Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Способы решения квадратных уравнений.
2 слайд
Определение квадратного уравнения, его виды
Квадратным уравнением называется уравнение вида
a + bx + c = 0,
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
3 слайд
Из истории квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
4 слайд
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2+вх=с, а0.
В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
5 слайд
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.
6 слайд
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
7 слайд
Различные способы решения квадратных уравнений
1. Разложение левой части уравнения на множители
Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
8 слайд
Разложение левой части уравнения на множители
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
9 слайд
Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат.
10 слайд
Решение квадратных уравнений по формуле
Х1,2 =
11 слайд
4х + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1
Х=
Х=
, х2 = –1
х1 =
12 слайд
4х – 4х + 1 = 0,
а =4, b = - 4, с = 1.
D = b – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0,
D = 0, один корень;
Х=
13 слайд
2х +3х + 4 = 0
а =2, b= 3, с = 4
D = b – 4ас=9 – 4∙2∙4 =9 – 32 =
- 13
D < 0. Уравнение не имеет корней.
14 слайд
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
(прямой и обратной)
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
+ px + q = 0.
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
15 слайд
Теорема Виета для квадратного уравнения Aх +вх +с = 0
имеет вид
16 слайд
Примеры
Решить уравнение х – 9х + 14 =0
Попробуем найти два числа х и х ,
такие, что х +х = 9 ,х х = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
17 слайд
Примеры
Решим уравнение 2х – 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета
18 слайд
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),
то х1 = 1, х2 = .
Если а - b + с = 0, или b = а + с, то
х1 = – 1, х2 = –
19 слайд
Решим уравнение 345х – 137х – 208 = 0.
Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0)
, то х1 = 1, х2 = .
Решим уравнение
132х + 247х + 115 = 0
Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= -
20 слайд
Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде
Х =
21 слайд
Графическое решение квадратного уравнения
Решим графически уравнение
х – 3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
х = 3х + 4 . Построим параболу у = х и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.
22 слайд
у=х2 у у=-3х+4
-1 0 4 х
23 слайд
квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рационально организованный урок по математике с позиции здоровьесбережения, который предусматривает индивидуальный подход к ребенку с учетом его особенностей, стремление добиться оптимальных результатов обучения при минимально необходимых затратах времени и сил учащихся, исключение эмоциональных и физических перегрузок. Помимо этого, на уроке поставлены следующие цели:
актуализировать знания учащихся по теме «Виды квадратных уравнений и способы их решения»; применить квадратное уравнение в решении текстовой задачи; использовать информационно-коммуникативные и здоровьесберегающие технологии в работе с учащимися.
6 661 865 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Голубинова Валентина Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.