Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Способы решения иррациональных уравнений в 11 классе
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Способы решения иррациональных уравнений в 11 классе

библиотека
материалов







Методическая разработка.
«Методы решения иррациональных уравнений»
Алгебра и начала анализа 11 класс.





Работу выполнила
Баранцева Аполлинария
Васильевна учитель
математики МКОУ СОШ
с. Сорвижи Арбажского района
Кировской области















2015 год

Методы решения иррациональных уравнений
Алгебра и начала анализа 11 класс.

  1. Определение. Иррациональным называют уравнение, содержащее переменную под знаком корня.

Следует помнить, что при решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней.

Методы решения иррациональных уравнений.

  1. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень, n- чётное число.

Часто применяется теорема: при натуральном n = равносильно системе f(x) = (2n,
0
Пример:

  1. = 2 ОДЗ: х2 – 5 0
    х
    2- 5 = 4
    х
    2= 9
    х = 3 х = -3 ОДЗ
    Ответ 3 ; -3

  2. = х – 2 ОДЗ: х0
    х - 2
    х = (х -2)
    2
    х = х
    2- 4х + 4х
    х
    2 -5х + 4 = 0
    х =1 х = 4
    Проверка: 1-2 х = 1- посторонний корень
    = 4 – 2
    Ответ: 4

  3. = ОДЗ: х – 6 0
    4- х 0
    х -6 = 4 – х
    2х = 10
    х = 5
    Проверка: не существует, не существует.
    Ответ: нет корней.



  4. = 3- х ОДЗ: 2х2 – 12х + 17 0

3 – х 0
2 – 12х + 17 = х2 – 6х + 9
х
2 – 6х + 8 = 0
х
1 = 2 х2 = 4 – посторонний корень, не принадлежит ОДЗ
Ответ: 2

Решить уравнения:
1. = 2х – 1
2. =
3. = - х- 1
4. Х
2 =
5. = 4

6. = 2

7. = 2

8. = 3

9. = 3

10. = х + 4

11. · = х + 3

12. · = х + 1

13. = х

14. х2 = .
2. Метод «уединения» корня в одной из частей уравнения.
Пример1. - = 0 ОДЗ: 2х - 3 0
х + 2 0
= , возведём обе части уравнения в квадрат. Получим
2х – 3 = х+ 2
х = 5
Проверка: - = 0, то есть = 0. Так как получили верное числовое равенство, то х =5 – решение исходного уравнения.
Ответ: 5
2.
+ = 7 . «Уединим» в левой части и возведем полученное уравнение в квадрат:
= 7 -
х+4 = 49 – 14 · + 2х + 6. «Уединим» в левой части и полеченное уравнение вновь возведём в квадрат:
14
= х + 51
196(2х + 6) = х
2 + 102х + 2601
х
2- 290х + 1425 = 0
х
1= 5 х2= 285. Проверка показывает х= 285 – посторонний корень. Ответ: 5
Решить уравнения:
1. Х - = 5
2
. – х = 3х – 4
3. - = 0
4. – х = 0
5. – 4 = х
6. - 2 = х
7. – х = - 3
8. – х – 2 = 0
9. -х+ 2 = 0
10. Х = 5 -
11. – 3 = х
Пример
2.
= ОДЗ : х- 1 0
3х +1 0
х+ 3= ·
= х +3 ОДЗ: х+3 0
2 – 2х – 1 = х2 + 6х = 9
х
2- 4х – 5 = 0
х
1= 5, х2= - 1- не удовлетворяет ОДЗ
Ответ: 5
Решить уравнения:
1. =
2. =

3. =
4. =
5. =
6. =
7. + =
8. + =
Пример
3.
– = 1 ОДЗ: 3х – 5
4 – х 0

= 1 + , возведём обе части данного уравнения в квадрат,
3х – 5 = 1 + 2 + 4 – х
2 = 3х + х – 5 -1 -4
2 = 4х – 10
= 2х – 5 ОДЗ: 2х - 5, возводим обе части последнего уравнения в квадрат
4 – х = (2х – 5)
2
4 – х = 4х
2 -20 х + 25
2- 19 х + 21= 0
х
1 = 3 х2 = 1, 75 – посторонний корень, т.к. х
Проверка:
= 1 +
2 = 1 + 1 – верно
Ответ: 3
Решить уравнения:
1. - = 1
2. + 2 = 5
3. - = 1
4. – 5 = 3 -
5. + = 7
6. = 2 +
7. + = 6
8. 2 = 15 -





3. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень, n- нечётное число.
Если уравнение имеет вид = g(x), то его можно решить, возведя обе части этого уравнения в степень n. Полученное уравнение f(x) = (g(x))n при нечётном n равносильно данному уравнению. При возведении в нечётную степень не происходит появления посторонних корней.

Пример
х =
х
3 = х3 + х2 – 6х + 8

Х2 – 6х + 8 = 0
х= 4 х = 2

Ответ 2; 4

Решить уравнения
1. Х=

2. Х – 2
3. Х + 1 =
4. = 3
5. = 4
6. = 2

7. = -5

8. = 1 - ОДЗ: 1- х 0
Возведём обе части уравнения в куб:
2 – х = (1 - )
3
2- х = 1-3 + 3( 1-х) – (1- х)·

1-3 + 3( 1-х) – (1- х)· - 2 +х = 0
-3 + 3( 1-х) – (1- х)· - (1-х) = 0
-3 +2( 1-х) – (1- х)· = 0
(-3 + 2 -1 + х) = 0
= 0 2 = 4- х ОДЗ: 4-х 0
1-х = 0 4(1- х)=16-8х +х
2
х =1 4 – 4х = 16- 8х + х
2

Х2 – 4х + 12 = 0
нет корней
Проверка: = 1 - верно
Ответ: 1.
9. = х + 3, возведём в куб обе части данного уравнения
5х + 27 = х
3 + 9х2 + 27х + 27
х(х
2 + 9х + 22) = 0
х = 0 х
2 + 9х + 22 = 0 - данное уравнение корней не имеет
Ответ: 0
10. = ОДЗ: х 4
Возведём в 6 – ую степень обе части уравнения
х
2 = (х – 4)3
х
3- 13х2 + 48 х – 64 = 0
группируем, ( х
3 – 8х2) – (5х2 -40х) + ( 8х – 64) = 0
х
2(х – 8) – 5х(х – 8) + 8(х -8) = 0
(х – 8)(х
2- 5х + 8)= 0
х – 8 = 0 х
2- 5х + 8 = 0- данное уравнение корней не имеет
х = 8
Проверка: =
2= 2 верно
Ответ: 8

4.При решении иррациональных кубических уравнений очень часто пользуются следующим приемом. Будем возводить в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения:
(а-
b)3= a3b3- 3ab(ab)
(
a + b)3= a3 + b3 + 3ab(a +b),
тогда
a-b = c, (a- b)3 = c3, a3b3 – 3abc = c3
a + b = c, (a+b)3 = c3, a3b3 + 3abc = c3
При данном методе обязательно делать проверку! При решении уравнений данным методом появляются посторонние корни!
Пример:
+ =
ОДЗ: х 0
Возведём в куб обе части уравнения, получим:
54 + + 3 ·( + )+ 54 - = 18
108 + 3 · = 18
3 = 18 – 108
= - 30

52488- 18х = - 27000
х = 4416, проверка подтверждает, что это корень уравнения
Ответ: 4416.

2. – = 1, возведём в куб обе части данного уравнения с использованием формул, приведенных выше:
х + 25 – (х +6) – 3 · ·( – ) = 1,
но выражение – должно быть равно правой части, т.е. 1
х + 25 – х – 6 – 3 · · 1 = 1
19- 3 ·
-3 · = - 18
· = 6, теперь возведём в куб, получим обычное квадратное уравнение: х
2 +31х – 66 = 0 корни которого х1= 2 х2= - 33
Проверка: х1 = 2 =1
3- 2=1 1=1 верно
х
2 = -33 - = 1
-2 +3 = 1 1=1 верно
Ответ: - 33; 2

3. + = , возведём обе части уравнения в куб, получим :
х – 1 + 2х – 1 + 3· · ·( + = 3х + 1, учитывая, что выражение в скобках равно , получим уравнение:
3 · · = 3
· · = 1 , возведём обе части данного уравнения в куб
(2х
2- х – 2х + 1)·( 3х +1) = 1
3 + 2х2 – 9х2 – 3х + 3х + 1 = 1
3- 7х2 = 0
х
2(6х – 7) = 0
х
2= 0 6х – 7 = 0
х = 0 х=
Проверка показывает х =0 – посторонний корень.
Ответ:

Решить уравнения:
1. = – 1
2. = 4
3. – = 1
4. – = 2
5. – = 2
6. – = 1
7. – = 1
8. – = 1
9. + = 2
10. + = 5
11. = 2-
12. + = 4
13. + = 8
5. При решении иррациональных уравнений также применяется метод сведения к системе уравнений.
Пример
- = 1

=
а a3= x + 34 a3-b3 = 37 ( a- b)( a2 = ab + b2)= 37
b3 = x -3 a – b = 1 a- b = 1

a – b = 1 a - b = 1

a
2 + ab + b2 = 37 a = b + 1 a= b + 1
a= b + 1
3b2 + 3b – 36 = 0 b2 + b – 12 = 0

a = b + 1 a= b + 1 1) = 3 2) = - 4
b1= 3 b2 = - 4 х =30 х = - 61
Ответ: -61; 30
Решить уравнения
1. = = 6
2. = 1 -
3. - = 1

4. - = 1
5. - = 3
6. + = 2
7. + = 3
8 . = 1 -
6. Решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной.
Пример:
1. + = 20, введём замену =а а 0, уравнение примет вид:
а
2 + а – 20 = 0
а
1 = 4 а2 = - 5- посторонний корень, т.к. а 0, возвращаемся к замене
=4
х = 4
4
х = 256
Проверка:
+ = 20
16 + 4 = 20
верно
Ответ: 256
Пример
2. 2 + 5 – 18 = 0 ОДЗ: 1- х 0
а 0
2 + 5а – 18 = 0
а
1= 2 а2= - 4,5- посторонний корень, т.к. а 0
данное уравнение возведём в 6-ую степень
1- х = 64
х = - 63, входит в ОДЗ
Ответ:- 63
Пример
3.
= 5 -
= а
= 5- а ОДЗ: 5 – а
0
а + 1 = 25 – 10 а + а2
а
2 – 10 а + 25 – а – 1= 0
а
2 – 11а + 24 = 0
а
1 = 3 а2 = 8- посторонний корень, т.к. а
= 3, возведём в куб обе части данного уравнения
2х – 7 = 27
2х = 34
х = 17
Проверка:
= 5 -
=5- 3
2 = 2 верно
Ответ: 17
Решить уравнения:
1. 2 = 3 -
2. 9 - 8 - = 0
3. + – 6 = 0
4. – 3 = 2
5. 2 - = 6
6. - 2 = 3
7. - = 56
8. Х + – 3 = 0
Пример
4.
Х2 + = 22
х
2 + 20 – 20 + = 22
х
2 + 20 + =42
= а а 0

а2 + а = 42
а
1= - 7- посторонний корень , т.к. а а2= 6
=6
х
2 + 20 = 36
х
2 = 16
х
1 = 4 х2 = - 4, проверка показывает, что числа -4 и 4 являются корнями данного уравнения
Ответ:-4; 4
Решить уравнения:
1. Х2 + 11 + = 42
2. Х
2 + = 12 – 2х
3. Х
2 – 3х = 5
4. (х -3)
2 + 3х – 22 =
5. (х+4)(х+1)- 3 = 6
6. = 7 + 2х – х
2
7. 10х
2 + 12х + 12 = 5
8. 3х
2 + 15х + 2 = 2
Пример
5.
4 - 5 = 8

= а а

4а - = 8
2 – 5 – 8а = 0
а ≠0
а
1 = 2, 5 а2 = - 0,5 – посторонний корень, т.к. а
= 2,5
= 6,25
5х + 4 = 18,75 – 12,5
3х – 2 ≠ 0
13,75х= 16,5
х = 1,2 Проверка показывает, что число 1,2 корень исходного уравнения
Ответ: 1,2
Решить уравнения:
1. + = 2
2. + = 2
3. +
4. - =
5. - = 1
6. - =
7. + = 5
8. - 2 =
Пример
6.
+ = 2 ОДЗ: 2 – х 0
= а а0
а + = 2
а
2 + 3а + 4 = 2а + 6
а + 3 ≠ 0

а
2 + а- 2 = 0
а
1= 1 а2 = - 2 – посторонний корень, т. к. а0
= 1
2 – х = 1
- х = 1 -2
х = 1
Проверка показывает, что х = 1 корень исходного уравнения
Ответ: 1
Решить уравнения:
1. - = 2
2. + 2
3. 1 + = 2
4. = +
5. - = 2
6. 2 - – 7 = 0
7. - 2 = 3

Пример
7. + =
+ =
Введём новую переменную х2 + х + 1 = а, уравнение примет вид
+ =

ОДЗ: а
2а + 7
а + 3

= -
а + 3 = 2а + 7 + а - 2
2 = 2а + 4
= а + 2
2 + 7а = а2 + 4а + 4
а
2 + 3а – 4 = 0
а
1 = 1 а2 = - 4- посторонний корень, т.к. а
Возвращаемся к замене,
х
2 + х + 1= 1
х(х + 1) = 0
х
1 = 0 х2 = -1
Проверка:
Проверка показывает, что числа 0 и – 1- корни данного уравнения
Ответ: - 1; 0
Решить уравнение
1. 2х2 + 3х + = 33
2. Х
2 – 3х = 2
3. 12х
2 – 12х - 12 + 135 = 0
4. Х
2 – 5х – 3 =
Пример
8. + = 11
= а а
2х + 3 = а
2
х = - После замены переменной уравнение примет вид:
+ = 11
+ = 11
+ = 11
· + · = 11

·(а+ 1) + ·( а + 3) = 11
а + 1 + а + 3 = 22
2а + 4 = 22
2а = 18
а = 9, возвращаемся к замене:
= 9
2х + 3 = 81
х = 39
Проверка:
+ = + = 5 + 6 = 11
Ответ: 39
Решить уравнения
1. + = 7
2. + = 17
3. + = 5
Пример
9.
2 + ( 2х + 1) = 1 ОДЗ: х2 – х + 1
2 + 2х· + – 1 = 0
х
2 + х2 + 2х · + х – х + 1 – 1 – 1 + = 0
2 + 2х · + х2 – х +1) + х – 2 + = 0
(х + )
2 + х + – 2 = 0
Введём новую переменную: х + = а, уравнение примет вид:
а
2 + а – 2 = 0
а
1 = 1 а2 = -4, возвращаемся к замене, получаем два уравнения с переменной х:
х + = 1 х + = - 4
= 1-х = -4 – х
ОДЗ: х
2 – х + 1 ОДЗ: х2 – х + 1
1- х - 4 – х
х
2 – х +1=(1-х)2 х2 – х + 1= (-4-х)2
х
2 – х + 1= 1 – 2х + х2 х2 – х + 1 = 16 – 8х +х2
х
2- х + 2х – х2 = 1- 1 х2 – х +8х –х2 = 16 – 1
х = 0 х = 2 не входит в область допустимых
значений.
Ответ: 0


Пример
10. Тригонометрические подстановки
Иногда при решении иррациональных уравнений удобно использовать тригонометрические подстановки ( их следует применять, если структура данного иррационального уравнения напоминает какую- то тригонометрическую формулу:
- если в уравнение входит , то полагаем х = а·
sint или x= a·cost
- если входит , то х = а ·
tgt
- если входит , то х = или х = .
Решить уравнение:
1. + х = 1
Пусть х = 2·
sint, t, на отрезке поэтому
=
Наше уравнение
примет вид:
+
2
=
, тогда

t+ + , n
t = - arcsin + + , n,
учитывая, что
t получим два корня:
t1 = - arcsin
t2= - arcsin
x1=2sint1 = 2 sin( - arcsincos(arcsin arcsin - · ) =

2·(0,2 -0,8)= - 1,2
x
2= 2 sin(t2) = 2 sin( +arcsin 2(0,2 + 0,8) = 2
Ответ: - 1,2; 2
2. 2
х + 2х2 – 1 = ОДЗ: -1
х = cost
2sint ·cost + 2 – – =
sin2t + cos2t =
+ + 2 sin2t ·cos2t = 1,5
2sin2t·cos2t + 1= 1,5
sin4t = 0,5
4t =
t =
x = cos
Ответ: cos
3.
Х + = (2х2 – 1) ОДЗ: х
Выполним замену: х =
cost, 0 ( согласно ОДЗ)
cost +
т.к. 0 ,
cost +
(
cost +
(
cost +
tgt = - 1
t= -
t = т.к. 0
t= t= , возвращаемся к подстановке
х
1 = cos = - х2 = cos
Ответ: х
1 = cos = - ;х2 = cos
Решить уравнения:
1.
2.
3. Х +
4. 16х(2х
2 + 1)5.

В некоторых случаях тригонометрические подстановки – наиболее простой способ решения уравнений. При его использовании нужно помнить, что алгебраическое уравнение должно иметь ответ, записанный алгебраически
( без тригонометрических функций)


7. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.
Пример
1.
(х +3) = 3 ОДЗ: х - 1
х
2 - 1
(х +3) - 3· = 0
(х+3 - 3) = 0
= 0 х+3 - 3 = 0
х -1 = 0 - 3 = -х – 3
х – 1 из области ОДЗ 3 = х+3 ОДЗ: х+3
х+ 1
9(х+1) = х
2 + 6х + 9
9х + 9 = х
2 + 6х + 9
х
2 – 3х = 0
Х(х- 3)= 0
х= 3 х = 0-посторонний корень
Ответ:1; 3
Решить уравнения:
1. (х+1) · = 2х + 2
2. Х · = 18х
2 – 17 х
3. 9 – х
2 = 0
4. =
Пример
2.
2- 3х +х2 = 2(х -1) , ОДЗ: х , в левой части квадратный трёхчлен разложим на множители:
(Х-1)(х-2) =2(х-1)
(х-1)(
х – 1= 0 0
х = 1 = а, а
а
2 -2а -2 = 0
а
1= 1+ а2 = 1- – посторонний корень
= 1+
х = 4 + 2
Ответ:1; 4 + 2
Пример
3.
+ - - = 0
Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего, а также второго и четвёртого членов этого уравнения равны одной и той же величине(-2х – 4). В этом случае воспользуемся тождеством: - = , а> 0, у > 0, а + у > 0, уравнение примет вид:
+ = 0
(2х + 4)( + )= 0
2х + 4 = 0

Х = - 2

+ = 0 – данное уравнение не имеет решений, т.к. его левая часть положительна в своей области определения


2- 1>0
2 + 2х + 3 >0
х
2 – х +2 >0
х
2 – 3х - 2> 0
Проверка х = -2
+ - - = 0
Ответ: -2
Пример
4. Решение уравнений методом разложения подкоренного выражения на множители
- =
2 + 5х + 2 = 0 х2 + х – 2 = 0
х
1 = -2 х2 = - х1 = 1 х2= -2
2 + 5х + 2= 2(х + 2)(х+ ) х2 + х – 2= (х+2)(х-1)
- =
ОДЗ: 2х
2 + 5х + 2
х
2 + х – 2
3х + 6
- - = 0
· - - ) = 0
= 0 - - = 0
х = - 2 = +
2х+ 1= х – 1 + 3 + 2
2 = х – 1 ОДЗ: х - 1
4(3х – 3)= х
2 – 2х + 1
х
2 - 14х + 13= 0
х
1= 13 х2 = 1 Проверка показывает, что посторонних корней нет.
Ответ: -2; 1; 13
Решить уравнения:
1. + =
2. + =
3. - =
4. + =
5. - =
6. - =
7. - =
8. - =
8. Решение уравнений методом умножения на сопряжённые выражения.
В некоторых случаях можно освободиться от иррациональности в уравнении умножением обеих частей уравнения на некоторое не обращающееся в нуль выражение.
Пример

- = 2Х (1)
ОДЗ: 2х2 + 8х + 7
2 - 8х + 7
Умножим обе части уравнения на + , являющееся сопряжённым к левой части данного уравнения, получим
2 + 8х + 7 -2х2 + 16х – 7= 2х( + )
16х = 2х( + ) – данное уравнение эквивалентно исходному.
х = 0 или + = 8
Сложим уравнение + = 8 с
(1), получим
2 = 2х + 8
= х +4 ОДЗ: х + 4
2 + 8х + 7 = (х+ 4)2
2 + 8х + 7 = х2 + 8х + 16
х
2= 9
х =
х = - 3 х = 3
Получили корни: х = - 3 ; х = 3; х = 0- все они из области допустимых значений
Ответ: -3; 0; 3

Решить уравнения:
1). + = 7
2). - = 1
3). = 3
4). - = 1
5). = 2
6). - = 2Х
7). + = 8Х
8). + = 3Х
9). - = 1
9. Решение уравнений методом выделения полного квадрата в подкоренном выражении.
При решении некоторых иррациональных уравнений применяется формула
=

Пример
1.
- =
- =
Введём замену = а, а , уравнение примет вид:
- = а
а + 1- = а
= 1
а – 2 = 1 а – 2 = - 1
а = 3 а = 1, возвращаемся к замене
1) = 3 2) = 1
х + 4 = 9 х + 4 = 1
х = 5 х = - 3
Проверка: - =
- =3
4- 1 = 3
2) - =

- = 1
2 – 1 = 1
Ответ: -3; 5
Решить уравнения:
1). + = х - 1
2). + =
4
3). + =
6
4). + =
5
5). + =

6). + =

7). + =7

8). + =

10. Решение уравнений методом оценки.
Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому полезно оценить левую и правую части уравнения.
Пример
1. + = 4 – 2х - х
2
ОДЗ: 4х2 + 8х + 8
2 + 6х + 12
4 – 2х – х
2
Оценим обе части уравнения:
= = 2
= = 3
4 – 2х – х
2 = - (х2 + 2х – 4) = - ((х + 1)2- 5)= 5 – (х+1)2 5.
Левая часть уравнения существует при всех значениях переменных х, не меньше 5, а правая при всех значениях , не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:
+ = 5
4 – 2х - х
2 = 5
4 – 2х - х
2 = 5
х
2 + 2х – 4 + 5 = 0
х
2 + 2х + 1 = 0
(х+ 1)
2 = 0
х = - 1
Проверим, является ли это число корнем уравнения
+ = 5
+ = + = 2 + 3 = 5
Ответ: -1

2. Х2 + 2 + = 2х +
= = 4
х
2 – 2х + 2 + = 4 (Применили неравенство Коши: х + у )
Равенство верно при х = 0 и х =2
Проверка
х = 0

0
2 + 2 + = 2·0 +

2 + 2=
4≠, х = 0 – посторонний корень
х = 2
4+ 2 + = 4 +
6+ 2 = 4+ 4
8 = 8, х =2 – корень исходного уравнения
Ответ:2
3. + = 2 – х2,
т.к. для любых значений х, то левая часть уравнения не меньше 2 для любых значений х.
Правая часть 2 – х
2 2 для любых значений х. Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых
+ = 2
2 – х
2 = 2
Решая уравнение 2 – х
2 = 2, найдём х = 0, Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы, х = 0 – корень исходного уравнения
Ответ: 0
Решить уравнения:
1) + = 3 – 5х2
2) + = 3
3) + = 3
4) + + = 5
11 метод . Использование монотонности функций.

Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.
Нам понадобятся следующие свойства:

Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, то функция y=f(x)+g(x) также возрастает (убывает ) на этом множестве.

Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, при чем обе они принимают неотрицательные значения при всех допустимых х, то функция y=f(x)g(x) возрастает (убывает) на данном множестве.

Если функция y=f(x) монотонная, то уравнение f(x)=a имеет не более одного решения.

Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют разный характер монотонности, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Функция вида возрастает при к>0 и убывает при к<0.
Пример
1). = 6 -
Один корень данного уравнения х= 2 легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде:
+ = 6 ОДЗ: х + 6
По свойству степенных функций у
1 = и у2 = являются возрастающими на промежутке , где они обе определены. Поэтому их сумма у = + тоже возрастает на этом промежутке, следовательно, она принимает каждое свое значение( в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.
Ответ:2.
2). + = 9 -
Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат трижды. При этом получиться уравнение четвёртой степени. Попробуем найти корень подбором, х = 1
Левая часть уравнения- возрастающая функция, а правая – убывающая функция. Это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может.
Ответ: 1
3) х2 + х+ 12 = 36 ОДЗ:
Подбором определяем, что х = 3.
Но левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Но на (0; + указанная функция возрастает, при чём корень х = 3 принадлежит этому промежутку. Значит на ( 0; + данное уравнение имеет единственный корень.

Исследуем функцию у = х2 + х+ 12 на отрезке .
При х х
2 + х , а 12 , следовательно, при х исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: 3
Решить уравнения:
1) + + = 10
2) + 2 + = 8
3) х + + + х
2 = 10
4) + = 8
5) + = 2
6) + =
7) + = 6
8) + х – 2 = 0
9) 3 + 4 + 5 =
12. Полезно при решении иррациональных уравнений начинать с ОДЗ.
Пример:
1. + + = 0
Данное уравнение имеет громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому сначала найдём ОДЗ
х
3 + - х(х2 + - ) 0
х – 6 0 х 6
13х – 2х
3- х2 – 6 0 2х3 + х2 – 13х + 6 0
х(х+ 5)(х - ) 0 х ; +
х 6 х ; +
(х-2)(2х
2 + 5х – 3) х ;

х . Получили, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством, следовательно, данное уравнение корней не имеет
Ответ: нет корней.
2. + = 3
ОДЗ: 3-х 0
х – 5 0
ОДЗ данного уравнения является пустым множеством, следовательно, данное уравнение корней не имеет
Ответ: нет корней
3.
ОДЗ:

х
2 – 12
Поскольку х = 4 есть единственное допустимое значение, достаточно проверить, является ли оно решением уравнения. Подставив х = 4 в уравнение получим верное числовое равенство 0 = 0, следовательно х = 4 единственный корень данного уравнения
Ответ: 4
Решить уравнения:
1. - = –
2. )
3. = 2 – х
4. = х
2- 7х + 12
5. = х
2 – 4х + 6 ОДЗ : . Правая часть уравнения принимает минимальное значение 2 при х = 2, а левая часть уравнения принимает максимальное значение 2 при х = 2, следовательно, х = 2 – корень уравнения.
Ответ : 2
6.
7. =х
2
8.
9. = х
2 + 3
10. = 2006
11. = х
2 – х + 2
12.
13.
13. Графический способ решения иррациональных уравнений.
Пример
1.
= 3х – 2
Построим графики функций у= и у = 3х – 2
Ответ: 1
hello_html_39928b4e.png




2.
Построим графики функций у = и у =
hello_html_m3bf3cb74.pngх = 1 – корень уравнения, но утверждать, что это единственный корень, мы пока не можем, поскольку функции у = и у =
возрастают в области определения уравнения, т. е. на луче .
Найдём производные функций и вычислим их значения в т. х = 1( в точке пересечения графиков этих функций)
у
, = у,(1) = у, = у,(1) =
Т.к. производные данных функций при х = 1 принимают равные значения, то графики функций у = и у = имеют общую касательную в точке (1;1) . Поскольку функция у = выпукла вниз, а функция
у = выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а поэтому уравнение имеет только один корень, х = 1.
Ответ: 1


3. = -х2 + 14х – 46
Строим графики функций у = и у=-х
2 + 14х – 46
hello_html_m20253c96.png
Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке х = 7, Следовательно уравнение имеет единственное решение . Проверяем х = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение уравнения = - 49 + 14·7 – 46 3= 98 – 95 3=3
Ответ: 7


4. + = - Рассмотрим функции у= и у = -
Функция у= возрастает при х Функция у = - убывает при х . Построим графики данных функций в одной системе координат.
hello_html_1f03fdbc.png


Графики функций пересекаются в точке с абсциссой х = 2, т. к. функция
у= возрастает, функция у = - убывает, то данное уравнение имеет единственный корень х = 2
Ответ : 2


5. 1- х2 =
Рассмотрим две функции у= 1- х
2 и у= троим графики функций в одной
системе координат
Ответ: хhello_html_3ab07bbd.png
Т.к. графический способ даёт не точные значения переменной, то его применяют при решении иррациональных уравнений реже.

Литература:
1. «Математика 10 – 11 классы. Уравнения и неравенства. Приёмы, методы, решения» Составитель Е.В. Мрошкина, Волгоград. Издательство «Учитель»
2. «Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов» Составители: Г.И. Ковалёва, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка. Волгоград. Издательство «Учитель» 2009
3. Повторение и контроль знаний. Математика 9- 11 классы. Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Книга 1( Арифметика. Общие методы алгебры. Алгебра многочленов) Составители: Н.И. Гданский, А.В. Карпов. Москва Издательство «Планета» 2010
4. «Решение сложных задач ЕГЭ по математике» С.И. Колесникова. Москва «Вако» 2011
5. « Математика ЕГЭ . 1000 задач с ответами и решениями» Составители: И.Н. Сергеев, В.С. Панферов. Москва. Издательство «Экзамен» 2013

6.Глазков Ю.А. , Корешкова Т.А., Мирошин В.В. Шевелева Н.В. Математика. ЕГЭ.:Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. – М.: Издательство «Экзамен», 2007.

7. Моденов П.С. Пособие по математике, Ч.1, М:, 1977.

8. Башмаков М.И. Беккер Б.М., Гольховой В.М. Сборник задач по алгебре и анализу, Библиотечка «Квант», М., 1983.

9. Ципкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. М., Наука, 1983.

10. www.vevivi.ru/best/Primenenie-trigonometricheskoi-podstanovki-dlya-resheniya-algebraicheskikh-zadach-ref172041.html







Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 02.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров182
Номер материала ДБ-312230
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх