Создание справочного материала для уроков по математике

Захарова Е., Шведова К. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ г Лукоянов СОДЕРЖАНИЕ Тема: «Рациональные  уравнения». 3 Тема: «Иррациональные  уравнения». 4 Тема: «Корни». 5 Тема: «Степени». 7 Тема: «Логарифмы». 8 Тема: «Основы тригонометрии». 9 Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений». 10 Тема: «Элементы комбинаторики». 12 Список использованных источников. 15   Тема: «Рациональные  уравнения» Краткий справочный  материал Примеры решения уравнений Задания для самостоятельной работы 1. Уравнения с одной переменной Общий вид:   (*)  где   х – переменная   величина, P(x), Q(x), F(x) и R(x) – выражения, содержащие переменную, причем   Q(x) ≠0 ,   R(x) ≠0. Для решения  (*) воспользуемся главным  свойством  пропорции: P(x) ∙ R(x) = Q(x) ∙ F (x)   (**). (**) после преобразования   может стать одним из следующих: 1.  ax2+bx+c=0 – уравнение 1-ой степени. Решение: ax = -b                     x= - 2.  ax2+bx+c = 0 – квадратное  уравнение Решение:          X1;2=   ,   где D= b2-4ac – дискриминант. Здесь возможны случаи: D > 0  -  уравнение имеет два действительных  различных  корня. D = 0   -   уравнение имеет один корень. D < 0  -   нет действительных корней. Решите уравнения: 1.    -  x = Решение: - ∙ x = x =  : x= -5 Ответ: -5 2.   x2 – 2x -3 = 0 Решение: D = (-2)2- 4 ∙ 1 ∙ (-3) = 4 + 12 = 16 x1;2 = ;           x1 = -1 ;  x2 = 3 Ответ: -1; 3 3.     = Решение: x (x-2) = 6x -15 x2- 2x – 6x -15 x2- 8x + 15 =0 D= 64 – 4 ∙ 15 = 4 > 0 => 2 действия корня. х1;2 = ;     x1 = 5       x2 = 3 Ответ: 3; 5 Решите уравнения: 1)      ∙ x =                           2)     = 5 3)   x2 + 12x+36 = 0                            4)    = 1 5)     = 1                                        6)    = 7)   –x2 – 2x + 15 = 0 Тема: «Иррациональные  уравнения»
Краткий справочный материал	Пример решения уравнений		Задание для самостоятельной работы
Иррациональные уравнения - это уравнения, содержащие переменную величину под знаком  корня того или иного показателя: Пример:     ,                                                                                . Решение иррациональных уравнений сводится к освобождению их от корней. Примечание: 1. Если в иррациональные уравнения входят корни четной степени, то предполагается,               что они имеют только арифметические значения; 2. Иррациональные уравнения необходимо проверять  т.к. в процессе освобождения                  от корней могут появиться “лишние”, посторонние решения.	Решите уравнения: 1.          Решение: x2- 5 = 4 x2- 9 = 0 (x-3) (x+3) = 0 X – 3 = 0 или x + 3 = 0 X = 3                x = -3 Ответ: -3; 3 2. Решение: 6 ∙ 49 = 4x – 54 4x – 54 – 294 = 0 4x = 348 x = 348 : 4 x = 87                  Ответ: 87	Решение: x – 2 = x2 – 16x + 64 x2- 17x + 66 = 0 D = (-17)2 – 4 ∙ 1 ∙ 66 = 25 x1;2 =  x1 = 6 ; x2 = 11 Проверка: x = 6  – неверно x = 6 – не подходит x = 11  – верно Ответ: 11	Решите уравнения: 1. 2. 3. 4. 5. 6.  = x + 4 7.

Тема: «Корни»
Краткий справочный материал  по теме	Примеры решения типовых заданий	Задания для самостоятельной работы
Читаем:  «Корень  n-ой  степени из  числа  а»	- читаем: корень 3-ей степени из 2-х;   - читаем: корень 5-ой степени из с	Прочитайте:  ,
= b   <=>    bn = a	= 2    <=>   23 = 8  = 3   <=>    34 = 81  =  = 5   <=>    52 = 25  = -3    <=>    (-3)3  = -27  =     <=>   ( )5 =	Вычислите: 1)  ;          2) ; 3) ;         4)
∙  =	∙   =   =   = 3  ∙   =  =  = -3	Вычислите: 1) ∙ ;    2) ∙
=        в ≠ 0	=    =   = 2	Вычислите: 1)  ;   3) 2) ;
= k      к > 0	= 2  =  = 2	Измените степень  корня; найдите значение подкоренного выражения: 1) =         2) =
k  = ()k Если k ≤ 0,   то  а≠ 0	2  =  ()2  =  42 = 16 3 =  ()3  =  33  = 27	Вычислите: 1)4;   2)2 3)3
n = an/m m > 0	8 = 28/4 = 22 = 4 3 = 63/3 = 6	Вычислите: 1)12;   2)7

Тема: «Степени»

Краткий справочный материал по теме	Примеры решения типовых заданий	Задания для самостоятельной работы
a a  …a = an           Читаем:     an  –  « a   в  n-ой  степени»	a a = a2    ( читаем:   a во 2-ой степени)                                                                                                                                           x x x x = x4   ( читаем:  x в 4-ой степени)                                                                                                                                 33  3 = 33     ( читаем:  3 в 3-ей степени)	Прочитайте:    bn,     y5,     42
an am = an+m	1) a3  a4 = a3+4 = a7           2) 42  4-3 = 42+(-3) = 4-1    3)       = =          4) 3   = 3  1 = 3+1  =4 =   =	Упростите выражения:                                                            1)  b4  b5;        2) 32  3-4; 3)   ;      4)    4
an : am =  an-m	1) a5: a3 = a5-3 = a2                2)  3-2 : 3-5 = 3-2-5 = 3-7    3) :   =  =  =  4) 4 : 2 = 4-2 = 2 =	Упростите: 1) a7 : a5;       2) 48 : 4-5; 3)  : ;     4) 6 : -3
(an)m   =  anm	1) (a4)3=  = 12                         2) (35)3= = 315            3) =    =	Упростите: 1)(с7)2;    2) (32)7;    3) 4
n  =                         b0	1)     3 =                               2)  2   =	Раскройте скобки: 1)4;    2)3
a-n  =                       a0	1)  a-3 =                      2) 4-2 =   =                   3)  a4  =             4)  52  =	Запишите в виде дроби: 1) с-4;    2) 6-3;     3) b2;      4) 34
-n =  n                 a0   ,    b0	1)  -3  =  3                        2) – 4  = 4	Избавьтесь от знака    «-»  в показателе степени: 1)-2;        2)-3
a0 = 1,   a0 00 -  не существует!	1) с0 = 1, c 0                               2)0 =  1	Вычислите: 1) 60;     2) (-9)0;     3) 0

Тема: «Логарифмы»

Краткий справочный материал по теме	Примеры решения типовых заданий	Задания для самостоятельной работы
logab = c Читаем:  логарифм числа b по основанию a   равен c	log39 = 2 Читаем:   логарифм 9   по основанию 3   равен 2	Прочитайте: log2 8 = 3;    log5 1 = 0
logab = cac=b a0,   b0,  a1	log2 8 = 3,   т. к.   23  =  8 log5 25 = 2,   т. к.   52 = 25 log3  = -4,   т. к.   3-4 =	Вычислите: 1) log4 16;       3) log 1; 2) log3 27;        4) log2
a log a b = b a0,   b0,   a 1	c logc 8 = 8 ;     5 log5 9 = 9	Вычислите:                                         3 log3 7 ;    4 log4 13
loga 1 = 0                       a0	log3 1 = 0,   т. к. 30 =1                        log  1 = 0,   т. к. 0 = 1	Вычислите: log7 1;     log  1
loga  a = 1                          a0	log5 5 = 1,       т. к.  51 = 5	Вычислите:                                                                    log7  7;    log
loga ( x y) = loga  x + loga y                                 a0,    x0,    y0 ,     a	log3(9) = log3 9 + log3 27 = 2+3 = 5  log4 8 + log4 2 = log4 (8) = log4 16 = 2	Вычислите:   1) log2 (162);  2) log4 32 + log4 2
loga = loga  x - loga y                  a0,    x0,    y0,   a	log3   = log3 9 – log3 27  =  2-3  =  -1                                                                                                                                         log4 8 – log4 2 = log4    =  log4  4  = 1	Вычислите:       1) log3  ;      2) log4 32 – log4 2
loga  x p  =  ploga  x                   a0,   x0,   a	log7  3434  =  4log7 343  = 4 3 = 12                                                                                                                                                  4 log4 24 = log4 16 = 2	Вычислите:                                                            log3 812 ;   8 log4 2
log10  b = lg b               десятичный логарифм	log10 7 = lg 7	Вычислите:                                                               lg 8 + lg 125;    lg 13 – lg 130

Тема: «Основы тригонометрии»

Краткий  справочный материя по теме	Примеры   решения  типовых  заданий	Задания для самостоятельной работы
Формулы сложения:	2)	Вычислите: 1) cos ; 2)  tg ;
Преобразование суммы в произведение:	1) 2)	Преобразовать  в произведение

Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
Краткий справочный материал	Примеры решения уравнений	Задания для самостоятельной работы
sin x = a,  |a|≤ 1 x=(-1)n arcsin a + pn,   nÎZ Частные случаи: 1)  sin x = -1 x= -  + 2pn,   nÎZ 2)   sin x = 0 x = pn,  nÎ Z 3)  sin x = 1 x =   + 2pn,  nÎ Z	Решите уравнения : 1)  sin x = х = (-1)n ∙ arcsin  + pn, Ответ: x = (-1)n∙+ pn, nÎZ 2)  2sin x – 1 =0 2sin x = 1 sin x  = x = (-1)n∙ arcsin + pn Ответ:   x = (-1)n∙  +pn, nÎ Z 3)  sin x - =0  sin x  =   sin x = sin x = 1 – частный случай! Ответ:  x = + 2pn,  nÎ Z	Решите уравнения: 1) sin x = 2) 2sin x +  = 0 3) 6sin x + 6 =0
cos x = a, |a|≤ 1 x = ± arccos a + 2pn, nÎ Z Частные случаи: 1)  cos x = -1 x  = p + 2pn,   nÎ Z 2)  cos x = 0 x =   + pn,  nÎ Z 3) cos x = 1 x  =  2pn,  n ÎZ	Решите уравнения : 1) cos x = x = ±arccos + 2pn, nÎZ Ответ: x = ±  + 2pn, nÎZ 2) 2 cos x -  = 0    2cos x =    cos x = x = ±arccos + 2pn, nÎZ Ответ:  x = ± + 2pn, nÎZ 3)   cos x -  = 0 cos x = cos x = 1 - частный случай! Ответ:   x=2pn, nÎZ	Решите уравнение: 1)cos x = 2)2cos x+  = 0 3) 4cos x – 4 = 0
tg x = a, -p/2< a < p/2 x = arctg a + pn, nÎZ	Решите уравнения: 1)  tg x = √3 x = arctg √3 + pn, nÎZ Ответ:   x = p/3 +p n, nÎZ 2)  2tg x – 2 = 0 2tg x = 2 tg x = 2/2 tg x = 1 x = arctg 1 +p n Ответ:   x = p/4 + pn, nÎZ	Решите уравнения: 1) tg x = 0 2) tg x = /3 3) 2tg x - 2 = 0

Тема: «Элементы комбинаторики»

Комбинаторика - раздел математики, который изучает, какие и сколько комбинаций можно составить из определенного   числа   объектов,   называемых элементами.

Рассмотрим три типа комбинаций,  которые можно составить из некоторого числа (n) различимых между собой элементов.

Тип  комбинаций	Примеры решения типовых заданий	Задания для самостоятельной работы
1.     Перестановки Возьмем n различных элементов: А, В, С, … М; будем переставлять эти элементы всевозможными способами, оставляя неизменным  их число и меняя лишь их порядок. Каждая из таких комбинаций называется перестановкой. Р – число всех перестановок; n – количество элементов.  = 1∙2∙3∙…∙n = n! Читаем: n! – эн факториал	1.Найти число перестановок из трех элементов  А, В, С. Решение: Выпишем возможные варианты перестановок: АВС   ВАС   САВ   АСВ   ВСА   СВА. Проверим по формуле:  n= 3;    P3 = 1∙2∙3 = 3! = 6 Ответ: 6 перестановок. 2.Найти число перестановок из трех элементов: 1,2,3. Решение: выпишем возможные варианты перестановок: 123   213   312   132   231   321. Всего получилось 6 перестановок. Проверим по формуле:  n= 3;   P3 = 1∙2∙3 = 6 Ответ: 6 перестановок. 3.Сколькими способами можно расставить на полке      6 различных книг: Решение:  n=6;    P6 = 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6 = 720 Ответ: 720 различных вариантов.	1. Сколько  трехсловных предложений   можно составить  из  слов: сегодня, дождь,  идет? 2.  В  пассажирском  поезде 15 вагонов. Сколькими способами можно распределить  по вагонам 15 проводников, если за каждым закрепляют 1 вагон? 3.Сколько 5-тизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из чисел: 0,3,4,6; 8. 4.Сколькими способами можно выстроить очередь в кассу, если хотят получить зарплату 6 человек?
Тип  комбинаций	Примеры решения типовых заданий	Задания для самостоятельной работы
2.     Размещения Будем  составлять  из  n различных  элементов  в каждой,  располагая   взятые   m элементов   в  различном порядке.   Каждая  группа  из m элементов   называется размещением  из n элементов по m элементов. А – число всех размещений; n- количество всех элементов; m- количество элементов в группе. =	1.  Найдите  число   размещений   из   трех   элементов: 7,4,5 по два. Решение: выпишем  возможные  варианты:  74, 75, 47, 45, 57, 54  –  всего 6 различных  групп  по  2 элемента. Проверим по формуле:  n = 3;   m = 2  =  =  = 6 Ответ: 6 размещений. 2.  Найдите  число размещений  из  четырех элементов:   A, B, C, D   по два. Решение:   n = 4,   m = 2  =  =  = 3∙4 = 12 Ответ: 12 размещений 3.  Из  10  студентов  группы  надо  выбрать  старосту, его  заместителя  и  редактора  газеты.  Сколькими способами это можно сделать? Решение:  n = 10;   m= 3  =  =  = = 720 Ответ:  720 способами.	1.  В  забеге  участвуют   5 спортсменов.  Сколькими способами можно предсказать распределение  первых  трех мест  между  ними ? 2. В  классе  изучают  7 предметов, в  среду  4  урока, причем  все  разные. Сколькими способами можно составить  расписание  на среду? 3.В розыгрыше кубка страны по футболу участвуют 17 команд. Сколько существует способов распределения золотой, серебряной и бронзовой медалей?
Тип  комбинаций	Примеры решения типовых заданий	Задания для самостоятельной работы
3.     Сочетания Из  n  различных  элементов будем  составлять  группы  по m элементов  в  каждой,  не обращая внимание на порядок, но так, чтобы число элементов не повторялось   (в сочетаниях АВ и ВА считаются эквивалентными) Любая  группа из  n элементов по  m  элементов  в   каждой (различными  считаются  те, которые  имеют неодинаковый состав элементов) называется сочетанием. С – число сочетаний n - количество всех элементов m - количество элементов в группе  =	1. Найдите  все  сочетания  из  трех элементов:  7, 4, 5  по  два  элемента  в  каждом. Решение: Выпишем группы по 2 элемента (но 47 и 74 – эквиваленты(одинаковые) группы):  74,  75,  45.      Всего  -  3 группы,  т.е.   3 сочетания.   Проверим по формуле: n = 3,  m = 2;    =  =  = 3 Ответ: 3 сочетания. 2.Найдите все сочетания из пяти элементов: A,B,C,D,E по  три  в  каждом. Решение:   n= 5,  m= 3;  =   =  = 10 Ответ: 10 сочетаний. 3. Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек? Решение:   n= 6,  m= 3;  =  =  = 20 Ответ: 20 способов.	1. Из 10 рабочих необходимо выделить  для  поездки  за границу 6 человек. Сколькими способами  это  можно сделать? 2.На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может  быть  образовано тренером  различных стартовых  пятерок ? 3. При  встрече  12  человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий? 4.В  группе  20 человек. На дежурство  в  столовую  надо назначит  4  дежурных. Сколькими  способами  это можно  сделать ?

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.     Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень: 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений /  Ш.А. Алимов. — М.: Просв., 2013. — 464 c.

2.   Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа: задачи и решения. / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер. — М.: Высшая школа,     2004. — 296 c.