Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сообщение по математике на тему "Теорема Гильберта 90"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Сообщение по математике на тему "Теорема Гильберта 90"

библиотека
материалов

Теорема Гильберта 90

Теорема Гильберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Мультипликативная форма

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K, а \sigma - её образующая. Тогда норма любого элемента \beta\in E равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент \alpha\in E, что \beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}.

Доказательство

Достаточность очевидна: если \beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}, то, учитывая мультипликативность нормы, имеем N(\beta)=\frac{N(\alpha)}{\sigma(\alpha)}. Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех \sigma_i(\alpha), а применение \sigma к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя N(\beta)=1.

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

\mathrm{id}+\beta\sigma+\beta\sigma(\beta)\sigma^2+\ldots+(\beta\sigma(\beta)\ldots\sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}).

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент \gamma\in E, для которого

0\neq\alpha=\gamma+\beta\sigma(\gamma)+\beta\sigma(\beta)\sigma^2(\gamma)+\ldots+(\beta\sigma(\beta)\ldots\sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}(\gamma).

Если применить отображение \sigma к \alpha, а потом помножить полученное выражение на \beta, то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как \beta\sigma(\beta)\ldots \sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}(\beta)=N(\beta)=1.

Тогда получаем, что \beta\sigma(\alpha)=\alpha, деля на \sigma(\alpha)\neq 0 имеем \beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}. Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K, а \sigma - её образующая. Тогда след любого элемента \beta\in E равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент \alpha\in E, что \beta=\alpha-\sigma(\alpha).

Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент \gamma\in E, для которого \mathrm{tr}\gamma \neq 0 и строим требуемое \alpha в виде:

\alpha=\frac{1}{\mathrm{tr}\gamma}[\beta\sigma(\gamma)+(\beta+\sigma(\beta))\sigma^2(\gamma)+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma^{n-2}(\beta))\sigma^{n-1}(\gamma)|.

Общая информация

Номер материала: ДВ-389305

Похожие материалы