Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сообщение по математике на тему "Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Сообщение по математике на тему "Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса"

библиотека
материалов

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть \vec v(\vec x,\;t) — трёхмерный вектор скорости жидкости, p(\vec x,\;t) — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:

\frac{\partial\vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\vec v+\vec f(\vec x,\;t),

где \nu>0 — это кинематическая вязкость\rho — плотность\vec f(\vec x,\;t) — внешняя сила, \nabla — оператор набла и \Delta — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как \nabla\cdot\nabla или \nabla^2. Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

\vec v(\vec x,\;t)=(v_1(\vec x,\;t),\;v_2(\vec x,\;t),\;v_3(\vec x,\;t)),\qquad\vec f(\vec x,\;t)=(f_1(\vec x,\;t),\;f_2(\vec x,\;t),\;f_3(\vec x,\;t)),

то для каждого значения i=1,\;2,\;3 получается соответствующее скалярное уравнение:

\frac{\partial v_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^3 v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\sum_{j=1}^3\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2}+f_i(\vec x,\;t).

Неизвестными величинами являются скорость \vec v(\vec x,\;t) и давление p(\vec x,\;t). Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

\nabla \cdot \vec v=0.

Начальные условия

Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде

\vec v (\vec x, 0) = \vec {v^0} (\vec x),

где \vec {v^0} (\vec x) — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности \nabla \cdot \vec {v^0} = 0.

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве \mathbb{R}^3 с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе \mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3 с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость \vec{v^0}(x) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса \alpha и любого K>0, существует постоянная C_{\alpha,K}>0 (зависящая только от \alpha и K), такая, что

\vert \partial^\alpha \vec{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert \vec{x}\vert)^K}\qquad для всех \qquad x\in\mathbb{R}^3.

Пусть внешняя сила \vec{f}(\vec{x},t) — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

\vert \partial^\alpha \vec{f}(\vec{x})\vert\le \frac{C}{(1+\vert \vec{x}\vert + t)^K}\qquad для всех \qquad (\vec{x},t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty).

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при \vert \vec{x}\vert\to\infty. Требуется выполнение следующих условий:

  1. \vec{v}(\vec{x},t)\in\left[C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(\vec{x},t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))

  2. Существует постоянная E\in (0,\infty) такая, что \int_{\mathbb{R}^3} \vert \vec{v}(\vec{x},t)\vert^2 dx <E для всех t\ge 0\,.

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в \mathbb{R}^3. Положим \vec{f}(\vec{x},t)\equiv 0. Для любого начального условия \vec{v_0}(\vec x), удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости \vec{v}(\vec x,t) и поле давления p(\vec x,t), удовлетворяющее условиям 1 и 2.

(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в \mathbb{R}^3. Существует такое начальное условие \vec{v_0}(\vec x) и внешняя сила \vec{f}(\vec x,t), такие, что не существует решений \vec{v}(\vec x,t) and p(\vec x,t) удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Попытки решения

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 29.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров183
Номер материала ДВ-392852
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх