Симметрия в алгебре (Статья к презентации)

Низикова Зоя Константиновна

Преподаватель математики

ГБОУ СПО «Трубчевский

политехнический техникум»

СИММЕТРИЯ В АЛГЕБРЕ.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ.

В окружающем нас мире господствует симметрия. Живая природа представляет нам многочисленные примеры симметрии. Способ существования живого организма и принцип минимальности (экономичности) определяет его вид симметрии (зеркальную, осевую, поворотную).

Образы симметрии встречаются и в неживой природе - это устройство небесных тел, кристаллов, молекул и других тел, и обусловлено это физическими законами.

Радуют глаз своей соразмерностью великолепные архитектурные сооружения, замечательные произведения искусства. Руками человека создано множество симметричных предметов-дома, машины, мебель, почти все предметы нашего обихода.

Симметрия с её пропорциональностью и уравновешенностью, служит основой прочности всего созданного, структурной необходимостью организмов и устройств.

Симметрия – неотъемлимая часть нашей жизни. Она везде вокруг нас, мы настолько привыкли к ее существованию, что не всегда замечаем красоту и изящество, которые симметрия придает нашей жизни.

Один из великих математиков 20 века Герман Вейль писал, что «симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Открытие красоты опытных наук, количественное описание физического мира, методы описания преобразований дает нам математика. В математике рассматриваются различные виды симметрий. Все они имеют свое название. Большинство из нас знакомо с такими понятиями как центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия. Надо отметить, что многие симметрии можно увидеть только с помощью сложнейших математических построений и преобразований. В одном из разделов Математики-Алгебры симметрия используется в записи чисел (101, 303, 54045, 245606542), треугольнике Паскаля, Биноме Ньютона, в работе с понятиями четная или нечетная функция, обратная функция, при исследовании и построении графиков этих функций.

В линейной Алгебре широко используется симметрия матриц, и таких примеров можно привести множество. Свойства симметрии позволяет облегчить исследования и уменьшить объем вычислений.

Симметрия в широком смысле - это неизменность при каких-либо преобразованиях. Рассмотрим симметрию в Алгебре на примере решения симметрических уравнений.

При решении некоторых алгебраических уравнений высшего порядка и некоторых систем алгебраических уравнений используются специальные многочлены, которые называются симметрическими.

Простейшие симметрические многочлены   и . Легко видеть, что замене   на и

на  многочлены не меняет. По определению многочлен от двух переменных называется симметрическим, если при замене на и на он не меняется, например :

Легко видеть, что при замене наи на  имеет место тождество  , то говорит о том что эти многочлены являются симметрическими.

Теория симметрических многочленов очень проста и позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и так да

С помощью теории симметрических многочленов решение задач заметно упрощается, и, что самое главное, проводится стандартным приемом.

Существует простой прием получать симметрические многочлены. Возьмем любой многочлен от и  и подставим в него в место и  их выражения через и. Ясно что при этом мы получаем симметрический многочлен т.к. ни , ни  не меняются при перестановке иместами, потому и не меняется и получившийся многочлен, выражающийся через  и например:

Получить симметрический многочлен из  

Доказано, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от  и . Это позволяет весьма просто решать различные системы уравнений. Часто встречаются симметрические системы уравнений, т.е такие, где оба уравнения системы являются симметричными многочленами от  и. В этом случаем удобно перейти к новым неизвестным ичто всегда возможно.

Такая замена неизвестных приводит к понижению степени уравнений и решение системы относительно новых неизвестных  и  упрощенно.

После нахождения значения величин  и  нужно иметь ввиду, что квадратное уравнение  и системе уравнений  связаны  между собой следующим образом:

если корни квадратного уравнения, то система имеет 2 решения

      и других решений не имеет. Обратно, если -решение системы, то числа и являются корнями квадратного уравнения.

 Например: Решить систему уравнений  введем новые неизвестные ,

  т.к , то  получаем новую систему  из этой системы уравнений получаем = итак , т.е для первоначальных неизвестных имы получаем следующую систему уравнений , которая легко решается, т.к. она сводится к решению уравнения и получаем следующие решение первоначальной системы          

Симметрических многочленов с успехом решается целая серия задач, в которых выражения, содержащие корни заданного квадратного уравнения. Например: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения

Обозначим корни данного уравнения через  и , корни искомого уравнения-через и , а коэффициенты искомого уравнения-через p и q.

По Теореме Виета:

И точно также    

По условию задачи имеем  и потому

Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид

Таким же приемом решаются и более сложные задачи.

Ещё области применения симметрических многочленов - доказательство многих неравенств, решение возвратных уравнений, решение систем уравнений с тремя неизвестными, освобождение от иррациональности в знаменателе, решение уравнений высших степеней, извлечение корней.

На примере симметрических многочленов мы увидели. Что симметрия в широком смысле-это неизменность при каких либо преобразованиях .Математики из давно стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.

Мы видим, что симметрия в Алгебре не только делает преобразования красивым, но и значительно облегчает вычислительную работу.

Список использованной литературы

1 В.Г. Болтянский, Н.Я Веленкин Симметрия в алгебре –М. Наука 2002 г.

2 Вайтроб А.Ю. Симметрия{Текст} / А.Ю. Вайнтроб, А.Б. Сосинский// Квант. -1984. -№3. – С.19-22.

3 Вейль Г. Симметрия {Текст} / Г. Вейль. – М.: Наука, 1998. – 123 с., ил.

4 Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики {Текст} / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, 3. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996.-288с.

5 Депман И.Я. За страницами учебника математики {Текст}/ И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. –М.: Просвещение, 1989. -276 с.

6 Колосов А.А. Книга для внекласного чтения по математике {Текст}/ А.А. Колосов. – М.: Наука, 2008. -187 с.

7 http://www.aeli.altai.ru/nauka

8 http://www.5ballov.ru

9 http://www.ru.wikipedia.org

10 http://www.hist-singhts.ru

11 http://www.museum.ru