Сообщение по математике на тему "Теорема Гильберта 90"

Теорема Гильберта 90

Теорема Гильберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Мультипликативная форма

Пусть  — группа Галуа конечного циклического расширения  а  - её образующая. Тогда норма любого элемента  равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент , что 

Доказательство

Достаточность очевидна: если  то, учитывая мультипликативность нормы, имеем  Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех  а применение  к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя 

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент  для которого

Если применить отображение  к  а потом помножить полученное выражение на  то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как 

Тогда получаем, что  деля на  имеем  Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть  — группа Галуа конечного циклического расширения  а  - её образующая. Тогда след любого элемента  равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент  что 

Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент  для которого  и строим требуемое  в виде: