Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_290a5ca1.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_68973fb8.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m249f87ec.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m209be04f.gifhello_html_m2e343fb9.gifhello_html_m2e343fb9.gifhello_html_m5f8640cd.gif МАОУ Гимназия № 36

Кафедра математики













СПОСОБЫ

РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ

УРАВНЕНИЙ







Разработала

учитель математики

Гайдук Янина Сергеевна





















г. Краснодар

2015



ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение квадратных уравнений - очень важная тема для изучения курса математики средней школы. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.

Данное методическое пособие предназначено для учащихся 89 классов. В пособии рассмотрены все типы квадратных уравнений, а также способы их решения: как стандартные, так и способы, не рассмотренные в школьном курсе. На каждый способ приведён пример решения уравнения. Рассмотрен демонстрационный вариант, где для каждого конкретного уравнения указан рациональный способ решения. Также предложены 2 варианта заданий для самостоятельного решения, к которым приводятся ответы.

Цель данного пособия – научить детей решать любое квадратное уравнение, выработать умение выбрать нужный, рациональный способ решения; подготовить к решению уравнений, сводящимся к квадратным.

Способы решения квадратных уравнений:

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a,b,c – числа,a0, называются квадратными.

I. Решение неполных квадратных уравнений.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен 0.

Коэффициент, равный нулю

b=0

c=0

b=0 и c=0

Вид

ax2+c=0

ax2+bx=0

ax2=0

Решение

ax2=-c

x2=-hello_html_64ef67f6.gif

x(ax+b)=0

x=0 или ax+b=0




x2=0

Корни

Если hello_html_733dd12e.gif то корней нет,

Если hello_html_m1e8e1568.gif то

x1,2=hello_html_3db23eab.gif.



x1=0

x2=-hello_html_m6acef63e.gif





x=0



Пример 1

5x2-10=0;

5x2=10;

x2=2;

x=hello_html_m2a06ad98.gif.

Ответ: hello_html_m2a06ad98.gif.


Пример 2

hello_html_6eec8aff.gifx2+3=0;

hello_html_6eec8aff.gifx2=-3;

x2=-3

нет корней, т.к. x2hello_html_m57af8f8c.gif.

Ответ: корней нет

Пример 3

2x2+5x=0;

x(2x+5)=0;

x=0 или 2x+5=0;

x=-2,5.

Ответ: 0; -2,5.


Пример 4

hello_html_m16f74d30.gifx2=0;

x2=0;

x=0.

Ответ: 0.




.



II. Решение полных квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Вспомним формулы сокращённого умножения: (ab)2=a22ab+b2.

Рассмотрим алгоритм решения квадратных уравнений данным способом на примере x2-6x-7=0;

1) Запишем коэффициент b как произведение двойки на некоторое число: b=2n:



x2-6x-7= x2-23x-7.

2) Число n показывает второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: n=3.

Для того, чтобы получить квадрат двучлена, нужно прибавить 32 и одновременно вычесть его:





x2-23x-7= x2-23x+9-9-7.


3) Выделим квадрат двучлена:

x2-6x-7=(x-3)2-16.

4) Решим полученное уравнение:


(x-3)2-16=0;

(x-3)2=16;

x-3=4 или x-3=-4;

x=7 x=-1.

Ответ: 7; -1.

Пример:

x2+8x-1=0;

x2+2hello_html_79c0f69b.gif4х-1=0;

x2+2hello_html_79c0f69b.gif4х+16-16-1=0;

(x+4)2=17;

x+4=hello_html_m50df8425.gif или x+4=hello_html_56265f0b.gif;

x=hello_html_m50df8425.gif-4 x=hello_html_56265f0b.gif-4.

Ответ: hello_html_m35281fcd.gif-4 .



2. Корни уравнения ax2+bx+c=0.

Частный случай №1:

Если a+b+c=0, то x1=1, x2=hello_html_64ef67f6.gif.

Частный случай №2:

Если a + c=b, то x1=-1, x2=hello_html_4c2d135b.gif.

Пример 1

x2-2009x+2008=0;

a=1, b=-2009,c=2008;

a+b+c=1-2009+2008=0, следовательно,

x1=1, x2=hello_html_m7091d7ab.gif.

Ответ: 1; 2008.

Пример 2

3x2+4x-7=0;

a+b+c=3+4-7=0, следовательно,

x1=1, x2=hello_html_m401841bc.gif.

Ответ: 1, hello_html_m4a9bcdbe.gif.

Пример 1

x2+2000x+1999=0;

a + c=1+1999=2000=b, следовательно,

x1=-1, x2=hello_html_165706b6.gif.

Ответ: -1, hello_html_m4b6f64c9.gif.

Пример 2

3x2-2x-5=0;

a + c=3-5=-2=b, следовательно,

x1=-1, x2=hello_html_763f79e3.gif.

Ответ: -1, hello_html_321f864a.gif.



3. Теорема Виета:

Числа x1 и x2 – корни приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0, тогда и только тогда, если: x1 + x2 =-p и x1 x2 =q.

Пример 1

x2-5x+6=0;

x1 + x2 =5 и x1 x2 =6,

следовательно x1=2 и x2=3.

Ответ: 2; 3.

Пример 2

x2+3x-10=0;

x1 + x2 =-3 и x1 x2 =-10,

следовательно x1=-5 и x2=2.

Ответ: -5; 2.





4. Метод «переброски» старшего коэффициента.

В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное уравнение, а уравнение, полученное «переброской» старшего коэффициента a.

Корни квадратных уравнений hello_html_m3465f11d.gif

связаны соотношением: hello_html_6dfe60df.gif и hello_html_m5577ed05.gif.

Пример 1

hello_html_516ade8b.gif;

hello_html_1e6b6987.gif;

hello_html_m69cc678c.gif;

hello_html_m5eb93a9b.gif;

hello_html_9c94a6.gif.

Ответ: hello_html_m1f059aac.gif; hello_html_m3d15adeb.gif.


Пример 2

hello_html_m57eb0adb.gif;

hello_html_m2ddf4116.gif;

hello_html_5a84b78f.gif;

hello_html_2f5b3afa.gif;

hello_html_c0a93f4.gif.

Ответ: ; -hello_html_6eec8aff.gif.




5. Решение квадратных уравнений, у которых второй коэффициент чётный (через D1).

Эта формула помогает избежать громоздких вычислений, упрощает процесс нахождения корней, если ax2+bx+c=0, b=2k, где k- целое число. Тогда находим hello_html_6f23aa4a.gif- сокращённый дискриминант (hello_html_m3d6b39be.gif)

Если D1hello_html_m360d6129.gif, то корней нет. Если D1=0, то один корень.

Если D1hello_html_m360d6129.gif, то два корня: X1,2=hello_html_479dbab2.gif.







Пример 1:

3x2+12x+2=0;

D1=hello_html_m484ad06f.gif, следовательно, два корня

X1=hello_html_m4fb1817b.gif,

X2= hello_html_m72fdd7a6.gif.

Ответ: hello_html_m3c7cba72.gif.

Пример 2:

3x2-8x+5=0;

D1=hello_html_m648c91f8.gif, следовательно, два корня

X1=hello_html_m53c78317.gif,

X2= hello_html_2f1deea7.gif.

Ответ: 1; hello_html_321f864a.gif.



6. Решение квадратных уравнений по формуле.

ax2+bx+c=0; D=b2-4ac,

Если Dhello_html_m360d6129.gif, то два корня: X1,2=hello_html_m17ea1a15.gif

Если D=0, то один корень x=hello_html_7769dc49.gif.

Если Dhello_html_m360d6129.gif, то корней нет

Перед решением уравнения обратить внимание на следующие выводы:

1) Если a hello_html_m360d6129.gif, то целесообразно умножить обе части уравнения на -1;

2) Если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель, то целесообразно разделить на него обе части уравнения;

3) Если хотя бы один из коэффициентов квадратного уравнения является дробным, то целесообразно обе части уравнения умножить на такое число, чтобы получилось уравнение с целыми коэффициентами.



Пример 1

12x2+7x+1=0;

a=12, b=7, c=1;

D= 72-4hello_html_mcaf61b4.gif=1hello_html_m360d6129.gif, следовательно, два корня

X1=hello_html_m18a005db.gif,

X2=hello_html_m270f10ba.gif.

Ответ: hello_html_468610ac.gif,hello_html_m586fcc3f.gif.

Пример 2

x2-12x+36=0;

a=1, b=-12, c=36;

D=(-12)2-

-4hello_html_m433af0f2.gif, следовательно, один корень

x=hello_html_6f8e22ec.gif.

Ответ: 6.


Пример 3

7x2-25x+23=0;

a=7, b=-25, c=23;

D=(-25)2- 4hello_html_mf054c5c.gif =

625-644=- 19<0,

следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.


Пример 4

hello_html_6eec8aff.gify2-2y+2=0

Умножим обе части уравнения на 2:

y2-4y+4=0

Решим через D1:

D1=(-2)2-1hello_html_38a6f41a.gif=0, следовательно, один корень:

x= hello_html_m7a70777.gif.

Ответ: 2.





III. Демонстрационный вариант.



Решить квадратные уравнения наиболее рациональным способом:



1. 5x2+4x-9=0;

Это уравнение легко решить, пользуясь первым частным случаем:

a+b+c=5+4-9=0, следовательно,

x1=1, x2=hello_html_96c4c2.gif.

Ответ: 1; hello_html_57db801a.gif.

2. x2+7x+12=0;

Это уравнение легко решить, пользуясь теоремой Виета:

x1 + x2 =-7 и x1 x2 =12, следовательно x1=-3и x2=-4.

Ответ: -3; -4.











3. x2-hello_html_m4d2614a7.gifx+hello_html_m1ae3d52d.gif=0;

Коэффициенты этого уравнения надо умножить на 9, чтобы все коэффициенты стали целыми числами:

9x2-12x+4=0;

Это уравнение целесообразно решить через D1:

a=9, b=-12, c=4

D1=(-12/2)2-94=36-36=0, следовательно, один корень

x=hello_html_443187f8.gif=hello_html_m75533238.gif.

Ответ: hello_html_6a1c94eb.gif.

4. -3x2-8x-5=0;

Коэффициенты этого уравнения надо умножить на -1:

3x2+8x+5=0;

a=3, b=8, c=5

Это уравнение целесообразно решить, пользуясь вторым частным случаем:

a + c=-3-5=-8=b, следовательно,

x1=-1, x2=hello_html_1a4e396a.gif.

Ответ: -1; hello_html_m177091d7.gif.


5. 3x2-11x-1=0;

a=3, b=-11, c=-1

Это уравнение решаем по формуле:

D=(-11)2-4hello_html_m809fe33.gif(-1)= =121+12=133hello_html_m360d6129.gif, следовательно, два корня

x1=hello_html_24e450b.gif, x2=hello_html_5369aedc.gif.

Ответ: hello_html_3bf9563f.gif.

6.t2+5t-9=0;

Коэффициенты этого уравнения надо умножить на -1:

t2-5t+9=0;

Это уравнение решаем по формуле:

D=25-4hello_html_367688d0.gif=25-36=-11hello_html_m360d6129.gif, следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.








7. 8x2+20x+12=0;

Коэффициенты этого уравнения надо разделить на общий множитель 4:

2x2+5x+3=0;

a=2, b=5,c=3

Это уравнение целесообразно решить, пользуясь вторым частным случаем:

a + c=2+3=5=b, следовательно,

x1=-1, x2=hello_html_c35f07f.gif.

Ответ: -1; hello_html_m41f5d5bb.gif.

8. x2-18=0;

x2=18;

x=hello_html_39ea00a7.gif;

x=hello_html_6d948d44.gif.

Ответ: hello_html_6d948d44.gif.


9. 4x2-5x=0;

x(4x-5)=0;

x=0 или 4x-5=0;

4x=5;

x=1,25.

Ответ: 0; 1,25.


10. hello_html_39536376.gif;

Умножим обе части этого уравнения на 6, чтобы все коэффициенты стали целыми числами:

3(x2+4)-2(3-x)=6;

3x2+12-6+2x-6=0;

3x2+2x=0;

x(3x+2)=0;

x=0 или 3x+2=0;

x=-hello_html_6a1c94eb.gif.

Ответ: 0; -hello_html_6a1c94eb.gif.



11. 2+х-10=0

Решим это уравнение методом «переброски»:

y2+y-102=0,

y2+y-20=0,

y1+y2=-1 и y1y2=-20,

y1=-5, y2=4,

x1=hello_html_m7295f9fc.gif=-2,5; x2=hello_html_m285c7573.gif=2.

Ответ: -2,5; 2.

12. 3x2+11x+6=0

Решим это уравнение методом «переброски»:

y2+11y+63=0,

y2+11y+18=0,

y1+y2=-11 и y1y2=18,

y1=-9, y2=-2,

x1=hello_html_4a3e5ab4.gif=-3; x2=hello_html_5ffb5354.gif.

Ответ: -3; hello_html_5ffb5354.gif.













IV. Задания для самопроверки.

I вариант. II вариант.

1. Решите уравнение, выделяя квадрат двучлена:

а) x2+12x+20=0; а) x2+4x-2=0;

б) x2-8x-9=0; б) x2-6x+8=0.

2. Решите квадратное уравнение, применив один из частных случаев:

а) x2-1999x+1998=0; а) x2+2000x-2001=0;

б) 8x2-5x-3=0; б) 100x2-150x+50=0;

в) 4x2+9x+5=0; в) 10x2+13x+3=0.

3. Решите квадратное уравнение, пользуясь теоремой Виета:

а) x2-8x-9=0; а) x2+8x+15=0;

б) x2-2x-15=0; б) x2+7x-8=0;

в) x2-5x+k=0; в) x2+ kx+18=0;

x1=-3.Найдите k и x1=3.Найдите k и

второй корень ур-ния. второй корень ур-ния.



4. Решите уравнение методом «переброски»:

5x2+8x+3=0; 3x2-8x-3=0;



5. Решите уравнение по второй формуле (через D1):

а) 5x2+8x-4=0; а) 5x2+14x-3=0;

б) 7x2+6x-1=0; б) x2-16x+28=0.



6. Решите уравнение по формуле:

а) 2x2+2x+3=0; а) 4x2-4x+1=0;

б) x2-6x+9=0; б) 6x2+3x-1=0.

в) 3x -x2+10=0; в) 2x -x2+3=0;

7. Решите уравнение наиболее рациональным способом:

1) 5x2-4x-1=0; 1) 3x2-7x+4=0;

2) 2x2-x+3=0; 2) 3x2-x+2=0;

3) x2+6=5x; 3) x2+12=7x;

4) 7x2+8x+1=0; 4) 7x2+6x-1=0;

5) 3x2-2x+1=0; 5) x2+8x+16=0;

6) x2-4x-21=0; 6) x2-7x-9=0;

7) hello_html_7f8f9891.gifx2-4x-hello_html_m4d2614a7.gif=0; 7) x2+hello_html_m4aae006e.gifx+hello_html_6eec8aff.gif=0;

8) -8x2-2x+3=0; 8) -2x2+4x-3=0;

9) 9x2+21x+6=0; 9) 10x2-6x+2=0;

10) 4x2=7x; 10) 3x2=5x;

11) 3x2-9=0; 11) 7x2-4=0;

12) (x-2)2=3x-8; 12) (x+3)2=2x+6;

13) (x-5)2-36=0; 13) (x+3)2-18=0;

14) hello_html_m77e4fe9.gif; 14)hello_html_m687db6f1.gif;

15) hello_html_32081897.gif. 15) hello_html_m3500202d.gif.



Ответы к заданиям для самопроверки.


I вариант.

1. а)-2;-10; б)-1;9.

2. а)1;1998; б)1;-3/8; в)-1;-5/4.

3. а)-1;9; б)-3;5; в)k=-24, x2=8.

4. -1;-0,6.

5. а)-2;0,4; б)-1;1/7.

6. а) нет корней; б)3; в)-2;5.

7. 1) 1; 0,2;

2) нет корней;

3) 2;3;

4) -1;-1/7;

5) нет корней;

6) -3;7;

7) hello_html_565e93be.gif;

8) -3/4;1/2;

9) -1/3;-2;

10) 0;7/4;

11) hello_html_m2010fe91.gif;

12) 3;4;

13) -1;11;

14) нет корней;

15) 4;3,2.











II вариант.

1. а)hello_html_3e9c4fda.gif; б)2;4.

2. а) 1;-2001; б)1;0,5; в)-1;-0,3.

3. а)-5;-3; б)1;-8; в)k=-9, x2=6.

4. 3;-1/3.

5. а)-3;0,2; б)2;14.

6. а)0,5; б)hello_html_35f47aeb.gif; в)3;-1.

7. 1) 1;4/3;

2) нет корней;

3) 3;4;

4) -1;1/7;

5) -4;

6) hello_html_108c5ed4.gif;

7) -1;-0,5;

8) нет корней;

9) нет корней;

10) 0;5/3;

11) hello_html_b046ac0.gif;

12) -1;-3;

13) hello_html_6995b4ae.gif;

14) 2;5/6;

15) 2;-2.hello_html_5a4a9514.gif









2,15,4,13,6,11,8,9

















































































































16,1,14,3,12,5,10,7

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 17.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров650
Номер материала ДВ-268198
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх