Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Соотношения между сторонами и углами треугольника: система уроков с применением уровневой дифференциации.

Соотношения между сторонами и углами треугольника: система уроков с применением уровневой дифференциации.

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Мhello_html_4c7ba6f4.gifОУ « Свердловская основная общеобразовательная школа»

Ленинск – Кузнецкий район

Кемеровская область.














Соотношения между сторонами

и углами треугольника:

система уроков с применением уровневой дифференциации.






Составиль :

учитель математики

Воробьева Вера Анатольевна.












2010 год.

Содержание.














Аннотация _______________________________________________________3

Пояснительная записка_____________________________________4 - 5

Технологическая карта темы_________________________________6

Конспект 1 _______________________________________________7 – 11

Конспект 2_______________________________________________ 12 – 15

Конспект 3_______________________________________________ 16 – 19

Конспект 4_______________________________________________ 20 – 22

Конспект 5_______________________________________________ 23 - 26

























Аннотация.


В данной работе представлена система уроков по теме «Соотношения между

сторонами и углами треугольника» с применением уровневой дифференциации. В основу разработок этой системы уроков положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельност­ный подход к обучению. Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психо­физиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оп­тимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уров­нях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития. Система уроков состоит из пяти конспектов. На каждом уроке проводится самостоятельная работа по уровням, причем каждый учащийся начина­ет с решения задач по индивидуальному варианту первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач дик­туется, с одной стороны, требованием доступности для всех уча­щихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее су­щественные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их реше­ния, правилами постро­ения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. Практически в каждом конспекте присутствуют задачи на готовых чертежах, наличие которых помогает учителю наиболее рационально использовать время на уроке. Тестовые задания позволяют своевременно выявить пробелы в знаниях учащихся, экономя при этом время учителя. На пятом уроке проводится дифференцированная лабораторная работа по определению вида треугольника, которая проверяет знания у учащихся всей теории данной темы. Задание на дом дается учащимся дифференцировано.

Пояснительная записка.

Представленная система уроков является частью разработан­ной технологии внутриклассной уровневой дифференци­ации учебной деятельности школьников в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы.

Согласно деятельностному аспекту данного подхода, обучение ­- это двустороннее единство деятельности обучаемого и обучаю­щего по созданию условий для формирования у учащегося струк­туры обобщенных умственных действий, направленных на при­обретение им заданной системы знаний, умений и навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учеб­ной деятельности, которая определяется психологами как спе­цифическая деятельность субъекта по его саморазвитию на ос­нове решения специально поставленных учителем учебных за­дач. Со стороны учителя - это организация учебной деятельно­сти учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонен­тов: формирования ориентировочной основы действий, состав­ляющих содержание учебной деятельности, и целенаправленно­го управления этой деятельностью в процессе самостоятельной работы учащегося.

Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу предварительно­го ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На этом этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально составленные учебные задачи. В целом этап предвари­тельного ознакомления обеспечивает понимание учащимися ос­новных понятий темы и содержания той деятельности, в кото­рую они включены и которая приводит к решению рассматрива­емого класса задач.

Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в зависимости от объема темы.. Самостоятельная работа каждого учащегося начина­ется с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе. Однако функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они служили для раскры­тия деятельности, формирования ориентировочной основы состав­ляющих ее умственных действий, то теперь выступают как сред­ство усвоения этой деятельности.

Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности , переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности. Слабым учащимся время, отведенное на самостоятель­ную работу, полностью предоставляется для решения задач первого уровня.

Следует также обратить внимание на изменение функции от­метки, происходящее при работе по рассматриваемой техноло­гии. Отметка «3» за работу по теме выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня, отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уров­не. В результате оценка отражает не количество ошибок учаще­гося, как это происходит при работе по традиционной техноло­гии, а освоенный им уровень сложности. Это вносит элемент со­стязательности в работу учащихся и служит дополнительным фак­тором повышения успеваемости.

На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» от­водится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и косинусов и способов деятель­ности, необходимых для решения задач, связанных с решением треугольников.

Образовательные цели данных уроков:

- изучение и первичное закрепление понятий синуса, косинуса и тангенса (урок 1);

- изучение и закрепление теоремы о площади треугольника (урок 2);

- изучение и закрепление теорем синусов и косинусов (уро­к 3);

- решение треугольников с помощью теорем синусов и косинусов (уро­ки 4-5).

Изложение материала ведется с опорой на уже имеющиеся у уча­щихся знания соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теоремы о сумме углов треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Ниже приведена технологическая карта темы и подробные конспекты пяти уроков.

Предлагаемая система уроков геометрии ориентирована на работу по учебнику Л.С.Атанасяна. (Геометрия: Учебник для 7-9 классов» (М.: Просвещение, 2009); в разработке все ссылки даны на теоремы, номера задач и т.д. этого учебника






Технологическая карта темы

«Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Что должен знать ученик, приступая к изучению темы :

Теорема : Сумма углов треугольника равна 1800.

Теорема : В треугольнике : 1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Определение 1:Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение 2: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение 3: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к прилежащему.

Таблица значений синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов:


α

0 0

300

450

600

900

sin α

0

hello_html_m3907a0ac.gif


hello_html_2268cba1.gif

hello_html_m33610a6a.gif

1

cos α

1

hello_html_m33610a6a.gif

hello_html_2268cba1.gif

hello_html_m3907a0ac.gif


0

tg α

0

hello_html_m5a24acab.gif

1

hello_html_774d1622.gif

-


Что должен узнать ученик в процессе изучения темы :


Определение 1: Для любого острого угла α из промежутка 00 ≤ α ≤ 1800 синусом

угла α называется ордината (у ) точки М, а косинусом угла α –

абсцисса ( х ) точки М.

Определение 2: Тангенсом угла α (α ≠ 900 )называется отношение hello_html_m5bb93fcb.gif

Теорема : Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на

синус угла между ними.

Теорема (синусов) : Стороны треугольника пропорциональны синусам

противолежащих углов.

Теорема ( косинусов) : Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух

других его сторон минус удвоенное произведение этих

сторон на косинус угла между ними.























































































Кhello_html_81a023b.gifонспект 1.


Тема : Синус, косинус и тангенс угла.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока:

  • Ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.

  • Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки.

  • Рассмотреть формулы приведения sin (90° - α), cos (90° - α), sin (180° - α),

cos (180° - α)

Ход урока.

I. Организационный момент

II.Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос

- Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?

- Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

- Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

- Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?

ПI. Математический диктант.

1 вариант

1hello_html_m425b2762.gif. Найдите синус угла А. А

10

2. Найдите тангенс угла В . 8

3. Чему равен косинус 600 ? В 6 С

4. Найдите cos α, если sin α = hello_html_me96e67.gif .

5. Найдите tg α, если cos α = hello_html_m233bf45f.gif .

6. В треугольнике АВС < С = 900 , sin А = hello_html_m1e972754.gif . Найдите sin В :

7. Упростите выражение : sin 300cos 450tg 600

2hello_html_7ac1ed55.gif вариант. В

1. Найдите косинус угла В.

2. Тангенс угла А равен:

12 13

3.Синус 300 равен :

С 5 А

4. Найдите sin α, если cos α = hello_html_m50ca8438.gif.

5. Найдите tg α если sin α = hello_html_m89a4988.gif .

6. В треугольнике АВС < С= 900 , sin А = hello_html_59386e9c.gif . Найдите cos В :

7. Упростите выражение : sin 450cos 600tg 300


III. Изучение нового материала.

  1. Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса для углов от 00 до 1800, используя

единичную полуокружность.

sin α = hello_html_m281ec6f8.gif = hello_html_412d206b.gif = у hello_html_1b730b13.gif sin α = у ;

0 ≤ sin α ≤ 1.

hello_html_59658cac.png

cos α = hello_html_1eec9985.gif = hello_html_4f8cb9f4.gif = х hello_html_1b730b13.gif cos α = х ;

- 1 ≤ cos α ≤ 1


tg α = hello_html_m5bb93fcb.gif (α ≠ 900 )

ОММ1 - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора: OM12 + MM12 = ОМ2

x2 + у2 = 12

Основное тригонометрическое тождество:

сos2 α + sin2 α = 1

2. Формулы приведения:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

sin (180° - α) = sin α

cos (180° - α) = -cos α

З. Составить таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30о, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°,150°, 180°.


30О

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin α










cos α










tg α











Значения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 90° уча­щиеся заполняют самостоятельно (это материал 8 класса). Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 120°, 135°, 150°, 180° заполня­ют с помощью учителя, используя формулы приведения, единичную полуокружность и формулы sin α = у, cos α = х, tg α = hello_html_m5bb93fcb.gif

Например:

а) sin 120° = sin( 180° - 60°) = sin 60° = hello_html_m33610a6a.gif .

б) tg1500 = hello_html_ad7e6a8.gif= hello_html_m3907a0ac.gif : ( - hello_html_m33610a6a.gif) = - hello_html_214d13b7.gif = - hello_html_m5a24acab.gif

в) sin 180° = О (ордината точки М при повороте радиуса ОМ на 180° от

положительной полуоси Ох равна о).

4. Вывести формулы для вычисления координат точки.

hello_html_m1ae18668.gifhello_html_5034a56c.png

Оhello_html_m8de550a.gifМ cos α ; sin α

hello_html_3b8a6ff7.gif

Оhello_html_m8de550a.gifА = ОА • ОМ

х = ОА • cos α ; у = ОА • sin α

hello_html_m4796c720.gif

ОА ОА cos α ; ОА sin α

IV. Закрепление нового материала.

1.Разобрать решение задач №30 (а), 31 (а,в) из рабочей тетради.

2.Самостоятельно решить всем сидящим на 1 варианте задачу №30 (б), на 2 варианте – №31 (б) из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой

Задача №30.

Найдите по рисунку синус, косинус и тангенс угла:

а) АОМ ;

б) АОК ;

Решение :

аhello_html_m5931266a.png) Угол АОМ образован лучом ОМ и положительной полуосью абсцисс, точка М лежит на единичной полуокружности. Значит, синус угла АОМ равен ординате точки М, т. е. sin AOM = 0,6. Косинус угла АОМ равен абсциссе точки М, т. е.

cos AOM = 0,8.

Тангенс вен hello_html_5ed1b14a.gif, т. е. tg AOM = AM : ОА = ­ hello_html_m89a4988.gif

б) Синус угла ОАК равен ординате точки К, т. е.

sin AOK = 0,8.

Косинус угла АОК равен абcциссе точки К, т. е. cos AOK = - 0,6.

Тангенс угла АОК равен cosAOK , т. е. tg AOK = -­ hello_html_1e4027a1.gif

Ответ:

а) sinAOM= 0,6; cos AOM= 0,8; tg AOM= hello_html_m89a4988.gif.

б) sin OAK= 0,8; cos AOK=-0,6; tg AOK=- hello_html_1e4027a1.gif

Задача № 31.

Принадлежит ли единичной полуокружности точка:

а) Р ( - 0,6 ; 0,8) ; б) Т (hello_html_6a148f9f.gif; hello_html_m89a4988.gif ) ; в) H (hello_html_2268cba1.gif ; hello_html_m3907a0ac.gif ) .

Решение :

Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуокруж­ности, если выполнены два условия: 1) -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤1 и 2) х2 + у2 = 1.

Рассмотрим данные точки.

а) Точка Р: х = - 0,6, у = 0,8 удовлетворяют первому условию:

-1 ≤ x 1, 0 ≤ y ≤ 1; х2 + у2 =(-0,6)2 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1,


следовательно, выполнено второе условие. Поэтому точка Р принадлежит единичной полуокружности.

б) Точка Т: х =hello_html_6a148f9f.gif, у = hello_html_m89a4988.gif, следовательно, -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1.

(hello_html_6a148f9f.gif)2 + (hello_html_m89a4988.gif)2 = hello_html_2c0432ab.gif; hello_html_2c0432ab.gif ≠ 1

Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Т не принадлежит единичной полуокружности.

в) Точка Н: х = - hello_html_2268cba1.gif , у = - hello_html_m3907a0ac.gifзначит, -1 х 1, 0 у 1. Итак,

первое условие не выполнено. х2 + у2 = hello_html_m549118b4.gif+ hello_html_5c5dad31.gif = hello_html_m89a4988.gif ; hello_html_m89a4988.gif ≠ 1

Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Н не принадлежит еди­ничной полуокружности.

Ответ:

а) принадлежит;

б) не принадлежит;

в) не принадлежит.

3. Решить самостоятельно задачи 1012, 1015 (а, б).

Задача № 1012.

Решение:

Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуок­ружности, если выполняются условия: -1≤ х≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1 и х2 + у2 = 1. Точка М1 (0; 1) удовлетворяет всем условиям hello_html_1b730b13.gif она лежит на единичной полуокружности.

Точка М2 (hello_html_m3907a0ac.gif ; hello_html_m33610a6a.gif ) удовлетворяет всем условиям, следовательно она лежит на единичной полуокружности.

Точки М3 (hello_html_2268cba1.gif ; hello_html_2268cba1.gif) ; М4 (- hello_html_m33610a6a.gif ; hello_html_m3907a0ac.gif) ; А (1 ; 0) ; В ( - 1 ; 0) также лежат на

единичной полуокружности.

Синус < АОМ – это ордината точки М. Косинус < АОМ – это абсцисса точки М. Тангенс < АОМ равен отношению синуса к его косинусу.

М1(0;1) hello_html_1b730b13.gif sin АОМ1 = 1, cos AOM1= 0, tg AOM1= 0.

М2 (hello_html_m3907a0ac.gif ; hello_html_m33610a6a.gif) hello_html_1b730b13.gif sin АОМ2 = hello_html_m33610a6a.gif, cos AOM2 = hello_html_m3907a0ac.gif , tg AOM2 = hello_html_m33610a6a.gif: hello_html_m3907a0ac.gif = hello_html_774d1622.gif

М3 ( hello_html_2268cba1.gif; hello_html_2268cba1.gif) hello_html_1b730b13.gif sin АОМ3 = hello_html_2268cba1.gif, cos AOM3 = hello_html_2268cba1.gif, tg AOM3 = hello_html_2268cba1.gif: hello_html_2268cba1.gif = 1

М4 ( - hello_html_m33610a6a.gif ; hello_html_m3907a0ac.gif ) hello_html_1b730b13.gif sin АОМ4 = hello_html_m3907a0ac.gif , cos AOM4 = -hello_html_m33610a6a.gif , tg AOM4 = hello_html_m3907a0ac.gif : (- hello_html_m33610a6a.gif)= - hello_html_214d13b7.gif

Задача № 1015.

Решение : а) cos α = 1 hello_html_1b730b13.gif sin α = hello_html_m3bb86b96.gif = hello_html_m3992c193.gif = 0.


tg α = sin α : cos α = 0 : 1 = 0.

б) sin α = hello_html_2268cba1.gif cos α = + hello_html_3fb4f01.gif= + hello_html_16e31d14.gif = + hello_html_2268cba1.gif .

Так как 00 < α < 900 hello_html_1b730b13.gif cos α > 0 hello_html_1b730b13.gif cos α = hello_html_2268cba1.gif .

tg α = sin α : cos α = hello_html_2268cba1.gif : hello_html_2268cba1.gif= 1.

Ответ : а) 0 ; б) 1.

V. Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень сложности учебного материала:

hello_html_m41e209fc.png

  1. Легкий материал.

  2. Средней трудности материал.

  3. Трудный материал.


Домашнее задание

пп. 93 – 95, вопросы 1 – 6.

Решить задачи:

1 уровень - № 32 (из рабочей тетради), №1011, 1015 ( в, г).

2 уровень - № 1011, 1015 (в, г), дополнительную задачу.

Дополнительная задача:

Точка В единичной окружности имеет координаты:

аhello_html_729b00d4.gifhello_html_m47e8c42b.gifhello_html_729b00d4.gif) - hello_html_2268cba1.gif ;hello_html_2268cba1.gif ; б) - hello_html_m33610a6a.gif; hello_html_m3907a0ac.gif ; в) - hello_html_m3907a0ac.gif ; hello_html_m33610a6a.gif

Найдите угол, который образует луч ОВ с положительной полуосью Ох.








Кhello_html_81a023b.gifонспект 2.


Тема : Теорема о площади треугольника

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока:

  • Рассмотреть теорему о площади треугольника.

  • Научить учащихся решать задачи на применение теоремы о пло­щади треугольника.

  • Развивать умение пользоваться основным тригонометрическим тождеством и находить координаты точки.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний. Повторение теории.

  1. Теоретический опрос

- Что называется синусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 1800?

- Что называется косинусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 1800?

- Что называется тангенсом угла α?

- Для какого значения α тангенс не определен и почему?

- Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?

  1. Самостоятельная работа.

1 уровень.


  1. Найти:

а) sinα, если cosα = - hello_html_m233bf45f.gif.

б) cosα., если sinα = hello_html_m1e972754.gif.

в) tgα, если cosα = hello_html_m3907a0ac.gif.

  1. Проверьте лежат ли на единичной окружности точки:

а) А (hello_html_6a148f9f.gif; hello_html_7494ddf4.gif)

б) В ( 7; 3)

в) С ( hello_html_m3907a0ac.gif; hello_html_m3907a0ac.gif)

  1. Угол между лучом ОМ, пересекающих единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки М, если

а) ОМ = 4; α = 60° б) ОМ= 8; α = 150°



2 уровень.


1. Найти синус, косинус и тангенс угла АОМ, если О – начало координат, а точка

А ( 1; 0), М ( - hello_html_59f000e1.gif; у) лежат на единичной полуокружности.

2. Упростите выражения:

а) sin 60° · cos 135° · tg 120°

б) cos 60° - 2sin 135° + cos120°


3. Найти угол между лучом ОМ и положительной полуосью Ох, если точка М

имеет координаты:

а) ( - 4; 4)

б) ( 3hello_html_774d1622.gif; 3)

3 уровень.

  1. Построить угол А, если cos А = - hello_html_m50ca8438.gif. Найти sin А, tg А.

  2. Найдите значение выражения sin2α · tgα – cos2α, если известно, что sinα = hello_html_m233bf45f.gif.

  3. Найдите наименьший угол между лучами ОА и ОВ, если А ( - 2; 2hello_html_774d1622.gif),

В ( 5; 5), О начало координат.


III. Изучение нового материала.

Вывод формулы о площади треугольника можно получить в процессе решения задачи в творческих группах с последующим обсуждением всех вариантов решения.

Задача.

В треугольнике АВС ВС = а, АС = b, < С = α. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение :

Кhello_html_3f5ccd60.pngоординаты точки В равны:

х = а cos α , у = а sin α.

Высота МВС, проведенная к стороне А С, равна BH.

С другой стороны, ВН - это ордината точки В,

т. е. ВН = а sin α.


SABC = hello_html_m3907a0ac.gif АС· ВН= hello_html_m3907a0ac.gif b (а sin α) = hello_html_m3907a0ac.gif а b sin α.

Итак, SABC = hello_html_m3907a0ac.gif а b sin α, где а, b - стороны треугольника, α - угол между ними.

Для более глубокого усвоения вывода формулы о площади тре­угольника желательно задать следующие вопросы контролирующего характера (опрос начинать с менее подготовленных учащихся):

- Для чего проведена высота МВС ?

- Почему координаты точки В равны (а cos α; а sin α)?

- Почему ВН = а sin α ?

- В формуле S = hello_html_m3907a0ac.gifa b sin α где по отношению к сторонам а и b треугольника

расположен угол α ?

IV. Закрепление изученного материала.

1. Решить самостоятельно 1 варианту задачу № 38, 2 варианту - №39 из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой. Предварительно решение обсудить со всем классом.

Вопросы для обсуждения задачи № 38:

- Лежит ли угол В между сторонами АВ и ВС треугольника АВС ?

- Какую формулу вы использовали для вычисления площади треугольника АВС?

- Можно ли площадь треугольника АВС вычислить другим спо­собом?

- Какой из этих способов наиболее рациональный?

Вопросы для обсуждения задачи № 39:

- Какая зависимость существует между площадью треугольни­ка, двумя его сторонами и углом, заключенным между этими сторонами?

- Объясните, почему в данной задаче S = BE 2 sin E ?

2. Решить самостоятельно задачи:

1 уровень - № 1020 (а), 1022, дополнительные задачи № 1, 2.

II уровень - № 1022, 1024, дополнительные задачи № 1, 2.


Задача № 1020 (а)

Решение:

АВ = 6hello_html_5fb341ed.gif см, А С = 4 см, = 600, тогда

SABC = hello_html_m3907a0ac.gif АВ ·АС· sin 60° =hello_html_m3907a0ac.gif 6 hello_html_5fb341ed.gif·4 hello_html_m33610a6a.gif= 12 hello_html_m75351874.gif (см2)

Ответ: 12 hello_html_m75351874.gifсм2.

Задача 1022

Решение:

SABC = hello_html_m3907a0ac.gif АВ · АС sin A

SABC =60см2, AC=15cм, <A=300 , следовательно, AВ= hello_html_m1f18a244.gif = 16(см).

Ответ: 16 см.

hello_html_18c5ae17.png

Задача №1024

Решение:

а) Из ∆АВМ sin α = ВМ : АВ => AB= hello_html_m731dd0f8.gif

Из ∆АКС sin α =КС : АС => AC= hello_html_5445212d.gif

SABC =hello_html_m3907a0ac.gifАВ АС sin α ;

SABC = hello_html_m3907a0ac.gifhello_html_5445212d.gif hello_html_m731dd0f8.gif· sin α = hello_html_2d6f01c6.gif

бhello_html_m4d1e8405.png) Из прямоугольного ∆АВН sin α = hello_html_1feb7378.gif => АВ = hello_html_m20e427ea.gif

в прямоугольном СВН

= 1800 - (+ = 1800 – (α + β) =>

sin C = sin(l80° - (α + β)) = sin(α + β). sinC= ВН: BC,

ВС= h : sin (а + β).

SABC=hello_html_m3907a0ac.gif BA BC sin β = hello_html_m3907a0ac.gif hello_html_m20e427ea.gif hello_html_a959cee.gif· sin β =

= hello_html_3c163841.gif

Ответ: а) hello_html_2d6f01c6.gif; б) hello_html_3c163841.gif

Дополнительные задачи:

Задача 1

Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при ос­новании 150 и боковой стороной, равной 5 см.

Задача 2

В ∆АВС АВ= 4, ВС= 6, BD - биссектриса, =450. Найдите: площади треугольников ABD и CBD.

Задача 3

В треугольнике МNK МК = 12, NK = 16, = а, ММ1 и NN1 - медианы, пересе­кающиеся в точке О. Найти площадь че­тырехугольника N1OM1K.


V. Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень удовлетворенности уроком:



  1. Пhello_html_md5c7483.pngонравился урок.

  2. Удовлетворен уроком.

  3. Не понравился урок.






Домашнее задание.

п.96, вопрос 7.

Решить задачи:

1 уровень - № 40 из рабочей тетради, № 1020 (б, в), 1021, 1023.

2 уровень - № 1021, 1023, дополнительные задачи №2,3.

Кhello_html_81a023b.gifонспект 3.


Тема : Теоремы синусов и косинусов.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока :

  • Рассмотреть теоремы синусов и косинусов.

  • Развить умения и навыки их применения при решении задач.

  • Закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на ее применение.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний учащихся.

1.Теоретический опрос.

Подготовить у доски доказательство теоремы о площади тре­угольника, а затем заслушать ответ всем классом.

2. Проверка домашнего задания.

Индивидуально проверить домашние задачи № 40 (из рабочей тет­ради),№ 1023; дополнительные задачи № 3, № 2.

3.Работа по индивидуальным карточкам

1 уровень (карточка № 1)

1. Площадь равностороннего треугольника равна 24hello_html_774d1622.gif . Найдите сторону этого треугольника.

2. В параллелограмме один из углов равен 450, а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь.

3. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диаго­налями 300. Найдите площадь прямоугольника.


2 уровень (карточка № 2)

1. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 6hello_html_m62632d12.gif см и 7см, а угол между ними равен 450.

2. В треугольнике MNK = 1500, МN = 4 см, NK = 6см, NE ­биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольников MNE и NKE.

3. Медианы МВС пересекаются в точке О, = 300, АВ = 4 см,

ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников АОС, ВОС, ВОА.


3 уровень (карточка №3)

1. Трапеция ABCD вписана в окружность так, что основание AD - диаметр окружности. Диагональ трапеции равна 16 см, а ее площадь - 64 см2. Найдите углы трапеции.

2. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 8 см, диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, а угол при основании AD равен 600. Найдите площадь трапеции.

3. В треугольнике МNK медианы ММ1 и КК1 пересекаются в точ­ке О, ММ1 = 4,5, КК1 = 6. Найдите угол МОК, если известно, что площадь треугольника SMNK = 9.


III. Решение задач на готовых чертежах.

Решить самостоятельно задачи на готовых чертежах с последую­щей самопроверкой и обсуждением решения тех из них, с которыми не справились большинство учащихся.

При обсуждении задач обратить внимание на следующие формулы:

Sпарал-ма = а b sin α, где а, b - стороны параллелограмма, α - угол между ними.

S прям-ка = hello_html_m3907a0ac.gif d2 sin α, где d - диагональ прямоугольника, α - угол между диагоналями.

Sпарал-ма = hello_html_m3907a0ac.gif d2 d1 sin α, где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, α - угол между

ними.

1. Рис. 1. Найти: S.

2. Рис. 2. ABCD-параллелограмм. ВD = 6, АС= 10.

Найти: S.

3. Рис. 3. ABCD - параллелограмм.

Найти: S.

4. Рис. 4. ABCD - прямоугольник. АС = 12.

Найти: S.

hello_html_m7d9eb4dd.pnghello_html_mc5d7e7f.pnghello_html_m4d7d687a.pnghello_html_m5025bb1f.png

hello_html_0.gif

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4


IV. Изучение нового материала.

1. Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тивоположных углов.

Дано: ∆АВС

Доказать: hello_html_3e189178.gif = hello_html_17b7de6d.gif = hello_html_m33063b7e.gif

Доказательство проводится в виде беседы учителя с учащимися:

Вопрос: Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов?

Ответ: Формула для вычисления площади треугольника:

SАВС = hello_html_m3907a0ac.gif АВ ВС sinB (1) SАВС = hello_html_m3907a0ac.gif AC ВС sinC (2)


SАВС = hello_html_m3907a0ac.gif AВ АС sinА (3)

Вопрос: Приравняем равенства 1 и 2. Чему равно отношение hello_html_16b7b8d9.gif ?

Ответ: hello_html_m3907a0ac.gif АВ ВС sinB = hello_html_m3907a0ac.gif AC ВС sinС , АВ sinB = АС sinС,

hello_html_3e189178.gif= hello_html_m33063b7e.gif ( 4 )

- Как можно получить равенство hello_html_3e189178.gif = hello_html_m33063b7e.gif

Ответ: Приравняем равенства 2 и 3:

hello_html_m3907a0ac.gifAC ВС sin C = hello_html_m3907a0ac.gif AВ АС sin А

ВС sin С = АВ sin А, hello_html_3e189178.gif = hello_html_m33063b7e.gif ( 5 )

-Верно ли равенство hello_html_3e189178.gif = hello_html_17b7de6d.gif = hello_html_m33063b7e.gif? Почему ? ( Верно, это следует из

равенств 4 и 5 ).

2. Очень часто в треугольнике известны две стороны и угол между ними и необходимо найти третью его сторону. Спра­виться с этой задачей нам позволяет теорема косинусов.

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух

других его сторон без удвоенного про изведения этих сторон на

косинус угла между ними.

Дано: ∆АВС, АВ = с, ВС = а, СА = b.

Доказать: а2 = b2 + с22 bc cosA.

Дhello_html_m522a1651.pngоказательство проводится в виде ответов на вопросы учеников:

Вопрос: Поместим ∆АВС в прямоугольную систему

Координат так, чтобы точка А совпадала с началом

координат, точка В лежала на положительной полуоси Ох, а точка С располага­лась в 1 координатной четверти.

Чему равны коор­динаты вершин В и С треугольника?

Ответ: Т. к. АВ = с и точка В лежит на положительной полуоси Ох, то В ; 0).

Если из точки С опустить перпендикуляр СН, то sin α = hello_html_m4564383b.gif,

cos α = hello_html_m28ca17b1.gif т. е. CH=AC sin α = b sin α,

АН = AC cos α = b cos α.

Но СН - это ордината точки С, АН - абсцисса точки С, поэтому С ( b cos α; b sin α).

Вопрос: Чему равно расстояние между точками В и С, если В ( с ; 0 ),

С (b cos α; b sin α) ?

Ответ: ВС2 = (хCхВ )2 + ( уСуВ)2 = (b cos αс)2 + (b sin α – 0)2 = b2 cos2 α

- 2 b с cos α + с2 + b2 sin2 α = b2(cos2 α + sin2 α) + с2 - 2 b с cos α = b2+ с2 - 2 b с cos α,

т.е а2 = b2+ с2 - 2 b с cosА.

V. Закрепление изученного материала.

1. Выполнить устно задания:

- Запишите теорему синусов для треугольника MNK:

Ответ: hello_html_13463b10.gif = hello_html_39f8c6d3.gif = hello_html_m3da2ed75.gif

- Запишите теорему косинусов для вычисления стороны:

а) АВ в треугольнике АВС;

б) СЕ в треугольнике CDE.

Ответ: а) АВ2 = ВС2 + АС2 - 2ВС АС cosC

б) СЕ2 = CD2 + DE2 - 2CD DE cosD

2. Разобрать задачи №41, 44 из рабочей тетради.

Наводящие вопросы к задаче № 41:

- Какая сторона лежит против угла А? Какой угол лежит против стороны АС?

- Используя свойства пропорций, выразите ВС и найдите его значение. (ВС = 2 см.)

Наводящие вопросы к задаче № 44:

- Как запишется теорема косинусов для вычисления стороны АВ треугольника

АОВ?

- Чему равен угол ВОС? Почему?

- Как вычислить косинус 1200?

- Чему равен периметр параллелограмма? = 6 . (hello_html_774d1622.gif + hello_html_m67e3c97.gif) см.)

3. Самостоятельно решить задачи № 1025 (а, в, г, е, и)

VI. Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень комфортности на уроке.

hello_html_m3cdd075a.png

  1. Комфортно чувствовал себя на уроке.

  2. Нормально чувствовал себя на уроке.

  3. Плохо чувствовал себя на уроке.




Домашнее задание.

пп. 97, 98; вопросы 8, 9.

Решить задачу № 42 из рабочей тетради, № 1025 ( б, д, ж, ).







Кhello_html_81a023b.gifонспект 4.


Тема : Решение треугольников.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цель урока:

Сформировать умения и навыки применения теоремы

си­нусов и теоремы косинусов к решению треугольников.

Развить логическое мышление учащихся при решении

треугольников.

Воспитывать усидчивость, сосредоточенность у учащихся.


Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Теоретический опрос.

- Сформулировать теорему синусов.

- Сформулировать теорему косинусов.

2. Устное решение задач на готовых чертежах.

Рекомендация: при решении задач особое внимание уделять пра­вильному выбору теоремы (т. е. выбору той теоремы, которая позво­ляет решить задачу наиболее рационально).

аhello_html_53534cd2.png) По данным рисунка найдите значения синуса углов А и В треугольника АВС.


б) По данным рисунка назовите формулу для

нахождения сторон АВ и ВС треугольника АВС.


3.Индивидуальная работа по карточкам.


1 уровень (карточка №1)


1. Дано: ∆АВС, <А = 450, <С = 150, ВС = 4hello_html_m75351874.gif.

Найти: АВ, АС, <В.

  1. Дано:MNK, MN = 6 см, МК = 10см, <М = 1200.

Найти: NK, <N, <K.

  1. Дано: ∆ОРТ, ОР = 24, РТ = 30, ОТ = 36.

Найти: <О, <Р, <Т.


2 уровень (карточка №2)


  1. В параллелограмме АВСD диагональ АС = 10. Найдите площадь

параллелограмма, если <ВАС = 300, <DАС = 450.

  1. В равнобедренном треугольнике АВС один из углов при основании АС равен 300, наименьшая медиана равна hello_html_m67e3c97.gif. Найдите другие медианы.

  2. Стороны треугольника равны 5, 6, 7. найдите углы треугольника.


3 уровень (карточка №3)


  1. В треугольнике MNK MN = 4, NK = 5, а его площадь равна 5hello_html_774d1622.gif. Найдите расстояние от вершины N до стороны MK, если известно, что cosMNK < 0.

  2. В треугольнике СDЕ <С = 640, <D = 500, DЕ + СЕ = 21. Найдите неизвестные элементы треугольника.

  3. В треугольнике АВС ВС = 3,4, <АВС = 1300, а его площадь равна 3,6. Найдите АС.

III. Изучение нового материала

1. Прочитать самостоятельно п. 99 учебника.

2. Фронтальная работа с классом - обсуждение материала п. 99. Вопросы для обсуждения:

- Что значит «решить треугольник»?

- Перечислите три основные задачи на решение треугольников. - Составьте план решения треугольников:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и прилежащим к ней углам;

в) по трем сторонам;

г) Объясните, почему задача имеет одно решение при решении треугольника:

- по двум сторонам и углу между ними;

- по стороне и прилежащим к ней углам;

- по трем сторонам.

-hello_html_m1203597d.png Дан треугольник АВС (подготовить чертеж на доске). Запи­шите формулу для вычисления:

а) ВС, если АВ = с, АС= b, = α;

б) АС, если ВС= а, = β, .

в) , если АВ = с, АС= b, ВС= а.

г) если

д) АВ, если

Ответы:

а) ВС = hello_html_m479c730c.gif

б) А С = hello_html_169bd6b1.gif

в) cosC= hello_html_m464098a4.gif

г) = 1800- (α + γ)

д) АВ = hello_html_m2ac1a9c7.gif

IV. Решение задач.

1. Разобрать решение задачи № 46 из рабочей тетради.

Задача № 46

Дать учащимся 2-3 минуты на самостоятельное решение, а затем заслушать варианты решений.

Наводящие вопросы:

- Какой угол лежит между сторонами а и b?

- Почему в пункте 2 решения cosA = hello_html_m365c4d05.gif ? Как получи­лось данное равенство?

- Какая теорема используется для нахождения угла В?

Ответ: с = hello_html_m67e3c97.gif ≈2,65; ≈ 1390; 110.

2. Решить самостоятельно задачи 1026, 1029, 1031 (в).


Зhello_html_m5ebd1869.pngадача № 1026

Решение:

= 180° - () = 45°.

По теореме синусов: hello_html_m33063b7e.gif= hello_html_m174fe234.gif

АВ = hello_html_6d75553d.gif= hello_html_74bb0a9f.gif = hello_html_m39b33862.gif= 6 hello_html_m75351874.gif(см)

SABC = hello_html_m3907a0ac.gifАВ · АС sinA = hello_html_m3907a0ac.gif 6hello_html_m75351874.gif 12 sin75° ≈ 87 (см2)

Ответ: АВ = 6 hello_html_m75351874.gif см; S ≈ 87 см2.


Задача №1031( в )

Решение:

Пусть в треугольнике АВС АВ = 9, ВС = 5, АС = 6. Т. к. наи­большей стороной является АВ, то наибольшим углом будет угол, лежащий напротив стороны АВ,

т. е. угол С.

По теореме косинусов АВ2 = АС2 + ВС2 - 2АС· BC cos C.

Тогда соs С = hello_html_5db178ab.gif = hello_html_m52d63129.gif = - hello_html_m233bf45f.gif.

Т. к. cos С < 0 => - тупой, МВС - тупоугольный.

Ответ: тупоугольный.

V. Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на усвоение материала.

1hello_html_m2bfeff8e.png. Хорошо усвоил материал урока.

2. Средне усвоил материал урока.

3. Не усвоил материал урока.


Домашнее задание.

П. 99; вопросы 10, 11. Решить задачи:

I уровень: 45 из рабочей тетради; № 1027, 1028, 1031 (а, б).

II уровень: № 1027, 1028, 1031 (а, б), 1032.


Кhello_html_m3f6b5127.gifонспект 5.


Тема : Решение треугольников.

Тип урока : Урок закрепления новых знаний.

Цели урока :

  • Отрабатывать умение применять теоремы синусов и косинусов в решении задач на нахождение неизвестных элементов у треугольника.

  • Показать практическую направленность таких задач.

  • Развивать внимание, активность, самостоятельность.

  • Воспитывать ответственность, умение работать парами, дружеские отношения между ребятами.

Ход урока

I ) Организационный момент.

II ) Актуализация знаний учащихся.

а) Проверка письменного домашнего задания .

б) Теоретический опрос:

- Что значит «решить треугольник» ?

- Сформулируйте основные задачи на решение треугольников.

- Какие теоремы применяются для решения треугольников ?

- Сформулируйте теоремы синусов и косинусов.

в) Устное решение задач на готовых чертежах .

Используя рисунки, составить план решения задач.

( при решении задач особое внимание уделять правильному выбору теоремы, т.е. той теоремы , которая позволяет более рационально решить задачу)

1hello_html_m2758d2b1.png. Найти: а, < В, < С. 2. Найти: < В, а, с. 3. Найти: < А, < В, < С.

hello_html_ma6a4429.pnghello_html_2c5bb529.png





hello_html_m593f935.png

Пока класс решает устно задачи двое учащихся на обратной стороне доски решают практические задачи, по окончанию устной работы учащиеся объясняют решения своих задач.


Задача 1.

Найти ширину озера, если ( рис.1) АС = 120м, < А = 60°, < С = 45°.

Решение:

  1. <В = 180° - ( 60° + 45°) = 75°

  2. С помощью теоремы синусов hello_html_m2b4edfc5.gif=hello_html_7095b9c7.gif; АВ =hello_html_3bb8236c.gif; АВ =hello_html_517b8bf2.gif≈88м



Задача 2.

Иhello_html_62b15a90.pngзмерим дальнометром расстояние СВ=62м, СА=80м. Угол между ними 60°.

Найти расстояние между двумя деревьями А и В (рис 2)

Решение:

АВ = СВ2 + СА2 – 2 · СВ · СА · cosC

hello_html_md16b991.png


АВ = 622 + 802 – 2 ·hello_html_m3907a0ac.gif· 62 · 80, АВ ≈ 73hello_html_m53d4ecad.gif


III) лабораторная работа .

Учащиеся делятся на три группы: 1 группа –учащихся с повышенным уровнем; 2 группа – учащиеся с базовым уровнем и учащиеся с низким уровнем; 3 группа –учащиеся с базовым уровнем и учащиеся с низким уровнем.

Тема : Определение вида треугольника.

Цель : Определить вид треугольника, применяя теоремы синусов или косинусов.

Задание 2 группы :

Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 10 см и в =15 см, а угол между ними равен ‹ γ =700 .


Задание 3 группы:

Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 12 см и в =14 см, а угол между ними равен ‹ γ =800 .


Выполнение работы:


  1. Найдите длину стороны с, пользуясь теоремой косинусов.

  2. Вычислите величину угла β, пользуясь теоремой синусов.

  3. Вычислите величину угла α, используя свойство треугольника о сумме его углов.

  4. Зная все углы треугольника, определите его вид.



Задание 1 группы :

Два парохода начинают движение одновременно из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом 600 . Скорость первого парохода равна 70 км/ч, а второго – 60 км/ч. Исследуйте на каком расстоянии друг от друга будут находиться пароходы через 3 часа.


IV) Тест с последующей взаимопроверкой.

1 вариант ( 1 уровень )

1. Соединить линией части утверждения, соответствующие друг другу.


пропорциональны синусам

противолежащих углов


Стороны обратно пропорциональны

треугольника синусам противолежащих углов

пропорциональны синусам

прилежащих углов



2. Заполните пропуски в равенствах.

hello_html_4ccab70.pngДан треугольник DЕК.

а) hello_html_m2b247a1d.gif = hello_html_6060615.gif

б) hello_html_22b543c2.gif

в) DК · sin К = . . . · sin Е


3. Закончить фразу. В треугольнике против большего угла лежит_______________ ________________________________.

4. В треугольнике АВС АВ – наименьшая сторона. Определить наименьший угол этого треугольника. ( Выбрать и подчеркнуть верный ответ)


а) < А ; б) < В ; в) < С ;


5. Заполните пропуски.

Для того чтобы решить треугольник по стороне а и двум углам α и β, нужно:

  1. . . . найти угол γ с помощью равенства ______________________________.

  2. . . . найти сторону b с помощью равенства ___________________________.

  3. . . . найти сторону с с помощью равенства ___________________________.



2 вариант ( уровень 2 ).

1. Пусть а, b, c – длины сторон треугольника АВС. Найдите длину наибольшей стороны этого треугольника, если < А = 630 , < С = 570 .


а) а ; б) b ; в) с ; г) по заданным условиям не определяется


2. В треугольнике АВС угол В равен 1050, а угол А равен 450 , ВС = 8 см. Найти АВ.


аhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gif) 4 √ 3 ; б) 4 √ 2 ; в) 8 √ 2 ; г) 4 √ 6


3. В треугольнике МРК даны стороны МР и РК и угол К. Может ли угол М быть тупым , если МР = 12, РК = 15, < К = 400 ?

а) да ; б) нет ; в) по заданным условиям не определяется.


V) Работа по учебнику .

Решить задачу № 1030.

VI) Подведение итогов урока .

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на готовность к зачету.

hello_html_m132a0d71.png

1. Готов к зачету.

2. Почти готов к зачету

3. Не готов к зачету.





Домашнее задание: Подготовить доказательство задачи № 1033; решить задачи:

1 уровень - № 1034, № 47, № 48 ( из рабочей тетради);

2 уровень - № 1033, № 1035, задачу № 7.


















Организация обучения на уроках геометрии.


Представленная система уроков является частью разработан­ной технологии внутриклассной уровневой дифференци­ации учебной деятельности школьников в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы. В основу этой технологии положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельност­ный подход к обучению.

Согласно деятельностному аспекту данного подхода, обучение ­- это двустороннее единство деятельности обучаемого и обучаю­щего по созданию условий для формирования у учащегося струк­туры обобщенных умственных действий, направленных на при­обретение им заданной системы знаний, умений и навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учеб­ной деятельности, которая определяется психологами как спе­цифическая деятельность субъекта по его саморазвитию на ос­нове решения специально поставленных учителем учебных за­дач. Со стороны учителя - это организация учебной деятельно­сти учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонен­тов: формирования ориентировочной основы действий, состав­ляющих содержание учебной деятельности, и целенаправленно­го управления этой деятельностью в процессе самостоятельной работы учащегося. .

Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психо­физиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оп­тимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уров­нях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития.

Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу предварительно­го ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На этом этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач дик­туется, с одной стороны, требованием доступности для всех уча­щихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее су­щественные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их реше­ния, детальным рассмотрением моделей фигур и правил постро­ения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. После того, как решение задачи осмыслено и понято всеми учащимися, оно под руководством учителя с подробными объяснениями записывает­ся учащимися в их классные тетради. В целом этап предвари­тельного ознакомления обеспечивает понимание учащимися ос­новных понятий темы и содержания той деятельности, в кото­рую они включены и которая приводит к решению рассматрива­емого класса задач.

Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в зависимости от объема темы. В со­ответствии с числом уровней на нее отводится в блоке два или три урока. Самостоятельная работа каждого учащегося начина­ется с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе. Однако функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они служили для раскры­тия деятельности, формирования ориентировочной основы состав­ляющих ее умственных действий, то теперь выступают как сред­ство усвоения этой деятельности. На первом уроке самостоятель­ной работы проводится также первый этап теоретического заче­та, состоящий в индивидуальном опросе определений и формули­ровок теорем.

Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности за один урок, переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности. Они полу­чают специальные методические пособия, в которых рассмат­риваются дополнительные вопросы теории и методы решения задач, требующие более глубокого, чем на первом уровне, ана­лиза и обобщения свойств изучаемых фигур. На уроке учащи­еся самостоятельно разбираются в приведенных в пособии ре­шениях задач. Работа учащихся по методическим пособиям со­провождается выполнением обязательного домашнего задания по решению двух или трех задач соответствующего уровня слож­ности. Слабым учащимся время, отведенное на самостоятель­ную работу, полностью предоставляется для решения задач первого уровня.

По окончании самостоятельной работы в специально отведен­ное время проводится второй этап теоретического зачета, к кото­рому учащиеся должны подготовить доказательства тех теорем, которыми они пользовались при решении задач и формулировки которых они отвечали на первом этапе. Второй этап зачета не является обязательным и сдается по желанию теми учащимися, которые интересуются предметом и стремятся к более глубокому изучению материала.

Следует также обратить внимание на изменение функции от­метки, происходящее при работе по рассматриваемой техноло­гии. Отметка «3» за работу по теме выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня, отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уров­не. В результате оценка отражает не количество ошибок учаще­гося, как это происходит при работе по традиционной техноло­гии, а освоенный им уровень сложности. Это вносит элемент со­стязательности в работу учащихся и служит дополнительным фак­тором повышения успеваемости.

На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» от­водится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и косинусов и способов деятель­ности, необходимых для решения задач, связанных с решением треугольников.











31


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

В данной работе представлена система уроков по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» с применением уровневой дифференциации.

В основу разработок этой системы уроков положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельност­ный подход к обучению. Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психо­физиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оп­тимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уров­нях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития.

Система уроков состоит из пяти конспектов. На каждом уроке проводится самостоятельная работа по уровням, причем каждый учащийся  начина­ет с решения задач по индивидуальному варианту первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на пре­дыдущем этапе, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач дик­туется, с одной стороны, требованием доступности для всех уча­щихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее су­щественные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их реше­ния, правилами постро­ения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся.      Практически в каждом конспекте присутствуют задачи на готовых чертежах, наличие которых  помогает учителю наиболее рационально использовать время на уроке. Тестовые задания позволяют своевременно выявить пробелы в знаниях учащихся, экономя при этом время учителя. На пятом уроке проводится дифференцированная лабораторная работа по определению вида треугольника, которая проверяет знания у учащихся всей теории данной темы. Задание на дом дается учащимся дифференцировано.

Автор
Дата добавления 25.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров700
Номер материала 575163
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх