Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Скалярное произведение в алгебре

Скалярное произведение в алгебре

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Скалярное произведение в алгебре

Рассмотрим задачи школьного курса алгебры, при решении которых используется скалярное произведение векторов.

Определение и свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними, т.е.

где – угол между векторами

Так как

и

Заметим, что равенство достигается в неравенстве (1), если векторы коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы сонаправлены.

Кроме того, напомним, что если известны координаты векторов в прямоугольной системе координат, то скалярное произведение векторов и длина вектора находятся по формулам





и, следовательно, . (3)

Аналогичные формулы справедливы и для трехмерного пространства

(1,a)

(2,a)

. (3,a)











Применение векторов для решения уравнений

1. Решите уравнение .

Решение. Введем векторы Тогда

Вычислим длины векторов:

Следовательно, и значит , .

Ответ:

2. Решите уравнение

Решение. Введем векторы Тогда , Найдем Тогда данное уравнение запишется в виде а это выполняется тогда и только тогда, когда коллинеарны, т.е. когда коэффициенты векторов пропорциональны, следовательно,

Ответ:

3. Решите уравнение

Решение. Введем векторы

Тогда

Пусть значит и Уравнение примет вид что возможно лишь тогда, когда – коллинеарны, тогда координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

где

Ответ: где .



4. Решите уравнение

Решение. Введем векторы Тогда

Но т.е. значит коллинеарны, следовательно, или

. . Из первого уравнения нетрудно заметить, что Подставим найденный корень во второе уравнение: т.е. , следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

5. Решите уравнение .

Решение. Введем векторы

то есть – коллинеарны, следовательно,



Подбором нетрудно обнаружить, что один из корней равен Разделив многочлен на выражение , получаем квадратный трехчлен ( – посторонний корень. Тогда окончательно получаем: .

Ответ:

6. Решите систему

Решение. Введем векторы





Рассмотрим два случая:



Ответ:

7. Решите систему

Решение. Введем векторы

следовательно, вектора коллинеарны. Тогда: Решая это равенство, получаем:

Ответ:

8. Решите систему

Решение. Введем векторы



и следовательно, все векторы коллинеарны. Тогда:

Ответ:

9. Решите систему

Решение. Введем векторы





, следовательно, – коллинеарны. Тогда:

Рассмотрим функцию

тогда (с точки зрения нашего уравнения) (подставили вместо в первое и нашли их значения).

Ответ:



ЛИТЕРАТУРА

  1. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №8, 2008 г., с.47-51.















Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 07.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров32
Номер материала ДБ-179701
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх