Системы счисления (9 класс)

Содержание Виды систем счисления Алгоритм перевода чисел из p-ичной системы счисления в g-ичную систему счисления Двоичная и восьмеричная арифметика Шестнадцатеричная арифметика

Цифры – это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит. Число – это некоторая величина. Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр. Все известные системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционные системы счисления возникли ранее позиционных. Последние являются в свою очередь результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления. Непозиционной называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент (“вес”) цифры не зависит от ее местоположения в записи числа. Непозиционные системы счисления Единичная система счисления Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления Римская система счисления Алфавитные системы

2. Позиционной называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент (“вес”) цифры зависит от ее местоположения в записи числа. Основные достоинства позиционных систем счисления: Простота выполнения арифметических операций. Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа Разряд – это позиция цифры в числе. Основание (базис) позиционной системы счисления – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления. Позиционных систем много, так как за основание системы можно взять любое число >=2.

Название Основание цифры Где используются Двоичная 2 0,1 В ЭВМ Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7 В ЭВМ Шестнадцатеричная 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F (10,11,12,13,14,15- в десятиной с.с. соответственно) В ЭВМ Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 В современной повседневной жизни Двенадцатеричная 12 (дюжина) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, знак, знак В мире до первой трети XX века Пятеричная 5 0,1,2,3,4 В Китае

Перевод чисел из 10-ой системы счисления Перевод Целые числа Дробные числа A10->Aлюбую 1. Последовательно выполнить деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше делителя. 2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3. Составить число в новой системе счисления, записать его, начиная с последнего остатка. Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Перевод чисел в десятичную систему счисления Перевод Aлюбая ->Aдесятичная Представьте число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления. Найдите сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления. Примеры 1 Пример AB8,2316=(10х162+11х161+8х160)+(2х16-1+3х162)=(2560+176+8)+(2х1/16+3/(16х16))= =2744+(0,125+0,01171875)=2744+0,13671875=2744,1367187510 Примечание A16=1010; B16=1110;….. F16=1510 Любое число в нулевой степени =1; 160=1. 16-2=1/162 Дробная часть числа дает дробную часть в другой системе счисления, всегда <1 ( 0,…) 2 Пример 1001,0012=(1х23+0х22+0х21+1х20)+(0х2-1+0х2-2+1х2-3)= =(8+0+0+1)+(0+0+1/8)=9+0.125=9.12510 3 Пример 304302,4135=(3х55+0х54+4х53+3х52+0 х51+2х50)+(4х5-1+1х5-2+3х5-3)=(3х3125+0+4х125+0+2)+ +(4/5+1/25+3/125)=(9375+500+2)+(0,8+0,04+0,024)=9877+0,864=9877,86410

Домашнее задание 1 вариант 2 вариант 1)607,579=A7 1)124,0036=A5 2) 131,1818=A3 2) A100,0B16=A4 3 вариант 4 вариант 1)45,126=A15 1)СВО,B316=A3 2) 110,1012=A7 2) 1230,0234=A5

Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант 1)6370,178=A3 1)230,1114=A8 2) A01,10C16=A7 2) A00,0C16=A5 3) 1011,0112=A9 2) 100,1112=A7

Двоичная арифметика Таблица сложения Таблица умножения + 0 1 х 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 Пример 1 1 0 1 1, 0 12 +1 0 1 1 0, 1 1 12 1 0 0 0 1 0, 0 0 12 1 1 1 1 1 1 память 0+0=0 0 + 1= 1 1 +0 =1 1 +1 =10 (1+1)+1=11 (1+1)+(1+1)=10+10=100 (1+1+1+1)+1=100+1=101 и т д. Пример2 1 1 1 1, 1 12 + 1 0 1 0, 1 1 2 1 1 0 1 0, 1 02 1 1 1 1 1 память

Двоичная арифметика (продолжение) Таблица сложения Таблица умножения + 0 1 х 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 0-0=0 1 -0= 1 0 -1 = надо занять 1 в соседнем разряде 1 -1 =0 Пример 3 .0 1 .10 1 10 1 0 1 0, 0 12 _ 1 1 1, 1 12 0 1 1 0, 1 02 пример4 0 . 10 . 10 . 1 1 10 1 _ 1 1 0 0, 0 12 1 1 1 1, 12 0 1 1 0 0, 1 12

Двоичная арифметика (продолжение) Таблица сложения + 0 1 0 0 1 1 1 10 Таблица умножения х 0 1 0 0 0 1 0 1 Пример 5 1 0 1 1, 12 Х 1 0 1, 0 12 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 + 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0, 0 1 12 1 1 1 1 память 1 0 0 0

010=12 810=10002 110=12 910=10012 210=102 1010=10102 310=112 1110=10112 410=1002 1210=11002 510=1012 1310=11012 610=1102 1410=11102 710=1112 1510=11112 1610=100002 И т.д. Пример 6 1 1 1 1 1, 0 12 Х 1 0 1 1, 1 12 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 + 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1, 0 0 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Двоичная арифметика (продолжение) Таблица сложения + 0 1 0 0 1 1 1 10 Таблица умножения х 0 1 0 0 0 1 0 1 Пример 7 1 0 1, 0 12 : 1 0, 12 = = 1 0 1 0 12 : 1 0 1 02 - 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0, 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1, 0 12 : 1 0, 12 ≈10,00012

Двоичная арифметика (продолжение) Пример 8 1 0 0, 12 : 1 1, 0 12 = = 1 0 0 1 0 2 : 1 1 0 12 ≈1,01100012 1 0 0 1 0 1 1 0 1 - 1 1 0 1 1, 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 - 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 - 1 1 01 1 0 0 0 1 0 0 0 0 - 1 1 0 1 0 0 0 1 1

Двоичная арифметика (продолжение) Домашнее задание А) 1010,10102+ 1010,1010112= Б) 1010,10102-11,0112= В) 1010,101 2 х11,01 2 = Г) 101,11 2 : 11,012= д) 110,112+ 101,1112= е) 11110,0012-10,0112= ж) 101,11 2 х10,1 2 = з) 11,01 2 : 10,12=

Двоичная арифметика (продолжение) Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант 1) 1011,112Х110,112 1) 110,112Х111,112 2) 1012:10112 ( До 5 знаков после запятой) 2) 11,012:111,12 ( До 5 знаков после запятой) 3) 1001,0012-111,112 3) 1100,012-101,10112

Двоичная арифметика (продолжение) Самостоятельная работа (ответы) 1 вариант 2 вариант 1) 1011,112Х110,112= 1001111,00012 1) 110,112Х111,112= 110100,01012 2) 1012:10112 ( До 5 знаков после запятой) = 0,011112 2) 11,012:111,12 ( До 5 знаков после запятой) = 0,011012 3) 1001,0012-111,112= 1,0112 3) 1100,012-101,10112= 110,10012

Таблица сложения Восьмеричная арифметика Таблица умножения Х 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61 + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16

Таблица сложения Шестнадцатеричная арифметика + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E

Таблица умножения (симметрична относительно главной диагонали) Шестнадцатеричная арифметика (продолжение) Х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 - - 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 - - - 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 - - - - 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 - - - - - 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 - - - - - - 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 - - - - - - - 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 - - - - - - - - 40 48 50 58 60 68 70 78 9 - - - - - - - - - 51 5A 63 6C 75 7E 87 A - - - - - - - - - - 64 6E 78 82 8C 96 B - - - - - - - - - - - 79 84 8F 9A A5 C - - - - - - - - - - - - 90 9C A8 B4 D - - - - - - - - - - - - - A9 B6 C3 E - - - - - - - - - - - - - - C4 D2 F - - - - - - - - - - - - - - - E1