1132749
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыСообщение по математике на тему "Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса"

Сообщение по математике на тему "Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть \vec v(\vec x,\;t) — трёхмерный вектор скорости жидкости, p(\vec x,\;t) — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:

\frac{\partial\vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\vec v+\vec f(\vec x,\;t),

где \nu>0 — это кинематическая вязкость\rho — плотность\vec f(\vec x,\;t) — внешняя сила, \nabla — оператор набла и \Delta — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как \nabla\cdot\nabla или \nabla^2. Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

\vec v(\vec x,\;t)=(v_1(\vec x,\;t),\;v_2(\vec x,\;t),\;v_3(\vec x,\;t)),\qquad\vec f(\vec x,\;t)=(f_1(\vec x,\;t),\;f_2(\vec x,\;t),\;f_3(\vec x,\;t)),

то для каждого значения i=1,\;2,\;3 получается соответствующее скалярное уравнение:

\frac{\partial v_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^3 v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\sum_{j=1}^3\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2}+f_i(\vec x,\;t).

Неизвестными величинами являются скорость \vec v(\vec x,\;t) и давление p(\vec x,\;t). Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

\nabla \cdot \vec v=0.

Начальные условия

Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде

\vec v (\vec x, 0) = \vec {v^0} (\vec x),

где \vec {v^0} (\vec x) — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности \nabla \cdot \vec {v^0} = 0.

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве \mathbb{R}^3 с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе \mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3 с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость \vec{v^0}(x) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса \alpha и любого K>0, существует постоянная C_{\alpha,K}>0 (зависящая только от \alpha и K), такая, что

\vert \partial^\alpha \vec{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert \vec{x}\vert)^K}\qquad для всех \qquad x\in\mathbb{R}^3.

Пусть внешняя сила \vec{f}(\vec{x},t) — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

\vert \partial^\alpha \vec{f}(\vec{x})\vert\le \frac{C}{(1+\vert \vec{x}\vert + t)^K}\qquad для всех \qquad (\vec{x},t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty).

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при \vert \vec{x}\vert\to\infty. Требуется выполнение следующих условий:

  1. \vec{v}(\vec{x},t)\in\left[C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(\vec{x},t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))

  2. Существует постоянная E\in (0,\infty) такая, что \int_{\mathbb{R}^3} \vert \vec{v}(\vec{x},t)\vert^2 dx <E для всех t\ge 0\,.

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в \mathbb{R}^3. Положим \vec{f}(\vec{x},t)\equiv 0. Для любого начального условия \vec{v_0}(\vec x), удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости \vec{v}(\vec x,t) и поле давления p(\vec x,t), удовлетворяющее условиям 1 и 2.

(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в \mathbb{R}^3. Существует такое начальное условие \vec{v_0}(\vec x) и внешняя сила \vec{f}(\vec x,t), такие, что не существует решений \vec{v}(\vec x,t) and p(\vec x,t) удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Попытки решения

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям.

Общая информация

Номер материала: ДВ-392852

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.