Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Софизмы на уроках математики

Софизмы на уроках математики

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif

Софизмы

Это последовательность высказываний, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неправдоподобный вывод. Обычно в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или нарушаются условия применения правил или теорем. Задача заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.

1. Докажем, что 5 = 4.

Пусть х = 1/3, тогда 3х = 1. представим 3х как 15х – 12х, и 1 – как 5 – 4, тогда вместо равенства 3х = 1 можно записать

15х – 12х = 5 – 4.

Решим это уравнение:

15х – 5 = 12х – 4, 5(3х – 1) = 4(3х – 1).

Разделим обе части равенства на (3х – 1) и получим 5 = 4. Где в рассуждениях допущена ошибка?

(Поделили на выражение 3х – 1 , которое при х = 1/3 равно нулю).

2. Рассмотрим очевидное равенство:

hello_html_m523e5b92.gif.

Отсюда, извлекая квадратный корень, имеем:

hello_html_345b812.gif.

Прибавляя к обеим частям этого равенства по 5/2, получаем, что 2 = 3. Где ошибка?
(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством
hello_html_729dcdb3.gif).

3. Возьмем тождество 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. В каждой части этого тождества вынесем за скобки общий множитель:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Теперь, разделив обе части полученного равенства на их общий множитель
(7 + 2 – 9), получим, что
5 = 6. Где ошибка?

(Поделили верное равенство на выражение (7 + 2 – 9), равное нулю. Деление на нуль не имеет смысла).

4. Напишем тождество 4 : 4 = 5 : 5.

Вынеся из каждой части тождества общие множители за скобки, получим:

4 hello_html_7e6cc508.gif (1 : 1) = 5 hello_html_7e6cc508.gif (1 : 1) или (2 hello_html_7e6cc508.gif 2)hello_html_7e6cc508.gif (1 : 1) = 5 hello_html_7e6cc508.gif (1 : 1).

Так как 1 : 1 = 1, то 2 hello_html_7e6cc508.gif 2 = 5. Где ошибка?

(Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой части. 4 : 4 = 1 : 1, но 4 : 4 ≠ 4hello_html_7e6cc508.gif (1 : 1)).

5. Напишем тождество 16 – 36 = 25 – 45. К обеим частям равенства прибавим 81/4:

hello_html_26220dd5.gif;

hello_html_209c59cb.gif;

hello_html_m3d247a2f.gif. Где ошибка?

(Ошибка заключается в том, что из истинного равенства hello_html_20bc1fe1.gifследует равенство hello_html_16f7c11e.gif , вместо истинного равенства
hello_html_4e7e0373.gif).

6. Прибавим к обеим частям очевидного неравенства 7 > 5 число – 8, имеем:
7 – 8 > 5 – 8, то есть – 1 > – 3. Умножим теперь это неравенство на (- 4) и получим:
(- 1)
hello_html_7e6cc508.gif (-4) > (-3) hello_html_7e6cc508.gif (-4), то есть 4 > 12. Где ошибка?

(При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (– 4) надо было знак неравенства изменить на противоположный).

7. Существует софизм: все числа равны между собой.

Пусть a и b – два числа. Обозначим выражение (a + b) через s. Тогда:
a = sb

a s = -b

Перемножим эти равенства:

a (a s) = -b (sb)

a2as = b2 bs

Прибавим к обеим частям равенства hello_html_m67d388f6.gif

a2 – as + hello_html_e083c6c.gif = b2 bs + hello_html_e083c6c.gif,

(a hello_html_m54873465.gif)2 = (b hello_html_m54873465.gif)2

Откуда a hello_html_m54873465.gif = b hello_html_m54873465.gif, то есть a = b. Где ошибка?

(При извлечении корня квадратного из обеих частей надо воспользоваться равенством hello_html_729dcdb3.gif).

8. Докажем, что любое число равно нулю.

Пусть a – любое фиксированное число. Рассмотрим уравнение:

3x2 – 3ax + a2 = 0

3x2 – 3ax = - a2

Умножая обе части его на - a, получим:

-3x2 a + 3a2x = a3

Прибавляя к обеим частям этого уравнения x3a3, получаем:

x3 – 3x2 a + 3a2x – a3 = x3

(x – a)3 = x3

Откуда следует:

xa = x; a = 0. Где ошибка?

(При a ≠ 0 не существует числа х, удовлетворяющего уравнению 3x2 – 3ax + a2 = 0. Это следует из того, что дискриминант этого уравнения D = - 3a2 < 0 при a ≠ 0. Следовательно, нельзя прибавлять к обеим частям уравнения несуществующее число
x3a3.)

9. Рассмотри очевидное неравенство:

hello_html_m22b99e63.gif

Логарифмируя по основанию 10 обе части этого неравенства, получим:

hello_html_12e823f0.gif

Сокращая обе части неравенства на hello_html_19599b69.gif, имеем 2 > 4. Где ошибка?

(Число hello_html_19599b69.gif – отрицательное, поэтому при сокращении на него знак неравенства надо было изменить на противоположный).

10. Докажем, что в равных треугольниках против равных сторон лежат неравные углы.

О

Возьмем произвольную прямую АВ и при точке А построим произвольный угол ВАС:





В

A



E





D

F

C







При точке В строим угол ABD, больший угла ВАС, и, откладывая отрезок BD, равный АС, соединим точки С и D. Разделим отрезки АВ и СD пополам точками Е и F, восстановим в этих точках перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Соединим затем точку О с точками А, В, С и D. Заметив, что АС = ВD (по построению), АО = ОВ, как наклонные, равноудаленные от основания перпендикуляра ОЕ, и аналогично ОС = ОD, находим, что три стороны треугольника АОС, соответственно равны трем сторонам треугольника ВО. Но так как ЕАО = ЕВО (из равенства треугольников АЕО и ВЕО), а DВЕ > САВ, то
DВЕ + ЕВО > САЕ + ЕАО.

Следовательно, DВО > САО, то есть против равных сторон ОС и ОD в равных треугольниках АОС и ВОD лежат неравные угла. Где ошибка?

(Точка О пересечения перпендикуляров построена неправильно. При правильном выполнении чертежа прямая ОD пересечет не отрезок АВ, а его продолжение за точку В, и DВО, безусловно, будет равен САО).







Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Краткое описание документа:

Эффективное развитие математических способностей учащихся, формирование познавательного интереса и самостоятельности невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

Рассмотрение на уроке математического софизма, для разгадки которого недостаточно известного учащимся материала, вызовет естественный интерес к новой теме, осознание необходимости ее изучения и соответствующий настрой к преодолению предстоящих на пути приобретения новых знаний трудностей.

Предлагаемые математические софизмы можно использовать на уроках алгебры по разным темам: деление на выражение с переменной, вынесение общего множителя, решение квадратных уравнений, свойства квадратного корня, свойства неравенств, логарифмы, а также при изучении признаков равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника на уроках геометрии. 

Автор
Дата добавления 09.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров289
Номер материала 432901
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх