Системы счисления.10 класс,Н.Д. Угринович, ФГОС

• 1 слайд

  Системы счисления. Представление числовой информации. 
  
  10 класс
  Н.Д. Угринович
  Автор: Савенкова Д.Е. учитель информатики и ИКТ
  
  

• 2 слайд

  Непозиционные системы счисления
  
  Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами.
  Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемых цифрами.
  
  
  
  
  
  
  В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её положения в числе, а в непозиционных — не зависит.
  Система счисления
  Позиционная
  Непозиционная
  

• 3 слайд

  Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
  В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000 используются латинские буквы L, С, D и М.
  Непозиционные системы счисления
  
  

• 4 слайд

  Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
  XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1
  (два десятка, пяток, три единицы).
  Для записи чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
  Например, IX обозначает 9, XI обозначает 11.
  Десятичное число 99 имеет следующее представление:
  XCIX = -10 + 100 - 1 + 10.
  
  

• 5 слайд

  Позиционные системы счисления
  
  Каждая позиционная система счисления имеет определённый алфавит цифр и основание. Основание системы счисления равно количеству цифр (знаков) в её алфавите.
  В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим.
  Основание показывает, во сколько раз изменяется значение цифры при перемещении её в соседний разряд.
  
  

• 6 слайд

  Позиционные системы счисления
  
  В настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а двоичная имеет две цифры {0,1}
  
  
  
  

• 7 слайд

  В системах счисления с основаниями, большими 10, в качестве недостающих цифр используют буквы латинского алфавита.
  Например, в шестнадцатеричной системе основание равно 16 и алфавит состоит из шестнадцати цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, причём первые десять цифр имеют общепринятое обозначение, а для записи остальных цифр со значениями 10, 11, 12, 13, 14, 15 используются первые шесть букв латинского алфавита. 
  Позиционные системы счисления
  
  

• 8 слайд

  Десятичная и двоичная системы счисления
  
  В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещённая на одну позицию влево, обозначает десятки, ещё левее — сотни, затем — тысячи и т. д.
  Рассмотрим в качестве примера десятичное число 333. Цифра 3 встречается в числе трижды, причём самая правая обозначает три единицы, вторая справа — три десятка и, наконец, третья — три сотни.
  В развёрнутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развёрнутой форме запись числа 333 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:
  33310 = 3 • 102 + 3 • 101 + 3 • 100.
  Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 333,33 в развёрнутой форме будет записываться следующим образом:
  333,3310 = 3 • 102 + 3 • 101 + 3 • 100 + 3 • 10-1 + 3 • 10-2.
  
  

• 9 слайд

  Десятичная и двоичная системы счисления
  Запишем шестнадцатеричное число в свёрнутой и развёрнутой формах:
  ABCDEF16 = А • 165 + В • 164 + С • 163 + D • 162 + Е • 161 + F • 160 = 10 • 165 + 11 • 164 + 12 • 163 + 13 • 162 + 14 • 161 + 15 • 160.
  
  

• 10 слайд

  Десятичная и двоичная системы счисления
  Числа в позиционных системах счисления записываются в виде многочлена: суммы степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
  Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд вправо или влево. Например:
  333.3310 • 10 = 3333,310,
  333.3310 : 10 = 33,33310.
  
  

• 11 слайд

  Десятичная и двоичная системы счисления
  Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.
  Пример: развёрнутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:
  А2 = 1 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20 + 0 • 2-1 + 1 • 2-2, а в свёрнутой форме:
  А2 = 110,012.
  Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:
  110,012 • 2 = 1100,12,
  110,012 : 2 = 11,0012. 
  
  
  

• 12 слайд

  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  
   Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
  0+0=0
  0+1=1
  1+0=1
  1+1=10
  
  Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нём становится равной или большей основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна 2.
  

• 13 слайд

  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  Сложение многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии с вышеприведённой таблицей сложения с учётом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112.
  
  
  

• 14 слайд

  Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведём двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим.
  1102 = 1 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20 = 610;
  112 = 1 • 21 + 1 • 20 = 310;
  610 + 310 = 910.
  Теперь переведём результат двоичного сложения в десятичное число.
  10012 = 1 • 23 + 0 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20 = 910.
  Сравним результаты. Сложение выполнено правильно.
  
  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  

• 15 слайд

   Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заём из старшего разряда. В таблице вычитания заём обозначен цифрой 1 с чертой над ней.
  0-0=0
  1-0=1
  0-1=11
  1-1=0
  
  
  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  

• 16 слайд

  Вычитание многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учётом возможных заёмов в старших разрядах. В качестве примера произведём вычитание двоичных чисел 1102 1102 и 112.
  
  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  

• 17 слайд

  Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:
  0*0=0
  0*1=0
  1*0=0
  1*1=0
  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  

• 18 слайд

  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  Умножение многоразрядных двоичных чисел производится в соответствии с вышеприведённой таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
  В качестве примера произведём умножение двоичных чисел 1102 и 112.
  

• 19 слайд

  Арифметические операции в позиционных системах счисления
  Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведём деление двоичного числа 1102 на 112
  

• 20 слайд

  Переведите числа в 10ю систему счисления
  11001002 =
  
  2738 =  
  A0C16 =  
  213135 =
  12223 =
  1∙26+1∙25+0∙24+0∙23+1∙22+0∙21+0∙20 = 64+32+0+0+4+0+0 = 10010
  2∙82+7∙81+3∙80 = 128+56+3 = 18710
  10∙162+0∙161+12∙160 = 2560+0+12 = 257210
  2∙54+1∙53+3∙52+1∙51+3∙50 = 1250+125+75+5+3 = 145810 
  1∙33+2∙32+2∙31+2∙30 = 27+18+6+2 = 5310