Спецкурс "Избранные вопросы математики 10-11 класс"

Программа спецкурса по математике для 10—11-х классов по теме "Избранные вопросы математики"

Пояснительная записка

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразования мира математическим методом.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И наконец, все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в ее современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания дает возможность пополнить запасы историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.

Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математикев школе:

• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;
• формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;
• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому человеку, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи расширенное и углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Занятия курса призваны помочь ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонности учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательствах теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой, применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований, использовать наиболее употребительные эвристические приемы и т.д.

В программу включены ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к курсу алгебры и начал анализа и расширяющих и углубляющих его по основным идейным линиям. Включены также самостоятельные разделы, которые в настоящее время не изучаются, но являются важными содержательными компонентами системы непрерывного математического образования.

Включение дополнительных вопросов преследует две цели:

• создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике;
• восполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию расширенного и углубленного изучения необходимую целостность.

Расширенное и углубленное изучение математики предполагает наполнение курса разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение основным программным материалом на более высоком уровне.

Для поддержания и развития интереса к предмету в программу включены занимательные задачи, сведения из истории математики.

Программа составлена на основе изучения курса алгебры и начал анализа по учебнику «Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин]. – М.: Просвещение, 2016.

Цель программы:

• создать условия для расширенного и углубленного изучения материала, удовлетворения познавательных интересов и развития способностей учащихся в соответствии с основными темами курса алгебры и начал анализа 10-11 классов.

Задачи программы:

• формировать у учащихся сознательное и прочное овладение системой математических знаний, умений, навыков;
• систематизировать, расширить и углубить знания по алгебре и началам анализа; детально расширить темы, недостаточно глубоко изучаемые в школьном курсе и, как правило, вызывающие затруднения у учащихся;
• развивать математические способности учащихся;
• способствовать вовлечению учащихся в самостоятельную исследовательскую деятельность.

Срок реализации программы – 2 года.

Содержание программы 10 класс

Название раздела, темы	Теоретический раздел программы
Рациональные уравнения и неравенства	Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Теорема Безу. Корень многочлена.
Решение текстовых задач	Задачи на проценты. Задачи на смеси и сплавы. Задачи на совместную работу. Разные задачи.
Корень степени n	Функция у = х и ее график
Логарифмы	Десятичные логарифмы. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих логарифмы
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства	Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Уравнения с модулем. Уравнения с параметром. Показательные и логарифмические неравенства. Неравенства с модулем. Неравенства с параметром. Графический способ решения уравнений и неравенств.
Синус и косинус угла	Примеры использования арксинуса и арккосинуса. Формулы для арксинуса и арккосинуса.
Тангенс и котангенс угла	Примеры использования арктангенса и арккотангенса. Формулы для арктангенса и арккотангенса.
Тригонометрические уравнения и неравенства	Тригонометрические уравнения. Замена неизвестного t = sin x + cos x. Тригонометрические неравенства. Уравнения и неравенства с модулем. Уравнения и неравенства с параметром
Элементы теории вероятностей	Математическое ожидание. Сложный опыт. Формула Бернулли. Закон больших чисел.

Учебно-тематический план 10 класс

Наименование раздела, темы	Количество часов по теме
Рациональные уравнения. Неравенства. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Теорема Безу. Корень многочлена.	3/6 1/2 1/2 1/2
Решение текстовых задач. Задачи на проценты. Задачи на смеси и сплавы. Задачи на совместную работу. Разные задачи.	6/12 1/2 1/2 1/2 3/6
Корень степени n. Функция у = х и ее график.	2/4 2/4
Логарифмы. Десятичные логарифмы. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих логарифмы.	2/4 1/2 1/2 4/8
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Уравнения с модулем. Уравнения с параметром. Показательные и логарифмические неравенства. Неравенства с модулем. Неравенства с параметром. Графический способ решения уравнений и неравенств.	6/12 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Синус и косинус угла. Примеры использования арксинуса и арккосинуса. Формулы для арксинуса и арккосинуса.	2/4 1/2 1/2
Тангенс и котангенс угла. Примеры использования арктангенса и арккотангенса. Формулы для арктангенса и арккотангенса.	2/4 1/2 1/2
Тригонометрические уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения. Замена неизвестного t = sin x + cos x. Тригонометрические неравенства. Уравнения и неравенства с модулем. Уравнения и неравенства с параметром.	5/10 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Элементы теории вероятностей. Математическое ожидание. Сложный опыт. Формула Бернулли. Закон больших чисел.	3/6 1/2 1/2 1/2
Итого	35 часов/70 часов

Содержание программы 11 класс

Название раздела, темы	Теоретический раздел программы
Функции и их графики	Основные способы преобразования графиков. Графики функций, связанных с модулем. Графики сложных функций. Разрывные функции.
Производная	Непрерывность функций, имеющих производную. Дифференциал. Производная сложных функций. Производная обратной функции.
Применение производной	Теоремы о среднем. Производные высших порядков. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптота. Формула и ряд Тейлора.
Первообразная и интеграл	Замена переменной. Интегрирование по частям. Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах. Понятие дифференциального уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Уравнения. Неравенства. Системы. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств	Уравнения с дополнительными условиями. Неравенства с дополнительными условиями. Уравнения и неравенства с модулями. Метод интервалов для непрерывных функций. Использование областей существования функций. Использование неотрицательности функций. Использование ограниченности функций. Использование свойств синуса и косинуса. Использование числовых неравенств. Использование производной для решения уравнений и неравенств. Уравнения с параметром. Неравенства с параметром.

Учебно-тематический план 11 класс

Название раздела, темы	Количество часов по теме
Функции и их графики Основные способы преобразования графиков Графики функций, связанных с модулем Графики сложных функций Разрывные функции Решение заданий по теме из КИМов ЕГЭ	5/10 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Производная Непрерывность функций, имеющих производную Дифференциал. Дифференциальные уравнения Производная сложных функций Производная обратной функции Решение заданий по теме из КИМов ЕГЭ	5/10 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Применение производной Теоремы о среднем Производные высших порядков Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптота Формула и ряд Тейлора Решение заданий по теме из КИМов ЕГЭ	5/10 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Первообразная и интеграл Замена переменной Интегрирование по частям Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах Понятие дифференциального уравнения Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Решение заданий по теме из КИМов ЕГЭ	6/12 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Уравнения. Неравенства. Системы. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств Уравнения с дополнительными условиями Неравенства с дополнительными условиями Уравнения и неравенства с модулями Метод интервалов для непрерывных функций Использование областей существования функций Использование неотрицательности функций Использование ограниченности функций Использование свойств синуса и косинуса Использование числовых неравенств Использование производной для решения уравнений и неравенств Уравнения с параметром Неравенства с параметром Решение заданий по теме из КИМов ЕГЭ	13/26 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Итого	34 часа/68 часов

Формы, методы, способы и средства реализации программы

• привлечение учащихся к составлению таблиц, графиков, изготовлению наглядного, дидактического, раздаточного материала, подготовке презентаций;
• использование на занятиях игровых моментов: конкурсов, математических боев, КВН и др.;
• изучение, конспектирование учащимися материала из дополнительной литературы;
• использование компьютерных, тестовых и других технологий;

Учебно-методическое обеспечение программы

• специальная справочная литература;
• методическая литература;
• дидактический и раздаточный материал;
• набор КИМов ЕГЭ прошлых лет.

Список литературы по программе:

1.     А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Алгебраический тренажер. «Илекса» «Гимназия», Москва-Харьков, 1998.

2.     Р.Б.Райхмист. Графики функций. Задачи и упражнения. «Школа-пресс», Москва, 1997.

3.     Г.А.Ястребинецкий. Уравнения и неравенства с параметрами. «Просвещение», Москва, 1972.

4.     И.Т.Бородуля. Тригонометрические уравнения и неравенства. «Просвещение», Москва, 1998.

5.     А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Разноуровневые дидактические материалы.

6.     С.В.Кравцов и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных.

7.     М.И.Шабунин. Математика для поступающих в ВУЗы. Уравнения и системы уравнений.

8.     М.И.Шабунин. Математика для поступающих в ВУЗы. Неравенства и системы неравенств.

9.     В.А.Гольдич. Алгебра. Решение уравнений и неравенств. Школьная программа.

10. В.Г.Брагин, А.И.Грабовский. Все предметы школьной программы в схемах и таблицах. Алгебра. Геометрия.

11. В.С.Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, «Просвещение», 1990.

12. В.С.Крамор, А.А.Михайлов. Тригонометрические функции, «Просвещение», 1983.

13. А.Мерзляк и др. Тригонометрия. Задачник к школьному курсу. 8-11 кл. «АСТ-ПРЕСС: Магистр-S», 1998.

14. Л.О.Денищева и др. Учимся решать уравнения и неравенства. 10-11кл.

15. М.И.Башмаков и др. Задачи по математике. Алгебра и анализ.

16. Б.Г.Зив. Тесты по алгебре и началам анализа. 10-11кл.

17. Р.Д.Лукин и др. Устные упражнения по алгебре и началам анализа..

18. Г.Г.Левитас. Карточки для коррекции знаний по алгебре. 10-11кл.

19. Е.С.Канин и др. Упражнения по началам математического анализа в 10-11кл.

20. И.Т.Бородуля. Показательная и логарифмическая функции (задачи и упражнения).