Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Система работы по формированию навыков решения текстовых задач.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Система работы по формированию навыков решения текстовых задач.

библиотека
материалов

40


hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif














Система работы по формированию навыков решения текстовых задач.

















Лескевич Тамара Иосифовна, учитель математики










Содержание

  1. Умение решать задачи—показатель математического развития учащихся.

  2. Создание проблем с помощью математических задач.

3. Этапы решения текстовой задачи.

4. Структура решения задач

5. Решение задач на проценты

6. Решение задач на вычисление сложных процентов.

7.Решение задач на смеси и сплавы.

8. Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы.

9. Приложение 1 Общая схема решения задач

10. Приложение 2. Виды задач на проценты.

11. Приложение 3. Решение задач на проценты

12. Приложение4. Задачи на процентные вычисления в жизненных ситуациях.

13. Приложение 5. Задачи на смеси и сплавы.

14. Приложение 6 Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы.






































1. Умение решать задачи—показатель математического развития учащихся.

Многие ученики любят решать задачи, но очень немногие умеют их решать. «С чего начать?» думает каждый, приступая к решению задачи. Это очень важный вопрос в решении. Недаром говорит мудрая пословица : «Лиха беда – начало». Правильное начало решения задачи во многом определяет успех в ее решении. Поискам плана решения задачи должен предшествовать более общий этап решения – выбор направления поиска. Многие неудачи объясняются тем, что начинают решение задачи наугад, на авось, и, хотя решение лежит «на поверхности», слишком много труда и времени затрачиваются на попытки, уводящие в сторону. Представим себе темную комнату, из которой нам необходимо выйти с закрытыми глазами. Как мы поведем себя в данной ситуации? Один из нас будет кидаться из стороны в сторону наугад и вряд ли быстро найдет выход. Он может найти окно и принять его за дверь, а может совершенно случайно, волею случая найти сразу выход, ничего не поняв, как это произошло.

Другой попытается дойти до стены, ощупав ее руками, найти окно, и, поняв, что это не дверь, двигаться дальше вдоль стены, пока не дойдет до двери. Это верный путь, хотя не самый короткий.

Третий остановится и подумает над тем, чем он располагает для отыскания выхода (осязание, движение, слух, запах). Затем он прислушается (в стороне, где слышится шум, скорее всего дверь или окно), вдохнет воздух (там, откуда ощутим воздушный поток, окно или дверь; холодный воздух, вероятно, идет от окна, более теплый – от двери в коридор). После такой подготовки он двинется в том направлении, которое ему покажется наиболее обнадеживающим...

Изучив методическую литературу по вопросам обучения решения задач, познакомившись со статьями журналов, в которых авторы выступают за более широкое и активное включение детей в решение задач, я решила проверить методику на практике.

Проанализировав календарно — тематическое планирование, я пришла к выводу, что количества времени, отводимого на решение задач на уроках, явно недостаточно, чтобы сформировать такие сложные и важные навыки. Поэтому, для их формирования и развития использую факультативные занятия. Во время этих занятиях появляется возможность более полно удовлетворять познавательные интересы и потребности обучающихся.


Огромная ценность текстовых задач состоит в том, что они являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.


Решение задач — практическое искусство. Научиться ему можно лишь подражая лучшим образцам и постоянно практикуясь. В ходе подобной практики могут выработаться и свои подходы к решению задач. Но надо помнить, что научиться решать задачи можно только решая их!

Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения; выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и неоправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственно цели – получение ответа на вопрос задачи. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать


задачу, а не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся.

Так же после того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Надо подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на предыдущий способ, на трудности при поиске решения задачи, выявить новую и полезную для учащихся информацию. Что часто не успевает сделать на уроке учитель.

Поиск различных способов решения задачи – один из эффективных приемов, позволяющих глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими в задачу, и один из способов проверки решения задачи. Поэтому целесообразно направить деятельность учащихся на поиск решения, их сравнения и выбор рационального. Все это, несомненно, окажет положительное влияние на развитие мышления учащихся и умения решать задачи. Однако большую помощь для более глубокого осмысления взаимосвязей между величинами, входящими в задачу, окажет постановка продуманных вопросов и поиск ответов на них.

Среди причин определяющих недостаточный уровень у учащихся умений решать задачи, я выделяю следующее:

Первая заключается в методике обучения, которая в данное время ориентировала учащихся не на формирование у учащихся обобщенных умений, а на “разучивание” способов решения задач определенных видов.

Вторая причина кроется в том, что учащиеся объективно отличаются друг от друга характером умственной деятельности, осуществляемой при решении задач.

На уроке учитель должен выбрать вариант организации и содержания решения задачи, а ученики должны выбрать способы решения задач.

Умение решать задачи — показатель математического развития учащихся, их логического мышления. Ученикам нравится решать то, что у них получается, то, что поддаётся алгоритмизации. А текстовые задачи настолько разнообразны, что порой трудно увидеть в предлагаемой задаче уже знакомую. Чтобы научить решать задачи надо сформировать умение выявлять их математическую суть. Этому помогает моделирование условия задачи с помощью графических схем. Таким образом, научить решать задачи — это значит научить моделированию условия задачи и переводу его с языка русского на язык математический. Графическая модель задачи помогает лучше понять условие, отношения величин и облегчает процесс решения задачи, составления уравнений и их систем.

Многолетний опыт работы показывает, что учащимся труднее всего дается решение текстовых задач. Поэтому, я проанализировав методику подхода к задачам в начальных классах, провела эксперимент, а затем выполняя ряд действий, общих для всех методов, стала добиваться лучшего результата.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

В начальной школе решение арифметических задач начинается с рассмотрения и обсуждения, готовых образцов краткой записи условия. После этого учащимся предлагаются упражнения на чтение краткой записи и составление по ней задачи. Школьников учат также краткой записи по аналогии, выбору подходящей записи из предложенных, дополнению незаконченной записи. Подобную работу продолжаю и в 5-9 классах средней школы.

В своей работе я придерживаюсь следующих принципов:

1. Учитель — режиссёр, а ученик — соучастник его же образования. Поэтому стараюсь организовать сотрудничество учителя и ученика, а так же ученика с учеником. Всегда предлагаю ребятам не бояться задавать вопросы, не навязываю какой-то метод решения, всячески поощряю предложение и отстаивание своего способа решения задачи. В первую очередь задача всегда решается их способом. И только потом могу предложить свой. После чего проводим сравнительный анализ и делаем вывод о более рациональном решении. Всегда подчёркиваю, что нет плохих способов решения задачи, есть разные. Ученики не боятся выступать в роли моих оппонентов.


2. Ученику — больше самостоятельности. Опыт показывает, что механическое подражание никогда не приведет к формированию умения решать задачи. Нужны вопросы и советы учителя ученику, развивающие мыслительную деятельность школьников, помогающие развивать творческий подход к решению задач. Они должны оказывать ученику действенную, но не назойливую помощь. Но одних вопросов и советов учителя ученику недостаточно для обучения решению задач. Нельзя забывать, что «умение решать задачи есть искусство, приобретаемое практикой», а поэтому важно увеличить долю самостоятельной деятельности ученика.

Как я организую работу по формированию навыков решения текстовых задач:


Виды организации деятельности учащихся :


1. Уроки решения задач. Целый урок посвящается либо решению задач по определённой теме, либо решению одной задачи несколькими способами, либо решению так называемых идейно близких задач, чтобы показать единообразность способа их решения. Всегда знакомлю ребят с общими методами (анализ — при составлении плана решения задачи и синтез — непосредственно во время самого решения) и приёмами решения задач, стараюсь развивать их интуицию, вырабатывать умение ставить нужные вопросы и, отвечая на них, решать поставленную проблему.


2. Занятия факультатива «Решение текстовых задач» для рассмотрения общих методов решения задач, часто таких, которые на обычных уроках не рассматриваются. А так же для решения занимательных, нестандартных и сложных задач.


3. Индивидуальные занятия с одарёнными детьми при подготовке к олимпиаде. В ходе подготовки ученики обязательно выполняют творческие работы или проекты (разработки собственных , шпаргалок, сами придумывают задачи по заданной теме или заданной математической модели и другое).


Из всего разнообразия математических задач в ходе занятий много времени уделяю текстовым задачам, так как именно решение текстовых задач часто вызывает затруднения у учеников.


Кроме того, текстовые задачи — это математические модели реальных ситуаций. Таким образом, умение решать некоторые школьные математические задачи имеет практическое применение в жизни. Это, в первую очередь, задачи на проценты и части, а так же задачи на движение и на работу.


Решение всякой математической задачи — это цепь рассуждений. Вычисления, которые приходится производить, невозможны без нахождения логических связей между величинами, встречающимися в условии задачи. Следовательно, для успешного формирования навыков решения задачи, необходимо научить школьников правильно рассуждать. Поэтому, часто на уроках предлагаются для решения задачи, развивающие логическое мышление. Основное время посвящаю решению таких школьных математических задач, которые имеет практическое применение в жизни. Это, в первую очередь, задачи на проценты , на смеси и сплавы, а так же задачи на движение и на работу. Рассматриваем основные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический и комбинированный.

Советы решающему задачу:

  1. Начиная решение задачи, старайся хорошо понять задачу, осмыслить ее условие, изучить задачу в целом и в деталях, иллюстрировать задачу грамотным и четким чертежом или схемой.

  2. Изучите цель, поставленную задачей : «Хорошо понять вопрос – значит уже наполовину ответить на него». Не начинайте решение задачи вслепую. Выберите сначала целесообразное направление поиска плана решения задачи, руководствуясь целью задачи. Высказывая догадку, старайтесь сразу подкрепить ее рассуждениями, догадка должна быть правдоподобной.

  3. Решайте вместо одной задачи другую, аналогичную данной. Составляйте задачи, родственные данной (более или менее общую, чем данная задача), и исследуйте эти задачи.

  4. Учитесь « шлифовать» решение задачи, коротко и ясно оформляйте его. Старайтесь правильно мыслить. Обосновывайте каждый шаг в найденном вами решении. Помните, что оформлять решение задачи можно по-разному : в виде связного рассказа, в виде рисунка или схемы, в виде таблицы и т. д. Используйте для сокращения записи и четкости логико-математическую символику.

  5. Учитесь на задаче. Решив задачу, просмотрите ее решение заново. Изучите решение, проконтролируйте имеющиеся выкладки и обоснование. Установите то, что полезно запомнить.

  6. Решение задачи - это ваша небольшая научно-исследовательская работа. Изобретайте новые решения и новые задачи, овладевая умением работать творчески. Старайтесь подойти к задаче и ее решению с разных сторон. Чаще задавайте себе вопрос : « а нельзя ли….?»; «А что, если…?».

3. Создание проблем с помощью математических задач.

Не каждый урок можно начинать с создания проблемной ситуации, ведь много уроков, в содержании которых нет явных проблем. Но в математике есть несколько групп задач, которые помогают ввести в урок проблему. Рассмотрим некоторые из таких задач.

Задачи с несформулированным вопросом.

Вопрос не формулируется ни прямо ни косвенно, но он логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Такие задачи позволяют выяснить, видит ли учащийся в них лишь совокупность разрозненных данных, или задача для него изначально существует как комплекс взаимосвязанных величин.

Автомобиль прошел 630 км со скоростью 70 км/ч. (Какое время он затратил на путь?)”

Задачи с неполным составом условия.

В них отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Цель таковых – узнать, “схватывают” ли ученики в процессе восприятия условия задачи ее формальную структуру, способны ли обнаружить неполноту данных.

Две лодки отошли одновременно навстречу друг другу от двух пристаней. Одна лодка проходила в час 15 км, а другая – 10 км. Найти расстояние между пристанями. (Не указано через какое время лодки встретились.)”

Задачи с избыточным составом условия.

В них введены дополнительные, ненужные, не имеющие значения показатели. Учащиеся должны уметь из совокупности данных им величин выделить именно те, которые представляют собой систему отношений, составляющих существо задачи, и являются необходимыми и достаточными для ее решения.

Расстояние между двумя пристанями 120 км. Теплоход, двигаясь со скоростью 30 км/ч, прошел этот путь за 4 часа. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 часов. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути? (Лишнее данное – расстояние между пристанями.)”

Составление задач данного типа.

Ученик, ознакомившись с задачей или решив ее, должен самостоятельно составить другие задачи:

а) Аналогичную данной с измененными числовыми данными;

б) Задача другого предметного содержания, и с другими числовыми показателями;

в) Задача другого предметного содержания, представленная в общем виде.

Проверяется, сможет ли ученик произвести самостоятельное обобщение ряда объектов в результате анализа лишь одного объекта данного рода.

Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км/ч, то он опоздает на час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?”

Задачи на доказательство.

Здесь исследуется собственно творческое обобщение метода рассуждения, перенос усвоенных принципов доказательства на решение аналогичных, но более сложных мыслительных задач.

Доказать, что при увеличении скорости тело пройдет одно и то же расстояние за меньшее время.”

Нереальные задачи.

Это задачи, лишенные смысла. В данном случае можно проследить особенности обобщения математического материала, проявляющиеся как в области восприятия, так и в области переработки и хранения в памяти.

Скорость парохода 20 км/ч. Расстояние от пункта А до пункта В он прошел по течению за 3 часа. Обратно пароход шел против течения со скоростью 30 км/ч. Сколько времени он затратил на путь от пункта В до пункта А?”

Задачи с несколькими решениями.

В таких задачах наиболее простой путь решения по возможности скрыт. С их помощью можно выяснить, насколько хорошо ученик способен переключаться с одного способа решения задачи на другой. Ученик должен самостоятельно найти максимальное количество способов решения задачи. Выясняется так же, нет ли у ребенка потребности, не удовлетворяясь первым решением, искать наиболее простое и экономное.

Плывя по течению, пароход делает 20 км/ч, против течения он плывет со скоростью 15 км/ч. Чтобы пройти путь от А до В, он употребляет на 5 часов меньше, чем на обратный путь. Каково расстояние от А до В?”

Задачи с меняющимся содержанием.

Здесь дана исходная задача и второй ее вариант. Во втором варианте изменяется один из элементов, вследствие чего содержание задачи и действий по ее решению резко меняется. В задаче, на первый взгляд, никаких существенных изменений не произошло, поэтому ученик уже придерживается (невольно) сложившегося способа решения. Необходимо проследить, как решается второй вариант а) сам по себе; б) сразу после решения первого варианта.

Расстояние между городами 270 км. Из этих городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда. Скорость одного из них 50 км/ч, другого – 40 км/ч. Через сколько часов они встретятся?”

(Второй вариант: вместо слов “навстречу друг другу” говорится “в одном направлении”. Если ученик задает вопрос, какой из поездов находится впереди, то ему предстоит самому решить, при каком условии задача имеет смысл.)

Прямые и обратные задачи.

Таковые позволяют исследовать способность к обратимости мыслительного процесса. Решая обратную задачу, учащиеся перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом они овладевают новыми связями между мыслями и новыми, более сложными формами рассуждений. Составление новых задач, обратных данным, приводит ученика в постановке проблем, получению существенно иных разновидностей задач. Это простой и удобный способ развития творческого мышления.

Прямая. “Расстояние между городами А и В – 390 км. Навстречу друг другу вышли два поезда. Один из них шел со скоростью 60 км/ч, другой – 70 км/ч. Через сколько времени они встретятся?”

Обратная. “Расстояние между городами А и В – 380 км. Навстречу друг другу вышли два поезда, которые встретились через 3 часа. Один поезд шел со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью шел второй поезд?”

Эвристические задания.

Исследуют то, как учащиеся овладевают новым для них материалом, как самостоятельно устанавливают отношения и функциональные зависимости, производят самостоятельные обобщения.

Путь, который турист проехал поездом, на 150 км больше пути, который он проехал на пароходе, и на 750 км. Больше пути, пройденного им пешком. Определить длину всего пути, если известно, что пешком он прошел в три раза меньше, чем проехал на пароходе.”

Таким образом, рассмотрев несколько видов нестандартных задач, можно в любой урок внести элемент проблемности, даже если в содержании урока в целом нет явной проблемы.

Делая вывод, заметим, что для повышения эффективности обучения важно создавать проблемные ситуации. Это стимулирует у учащихся умение самостоятельно преодолевать трудности, развивает мыслительные операции, активизирует учебный процесс.

К сожалению, значительно меньшее внимание авторы учебников уделяют решению задач разными способами. Число таких заданий значительно меньше, они встречаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются многими учителями как важные.

Между тем мой многолетний опыт показал, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования умения решать задачи.

Прежде всего, необходимо отметить, что решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны, которые позволяют учащимся любить и выбирать этот вид деятельности на уроках математики.

Решения задач разными способами способствует интенсивному развитию логического мышления, его глубины и гибкости, создает условия для улучшения речи учащихся (точности произношения и употребления слов, яркости и динамичности), готовит базу для решения задач разными способами в основной школе по разным предметам; способствует осуществлению личностно-ориентированного подхода, адаптации школьников, гуманизации обучения – важнейших проблем современной школы. Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор решения, даже если оно не является традиционным, у него появляется дополнительная возможность справиться с делом. Когда есть выбор при решении задачи, варианты ее оформления – это делает ученика свободным, спокойным, появляется возможность его успеха, возникает устойчивость важной для жизни мысли: "Всегда можно найти выход из сложной ситуации". Все эти мысли и есть часть плана формирования социально адаптированной личности в условиях современной школы.

3. Этапы решения текстовой задачи

Чтобы решить задачу, нужно определить её вид и тип. По отношению к теории существует два вида задач: стандартные и нестандартные. По типам задачи делятся: «на пропорциональность», «на сравнение величин», «на работу», «на части и проценты» и т. д.


Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап: анализ;

2-й этап: схематическая запись;

3-й этап: поиск способа решения;

4-й этап: осуществление решения:

5-й этап: проверка решения;

6-й этап: исследование задачи;

7-й этап: формулировка ответа;

8-й этап: анализ решения.

Каким бы из основных методов не решалась текстовая задача /арифметическим, алгебраическим и геометрическим/, на 1 этапе анализа текста задачи необходимо выделить объекты, о которых идет речь в задаче, а также ее условие и вопрос, установить неизвестные и искомые величины, выделить ситуации, описанные в задаче.

На 2 этапе поиска плана решения понадобятся умения записывать функциональную зависимость между величинами и выражать величины из формул, составлять из заданной задачи подзадачи, выделять из условия задачи предложения, выражающие зависимость между величинами, и преобразовывать их.

На этапе реализации плана важнейшим оказывается умение переводить зависимости между величинами на математический язык. Перечислю эти умения.

УМЕНИЕ СОСТАВЛЯТЬ КРАТКУЮ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

На этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно “увязать” все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж; неизвестные величины удобно обозначать знаком “?”, а “главный вопрос” задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти “Ответ”, так как в некоторых задачах, содержащих неявный вопрос искомую величину приходится довычислять;

  УМЕНИЕ ВЫПОЛНЯТЬ СХЕМАТИЧЕСКУЮ ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

Особенно эффективно использую схемы при решении задач на движение. Обучение умению строить чертеж проводится по принципу от простого к сложному и реализуется по мере усложнения самих задач на протяжении всего курса математики. Вначале учащимся показывают образцы построения чертежей, потом предлагаются специальные упражнения на выбор чертежа, соответствующего условию задачи, на чтение чертежа. В конце концов, наступает черед заданий на составление задачи по чертежу, на построение чертежа по аналогии, на достраивание незаконченных или исправление чертежей. Проиллюстрирую сказанное.

Задачи на движение

ЗАДАЧА 1. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, вышли навстречу друг другу два поезда. Один шел со скоростью 50 км/ч, другой со скоростью 60 км\ч. Какое расстояние будет между поездами через 5 ч?

img2

  1. Из приведенных выше схем выберете ту, которая соответствует условию задачи.

  2. Объясните, что обозначают отрезки АВ, АС, ВD, CD на схеме?

  3. Составьте задачи по схемам.


УМЕНИЕ ВЫБРАТЬ ВЕЛИЧИНУ, КОТОРУЮ БУДЕМ СЧИТАТЬ ПЕРЕМЕННОЙ

Это умение формируется в средних классах на специальных упражнениях. Укажу одно из них. Сначала предлагается рассмотреть какую-либо задачу.

ЗАДАЧА 2. Автобус проходит расстояние от города до села за 1, 5 ч, а легковая машина - за 0, 9 ч. Найти скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой машины на 40 кмlч.

Задания:

1. Какую из неизвестных величин /скорость автобуса, скорость легковой машины или расстояние от города до села/ целесообразно считать переменной?

2. Какую величину было бы удобно обозначить через х , если бы скорость автобуса была больше скорости легковой машины?

3. Какую величину удобно обозначить через Х, если нужно найти расстояние от города до села?

УМЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИ ВЫРАЖАТЬ ВЕЛИЧИНЫ ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННУЮ

Это умение связано с предыдущим, так как от выбора переменной зависит составляемое по условию алгебраическое выражение. В начальной школе проводится пропедевтика этого действия: записывают числовые и буквенные выражения по условию задачи для его совершенствования в средних классах предлагаю упражнения на выражение неизвестных величин через выбранную переменную.

Основным методом решения задач в 5-6 классы является арифметический.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Начиная с 7-го класса основным является алгебраический метод решения задач, для его использования, кроме общих, необходимы специальные умения.

Но наряду с арифметическим способом решения задач уже в 5-м классе учу составлять уравнения по задачам.

4. Структура решения задач

Структура задачи


Задача



arrowld


arrowrd


 Вопрос 


 Условие


arrowld


arrowrd


 Искомое


 Данные

 



Связи



arrowld1

arrowd

arrowrd1


Между искомыми


Между данными


Между искомыми и данными

 

Структура решения задач


умение анализировать текст задачи;


поиск способа решения задачи;


оформление найденного решения;


работа над решенной задачей.

Умение анализировать текст задачи

  1. умение читать текст задачи;

  2. умение выделять вопрос и условие;

  3. умение оформлять краткую запись;

  4. умение оформлять чертеж и рисунок по тексту задачи.

Умение осуществлять поиск решения

  1. умение проводить вторичный анализ- это умение выделять искомые данные и устанавливать связи;

  2. умение переводить словесный текст задачи на математический язык;

  3. умение устанавливать полноту постановки задачи;

  4. умение актуализировать;

  5. умение проводить поиск плана решения задач.

Умение оформлять найденное решение

Умение завершить работу над задачей

  1. Умение осуществлять контроль решения задачи.
    Способы контроля:
             а) обратная задача;
             б) различные способы решения;
             в) прикидки на здравый смысл.

  2. Умение давать оценку результатам решения;

  3. Умение оценивать способ решения, делать выводы решения по способу решения;

  4. Умение составлять задачи. Приложение 1


Технология решения текстовой задачи на примере старинной задачи о кроликах и фазанах

В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в клетке 15 голов и 42 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Арифметический способ решения задачи

Анализ текста задачи

  1. О чем говорится в задаче?

  2. Что сказано о количестве голов всех животных?

  3. А сколько голов у каждого животного?

  4. Сколько лапок у фазанов? А у кроликов?

  5. Что сказано в задаче о количестве лапок всех животных?

  6. Сформулируйте вопрос задачи.


Краткая запись задачи


Головы


Лапки


Фазаны

?

 
 15
method1

?

  
  42method1

Кролики

?

?

 Поиск решения задачи

  1. Какой главный вопрос задачи?

  2. Достаточно ли знать количество голов фазанов и кроликов, чтобы ответить на главный вопрос задачи?

  3. Какую полезную информацию можно почерпнуть зная, что каждое животное имеет одну голову и общее количество лапок равно 42?

  4. У кого лапок больше: у фазанов или кроликов и насколько?

  5. Найдется ли у каждого животного по две лапки?

  6. А сколько всего животных?

  7. Найдите сколько лапок будет у 15 животных, имеющих две лапки?

  8. О скольких  лапках сказано в условии задачи?

  9. Есть ли "лишние"? Сколько?

  10. Кому принадлежат "лишние" лапки?

  11. Сколько не учтенных лапок у кроликов?

  12. Можно ли найти, сколько кроликов было в клетке? Как?

  13. Зная, сколько кроликов было в клетке, можем ли найти количество фазанов?

Оформление решения задачи

  1. 15•2 = 30 (лапок) – у животных с двумя лапками.

  2. 42 – 30=12 (лапок) – "лишних".

  3. 12/2 = 6 (голов) – кроликов.

  4. 15 – 6 = 9 (голов) – фазанов.


Проверка решения задачи

  1. 9•2 = 18 (лапок) – у фазанов.

  2. 6•4 = 24 (лапки) – у кроликов.

  3. 18 + 24 = 42 (лапки) – всего.

          Ответ: 6 кроликов, 9 фазанов.


  1. Решение задач на проценты

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Обучающиеся встречаются с процентами на уроках физики, химии, при чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все обучающиеся.

При решении задач проверяется не только владение определенным набором математических умений, но и умение анализировать ситуацию, рассуждать, делать выводы, проверять правильность полученного результата, применять знания в нестандартных ситуациях.

Вся жизнь человека состоит из всевозможных испытаний. С различными контрольными работами, тестированиями, сочинениями и другими испытаниями мы встречаемся с первых дней обучения в школе.

При подготовке к экзаменам повторение играет главную роль в формировании механизма воспроизведения материала на экзамене. А успешность воспроизведения материала во многом определяется способом его запоминания.

Поэтому мы готовиться к выпускному экзамену за курс базовой школы заранее, начиная с 6-го класса. При подготовке учащихся к ЦТ я разобрала, систематизировала алгоритмы решения задач на проценты по способам их решения. В результате проделанной работы выделила три основные группы задач на проценты, с решениями которых предлагаю ознакомиться.

Причины трудностей при понимании и решении задач на проценты:

  1. Первое знакомство учащихся с процентами происходит в 6 классе, решение задач на проценты изучается отдельно и не связывается с задачами на дроби;

  2. Проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

  3. Далее в 6-ом классе изучение математических операций и приемов происходит отдельно, не переносятся на задачи на проценты;

  4. В решении задач на проценты применяют пропорции – тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает понимать смысл действий;

  5. В результате большинство учащихся задачи на проценты связывают только с пропорцией, а это относится лишь только к элементарным задачам;

  6. И еще одна проблема, которая делает проценты сложными для усвоения. Проценты от разных количеств нельзя сравнивать, складывать или вычитать. При правильном решении задач на проценты существенно то, от какого числа находят проценты.

Подготовку к решению сложных задач на проценты следует начинать по следующей схеме:

Схема последовательного изучения теории процента и подготовки к решению сложных задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

2. Нахождение числа по его проценту.

3. Нахождение процентного отношения.

4. Сложные задачи на проценты.

Понимание процентов и умение проводить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку. Само определение процента позволяет легко решить простейшую задачу на проценты: найти заданное число процентов от заданной величины.

Работа по решению задач на проценты проводится уже в 5 классе при изучении темы «Нахождение дроби от числа и числа по величине дроби»

  1. Подготовительный блок.

Задачи на простые проценты

Три основные задачи на проценты таковы:

Найти процент от данного числа.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Данное число умножается на число процентов (проценты переводятся в десятичную дробь); 30% от 300 составляют 300∙0,3=90

Найти число по данной величине указанного его процента.

Правило 2. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.


3% вклада в сбербанк составляют 15000. Вклад в сбербанк составляет hello_html_m24ef2e2c.gif .

Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и b, надо отношение этих чисел умножить на 100 %, т.е. вычислить hello_html_72817e53.gif.

Пусть, например, при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей, тогда он выполнил план на hello_html_m6321b1d6.gif.

Приложение 2,3


При работе с одарёнными детьми при подготовке к олимпиаде использую более сложные задачи. Умение решать задачи такого вида необходимо и при подготовке к ЦТ

Проценты при расчете зарплаты

Задача 1. Подоходный налог в городе N установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% от заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 50 000 р. Сколько он получит после указанных вычетов?

Решение:

За 100% приняты 50 000 р., начисленные работнику.

1) 50000/100=500 (руб.) составляет 1%, который отчисляется в пенсионный фонд

2) 50000-500=49500 (руб.) – после отчисления в пенсионный фонд

3) За 100% - 49 500 руб.

49500/100=495 (руб.) составляет 1%

4) 495∙13=6435 (руб.) - подоходный налог

5) 49500-6435=43065(руб.)- работник получит после указанных вычетов

Ответ: 43065 руб. работник получит после указанных вычетов

Задача 2. Какой будет заработная плата после повышения ее на 65%, если до повышения она составляла 10000 р.?

Решение:

1) 10000/100=100 (р.) - составляет 1%

2) 100∙65=6500- повышение в рублях

3) 10000+6500=16500-зарплата после повышения

Ответ: 16500 рублей.

Задача 3. В городе N при внесении квартирной платы на один день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется заплатить в этом случае, если квартирная плата составила: 2600р; 800р?

Решение:

  1. За 100% приняты 2600 руб.

2600/100=26 (руб.) составляет 1%

  1. 26*0,1=2,6 (руб.) составляет 0,1%

  2. 2600+2,6=2602,6 (руб.) - придется заплатить, если квартирная плата составила 2600р.

  1. За 100% приняты 800 руб.

800/100=8 (руб.) составляет 1%

  1. 8*0,1=0,8 (руб.) составляет 0,1%

  2. 800+0,8=800,8 (руб.) - придется заплатить, если квартирная плата составила 800р.

Проценты и прибыль

Задача 4. Три человека организовали собственное предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли, двое других по 20%, а остальные деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия?

Решение:

Вся прибыль – 100%

1) 100/3=33,3% третья часть прибыли, получает первый предприниматель в процентах.

2) 20+20+33,3=73,3 (%) - от прибыли получают все предприниматели

3) 100-73,3=26,7% - от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия

Ответ: 26,7% от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия

Проценты в магазине

Задача 5. В течение недели магазин получил 60 000 р. дохода. Из них 15 000 р. от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров?

Решение:

За 100% принят доход – 60 000 рублей.

1) 60000:100=600(руб.) составляет 1%

2) 60000-15000=45000 (руб.)- доход от непродовольственных товаров

В) 45000:600=75%

Ответ: 75% составил доход от продажи непродовольственных товаров?

Задача 6. Рекламный ролик стоил 1200 рублей, в сентябре цена на него повысилась на 10%, в ноябре упала на 20%. Сколько нужно заплатить за рекламный ролик сейчас.

Решение: Составим блок-схему

?


10% 20%


1200 р

?





1. 10%∙1200=0,1∙1200=120(р) – составляет 10%

2. 1200+120= 1320(р) – цена после повышения.

3. 20%∙ 1320= 0,2∙1320=264(р) – составляет 20%

4. 1320-264= 1056(р)- новая цена.

Ответ: 1056 рублей.

Приложение 4


  1. Решение задач на вычисление сложных процентов:

Этот блок составлен из самых сложных практически значимых задач, для решения задач данного типа необходимо использовать формулу для вычисления сложных процентов, которая не рассматривается в школьном курсе алгебры. Этот вид задач рассматривается с учащимися при подготовке к олимпиаде.

С = х (1+а%)n,

где С – новая цена

х – первоначальная цена

а - ежемесячная процентная ставка

n – срок вклада (количество месяцев)

При решении данных задач первоначально следует разобраться в сложном запутанном условии задачи. Отвечая последовательно на вопросы, задача становится более понятной и доступной для решения.

Вопросы:

  1. Сколько объектов (фирм, магазинов…) описывается в условии задачи;

  2. а) Определить процент повышения (понижения) цен на первом объекте;

б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на первом объекте;

  1. а) Определить процент повышения (понижения) цен на втором объекте;

б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на втором объекте;

4. Какое условие задачи является связующим звеном п.2 и п.3;

5. Применить формулу сложных процентов для нахождения цен на обоих объектах.

Составленная блок-схема значительно поможет ответить на вопросы и разобраться в условии.

Задача №1. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем трижды уменьшали на одно и тоже самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?

Решение.

По формуле Аn=A0(1+P/100)ⁿ

A0=51, 2

N=3

P- неизвестно

51,2(1+P/100)³ - такое число стало после трёхкратного увеличения, т. е. это А3

затем это число А3 уменьшали трёхкратно на Р% и получили

51,2(1+Р/100)³ ∙ (1-P/100)³ – по условию это выражение равно21,6

51,2(1+Р/100)³ ∙ (1-Р/100)³ =21,6 это уравнение относительно Р

((1+Р/100)(1-Р/1000))³=27/64;

(1-(Р/100)²)3=(3/4)3;

1-(Р/100)²=3/4;

(P/100)²=1-3/4;

(P/100)²=1/4;

P/100=1/2;

P=50

Значит, число процентов равно 50.

Ответ: 50%.


Задача №2 Цену товара сначала снизили на 20% , затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10% . Какова новая цена товара, если первоначальная цена 2500р.

Решение:

1.По формуле «сложных процентов»

А3=Ао∙(1-Р1/100)∙(1-P2/100)∙(1-P3/100)

А3=А0∙ (1-20/100) ∙ (1-15/100) ∙ (1-10/100)

A3=A0∙4/5∙17/20∙9/10

A3=2500∙4∙17∙9/1000

A3= 612∙2, 5

A3= 1530

1530р. – новая цена, т. е. цена снизилась на 970р.

Ответ: 1530 р.

2.Решим эту же задачу обычным способом ( по определению процента)

1)25000,2=500(руб.) – на столько снизили цену в 1-й раз

2)2500-500=2000 (руб.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.

3)20000,15= 300 (руб.) на столько снизилась цена во 2-ой раз.

4) 2000-300=1700(руб.) – новая цена после её снижения на 15%.

5) 17000.1=170 (руб.) на столько снизилась в 3-й раз

6)1700-170=1530 (руб.) – новая цена после её снижения на 10 %

Ответ: 1530 руб.

Задача №4. В 1-ый день продали 40% всех яблок, во 2-й день – 20% остатка, а в 3-й день – 50% оставшихся яблок. Сколько всего продали кг яблок, если первоначально их было 1200кг.

Решение:

1. По формуле «сложных процентов»

Аn=A0∙ (1-40/100) ∙ (1-20/100) ∙ (1-50/100)

An=1200∙6/10∙8/10∙1/2

An=1200∙24/100=12∙24=288(кг)

Ответ: 288кг

2. По определению процента.

1) 1200 ∙ 0.4=480(кг) яблок продали в 1-й день.

2)1200-480=720(кг) яблок осталось в 1-й день.

3)720∙0.2=144(кг) яблок продали во 2-ой день.

4)720-144=576(кг) осталось во 2-ой день

5) 576∙0.5=288(кг) – осталось в 3-й день.

Ответ: 288 кг

Задача №5. Рыночная цена картофеля в связи с переменной погодой понизилась на 25%, затем повысилась на 20%, потом вновь понизилась на 10%, а весной повысилась на 20%.Выросла ли цена по сравнению с первоначальной, или понизилась и на сколько?

Решение: Пусть Ао - первоначальная цена, а Аn – полученная цена, решаем по формуле сложных процентов

Аn=Aо∙ (1-25/100) ∙ (1+20/100) ∙ (1-10/100) ∙ (1+20/100)

An=Aо∙ (1-1/4) ∙ (1+1/5) ∙ (9/10) ∙11/5

An=Aо∙3/4∙6/5∙9/10∙6/5

An=Aо∙972/1000

Т.к. 972/1000<1,то An<Aо,

Т.е. новая цена стала меньше

Найдем разницу в процентах ( Aо-An)/Aо∙100%= (Aо-972/1000∙Aо)/Aо∙100%=

=(1-972/1000)*100%= 100% - 97,2%=2,8%

Цена стала меньше на 2,8% Ответ: на 2,8%


7.Решение задач на смеси и сплавы.

В условиях задач «на сплавы» и «на смеси» речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

В процессе решения таких задач используется понятие «концентрации вещества», т.е. доли этого вещества в массе или объеме сплава (смеси, раствора).

концентрация раствора – отношение массы чистого вещества (твёрдого вещества) к массе всего раствора . Она показывает долю вещества в растворе.

Процент - одна сотая любого вещества.

Текстовые задачи на смеси и сплавы при всей их кажущейся простоте часто вызывают проблемы при подготовке к ЦТ.


Решение задач I типа:

Все задачи этого типа объединяет один способ решения, на основании составленной блок-схемы, вводится неизвестная переменная, которой обозначается все множество, данное в условии; используя процентное соотношение, составляется уравнение.

Типичные ситуации Смешали две смеси

При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:

  1. подсчитать абсолютные содержания;

  2. сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонент смеси;

  3. подсчитать относительные содержания компонент смеси.




Примеры решения задачи на смеси. Приложение 5

Решение задач II типа:

Все задачи этого типа объединяет также один способ решения, на основании составленной блок-схемы, вводятся неизвестные переменные х и у, где х – масса, взятого от первого куска, у – масса, взятого от второго куска. Используя процентное соотношение, составляется система уравнений, в которой первое уравнение выражает содержание одного из данных в условии веществ, входящих в состав слитка (сплава, раствора), а второе – другое вещество.

Составленная блок-схема облегчает понимание условия задачи и способствует правильному решению задачи на проценты.

Все вычисления производятся устно, без использования калькулятора, применяя рациональный (удобный) способ счета.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента по количеству входящих элементов. Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление. Для этого между первым и вторым прямоугольниками поставим знак «+», а между вторым и третьим прямоугольниками поставим знак «=». Этим мы показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:


hello_html_1ab03c76.png


Теперь заполним получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи.


Над каждым прямоугольником укажем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.


Внутри прямоугольников впишем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго равно разности 100% и процентного содержания первого.


Под прямоугольником запишем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).


Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели-схемы:

hello_html_4fe1221e.png

Решение.

1-й способ. Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (800 – х) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

hello_html_m10ff20d7.png

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): .

Решив это уравнение, получаем При этом значении х выражение . Это означает, что первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.


2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

hello_html_m6a82579.png

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:


Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.


Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы.



При решении задач на смешивание растворов разных концентраций на факультативах использую диагональные схемы («правило креста»).

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.

Если обозначить массу первого раствора через m 1, а второго – через m 2, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс.

Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – ω 1, во втором ω 2, а в их смеси – ω 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:

m 1 ω 1 + m 2 ω 2 = ω 3(m 1 + m 2),

m 1(ω 1ω 3) = m 2(ω 3ω 2),

Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона.

На диагональной схеме в точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа–разности концентраций смеси и её составных частей.

Рассмотрим применение диагональной схемы на общем примере:

В каких пропорциях нужно смешать a%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?

Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты. Составим таблицу:


Концентрация раствора,
%

Масса раствора,
г

Масса кислоты,
г

a

х

0,01ax

b

у

0,01by

c (смесь)

x + y

0,01c(x + y)

Составим и решим уравнение:

0,01ах + 0,01by = 0,01c(x + y),

(b с)у = (са)х,

x : у = (b с) : (са).

Воспользуемся диагональной схемой:

32-1

В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация кислоты в процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности (b с) и (са), соответствующие отношению масс растворов а и b.

Задача 1. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Решение:

hello_html_63bb5703.gif hello_html_40d6cecb.gif

hello_html_m3c0672da.gif


Задача 2.Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Решение. Пусть проба сплава равна x. Составим диагональную схему:

ф2

Получаем:

hello_html_m126caa3b.gif;

hello_html_m5d0e6e0a.gif

hello_html_4000e7a6.gif

Ответ. Получили сплав 776-й пробы.

Примеры решения задач такого вида в Приложение 6

Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной концентрация веществ.







































Приложение 1

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Нужно ясно понять задачу

Что неизвестно?

Что дано?

В чем состоит условие?

Возможно ли удовлетворить условию?

Достаточно ли условие для неизвестного?

Или недостаточно?

Или чрезмерно?

Или противоречиво?

Сделайте чертеж. Введите обозначения. Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.

2. СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ.

Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.

Не встречалась ли вам раньше эта задача?

Хотя бы несколько в другой форме?

Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?

Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?

Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.

Вот задача, родственная с данной, и уже решенная.

Нельзя ли воспользоваться ею?

Нельзя ли применить ее результат?

Нельзя ли использовать метод ее решения?

Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?

Нельзя ли иначе сформулировать задачу, еще иначе?

Вернитесь к определениям.

Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную.

Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу?

Более общую?

Более частную?

Аналогичную?

Нельзя ли решить часть задачи?

Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное!

Как оно сможет меняться?

Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных?

Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное?

Нельзя ли изменись неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?

Все ли данные вами использованы?

Все ли условия?

Приняты ли вами во внимание все существующие понятия, содержащиеся в задаче?

3. ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА.

Нужно осуществить план решения. Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг.

Ясно ли вам что предпринятый вами шаг правилен?

Сумеете ли вы доказать, что он осуществим?

4. ВЗГЛЯД НАЗАД (изучение полученного решения).

Нужно изучить найденное решение.

Нельзя ли проверить результат?

Нельзя ли проверить ход решения?

Нельзя ли получить тот же результат иначе?

Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?

Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?












































Приложение 2

Виды задач на проценты.

С математической точки зрения 1% от A означает сотую долю этого числа A.

Определение процента от числа

Найти: 25% от 120.
Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120
. 0,25 = 30.
Ответ: 30.

Определение числа по известной его части, выраженной в процентах

Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:
х - данное число;
0,15
.х = 300;
х = 200.
Ответ: 200.

После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:

1. На сколько процентов 10 больше 6?
2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6)
.100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6)
.100%)/10 = 40%

Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25
.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х
. 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:
1) 22
. 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах;
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих.
Ответ: 2,5 кг.

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.

Процентное содержание. Процентный раствор.

Задача:

Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Задача:

Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25
. 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25
. 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.


















































Приложение 3

Решение задач на проценты

Рассмотрим простые задачи на проценты , предлагаемые в общеобразовательной школе в 5-7 классах.

Задача 1. В одном из городов Грузии часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть - только по- русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, а по- русски - 75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

Решение.

1) 100%-75% = 25% всех жителей не говорят по-русски.

2) 85%-25% = 60% говорят по- русски и по-грузински.

Задача 2. Объем строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%?

Решение.

1) 100%+80% = 180% = 1.8 (объем строительных работ по сравнению с первоначальным)

2) 100%+20% = 120% = 1.2 - производительность труда по сравнению с первоначальной.

3) 1.8:1.2 = 1.5 = 150% - составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т.е. на 50% надо увеличить число рабочих.


Задача 3. В связи с введением рационализаторского предложения время, необходимое для изготовления некоторой детали машины, уменьшилось на 20%. На сколько процентов увеличилась производительность труда?

Решение.

1) 1-0.2 = 0.8% прежнего времени необходимо теперь для изготовления той же детали.

2) 1:0.8 = 1.25 = 125% - такова теперь производительность труда по сравнению с прежней, т.е. производительность труда увеличилась на 25%.


Задача 5. Ширину прямоугольника увеличили на 3.6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти ширину нового прямоугольника.

Решение. Площадь измененного прямоугольника составляет 1.05 площади первоначального. Так как длина нового равна 0.84 прежнего, то ширина нового составляет 1.05:0.84=1.25 ширины прежнего, отсюда первоначально ширина была
3.6:0.25=14.4 (см). Значит, ширина нового прямоугольника 14.4+3.6=18 (см
).

Задача 6. Длину прямоугольника уменьшили на 2.4 см, а ширину увеличили на 30%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась на 4% больше прежнего. Найти длину нового прямоугольника.

Ответ: 9.6 см.

Задача 7. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

Ответ: Увеличилась на 44%

Задача 8. На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10%?

Решение:

1 - ребро куба, тогда объем куба 1 куб. ед.

1) 1 + 0.1 = 1.1 - ребро нового куба.

2) 1.1-1.1-1.1 = 1.331 - объем нового куба.

3) 1.331 - 1 = 0.331 (куб. ед.) - увеличился объем куба.

4) 0.331 : 1 = 33.1% - на столько процентов увеличился объем куба.

Задача 9. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое его ребро увеличить на 20%?

Решение: 1 - ребро куба; 1.2 - ребро нового куба. Решение задачи запишем формулой.

(1.2 ·1.2 ·6) : (1·1·6) = 1.44 = 144%,


т. е. поверхность куба увеличилась на 44%.

Задача 10. Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?

Решение:

1) 3.5-0.76 = 2.66 (кг) серебра в первом слитке.

2) 10.5-0.84 = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава.

3) 8.82 - 2.66 = 6.16 (кг) серебра во втором слитке.

4) 10.5 - 3.5 = 7 (кг) вес второго слитка.

5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во втором слитке.

Задача 11. 5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 л 20-ти процентных сливок и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение:

1) 5-0.35 = 1.75 (л) жира в 5 л сливок.

2) 4-0.2 = 0.8 (л) жира в 4 л сливок.

3) 1.75+0.8 = 2.55 (л) жира в смеси.

4) 5+4+1 = 10 (л) - вес смеси.

5) 2.55 : 10 = 0.255 = 25.5% - жирность смеси.


Задача 18. Древесина только что срубленного дерева содержит 64% воды. Через неделю количество воды стало уже 48% от веса дерева. На сколько уменьшился при этом вес дерева, если только что срубленное оно весило 7.5 ц. (Ответ дать с точностью до 0.1 ц)

Решение:

1) 7.5-0.64 = 4.8 (ц) содержится воды в только что срубленном дереве.

2) 7.5 - 4.8 = 2.7 (ц) содержится сухой древесины в дереве.

3) 100% - 48% = 52% веса дерева через неделю составляют 2.7 ц сухой древесины.

4) 2.7 : 0.52 = 5,2 (ц) весит дерево через неделю.

5) 7.5 - 5.2 = 2.3 (ц) - на столько уменьшился вес дерева за неделю.

















Приложение 4

Задачи на процентные вычисления в жизненных ситуациях.

Задача 1: Влажность свежескошенной травы 70%, а влажность сена 16%. Сколько надо скосить травы, чтобы получить 1 т сена?

Решение:1) 100%- 16%=84% сухого вещества содержит сено.

1 т- 1000 кг

2) Составим пропорцию:

1000 кг – 100%

х кг – 84%

х=hello_html_m3505031d.gif кг – сухого вещества.

3) 100%- 70%= 30% - сухого вещества содержит свежескошенная трава.

4) х кг – 100%

840 кг – 30%

х = hello_html_3086170.gif2800 (кг) = 2,8 т

Ответ: 2,8 т.

Задача 2: Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед 16%. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

Решение: 1) 100%- 16% = 84% - чистый мед.

2) х кг – 84%

1 кг – 100%

х = hello_html_m6d18c0b0.gif0,84 (кг) чистый мед

3) 100% - 70% = 30% чистый мед в нектаре.

4) х кг – 100%

0,84 – 30%

х = hello_html_36e16e38.gif (кг) нектара

Ответ: 2,8 кг.

Задача 3: В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков?

Решение: Пусть х – девочек, тогда мальчиков:

х – 100%

у – 80%

у = hello_html_97d93fc.gifх – мальчиков

0,8х – 100%

х – z%

z=hello_html_639c9e1a.gif

Ответ: 125% девочек от числа мальчиков.

Задача 4: Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время первоначальную длину участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?

Решение: Пусть х ед. – ширина, а длина – у ед. Тогда первоначальная площадь участка равна – ху. По условию задачи длину увеличили на 35%, найдем новую длину:

у- 100%

уhello_html_m1b4cbc2b.gif - 135%

уhello_html_m1613527e.gif (ед)

По условию ширина уменьшилась на 14%, найдем новую ширину:

х ед. – 100%

хн ед. – 86%

хн =hello_html_m70054a17.gif0,86х (ед)

Найдем новую площадь:

1,35уhello_html_330414ba.gifх=1,161ху

ху – 100%

1,161ху – а%

а=hello_html_26ba8f4e.gif

3) 116,1%-100%= 16,1%

На 16,1% изменилась площадь участка.

Задача 5: Свежие грибы содержат 90% влаги, сушенные 12%.Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

Решение: 1) 100 % - 90 %=10 % - сухого вещества в свежих грибах.

2) 10 кг свежих – 100 %

х кг сухого – 10 %

hello_html_m2dbb3254.gif сухого вещества в 10 кг свежих грибов.

3) 100% - 12%=88 %- сухого вещества в сушеных грибах.

4) 1 кг – 88%

у кг – 100%

hello_html_m6772adce.gif

Ответ: hello_html_m25578d6d.gifкг сушеных грибов получится из 10 кг свежих.

Задача 6: Сколько белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при переработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение: При переработке свежих грибов – 50% их массы

При сушке – 10% массы обработанных грибов;

Пусть х кг нужно собрать

  1. х кг – 100%

у кг – 50%

hello_html_m69c29442.gif

  1. у кг - 100%

1 кг - 10%

hello_html_m50a5dbf2.gif

Х=2∙10=20 (КГ)

Ответ: 20 кг нужно собрать ,чтобы получить 1 кг сушеных грибов.

Задача 7: Бригада косарей в первый день скосили половину луга и еще 2 га, а во втором день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

Решение: 1 день – половину луга и 2 га.

2 день – 25% оставшейся части и 6 га, оставшиеся.

  1. 100% - 25%= 75% - оставшееся часть поля во 2 день.

  2. х га – 100%

6 га – 75%

hello_html_7da889bf.gif- осталось скосить после первого дня.

  1. По условию задачи другая половина больше 8 га на 2 га, т.е. 10 га – половина луга

  2. 10га∙2 = 20 (га) -весь луг.

Ответ: 20га.














































Приложение 5

Задача 1: Участок леса содержит 96% сосен. Лесозаготовительная компания планирует вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизится до 95%. Сколько сосен останется на участке?

Следует обратить внимание на типичную ошибку при решении таких задач. Первоначально, кажется, что 150 сосен – это и есть 1%, который вырубили.

Решение: Составим блок-схему.

Сосны

95%



Сосны

96%


- 150 =


hello_html_m62a00377.gifх х-150

Опишем задачу:

Пусть х всего деревьев в лесу до вырубки.

Тогда (х-150) деревьев в лесу после вырубки 150 сосен.

Сосен в лесу было 0,96х, а стало 0,95(х-150).

Составим и решим уравнение.

1. 0,96х – 150 = 0,95(х-150)

0,96х – 150 = 0,95х – 0,95∙150

0,96х- 0,95х = 150(1 – 0,95)

0,01х = 150∙0,05 умножим на 100

х = 150∙5

х = 750(деревьев) было в лесу

  1. 0,95(750-150)=hello_html_fafb99a.gif(сосен) стало в лесу.

Ответ: 570 сосен.

Задача 2: В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

Решение. Пусть х кг – свежих грибов, тогда

х кг – 100%

у кг – 90%

у кг =hello_html_24f914a5.gifх кг – воды в свежих грибах.

После сушки грибы стали легче на 15 кг, значит, воды в них стало (0,9х-15) кг, что составляет 60%. По условию грибы стали легче на 15 кг, значит, общая масса подсушенных грибов (х-15) кг

(0,9х-15)кг – 60%

(х -15)кг – 100%

hello_html_2db3d3d.gif

(0,9х-15)hello_html_m7ee71f1d.gif= (х-15)hello_html_66dadce8.gif

9х -150=6х -90

9х – 6х=-90+150

3х=60

х=60:3

х=20

20 кг – было свежих грибов.

Ответ:20 кг.

Задача 3: Имеется 735 г 16% -ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору?

Решение. Найдем массу йода в 16%- нам в растворе:

735 г – 100%

х г – 16%

х=hello_html_m21783256.gif (г) – чистого йода в этом растворе.

Пусть х г – спирта надо долить, тогда общая масса (735+х) г. Масса йода в этом растворе не меняется, но составляет 10%. Составляем пропорцию:

(735+х) г – 100%

117,6 г – 10%

(735+х) = 117,6hello_html_m7ee71f1d.gif

735+х = 1176

х = 1176-735

х = 441

441 г – спирта надо долить для того, чтобы раствор стал 10%-ным.

Ответ:441 г.

Задача 2: Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Решение.

  1. ?, на 80 орехов больше, чем в третьем.

  2. ?, 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем.

  3. ?

Пусть х – орехов было в первом ящике, z – орехов во втором ящике:

х – 100%

z – 110%

z=hello_html_13cb521e.gif

Пусть у орехов было в третьем ящике.

у – 100%

z – 130%

z =hello_html_m328c234f.gif

По условию в первом на 80 орехов больше, чем в третьем. Составим два уравнения:

hello_html_5c6e3268.gif

Решим систему уравнений:

hello_html_5c6e3268.gifhello_html_m732f55a5.gif

11hello_html_m424b2daa.gif= 13у

880+11у = 13у

11у – 13у= -880

- 2у = -880

у = -880: (-2)

у = 440

440 – орехов в третьем ящике

х = 80+440

х = 520

520 орехов в первом ящике.

hello_html_7a71b602.gif

572 ореха во втором ящике.

Ответ: 520, 572, 440 орехов.

Задача 3: После ведения санитарной обработки на базе отдыха количество мух уменьшилось на 9%, а количество комаров – на 4%. В целом количество насекомых уменьшилось на 5%. Сколько процентов от общего числа насекомых составляли комары?

Решение:

Пусть х – было мух, у- было комаров.

0,91х – стало мух после обработки.

0,96у – стало комаров после обработки

0,95(х+у) – стало насекомых после обработки.

Уравнение:

0,91х+0,96у=0,95(х+у)

0,91х+0,96у=0,95х+0,95у

0,96у-0,95у=0,95х-0,91х

0,01у=0,04х

у=4х – следовательно, общее число насекомых 5х, а комаров было 80 % от общего числа насекомых.


Задача 4: В библиотеке книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% от всех книг на иностранных языках, книги на французском языке – 75% от книг на английском языке, на немецком языке 185 книг. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?

Решение:

Пусть х книг всего было на иностранных языках, тогда:

hello_html_m48f9f1f4.gif(книг) на английском языке;

hello_html_5d06e469.gif(книг) на французском; по условию задачи на немецком языке – 185 книг, зная, что всего книг х, составим и решим уравнение:

hello_html_m52c9c43.gif

36х+27х+18500=100х

36х+27х-100х=-18500

63х-100х=-18500

-37х=-18500

х=-18500:-37

х=500

500 книг было всего.

Ответ:500 книг.

Задача 5: В смеси ацетона и воды ацетона в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 литров воды, получили смесь с процентным содержанием ацетона 12%. Сколько литров ацетона было в смеси первоначально?

Решение:

Вся смесь 5х – 100 %

Вода 4х – у %

у = hello_html_m6ce68355.gif

Ацетона – 20 %

Пусть х литров раствора первоначально, тогда ацетона 20% - 0,2 х литров, После добавления воды, количество ацетона не меняется, но общий вес раствора (х+20) литров. Составим пропорцию:

(х + 20) лит. – 100 %

0,2 х лит. – 12 %

hello_html_d4ce4d7.gif

(х+20)12 = 0,2хhello_html_m8b2c21f.gif

12 х+240 = 20х

12 х-20 х = -240

-8 х = -240

х= 30

30 лит. – 100 %

у лит. – 20 %

у = hello_html_ea37779.gifлит.

Ответ: 6 литров ацетона было в растворе первоначально.

Задача 6 Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

. Изобразим сплавы в виде прямоугольников


М С М С

+ =

х(г) (200 –х) (г) 200 (г)

0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3 *200 х = 140

2. Обозначим

М С М С

+ =

х(г) у(г) 200(г)

hello_html_5654e2d.gif х = 140 и у = 60

Ответ: 140г меди и 60г свинца

Задача 7 Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

hello_html_42e81e60.png


По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение


hello_html_751406e9.gifhello_html_14e11ec7.gifhello_html_m6fe5ba43.gif *х + * у = * 1


Аналогично массу серебра и получаем уравнение

hello_html_m1fb07fe9.gifhello_html_7b5d438e.gifhello_html_m76eeeddf.gif

* х + * у = * 1

Записываем одну из систем:

hello_html_7ba077e5.gifhello_html_m52d05fd8.gif

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.



























Приложение 6 Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы.

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?


hello_html_m13327987.png

Ответ: 7 килограммов.


Задача 4. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Задача 5. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.


Задача 6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка.


Задача 7. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?


Задача 8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?


Ответ: 5%.

Задача 9. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?


Ответ: 17%.

Задача 10. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?


Ответ:21%.

Задача 11. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?


Ответ: на 100 кг.


Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.



Задача 13. По дороге ТУДА Винни Пух нашел дупло с мёдом. По его ощущениям этот мёд, к сожалению, только лишь на одну пятую часть правильный (остальные четыре пятые – неправильные). В дупле же, найденном по дороге ОБРАТНО, мёд на 60% правильный. Сколько килограммов мёда нужно взять из первого и второго(10 – Х) кг дупла, чтобы в общей сложности получить 10 кг меда, содержащего 32% правильного?



Задача 6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка.



Задача Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?

Друг под другом пишутся процентные содержания меди в имеющихся сплавах, слева от них и примерно посередине – процентное содержание меди в сплаве, который должен получиться после сплавления. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

hello_html_5e54b9dc.png


Рассмотрим пары 75 и 72; 75 и 80. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей стрелочки. Получится такая схема:

hello_html_4093b1c1.png


Из нее делается заключение, что 72%-ного сплава следует взять 5 частей, а 80%-ного – 3 части (800:(5 + 3) = 100 г приходится на одну часть.) Таким образом, для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять 72%-ного сплава 100·5 = 500 г, а 80%-ного – 100·3 = 300 г.

Ответ:500г, 300г.


Задача 1 Смешали некоторые количества 72%-ого и 58%-ого растворов кислоты, в результате получили 62%-й раствор той же кислоты. Если бы каждого раствора было на 15 л больше, то получили бы 63,25%-й раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси?

Решение. Дважды используем диагональную схему:

ф3

Получаем:

hello_html_m5769c5b.gif

ф4

Получаем:

hello_html_m658c09bc.gif.

Составим схему уравнений и решим её:

hello_html_m661a9cf4.gif

hello_html_15923e6a.gifhello_html_25ddefed.gif

Ответ:12 л 72%-ого и 30 л 58%-ого растворов.

Задача Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:

33-1

Получаем:

(864 – х) : (х – 600) = 75 : 150

1728 – 2х = х – 600

х = 776.

Ответ: сплав 776-й пробы.






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 26.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1534
Номер материала ДВ-382475
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх