Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Системы уравнений, как математические модели реальных ситуаций
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Системы уравнений, как математические модели реальных ситуаций

библиотека
материалов

Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Вам известно, что система двух уравнений с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации. Первый опыт в решении таких задач вы приобрели в курсе алгебры 7-го класса. Правда, там встречались только системы двух линейных уравнений с двумя переменными. В § 4 мы рассмотрели задачу, математическая модель которой представляла собой систему двух уравнений, но одно из них уже не было линейным. Вернитесь еще раз к этой задаче, и вы убедитесь, что в технологии ее решения ничего особенно нового не было — те же три этапа математического моделирования. То же относится и к задачам, которые рассматриваются в этом параграфе.

Пример 1. 

В райцентре два кинотеатра — «Факел» и «Слава», первый — на 400, а второй — на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра «Слава» на 4 ряда больше, чем в кинотеатре «Факел», и, кроме того, в каждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько рядов в зрительном зале кинотеатра «Факел», если известно, что в каждом ряду кинотеатра «Слава» более 25 мест?

Решение.

Первый этап. 
Составление математической модели.

Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел», у — число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел». Тогда х + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава», у + 5 — число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава». Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее число мест в каждом кинотеатре: ху — число мест в кинотеатре «Факел», (х + 4)(у +5) — число мест в кинотеатре «Слава». По условию, в кинотеатре «Факел» — 400 мест, т.е. ху — 400, а в кинотеатре «Слава» — 600 мест, т.е. (х + 4){у + 5) = 600.

Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными: 

Системе двух уравнений
Математическая модель задачи составлена.



Второй этап. 

Работа с составленной моделью. Имеем

Система уравнений
Применим метод алгебраического сложения: вычтем первое уравнение из второго. Получим
 

Решение
Заменим этим уравнением второе
 уравнение системы (1):

Система уравнений
Система (2) несколько проще, чем система (1), ее можно решить методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы 

Система уравнений

Подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы (2):

Решение 

(обе части предыдущего уравнения почленно разделили на 5);Решение.
Так как
Решение.то получаем: если х = 20, то у = 20; если x = 16, то у = 25.
Итак, система (2), а с ней и система (1) имеют два решения: (20; 20) и (16; 25).


Третий этап.

Ответ на вопрос задачи.

Опираясь на полученные решения системы, мы должны проанализировать две возможности: либо в кинотеатре «Факел» 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по 25 мест в каждом ряду. Если выбрать первую возможность, то в кинотеатре «Слава» будет 24 ряда (по условию, там на 4 ряда больше) по 25 мест в каждом ряду (по условию, в каждом ряду «Славы» на 5 мест больше, чем в «Факеле»). Это нас не устраивает, поскольку, по условию, в каждом ряду «Славы» более 25 мест. Рассмотрим вторую возможность: в «Факеле» 16 рядов по 25 мест в каждом. Тогда в «Славе» будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это нас устраивает.

Ответ: 16 рядов.
На самом деле эта задача не является для вас новой, мы решали ее в учебнике «Алгебра-8», но по-другому: математической моделью задачи было
 рациональное уравнение с одной переменной. Приведем краткие наброски для составления такой модели:

Наброски для составления модели
Получаем уравнение 
УравнениеЭто математическая модель задачи.
Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте была более сложная математическая модель (система уравнений), значит, более трудным был второй этап — работа с составленной моделью. Зато менее трудным был первый этап, сама математическая модель была составлена легче и быстрее. Поскольку первый этап, где больше творчества, сложнее, чем второй (технический), то часто предпочтительнее упрощать именно этап составления модели, т.е. работать с двумя
 переменными.

Пример 2.

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км (рис. 41). Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Задание


Решение.

Первый этап.

Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем:Решение  — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), Решениевремя движения лодки от С до В (в первом рейсе). Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е.Решение
Таким образом, получаем
 уравнениеУравнениеРассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем:Решение  время движения лодки от С до А (во втором рейсе), Решениевремя движения лодки от А до В (во втором рейсе). Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнениеУравнение
Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными:
Математическая модель
Второй этап.

Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим:РешениеТогда система примет видСистема
Решив эту систему двух
 линейных уравнений с двумя переменными а и Ь (сделайте это!), получимРешение
Итак,

Решение
Остается решить совсем простую систему уравнений

Решение
Получаем х = 12, у = 3.


Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Ответ: 12 км/ч; 3 км/ч.


Пример 3.

Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы его выполнить мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если известно, что и то и другое количество дней выражаются целыми числами?

Решение.

Первый этап.

Составление математической модели.

Если речь идет о выполнении некоторой работы, не охарактеризованной в количественном плане (т.е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли вынуть и т.д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы. Пусть х — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а у — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку со всей работой. Если объем всей работы (т.е. 1) разделить на число дней, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день.

Итак,Al725.jpg— доля работы, которую выполняет мастер за 1 день,Al726.jpgдоля работы, которую выполняет ученик за 1 день.

По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается формулой —ФормулаДоля работы ученика за 6 дней выражается формулойФормулаПоскольку вместе они выполнят всю работу (т.е. 1), составляем уравнениеФормула
По условию, ученик выполнил, трудясь в одиночку до своей болезни, 20% задания, т.е.
Al730.jpgчасть всей работы. Сколько времени он потратил? Естественно, чтоAl730.jpgчасть того времени, которое нужно ему на выполнение всей работы, т.е. Al731.jpgдней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т.е.Al732.jpg  задания, на что затратил Al733.jpgдней.  По условию, выполнение задания растянулось на 11 дней, т.е.Задание
Таким образом, математическая модель задачи составлена — система двух уравнений с двумя переменными
Задание


Второй этап.

Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: у = 55-4x. Подставим выражение 55-4x вместо у в первое уравнение системы:УравнениеРешая это рациональное уравнение, последовательно получаем:

Решение
Оба найденных значения удовлетворяют условию
Решениет.е. являются корнями рационального уравнения с переменной х. Осталось найти соответствующие значения у. Для этого воспользуемся уравнением y = 55 - 4x.  Если х = 10, то из этого уравнения находим у = 15; еслиРешението из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения: 

Решение


Третий этап.

Ответ на вопрос задачи.

По условию, количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается целым числом. Значит, параРешениенас не устраивает. Остается лишь одна возможность: х = 10, у = 15. 

О т в е т: 10 дней; 15 дней.

Замечание.

Обратите внимание на то, что, решая системы уравнений, составленные в рассмотренных задачах, мы применили все методы, о которых шла речь в предыдущем параграфе: и подстановки, и алгебраического сложения, и введения новых переменных.





Автор
Дата добавления 15.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1541
Номер материала ДВ-262076
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх