Способы решения уравнений с модулем.

Уравнение с модулем и способы его решения.

Уравнение с модулем - это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Например: |x|=5.
Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

При решении уравнений, содержащих модуль, поступают следующим образом:
1) находят значения х,  которые обращают выражения под знаком модуля,  в нуль.
2) эти значения  разбивают множество всех чисел  на несколько  промежутков.
3) решают исходное уравнение на каждом промежутке, учитывая, что

                                                             | х |=  х,
                                                             если х > 0,
                                                            - х, если х < 0.
4) выбирают в ответ те значения,  которые  принадлежат выбранным промежуткам или делают проверку,  подставив найденные значения в исходное уравнение.

 Уравнений, содержащих знак абсолютной величины можно решать аналитически и графически уравнение.

Одним из способов решения уравнений, содержащих  модуль, является способ разбиения числовой прямой на промежутки.  В этом случае  нам нужно разбить  числовую  прямую так,  что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять.  Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней (удовлетворяют они нашему промежутку или нет).  Корни,  удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

                 При решении уравнений необходимо вспомнить свойства модуля:

1.	(определение модуля)

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Разберем некоторые уравнения подробно.

Пример1.                           | х – 6 | = 9

Решение. Найдём значение х, при котором х  –  обращается в нуль . Это  значение равно 6, значит число 6 разбивает всю числовую прямую на  два промежутка.
Рассмотрим исходное уравнение  на каждом промежутке. 
х – 6 = 9
х = 9 + 6
х = 15.
Число 15 принадлежит промежутку,  значит, 15  является  корнем  данного уравнения. Рассмотрим исходное уравнение на промежутке х < 6, на этом промежутке выражение х – 6 принимает отрицательные значения, поэтому надо поменять его знак, раскрывая модуль.

 - ( х – 6 ) = 15
 - х + 6 = 15
 - х = 15 –  6
 - х = 9
 х = - 9.
Число – 9 принадлежит промежутку х < 6, значит,  - 9 является корнем исходного уравнения.
Ответ: х =15, х = - 9.

Пример 2.              | 2х – 12 | + | 6х + 48 | = 160.

           Решение: Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:
  2х –12 = 0;  х = 6;                             6х + 48 = 0;  х = - 8.
Найденные значения  х  разбивают  числовую   прямую  на  три промежутка.

Решение данного уравнения рассматриваем на каждом промежутке отдельно.
В промежутке х < - 8  оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.
Поэтому в этом промежутке при записи уравнения без знаков модуля знаки этих выражений меняем  на  противоположные.  Получим уравнение:
- (2х – 12 ) – ( 6х + 48 ) = 160
- 2х +12 – 6х – 48 = 160
- 8х – 36 = 160
- 8х = 160 + 36
- 8х = 196
х = 196 : ( -8 )
х = - 24,5
Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оно является решением данного уравнения. Во втором промежутке   первое выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно, в этом промежутке уравнение запишется в виде:

- (2х – 12 ) + (6х + 48) = 160
- 2х + 12 +  6х + 48 = 160
  4х + 60 =160
4х = 160 – 60
4х = 100
х = 100 : 4
х = 25
 Это значение не принадлежит рассматриваемому промежутку, значит, оно не является корнем данного уравнения.
В третьем промежутке   оба выражения положительны. Следовательно, в этом промежутке уравнение запишется так:
   ( 2х – 12 ) + (6х + 48 ) = 160
   2х – 12 + 6х + 48 = 160
   8х +  36 = 160
   8х = 160 – 36
   8х = 124
   х = 124 : 8
   х = 15,8
Это значение  х  принадлежит рассматриваемому промежутку.

Значит, число 15,8 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = - 24,5 и х = 15,8.

Уравнения с модулем.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Краткое описание документа:

Способы решения уравнений с модулем. 9 - 11 кл.

Данный материал состоит из двух частей: 1 - теоретическая,2 - практическая.

Теоретический материал: принцип решения уравнений с модулем от простых к более сложным; алгоритм их решения.

Во второй практической части представлены задачи,на которых можно практиковаться;от простого к более сложному.