Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ урок по геометрии в 9 классе.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ урок по геометрии в 9 классе.

библиотека
материалов

hello_html_4399b5a1.gifhello_html_m36262268.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_4a83f05e.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_4399b5a1.gifhello_html_m36262268.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_4a83f05e.gifhello_html_m2a7690f7.gifУрок
Скалярное произведение векторов

Цели: познакомить учащихся с понятием угла между векторами; ввести скалярное произведение векторов; рассказать о применении скалярного произведения векторов в физике, механике; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать математическую культуру; развивать интерес к математике.

Ход урока

1.Организационный момент. Учащимся сообщается тема и план урока.

2.Актуализация знаний. Цели: повторить действия с векторами, понятие длины вектора

Учащиеся отвечают на вопросы: Повторим действия с векторами: 1.Что мы называем вектором? Какие действия над векторами вы знаете? УСТНО.

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В С

какие векторы коллинеарны вектору hello_html_5b6f3fb9.gif? О

Какие векторы сонаправлены с вектором hello_html_m49d7f35.gif?

Какие векторы равны вектору hello_html_1708c4dd.gif? А Д


  1. Изучение нового материала.

Цели: ввести понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов, сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов, научить решать задачи. в лекционной форме излагается теоретический материал по теме с помощью опорного конспекта.

Учитель. Сегодня мы познакомимся с еще одним действием над векторами: скалярным произведением векторов. Это понятие тесно связано с таким понятием как угол между векторами, поэтому мы сначала познакомимся с этим понятием.

  1. Ввести понятие угла между векторами hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif Пусть даны два вектора hello_html_m4f745b25.gif и hello_html_d43cafd.gif. Рассмотрим сначала, случай, когда векторы не являются сонаправленными. От произвольной точки О отложим векторы hello_html_252a7bd0.gif, hello_html_m82298ab.gif. Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Градусную меру этого угла обозначим буквой  и будем говорить, что угол между векторами hello_html_m4f745b25.gif и hello_html_d43cafd.gif равен . Угол между векторами hello_html_m4f745b25.gif и hello_html_d43cafd.gif обозначается так( hello_html_m4f745b25.gif , hello_html_d43cafd.gif).

Угол между векторами

1.Если векторы а и b сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между векторами равен 0°.

2.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°


3.Угол между векторами hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif. 4. Обозначение угла между векторами: hello_html_m241bd007.gif.

5. Определение углов между векторами на рисунке 301.

hello_html_m19f7ed71.png

Введение еще одного действия над векторами – скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) – именно это и обусловило название операции.

9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу:

Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними


скалярное произведение векторов

hello_html_m2d300a2.gif

Если hello_html_216701e7.gif и hello_html_7c50903.gif, то

а) (0 ≤ hello_html_m241bd007.gif< 90°) <=> (hello_html_macb35a6.gif > 0); б) (90° < hello_html_m241bd007.gif≤ 180°) <=> (hello_html_macb35a6.gif< 0);

в) hello_html_556b2408.gif <=> (hello_html_macb35a6.gif = 0); г) (hello_html_m241bd007.gif= 0°) <=> hello_html_m51391ed4.gif.

hello_html_4ce80761.gif

10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы hello_html_m54eecbe9.gif при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы hello_html_m54eecbe9.gif и перемещения hello_html_m29874733.gif на косинус угла между ними: hello_html_6258a0b3.gif.

hello_html_m28810097.gifПример.









. Сos 135° = cos (180° – 45°) = – cos 45° = hello_html_m3b9b6304.gif.


Скалярное произведение в координатах

hello_html_2c3e64cd.png

hello_html_1f056727.gif


hello_html_m59fcfc30.gif


hello_html_23fd8d2a.gif

Свойства скалярного произведения векторов:

1) hello_html_m49f7b7c.gif≥ 0 (hello_html_m49f7b7c.gif > 0 при hello_html_m49f7b7c.gifhello_html_m20ecf783.gif 0); 2) hello_html_285948b4.gif;

3) hello_html_6ce4d08.gif; 4) hello_html_1ebd8b51.gif.


III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске.

2. Решить задачу № 1041 (в).


I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что hello_html_418c2b78.gif, где hello_html_1312bdd4.gif и hello_html_m6aca8fa0.gif – координатные векторы. Выпишите координаты вектора hello_html_m66c35d2f.gif.

2. Дан вектор hello_html_24717b7b.gif(0; 5). Запишите разложение вектора hello_html_24717b7b.gif по координатным векторам hello_html_1312bdd4.gif и hello_html_m6aca8fa0.gif.

3. Даны векторы hello_html_m66c35d2f.gif(–1; 2) и hello_html_24717b7b.gif(2; 1). Найдите координаты суммы векторов hello_html_m66c35d2f.gif и hello_html_24717b7b.gif.

4. Найдите координаты вектора hello_html_m2d7e1640.gif, если hello_html_40e088a0.gif(–3; 0).

5. Даны векторы hello_html_40e088a0.gif(5; 6) и hello_html_5975cb39.gif(–2; 3). Найдите координаты вектора hello_html_5ed0c9c7.gif.

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите hello_html_mb10dbf1.gif.

8. Скалярное произведение ненулевых векторов hello_html_40e088a0.gif и hello_html_5975cb39.gif равно нулю. Чему равен угол между векторами hello_html_40e088a0.gif и hello_html_5975cb39.gif?

Вариант II

1. Дан вектор hello_html_546bcd8.gif(3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам hello_html_1312bdd4.gif и hello_html_m6aca8fa0.gif.

2. Известно, что hello_html_m7e72f315.gif, где hello_html_1312bdd4.gif и hello_html_m6aca8fa0.gif – координатные векторы. Выпишите координаты вектора hello_html_3c99577d.gif.

3. Найдите координаты вектора –hello_html_5975cb39.gif, если hello_html_5975cb39.gif (0; –2).

4. Даны векторы hello_html_3c99577d.gif(2; –1) и hello_html_m76d43d0d.gif(3; –1). Найдите координаты разности векторов hello_html_3c99577d.gif и hello_html_m76d43d0d.gif.

5. Даны векторы hello_html_m66c35d2f.gif(–1; 9) и hello_html_m1e4ac6e9.gif(3; –2). Найдите координаты вектора hello_html_44215046.gif.

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2hello_html_61d9f3b7.gif. Вычислите hello_html_5b1e7d42.gif.

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов hello_html_1312bdd4.gif и hello_html_m6aca8fa0.gif?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

hello_html_2c3e64cd.png

hello_html_1f056727.gif


hello_html_m59fcfc30.gif


hello_html_23fd8d2a.gif

Свойства скалярного произведения векторов:

1) hello_html_m49f7b7c.gif≥ 0 (hello_html_m49f7b7c.gif > 0 при hello_html_m49f7b7c.gifhello_html_m20ecf783.gif 0); 2) hello_html_285948b4.gif;

3) hello_html_6ce4d08.gif; 4) hello_html_1ebd8b51.gif.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

hello_html_m27ef0178.png

Дано: hello_html_7cfa4856.gif= 8; hello_html_m41bc0c37.gif = 15;

hello_html_14585a18.gifАВС = 120°.

Найти: hello_html_730093d7.gif.

Решение

Пусть hello_html_m5c3fe069.gif; hello_html_mfaa50bb.gif

hello_html_750d46f9.gif, тогда по правилу треугольника hello_html_m4cc56efc.gif (или по правилу параллелограмма вектор hello_html_786eeffa.gif есть равнодействующая сила hello_html_730093d7.gif).

hello_html_14585a18.gifC = 180° – 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD2 = BC2 + CD2 – 2BCCD ∙ cos C =

= 82 + 152 – 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙ hello_html_m3bdea51a.gif = 64 + 225 – 120 = 169;

hello_html_2187921f.gif= 169; hello_html_m242ccde.gif= 13.

Ответ: 13.

5. Решить задачу № 1051. Решение

hello_html_m3d159bda.gif

= 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙ hello_html_m3bdea51a.gif + 4 ∙ hello_html_m3bdea51a.gif = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

hello_html_1a27923f.png

1) cos A = hello_html_55d064b3.gif

hello_html_5852c5f9.gif

hello_html_m3e19e7e5.gif

hello_html_m2fd98a3b.gif

hello_html_5df33a72.gif

hello_html_37b59905.gif

hello_html_m15b878d8.gifcos A = hello_html_c561ff.gif; cos A = hello_html_m3bdea51a.gif, то hello_html_14585a18.gifA = 60°.

2) cos B = hello_html_m2bcbcb42.gif; hello_html_3a5c8f28.gifhello_html_7eff70ef.gif

hello_html_m5c76c4be.gif= 1 + 12 = 13; hello_html_m52ca9a71.gif

BC = hello_html_33973671.gif= 3,5;

cos B = hello_html_142bb211.gif≈ 0,9286; hello_html_14585a18.gifB находим по таблицам Брадиса:

hello_html_14585a18.gifB ≈ 21°47′. 3) hello_html_14585a18.gifC = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′.

Ответ: hello_html_14585a18.gifA = 60°; hello_html_14585a18.gifB ≈ 21°47′; hello_html_14585a18.gifC ≈ 98°13′.

7. Решить задачу № 1052. Решение

hello_html_m400915cc.gif

hello_html_m1c5da2d7.gif= 52 – 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 22 – 42 =

= 25 + 4 – 16 = 13; hello_html_37d4de6b.gif= 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.Решение По условию hello_html_me7a68cd.gif.

hello_html_4a723436.gif

hello_html_m2f8896b6.gif= 9 ∙ 1 – 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25.

hello_html_3831bea0.gif= 25, тогда hello_html_m1711da34.gif = 5.

Ответ: 5.


hello_html_m42406e53.gif

I. Математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Вычислите скалярное произведение векторов hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif, если hello_html_215487d7.gif, а угол между ними равен 120°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов hello_html_m66c35d2f.gif и hello_html_m76d43d0d.gif равно 0. Определите угол между векторами hello_html_m76d43d0d.gif и hello_html_m66c35d2f.gif.

3. Вычислите скалярное произведение векторов hello_html_24717b7b.gif и hello_html_m1e4ac6e9.gif, если hello_html_24717b7b.gif(3; –2), hello_html_m1e4ac6e9.gif(–2; 3).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами hello_html_m1a4ccee4.gif(х; у) и hello_html_3b94ee33.gif(–у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами hello_html_546bcd8.gif и hello_html_68d14fc7.gif, если hello_html_546bcd8.gif(3; –4), hello_html_68d14fc7.gif(15; 8).

6. Даны векторы hello_html_m1a4ccee4.gif(2; –3) и hello_html_3b94ee33.gif(х; –4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны?

Вариант II

1. Вычислите скалярное произведение векторов hello_html_24717b7b.gif и hello_html_m1e4ac6e9.gif, если hello_html_m1cd55f80.gif, а угол между ними равен 135°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов hello_html_546bcd8.gif и hello_html_68d14fc7.gif равно нулю. Определите угол между этими векторами.

3. Вычислите скалярное произведение векторов hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif, если hello_html_m1a4ccee4.gif(–4; 5), hello_html_3b94ee33.gif(–5; 4).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами hello_html_m66c35d2f.gif(х; –у) и hello_html_3c99577d.gif(у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif, если hello_html_m1a4ccee4.gif(–12; 5), hello_html_3b94ee33.gif(3; 4).

6. Даны векторы hello_html_24717b7b.gif(3; у) и hello_html_m1e4ac6e9.gif(2; –6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор.

2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть АВСD – данный ромб. Выразим векторы hello_html_m1632b82d.gif и hello_html_786eeffa.gif через векторы hello_html_m4d637408.gif и hello_html_m6d7be9a0.gif:

hello_html_349b18d1.gif

используя эти выражения, получаем:

hello_html_43365c0e.gif так как АD = АВ. Следовательно, АС hello_html_m4bb5386.gifВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.

hello_html_m6e8f0e2b.png

Решение

АВ = ВС = АС = а; ВD hello_html_m4bb5386.gif АС.

а) hello_html_54373709.gifcos 60° =
= aahello_html_m3bdea51a.gif = hello_html_m3bdea51a.gifa2;

б) hello_html_5c86b4dc.gif

cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = –hello_html_m3bdea51a.gif.

в) hello_html_m523d48fc.gif∙ cos 90° = 0, так как cos 90° = 0;

г) hello_html_m49c04712.gif∙ cos 0° = aa ∙ 1 = a2.

ответ: а) hello_html_m3bdea51a.gifa2; б) –hello_html_m3bdea51a.gifa2; в) 0; г) а2.

4. Решить задачу № 1050.

Решение

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда

hello_html_m673b465.gif.

hello_html_16e4af09.gif

= 52 – 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ hello_html_m3bdea51a.gif + 82 = 25 – 40 + 64 = 49, hello_html_7d03c61f.gif; значит,
hello_html_2b5afe08.gif= 7.

Опорный конспект.

Опорный конспект по теме: «Скалярное произведение векторов»

Повторим действия с векторами: 1.Что мы называем вектором? Какие действия над векторами вы знаете? УСТНО.

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В С

какие векторы коллинеарны вектору hello_html_5b6f3fb9.gif? О

Какие векторы сонаправлены с вектором hello_html_m49d7f35.gif?

Какие векторы равны вектору hello_html_1708c4dd.gif? А Д

Изучение новой темы. Обозначение угла между векторами: hello_html_m241bd007.gif.

1. Угол между векторами hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы hello_html_m1a4ccee4.gif и hello_html_3b94ee33.gif.

2. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю.

3.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°

Задание 1.

hello_html_m19f7ed71.png

Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

hello_html_m2d300a2.gif

Если hello_html_216701e7.gif и hello_html_7c50903.gif, то а) (0 ≤ hello_html_m241bd007.gif< 90°) <=> (hello_html_macb35a6.gif > 0); б) (90° < hello_html_m241bd007.gif≤ 180°) <=> (hello_html_macb35a6.gif< 0);

в) hello_html_556b2408.gif <=> (hello_html_macb35a6.gif = 0); г) (hello_html_m241bd007.gif= 0°) <=> hello_html_m51391ed4.gif. hello_html_4ce80761.gif

Пример. Длина вектора а равна 2, а длина вектора в равна 3 и угол между ними 1350. Найдите скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение в координатахhello_html_1f056727.gifhello_html_m59fcfc30.gif

hello_html_2c3e64cd.png


hello_html_23fd8d2a.gif




Свойства скалярного произведения векторов: 1) hello_html_m49f7b7c.gif≥ 0 (hello_html_m49f7b7c.gif > 0 при hello_html_m49f7b7c.gifhello_html_m20ecf783.gif 0); 2) hello_html_285948b4.gif;

3) hello_html_6ce4d08.gif; 4) hello_html_1ebd8b51.gif.



Автор
Дата добавления 29.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1553
Номер материала ДВ-209160
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх