1066019
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаСтатьиСкалярное произведение в алгебре

Скалярное произведение в алгебре

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Скалярное произведение в алгебре

Рассмотрим задачи школьного курса алгебры, при решении которых используется скалярное произведение векторов.

Определение и свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними, т.е.

где – угол между векторами

Так как

и

Заметим, что равенство достигается в неравенстве (1), если векторы коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы сонаправлены.

Кроме того, напомним, что если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат, то скалярное произведение векторов и длина вектора находятся по формулам





и, следовательно, . (3)

Аналогичные формулы справедливы и для трехмерного пространства

(1,a)

(2,a)

. (3,a)











Применение векторов для решения уравнений

1. Решите уравнение .

Решение. Введем векторы Тогда

Вычислим длины векторов:

Следовательно, и значит , .

Ответ:

2. Решите уравнение

Решение. Введем векторы Тогда , Найдем Тогда данное уравнение запишется в виде а это выполняется тогда и только тогда, когда коллинеарны, т.е. когда коэффициенты векторов пропорциональны, следовательно,

Ответ:

3. Решите уравнение

Решение. Введем векторы

Тогда

Пусть значит и Уравнение примет вид что возможно лишь тогда, когда – коллинеарны, тогда координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

где

Ответ: где .



4. Решите уравнение

Решение. Введем векторы Тогда

Но т.е. значит коллинеарны, следовательно, или

. . Из первого уравнения нетрудно заметить, что Подставим найденный корень во второе уравнение: т.е. , следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

5. Решите уравнение .

Решение. Введем векторы

то есть – коллинеарны, следовательно,



Подбором нетрудно обнаружить, что один из корней равен Разделив многочлен на выражение , получаем квадратный трехчлен ( – посторонний корень. Тогда окончательно получаем: .

Ответ:

6. Решите систему

Решение. Введем векторы





Рассмотрим два случая:



Ответ:

7. Решите систему

Решение. Введем векторы

следовательно, вектора коллинеарны. Тогда: Решая это равенство, получаем:

Ответ:

8. Решите систему

Решение. Введем векторы



и следовательно, все векторы коллинеарны. Тогда:

Ответ:

9. Решите систему

Решение. Введем векторы





, следовательно, – коллинеарны. Тогда:

Рассмотрим функцию

тогда (с точки зрения нашего уравнения) (подставили вместо в первое и нашли их значения).

Ответ:



ЛИТЕРАТУРА

  1. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №8, 2008 г., с.47-51.















Общая информация

Номер материала: ДБ-179701

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.