитка. Иными словами,
количество производимого лимонного напитка увеличится в полтора раза или на
50%.
2 способ. Пусть х –
количество производимого напитка до указания генерального директора. Тогда
количество лимонного сока в этом напитке – 0,15·х. Пусть теперь у – количество
производимого напитка после указания генерального директора. Тогда количество
лимонного сока в этом напитке – 0,1·у. Так как подразумевается, что количество
лимонного сока не изменилось, получаем равенство 0,15·х = 0,1·у. Умножив обе
части этого равенства на 10, получим: у = 1,5·х; или: у = х + 0,5·х. Значит,
количество производимого напитка увеличилось на 50%.
Задание
5
Один из углов треугольника на 120°
больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины
третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.
Доказательство:
Пусть
ABC — данный треугольник, B = α, A = 120° + α .
Тогда C = 60° - 2α .
Если CL — биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30° - α) + α = 30°. Пусть CH - высота
треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30°,
в два раза меньше, чем гипотенуза CL.
Примерные
критерии оценивания заданий по математике
2015– 2016 учебный год
8 класс
В соответствии с регламентом проведения математических
олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых
баллов приведено в таблице.
Баллы
|
Правильность
(ошибочность) решения
|
7
|
Полное
верное решение.
|
6 -7
|
Верное
решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
|
5 - 6
|
Решение
в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не рассмотрение
отдельных случаев, но может стать правильным после небольших исправлений или
дополнений.
|
4
|
Верно
рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче
типа «оценка + пример» верно получена оценка.
|
2 - 3
|
Доказаны
вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
|
1
|
Рассмотрены
отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
|
0
|
Решение
неверное, продвижения отсутствуют. Решение отсутствует.
|
8
класс
Задание
1
Какой
цифрой оканчивается сумма ?
Задание
2
Три математика
ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции,
математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал,
каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три
раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?
Задание
3
Найдите
3 числа, обладающие следующими свойствами: они целые, положительные и сумма
обратных величин этих чисел равна 1.
Задание 4
Фирма
изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма
производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время
генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%.
На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при
тех же объёмах поставок лимонов?
Задание
5
Один из углов треугольника на 120°
больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины
третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.