812554
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыСообщение по математике на тему "Пифагорова четвёрка"

Сообщение по математике на тему "Пифагорова четвёрка"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Пифагорова четвёрка

Пифагорова четвёрка — кортеж целых чисел abc и d, таких, что d > 0 и a^2 + b^2 + c^2 = d^2 и зачастую обозначается (a,b,c,d). Геометрически, пифагорова четвёрка (a,b,c,d) определяет прямоугольный параллелепипед с длинами сторон |a|, |b| и |c|, диагональ которого имеет длину d. Пифагоровы четвёрки также называются пифагоровыми блоками.

Параметризация примитивных четвёрок

Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех, для которых НОД(a,b,c) = 1, имеет параметризацию

a = m^2+n^2-p^2-q^2,\,

b = 2(mq+np),\,

c = 2(nq-mp),\,

d = m^2+n^2+p^2+q^2,\,

где mnpq — натуральные целые, НОД(mnpq) = 1 и m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивные пифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега

(m^2 + n^2 + p^2 + q^2)^2 = (2mq + 2np)^2 + (2nq - 2mp)^2 + (m^2 + n^2 - p^2 - q^2)^2.

Альтернативная параметризация

Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можно получить из двух натуральных чисел a и b следующим образом:

Если a и b имеют различную чётность, возьмём любой множитель p числа a^2 + b^2 такой, что p^2 < a^2 + b^2. Тогда c = (a^2 + b^2 - p^2)/(2p) и d = (a^2 + b^2 + p^2)/(2p). Заметим, что p = {d - c}.

Похожий метод существует для a, b чётных с дополнительным ограничением, что 2p должно быть чётным делителем числа a^2 + b^2. Такого метода не существует для случая, когда оба числа a и b нечётны.

Свойства

Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).

Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами

Примитивная пифагорова четвёрка (a,b,c,d), параметризованная с помощью (m,n,p,q), соответствует первому столбцу матричного представления E(\alpha)сопряжения \alpha(\cdot)\overline{\alpha} с помощью кватерниона Гурвица \alpha = m + ni + pj + qk суженого до подпространства \mathbb{H}, натянутого на i, j, k

E(\alpha) = \begin{pmatrix} m^2+n^2-p^2-q^2&2np-2mq &2mp+2nq \\ 2mq+2np &m^2-n^2+p^2-q^2&2pq-2mn \\ 2nq-2mp &2mn+2pq &m^2-n^2-p^2+q^2\\ \end{pmatrix},

где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Более того, \frac{1}{d}E(\alpha) \in \text{SO}(3, \mathbb{Q}), и, фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами появляются таким образом.

Пифагоровы четвёрки с малой нормой

(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29).

Общая информация

Номер материала: ДВ-389336

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.