Теория Янга — Миллса —
калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой.
Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса.
Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом,
однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не
имеющие отношения к реальности. Несмотря на это, именно на основе теорий
Янга — Миллса в 1960—1970-х годах были созданы две краеугольные теории
Стандартной в физике элементарных
частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий)
на основе группы SU(3) и теория электрослабых
взаимодействий на основе группы SU(2).
Характерные
свойства теорий Янга — Миллса
·
Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий
Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это
влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга —
Миллса, являются нелинейными (в противоположность
линейным уравнениям Максвелла,
отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга —
Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
·
Кванты полей
Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1)
и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного физические
поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
·
Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными
для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить
приближенно в виде ряда теории возмущений,
однако как решить эти уравнения в режиме
сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно
также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в
сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем
случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия»,
за решение любой из которых Математический
институт Клэя присудит премию в 1
миллион долларов США.
Теории Янга —
Миллса — специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой калибровочной
группы симметрий. Лагранжиан свободного
поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид
где F —
2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при
воздействии на тензор-потенциал калибровочной
группы:
где под понимается ковариантная производная в
пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах
сводящаяся к обычной частной производной.
Порождающие алгебры Ли калибровочной
группы удовлетворяют соотношению
где называются структурными
константами группы.
Ковариантные (иногда
называемые удлинёнными) производные полей,
взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как
где —
единичный оператор, а — это константа
взаимодействия. В четырёхмерном
пространстве-времени константа взаимодействия — это
безразмерная величина. Для SU(N) групп
Вышеприведённое
определение может быть получено,
исходя из коммутатора
Само поле Янга — Миллса
оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения
называются полулинейными. В
случае малой константы связи в данной
теории применима теория возмущений.
Отметим, что переход между
«верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или
тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов
(например, , в групповом
пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для
пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени,
в простейшем случае — обычной метрикой Лоренца .
С введением , уравнения движения можно переписать так
Так как F —
2-форма, то выполняется тождество
Бьянки
Источник входит
в уравнения движения как
Обратите внимание, что токи
тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.
Приведем здесь некоторые
комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D
измерениях пространства-времени поле масштабируется как и, таким образом, взаимодействие должно иметь
размерность . Это означает, что
теории Янга — Миллса неперенормируемы для
размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип).
Кроме того, отметим, что для константа связи
безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые
размерности с полем и константой взаимодействия теории
скалярного безмассового поля с
самодействием . Таким образом, эти теории имеют
одинаковую масштабную
инвариантность на классическом уровне.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.