Сообщение по математике на тему "Бином Ньютона"

Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).

Доказательство

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по n:

База индукции: 

Шаг индукции: Пусть утверждение для  верно:

Тогда надо доказать утверждение для :

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при 

Извлечём из второй суммы слагаемое при 

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать.

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции  в ряд Тейлора:

,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при  и  получается тождество

Переходя к пределу при  и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщен до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где  — мультиномиальные коэффициенты. Сумма берется по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо по индукции по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла мультиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть  и  ,тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а такжеисламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века, Михаэль Штифель описал биномиальные коеффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

·       В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.

·       В романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова:

«подумаешь, бином Ньютона! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате»

·       Позже это же выражение «Подумаешь, бином Ньютона!». упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.

·       Дамский роман Е.Н. Вильмонт получил название "Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!"