Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Способы решения задач на проценты
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Способы решения задач на проценты

библиотека
материалов

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

(Д. Пойя)

Пояснительная записка

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни.

Учащиеся встречаются с процентами на уроках математики, химии, физики, при чтении газет, просмотре телепередач.

Обучение решению задач на проценты всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. В повседневной жизни обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, изменение процентов банковского кредита. Всё это требует производить хотя бы несложные процентные расчёты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие ориентированы на поступление в высшие учебные заведения.

Практика показывает, что очень многие, окончившие школу, не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процента, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценного представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

Данное пособие содержит подборку задач на проценты из сборников для подготовки к ЕНТ и в нем описаны наиболее рациональные способы их решения.

Рассмотрены два типа задач на проценты, которые у учащихся вызывают при решении наибольшие затруднения:

  1. Задачи на сплавы и смеси (условно назовём их «задачи о трёх процентах»). Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и в «Арифметике» Магницкого. В пособии показаны два способа решения таких задач: с помощью системы уравнений с двумя переменными и старинным способом - «рыбкой».

  2. Задачи «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется», которые решены тремя способами: при помощи отрезков, через площади прямоугольников и «уголком».

Решение задач на проценты – это несложный процесс, просто необходимо знать методы решения и иметь аналитическое мышление. Знание способов решения задач на проценты очень полезны, так как по данному принципу можно решать и сложные, и межпредметные, и логические задачи.

I тип задач: на сплавы и смеси (или задачи о трёх процентах)

Задача 1. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение

1-й способ

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмём для смешивания х г 5%-ного раствора кислоты (hello_html_m3910eb31.gif г) и у г 40%-ного раствора (или hello_html_178ee6c1.gif г).

Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т.е. hello_html_7db97109.gif г, то получаем следующее уравнение: hello_html_m5aafe364.gif



Кроме того, hello_html_m15a84b2b.gif

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

hello_html_m4a43bdc6.gif

Из этой системы находим hello_html_m46a4a661.gif,hello_html_74cc5c65.gif

Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора—100 г.

2-й способ (старинный)

Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему:

hello_html_m7e0c3554.gif

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки.

Получится такая схема:

hello_html_m47924bf3.gif

Из неё делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей или 10х, а 40%-ного – 25 частей или 25х. Составляем уравнение: hello_html_59c72287.gif, hello_html_1650089b.gif, отсюда hello_html_m1ac266db.gif, а hello_html_m5cdccdc3.gif, т.е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного – 100 г.

Предложенный способ «рыбки» позволяет экономить время. Поэтому следующие две задачи решим этим же старинным способом.

Вот одна из наиболее часто встречающихся задач на практике:

Задача 2. Имеется 240 г 70%-ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6%-ный раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение

  1. По изложенному выше способу составляем схему:

    hello_html_m5f9ed1ad.gif

  2. hello_html_4bd9de7e.gif, hello_html_m7a9b485d.gif, отсюда hello_html_m70e91700.gifг

Ответ: 2560 г воды.

Задача 3. Имеется 50 г 80%-ной серной кислоты. Нужно получить 95%-ную серную кислоту. Сколько грамм 100%-ной серной кислоты надо добавить?

Решение

  1. По изложенному выше способу составляем схему:

hello_html_4e455f2c.gif

  1. 80%-ному раствору соответствует 5х или 50 г, hello_html_m1f14634f.gif, hello_html_mc5927b8.gif, отсюда hello_html_m61e9b95d.gif, т.е. для получения 95%-ного раствора кислоты нужно взять 100%-ной кислоты 150 г.

II тип задач: «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется»

Задача 1. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие-12% воды. Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Решение

1-й способ (отрезками)

При сушке грибов испаряется вода, а масса сухого вещества не изменяется!

hello_html_mcb24e96.gif

Запишем решение по шагам:

  1. hello_html_6b27de75.gif – составляет сухое вещество в свежих грибах

  2. 100% – 22 кг

10% – х кг

hello_html_m355b4cc7.gif кг – масса сухого вещества в свежих грибах

  1. hello_html_m14473f6d.gif – составляет сухое вещество в сухих грибах

  2. 88% – 2,2 кг

100% – х кг

Отсюда, hello_html_4868cfbd.gif кг

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

2-й способ (через площади прямоугольников)

hello_html_m6c830378.gif

Решение

Запишем это решение по шагам:

  1. В прямоугольной системе координат на осях координат обозначаем массу грибов в кг и сухое вещество в процентах (в порядке возрастания)

  2. Через данные точки проводим прямые, перпендикулярные осям координат

  3. Находим площади полученных прямоугольников: hello_html_m3aaa1060.gif, hello_html_m13120bc9.gif

  4. Приравнивая площади, получаем уравнение: hello_html_m86476f.gif

Отсюда, hello_html_11d94eb6.gif кг

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

3-й способ (уголком)

hello_html_38d9c949.gif

Решение

Запишем это решение по шагам:

  1. На сторонах угла обозначаем массу грибов в кг и сухое вещество в процентах

  2. Пересекаем стороны угла параллельными прямыми (hello_html_m62090a5.gif,hello_html_7301282f.gif)

  3. Составляем пропорцию: hello_html_78bcfef8.gif

Отсюда, hello_html_4868cfbd.gif кг

Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг

Исходя из опыта работы, большая часть учащихся при решении задач «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется» предпочтение отдаёт третьему способу.

Поэтому следующие задачи решим наиболее рациональным способом – «уголком».

Задача 2. Имеется 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько кг воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы?

Решение

«сухое вещество» целлюлоза

hello_html_m14c2123a.gif

  1. Пусть hello_html_m3deff982.gif, hello_html_45da16d1.gif – вода, которую надо выпарить

  2. Составляем пропорцию: hello_html_4ca0c936.gif

Отсюда, hello_html_554aed95.gif кг

Ответ: надо выпарить 200 кг воды

Задача 3. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 15 л морской, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Решение

«сухое вещество» - соль

hello_html_6b10c4c0.gif

  1. Пусть hello_html_24192fe1.gif, hello_html_71d25db1.gif – вода, которую надо добавить

  2. Составляем пропорцию: hello_html_4f80aae0.gif

Отсюда, hello_html_m44c2b00c.gif л.

Ответ: надо добавить 35 л воды.

Задача 4. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо добавить?

Решение

«сухое вещество» – йод

hello_html_5d526ad3.gif

  1. Пусть hello_html_1403da1e.gif, hello_html_5ba5a569.gif – спирт, который надо добавить.

  2. Составляем пропорцию: hello_html_6535448d.gif

Отсюда, hello_html_m4c733c95.gif г

Ответ: надо добавить 441 г спирта.

Задача 5. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Найти массу соли в первом растворе.

Решение

Будьте внимательны! В отличие от предыдущих задач, «вещество, которое не меняется» – вода. (Количество воды – постоянно, а соль добавляется.)

hello_html_m30c23f58.gif

  1. hello_html_m2dabbdf7.gif – воды в первом растворе

hello_html_m7e7196bb.gif – воды во втором растворе

  1. Пусть hello_html_21e9e7d.gif, hello_html_30d1a54c.gif г – добавка соли

  2. Составляем пропорцию: hello_html_81f3528.gif

Отсюда, hello_html_41c7e436.gif г – первоначальный раствор.

  1. 100% – 120 г

40% – х г

Отсюда, hello_html_m396cb61c.gifг

Ответ: 48 г соли в первоначальном растворе.

Задача 6. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Найти массу индийского чая в первоначальной смеси.

Решение

«Вещество, которое не меняется» – грузинский чай.

hello_html_6ae44c03.gif

  1. hello_html_660f3db1.gif – грузинского чая в первой смеси

hello_html_1b65ae5.gif – грузинского чая во второй смеси

  1. Пусть hello_html_21e9e7d.gif – первая смесь, hello_html_m357a3ac7.gif – добавка индийского чая

  2. Составляем пропорцию: hello_html_3129740c.gif

Отсюда, hello_html_2c9febe6.gif г – первая смесь

  1. 100% – 440 г

30% – х г

Отсюда, hello_html_m3b042e54.gif г

Ответ: 132 г индийского чая

Задача 7. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно прибавить к этому куску, чтобы получить сплав, который содержит 60% меди?

Решение

«Вещество, которое не меняется» – цинк

hello_html_7c52955c.gif

  1. hello_html_1b65ae5.gif – цинка в первом сплаве

hello_html_m5c4371ec.gif – цинка во втором сплаве

  1. Пусть hello_html_m4ed48a97.gif – первый сплав, hello_html_5ba5a569.gif – добавка меди

  2. Составляем пропорцию: hello_html_2d909d4.gif

Отсюда, hello_html_3d37f803.gif кг

Ответ: нужно добавить 13,5 кг меди.

Используемая литература



  1. Журнал «Математика в школе», 1997 г., № 1

  2. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г., «Математика 6 класс», часть 1

  3. Сборники тестов для подготовки к ЕНТ (2012, 2013, 2014 годы)

Краткое описание документа:

Рассмотрены два типа задач на проценты, которые у учащихся вызывают при решении наибольшие затруднения:

1. Задачи на сплавы и смеси (условно назовём их «задачи о трёх процентах»). Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и в «Арифметике» Магницкого. В пособии показаны два способа решения таких задач: с помощью системы уравнений с двумя переменными и старинным способом - «рыбкой».

2. Задачи «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется», которые решены тремя способами: при помощи отрезков, через площади прямоугольников и «уголком».

Решение задач на проценты – это несложный процесс, просто необходимо знать методы решения и иметь аналитическое мышление. Знание способов решения задач на проценты очень полезны, так как по данному принципу можно решать и сложные, и межпредметные, и логические задачи.

Автор
Дата добавления 07.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2641
Номер материала 370285
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх