Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Скалярное произведение в алгебре
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Скалярное произведение в алгебре

библиотека
материалов

Скалярное произведение в алгебре

Рассмотрим задачи школьного курса алгебры, при решении которых используется скалярное произведение векторов.

Определение и свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними, т.е.

где – угол между векторами

Так как

и

Заметим, что равенство достигается в неравенстве (1), если векторы коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы сонаправлены.

Кроме того, напомним, что если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат, то скалярное произведение векторов и длина вектора находятся по формулам





и, следовательно, . (3)

Аналогичные формулы справедливы и для трехмерного пространства

(1,a)

(2,a)

. (3,a)











Применение векторов для решения уравнений

1. Решите уравнение .

Решение. Введем векторы Тогда

Вычислим длины векторов:

Следовательно, и значит , .

Ответ:

2. Решите уравнение

Решение. Введем векторы Тогда , Найдем Тогда данное уравнение запишется в виде а это выполняется тогда и только тогда, когда коллинеарны, т.е. когда коэффициенты векторов пропорциональны, следовательно,

Ответ:

3. Решите уравнение

Решение. Введем векторы

Тогда

Пусть значит и Уравнение примет вид что возможно лишь тогда, когда – коллинеарны, тогда координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

где

Ответ: где .



4. Решите уравнение

Решение. Введем векторы Тогда

Но т.е. значит коллинеарны, следовательно, или

. . Из первого уравнения нетрудно заметить, что Подставим найденный корень во второе уравнение: т.е. , следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

5. Решите уравнение .

Решение. Введем векторы

то есть – коллинеарны, следовательно,



Подбором нетрудно обнаружить, что один из корней равен Разделив многочлен на выражение , получаем квадратный трехчлен ( – посторонний корень. Тогда окончательно получаем: .

Ответ:

6. Решите систему

Решение. Введем векторы





Рассмотрим два случая:



Ответ:

7. Решите систему

Решение. Введем векторы

следовательно, вектора коллинеарны. Тогда: Решая это равенство, получаем:

Ответ:

8. Решите систему

Решение. Введем векторы



и следовательно, все векторы коллинеарны. Тогда:

Ответ:

9. Решите систему

Решение. Введем векторы





, следовательно, – коллинеарны. Тогда:

Рассмотрим функцию

тогда (с точки зрения нашего уравнения) (подставили вместо в первое и нашли их значения).

Ответ:



ЛИТЕРАТУРА

  1. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №8, 2008 г., с.47-51.
















Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 07.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров80
Номер материала ДБ-179701
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх