Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сообщение по математике на тему "Пифагорова четвёрка"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сообщение по математике на тему "Пифагорова четвёрка"

библиотека
материалов

Пифагорова четвёрка

Пифагорова четвёрка — кортеж целых чисел abc и d, таких, что d > 0 и a^2 + b^2 + c^2 = d^2 и зачастую обозначается (a,b,c,d). Геометрически, пифагорова четвёрка (a,b,c,d) определяет прямоугольный параллелепипед с длинами сторон |a|, |b| и |c|, диагональ которого имеет длину d. Пифагоровы четвёрки также называются пифагоровыми блоками.

Параметризация примитивных четвёрок

Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех, для которых НОД(a,b,c) = 1, имеет параметризацию

a = m^2+n^2-p^2-q^2,\,

b = 2(mq+np),\,

c = 2(nq-mp),\,

d = m^2+n^2+p^2+q^2,\,

где mnpq — натуральные целые, НОД(mnpq) = 1 и m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивные пифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега

(m^2 + n^2 + p^2 + q^2)^2 = (2mq + 2np)^2 + (2nq - 2mp)^2 + (m^2 + n^2 - p^2 - q^2)^2.

Альтернативная параметризация

Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можно получить из двух натуральных чисел a и b следующим образом:

Если a и b имеют различную чётность, возьмём любой множитель p числа a^2 + b^2 такой, что p^2 < a^2 + b^2. Тогда c = (a^2 + b^2 - p^2)/(2p) и d = (a^2 + b^2 + p^2)/(2p). Заметим, что p = {d - c}.

Похожий метод существует для a, b чётных с дополнительным ограничением, что 2p должно быть чётным делителем числа a^2 + b^2. Такого метода не существует для случая, когда оба числа a и b нечётны.

Свойства

Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).

Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами

Примитивная пифагорова четвёрка (a,b,c,d), параметризованная с помощью (m,n,p,q), соответствует первому столбцу матричного представления E(\alpha)сопряжения \alpha(\cdot)\overline{\alpha} с помощью кватерниона Гурвица \alpha = m + ni + pj + qk суженого до подпространства \mathbb{H}, натянутого на i, j, k

E(\alpha) = \begin{pmatrix} m^2+n^2-p^2-q^2&2np-2mq &2mp+2nq \\ 2mq+2np &m^2-n^2+p^2-q^2&2pq-2mn \\ 2nq-2mp &2mn+2pq &m^2-n^2-p^2+q^2\\ \end{pmatrix},

где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Более того, \frac{1}{d}E(\alpha) \in \text{SO}(3, \mathbb{Q}), и, фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами появляются таким образом.

Пифагоровы четвёрки с малой нормой

(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29).


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров186
Номер материала ДВ-389336
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх