Инфоурок / Информатика / Научные работы / Сызықтық емес, динамикалық, стохастикалық, имитациялык программалау есептері және олардың қойылымы
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Сызықтық емес, динамикалық, стохастикалық, имитациялык программалау есептері және олардың қойылымы




Московские документы для аттестации!

124 курса профессиональной переподготовки от 4 795 руб.
274 курса повышения квалификации от 1 225 руб.

Для выбора курса воспользуйтесь поиском на сайте KURSY.ORG


Вы получите официальный Диплом или Удостоверение установленного образца в соответствии с требованиями государства (образовательная Лицензия № 038767 выдана ООО "Столичный учебный центр" Департаментом образования города МОСКВА).

ДИПЛОМ от Столичного учебного центра: KURSY.ORG


библиотека
материалов



бЕКІТЕМІН:

пЦК жетекшісі

_____ Қаражанова Г

(ҚОЛЫ) (аты-жөні)


Сабақ жоспарының конспектісі


ІҮ

Топ:

ЭЕТ – И – 13

Сабақ нөмірі:

2

Пән атауы:

Өндірістік және экономикалық процестерді модельдеу

Оқытушы аты-жөні:

Ержанова Динара Жайлаубаевна

Мамандығы/

Біліктілігі:

1304000-«Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету»

1304043-«Техник – бағдарламашы»

Уақыты:

11:50 – 13:20

Өткізілетін орны:

132 аудитория

Сабақтың тақырыбы:

Сызықтық емес,динамикалық, стохастикалық, имитациялык программалау есептері және олардың қойылымы

Сабақ мақсаты:

  • Білімділік:

- формулаларға сүйеніп нақты шешім қабылдай алу,

- өз бетінше мақсат қою және мақсатқа жету жолдарында қажетті ақпараттарды пайдалана білу;

- шешімді табу, талдау, таңдау жасау, түрлендіру, сақтау, тарату үшін ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолдану;

- логикалық есептерді шешу (талдау, саралау, түсіну, құрылымын ұғыну, мәліметтерді жүйелеу)

  • Тәрбиелік:

Оқушыларды ізденуге, әдептілікке, мақсатшылдыққа тәрбиелеу.

Мұқияттылыққа, өзін - өзі сенімді болуға баулу

  • Дамытушылық:

- есептерді шешу үшін әртүрлі ауызша және жазбаша жұмыстарын жүргізу

- коммуникативті мәселелердің шешу жолдарын табу;

- жеке тұлға және қоғам қалыптастыруға бағытталған мәдени және шығармашылық жұмыстарға қатысу.

Сабақ түрі:

Лабораториялық

Сабақ типі:

Аралас

Оқыту әдістері, тәсілдері, оқыту технологиялары:

- оқу материалдарын әдістемелік және дидактикалық кешендер арқылы меңгерту технологиялары: жеке дара ерекшеліктеріне деңгейлеп саралап оқыту технологиясы

- оқыту үрдісін тиімді ұйымдастыру және басқарудың педагогикалық технологиялары: жеке және топтық оқыту әдістері, оқытудың дифференциалдық технологиялары

- оқытудың дамытушылық технологиялары: жазу және оқу арқылы ойлауды жан-жақты дамыту технологиялары, оқытуды дамыту технологиялары.

Қолданылатын дидактикалық материалдар, техникалық құралдар:

Бор, тақта, формулалар, тапсырмалар

Қолданылатын негізгі әдебиеттер

  1. Оспанов С.С., Асқарова Ж.А Экономикадағы сызықтық модельдерді талдаудың математикалық әдістері. Оқу-әдістемелік құрал. Алматы: Нұр-Пресс-2006- 100 бет.

  2. Асқарова Ж.А, Асқарова Ғ.А. Экономикадағы математикалық әдістер. Практикум.- Алматы: Нұр-Пресс, 2008 – 111 бет.

  3. А.В.Кузнецов, Г.И. Новикова, Н.И. Холод. Сборник задач по математическому программированию. Мн: Выш.шк, 1985-143 с, ил.

  4. Абатов Н.Т. Сызықты программалау. ОӘК. А.Байтұрсынов атындағы ҚМУ. 2007

  5. Абатов Н.Т., Балгураева Н.Қ. Сызықтық программалау. ОӘҚ. А.Байтұрсынов атындағы ҚМУ. 2007

Қосымша әдебиеттер:

1. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования. – М.: Наука, 1964.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., переаб. и доп. – М.: Энергия, 1980. – 424 с.

3. Акулич И.Л. Математичское программирование в примерах и задачах. Учебное пособие . – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.

4. Кубонива М. Математическая экономика на персональном компьютере. – М.: Финансы и стаистика, 1991. – 304 с.

Сабақ барысы

Уақыты)

Сабақ барысындағы оқытушы іс-әркеті

Сабақ барысындағы студенттің іс-әрекеті

Қажетті оқу-ресурстық құралдар

1

2

3

4

5

І.Оқу іс-әрекетін ұйымдастыру, мотивация

5 мин

  • Үй тапсырмасын сұрау

  • Жаңа сабақтың мақсат-міндетімен таныстырады ;

- Лекция барысымен таныстыру;

- Берілген есепті программалау.

  • Амандасу

  • оқу-құралдарын дайындау

кезекшілік міндеттерін атқару;

  • үй тапсырмасына жауап беру


Кітаптар, оәк, таратпалар

ІІ.Үй тапсырмасын сұрау (өткен сабақпен байланыс)

15 мин

  • Үй тапсырмасын сұрау;

  • Өткен тақырып бойынша берілген есепті программалау жолын көрсету;

  • Қосымша сұрақтар қою;

  • Бағалау шартымен таныстыру.

  • Үй тапсырмасын орындау;

  • Өткен тақырып бойынша есепті программалауды көрсету;

  • Қосымша сұрақтарға жауап беру;

  • Бағалау шартымен танысу.

Кітаптар, оәк, таратпалар

ІІІ. Жаңа материалды меңгерту

25 мин

Шартсыз өту операторы - GOTO операторлардың бағдарламада орналасу ретіне байланысты орындалу тәртібін бұзу үшін қолданылады.Жалпы түрі: GOTO N;Мұндағы N таңба. N-таңбасы алдымен LABEL бөлігінде (таңбалар бөлігінде) толық сипатталып, жазылуы керек. CASE таңдау операторы көп тармақты алгоритмдерді барынша қарапайым және көрнекі түрде жазуға мүмкіндік береді. Таңдау операторының жазылуы пішімі:Case <селектор-өрнек> of<1-тұрақты>: <1-оператор> ;<2-тұрақты >: <2-оператор > ;………..: ;

Else ;End;


Шартсыз өту операторы - GOTO операторлардың бағдарламада жазылуын, орындалу тәртібін меңгереді.Программада жазылу реттілігін түсінеді. Керекті тірек сөздерді жазып алады.

Case <селектор-өрнек> of<1-тұрақты>: <1-оператор> ;<2-тұрақты >: <2-оператор > ;………..: ;

Else ;

End;

Операторының жазылу формасын түсінеді және осы операторға берілген есептердің шығарылу жолын түсінеді.


Кітаптар, оәк, таратпалар

ІҮ. Білім, іскерлік, дағдыларды қалыптастыруға керекті білімдер

10 мин

Шартты көшу және операторларының программада орындалу реті анық көрінеді. Таңдау операторы (case) бірнеше операторлардың ішінен таңдау жолымен көп тарамды тармақталуды ұйымдастырады. Тармақталу берілген логикалық мәнге ие болатын өрнек түріндегі шартты тексеруден басталатындығын ескерту.

Таңдау операторы (case) бірнеше операторлардың ішінен таңдау жолымен тармақталуды ұйымдастырады. Операторларға берілген есептерді шығару

Тармақталу процестері бар алгоритмдерді ұйымдастыру үшін шартты операторлар пайдаланылады. Турбо Паскальда екі шартты оператор бар, олар if және case.
Шартсыз көшу операторы. Шартсыз көшу операторы операторлардың рет – ретімен орналасуын бұзып, келесі атқарылуды белгісі бар операторға көшу ісін орындайды. Ол GOTO (көшу) түйінді сөзінен басталады, одан кейін LABEL бөлімінде сипатталған белгі атауы саны көрсетіледі.

Кітаптар, оәк, таратпалар

Ү.Білімді бақылау, бағалау

15 мин

Тақатаға шығарылған жұмыстарды тексеру;

Қателерін анықтау және жөндеу жұмыстарын жасау

Оқушылар орындаған жұмысының нәтижесін көреді;

Сабақ барысында көрсеткен белсенділігі мен жұмыстың нәтижелері, сұраққа жауап

Мұғалімнің түсіндірмесін тыңдайды;

  • Өз анықтамаларын әдебиеттерде берілген анықтамалармен салыстырады;

Ғалымдардың негізгі ұғымдарға берген анықтамаларын талдайды, өз пікірлері мен ұсыныстарын білдіреді;

Кітаптар, оәк, таратпалар

ҮІ. Қорытынды (рефлексия)

15

Циклдік алгоритмдердің орындалу реті блок-схемада анық көрінеді. Блок-схема дегенiмiз алгоритмдi геометриялық фигуралар арқылы бейнелеу.

Белгiлi бiр шартты тексеру нәтижесiне байланысты екi түрлi iс-әрекеттiң бiреуi ғана орындалатын жағдайда шарттық оператор қолданып программалау

for : = пар.баст.мәні to пар.соңғы мәні do оператор мұнда пар.баст.мәні – цикл параметрінің бастапқы мәні болып табылады. For <циклдiң параметрi>:= <s1> to <s2> do <оператор>; { өсу ретімен }For <циклдiң параметрi> := < s2> downto < s1> do <оператор>; { кему ретімен

Кітаптар, оәк, таратпалар

ҮІІ. Үй тапсырмасын беру

5

Үй тапсырмасын орындау алгоритмі бойынша түсіндіру

Үй тапсырмасын орындау реті бойынша түсіну

Кітаптар, оәк, таратпалар

Теориялық тапсырма

Шығармашылық тапсырма

-

GoTo және Case операторларына сипаттама беру



Студенттердің білім көрсеткіші:

-




Оқытушының өзін-өзі бағалауы:

-




Экономикалық талдау мен есептеу əдістерін жетілдіруде зерттеудің математикалық тəсілдерін қолдану үлкен роль атқарады. Баға белгілеу заңдылықтары, өнім бірлігіне жұмсалатын еңбек пен материалдардың толық шығынын зерделеу, салааралық байланыстарды зерттеу, капитал салымының рентабельділігі, өндірісті орналастырудың тиімділігін анықтау, өндірістік процесті оңтайлы жоспарлау, шектеулі ресурстарды тиімді пайдалану секілді экономикалық проблемалар жəне басқа да маңыздылығы бұлардан кем емес мəселелер математикалық тəсілдерді кеңінен қолдану арқылы табысты шешіле алады. Экономикалық-математикалық зерттеу негізінде зерделеніп отырған экономикалық процесті математикалық модельдеу, яғни бұл процестің сандық заңдылықтарын математикалық формулалар көмегімен сипаттау жатыр. Математикалық модельдердің көптеген анықтамалары бар. Солардың ішінде, біздің пікірімізше, недəуір дұрыс болып табылатын біреуін берейік. Математикалық модель – математикалық символдармен жазылған нақты құбылыс абстракциясы. Оны талдау осы құбылыстың мəнін тереңдей ашуға мүмкіндік беретіндей етіп құрастырылған.





hello_html_m5bb5f520.png

Модельдеу дегенде біз модельдердің құрылуын, олардызерделеу мен қолдануды түсінеміз. Модельдеу процесінің мəнінсызба түрінде 1-суреттен көруге болады.

Модельді құрудың бірінші сатысында үш есепті шешуқажет:

- зерттеу мақсатын анықтау;

- негізгі шектеулерді айқындау;

- зерделеп отырған құбылыстың барлық мəдеметтерінің

сандық көрінісі.Зерттеу мақсаты есепті шешудің əр түрлі нұсқалары салыстырылатын жəне олардың ішінен ең үздігі таңдалып алынатын белгісімен (критерийімен) сипатталады. Əр алуан экономикалық есептерде мұндай критерий ретінде барынша жоғары табыс, өндірістің барынша төмен шығындары жəне басқалар таңдап алынуы мүмкін. Əдетте, экономикалық есептер қою барынша тиімді пайдалануды қажет ететін шектеулі ресурстардың бар екендігін білдіреді. Сондықтан зерделеніп отырған мəселе үшін қандай ресурстардың шешуші болып табылатындығын, олардың қоры қандай екендігін анықтау өте маңызды. Ресурстар бойынша барлық шектеулер қарама-қайшы болмауы керек. Кейбір шектеулерді есепке алмау алынған шешімнің қолдануға тиімсіз болып қалуына жəне керісінше ресурстар бойынша қатаң шектеулер қою есептің шешімі аясын тым тарылтып жіберуге əкелуі мүмкін. Бұл оңтайлы шешім табу мүмкіндігін жоққа шығарады.

Экономикалық есептерді шешудің барлығында да математикалық тəсілдер қолданыла бермейтінін атап өткен жөн. Бұл үшін қажетті шарт зерделеніп отырған мəселені сипаттайтын есептер мен тəуелдіктердің бастапқы деректерінің сандық көрінісі болып табылады.

Математикалық модельді құру сандық мəні есепті шешу нұсқаларының бірін анықтайтын айнымалылардың кейбір сандарын енгізуден басталады. Оларды х, у жəне т.б. белгілейді. Оңтайлылықтың таңдалып алынған критерийіне сəйкес мақсатты функция құрылады. Содан соң математикалық теңдік немесе теңсіздік түрінде осы процесті сипаттайтын өзара байланыстар бейнеленеді.

Жалпы түрде экономикалық есептің математикалық моделі мынадай түрге ие:

gi (x1, x2, …, xn) ≤ bi, i = 1,m

xj ≥0, j =1, n

болған жағдайда функцияның экстремумын табу талап етіледі:

f (x1, x2, …, xn)

Мұндай түрдегі экстремальды есептерді шешуге экономиканың əр алуан есептерін талдау əкеледі.

Модельдеу процесінің екінші сатысында модель зерттеудің дербес нысанасы ретінде көрінеді. Модельдік тəжірибелер жүргізіледі.

Үшінші сатыда модель тілінен түпнұсқа тіліне өту жүзеге асады. Нəтижесінде модельдің нысана-түпнұсқаға барабар еместігі айқындалуы мүмкін. Бұл жағдайда модельді түзету, яғни 1 сатыға өту жүргізіледі.

Осылайша, модельдеу – бұл циклдық процесс, жəне ол зерттеліп отырған нысананы жеткілікті дəрежеде нақты бейнелейтін модель құрылғанға дейін жалғаса береді



Экономикалық есептердің математикалық модельдерін құру үлгілері

Мынадай есепті қарастырайық.

Кондитерлік фабрика карамельдің А, В, жəне С үш түрін өндіру үшін негізгі шикізаттың үш түрін пайдаланады: қант ұнтағы, сірне жəне жеміс езіндісі. Шикізаттың əр түрінің 1 т карамель өндіруге жұмсалатын нормасы 1-кестеде көрсетілген. Онда фабрика пайдаланатын шикізаттың əр түрінің жалпы саны, сонымен бірге карамельдің осы түрін сатудан түсетін табыс келтірілген. Сатудан барынша жоғары табыс түсіретін карамель өндірудің жоспарын табу керек.


hello_html_med3d7f.png

Көрініп тұрғандай, бұл жағдайда модель құру барысында шешілуі тиіс үш есептің үшеуі де шешілді. Дəлірек айтсақ, сатудан барынша жоғары табыс түсуін қамтамасыз ететін карамель өндіру жоспарын анықтауға құрылған есептің мақсаты айқындалды. Сонымен қатар карамельдің барлық түрлерін өндірудің негізгі ресурстары жəне олардың қоры анықталды. Үшінші есеп те шешілді, яғни карамельдің əрбір түрінің бірлігін өндіруге жұмсалатын ресурстар нормативі жəне өнім бірлігін сатудан түсетін табыс белгіленді.

Енді математикалық модельді құруға кірісе беруге болады. Модельді құру, жоғарыда айтылғандай, сандық мəні есепті шешу нұсқаларының бірін анықтайтын айнымалылардың кейбір сандарын енгізуден басталады. Бұл жағдайда есеп карамель өндірісінің жоспарын анықтауға құрылады. Осыған орай келесі айнымалыларды енгізейік: х1– А карамелін өндіру көлемі, х2 – В карамелін өндіру көлемі жəне х3 – С карамелін өндіру көлемі. Мақсатты функция құралық. Кондитерлік фабрика А карамелінің 1 т сатудан 108 теңге көлемінде табыс алатыны бізге белгілі, ал фабрика карамельдің А түрінің х1 тоннасын өндіреді, демек, А карамелінің х1 тоннасын сатудан фабрика 108 х1 теңге көлемінде табыс алады. Сəйкесінше, В карамелінің х2 тоннасын сатудан түсетін табыс 112 х2 теңгені, ал С карамелінің х3 тоннасын сатудан түсетін табыс 126 х3 теңгені құрайды. Сонда карамельдің барлық түрін сатудан түсетін табыстың сомасы мынаған тең болады: 108 х1+112 х2+126 х3. Демек, мақсатты функция барынша көбейтуді қажет ететін мынадай түрге ие болады:

f (х)=108 х1 + 112 х2 + 126 х3, мұндағы х= (х1 , х2 , х3) – карамель өндірісінің жоспары.





Енді есептің шектелуін құрайық. А карамелінің 1 т өндіруге 0,8 т қант ұнтағы жұмсалатыны бізге белгілі, демек, А карамелінің х1 тоннасын өндіруге 0,8 х1 тонна қант ұнтағы жұмсалады. Сəйкесінше, В карамелінің х2 тоннасын өндіруге - 0,5 х2 тонна, ал С карамеліннің х3 тоннасын өндіруге 0,6 х1 тонна қант ұнтағы жұмсалады. Осылайша, карамельдің барлық түрлерін өндіруге 0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 тонна қант ұнтағы жұмсалады. Бұл шығындар фабрикадағы қант ұнтағы қорынан, яғни 800 тоннадан асып кетпеуі қажет. Сонымен қант ұнтағы ресурсы бойынша бірінші шектелім мынадай түрде болады:

0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 ≤ 800

Сəйкесінше, карамельдің əрбір түрінің 1 тоннасына арналған сірне мен жеміс езіндісі шығындарының берілген нормативін, сонымен бірге осы ресурстардың фабрикада бар көлемін пайдалану арқылы шикізаттардың бұл түрін пайдалану бойынша шектеулер құрылады, дəлірек айтар болсақ,

0,4х1 + 0,4х2 + 0,3х3 ≤ 600

0,1х2 + 0,1х3 ≤ 800

Бұл шектеулерге айнымалылардың теріссіздігі шартын қосу қажет х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, себебі карамель өндірісінің көлемі теріс бола алмайды. Осылайша, берілген экономикалық есептің келесі математикалық моделін алдық.

0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 ≤ 800

0,4х1 + 0,4х2 + 0,3х3 ≤ 600

0,1х2 + 0,1х3 ≤ 800

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0

шектеулері жағдайында max f (х)=108 х1 + 112 х2 + 126 х3 табу керек. Математикалық модельді құруға арналған тағы бір есепті қарастырып көрейік.

Мал азығының рационына құрамына үш өнім кіреді: пішен, сүрленген шөп жəне ақуыз, кальций жəне витаминдер секілді қоректік заттары бар концентраттар. Сəйкес азық құрамындағы қоректік заттар (1 кг-ға г-мен) жəне олармен қоректенудің минималды қажетті нормасы төмендегі кестеде берілген:


hello_html_m4d5cadcc.png









Минималды құн шарты бойынша малды азықтандырудың оңтайлы рационын анықтау керек, егер 1 кг пішеннің бағасы – 3 теңге, сүрленген шөп – 2 теңге, концентраттар 5 теңге тұратын болса. Математикалық модельді құру үшін айнымалыларды енгіземіз:

х1 - рациондағы пішен көлемі (кг)

х2 – рациондағы сүрленген шөп көлемі (кг)

х3 – рациондағы концентраттар көлемі (кг).

Есептің мəні мынада: қоректік заттардың минималды қажетті нормасы болатын жəне барынша арзанға түсетін рационды х= (х1, х2 х3) анықтау керек. Əуелі мақсатты функция құралық. Бізге белгілі, 1 кг пішен 3 теңге тұрады, ал оның рациондағы көлемі х1 кг болуы қажет, демек рациондағы барлық пішен құны 3 х1 теңгеге тең болады, осыған сəйкес рациондағы сүрленген пішеннің құны 2 х2 теңге, ал концентраттар құны 5 х3 теңге болады. Осылайша, рационның жалпы құны 3х1 + 2х2 + 5х3 тең болады да, мақсатты функция мынадай түрге ие болады:

f (х)=3х1 + 2х2 + 5х3 ,

жəне осы функцияның минимумын табу керек. Енді есептің шектеуін құрамыз. 1 кг пішенде 50 г ақуыз болатындықтан, х1 кг пішендегі ақуыз (50 · х1) г болады. Сонымен қатар 1 кг сүрленген шөпте 20 г ақуыз бар, демек х2 кг сүрленген шөпте (20 · х1) г ақуыз болады. Ақуыз концентраттарда да болады, дəлірек айтсақ, (180· х3) г. Осылайша, толық рациондағы ақуыз көлемі 50х1 + 20х2 + 180· х3 болады жəне ол тұтынудыңминималды қажетті нормасынан кем болмауы қажет, яғни 2000 г-нан кем болмайды. Сонымен мынадай қатынас аламыз:

50х1 + 20х2 + 180х3 ≥ 2000

Осындай жолмен, əрбір кг пішендегі, сүрленген шөп пен концентраттағы кальций мен витаминдердің нормативін, сонымен қатар оларды тұтынудың минималды қажетті нормасын пайдалана отырып, төмендегі шектеулерді аламыз:

6х1 + 4х2 + 3х3 ≥ 120,

2х1 + х2 + х3 ≥ 40

Айнымалылардың теріс еместігі бойынша шектеулерді қоса отырып, берілген экономикалық есептің

50х1 + 20х2 + 180х3 ≥ 2000

6х1 + 4х2 + 3х3 ≥ 120

2х1 + х2+ х3 ≥ 40

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0

шектеулері жағдайындағы мынадай математикалық моделін аламыз:

minf (х)=3х1 + 2х2 + 5х3


Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 13 декабря. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru


Общая информация

Номер материала: ДБ-291830
Курсы профессиональной переподготовки
133 курса

Выдаем дипломы установленного образца

Заочное обучение - на сайте «Инфоурок»
(в дипломе форма обучения не указывается)

Начало обучения: 13 декабря
(набор групп каждую неделю)

Лицензия на образовательную деятельность
(№5201 выдана ООО «Инфоурок» 20.05.2016)


Скидка 50%

от 13 800  6 900 руб. / 300 часов

от 17 800  8 900 руб. / 600 часов

Выберите квалификацию, которая должна быть указана в Вашем дипломе:
... и ещё 87 других квалификаций, которые Вы можете получить

Похожие материалы

Получите наградные документы сразу с 38 конкурсов за один орг.взнос: Подробнее ->>