Справочные материалы по геометрии

Справочные материалы по геометрии

Материал разработан учителем математики Калакиной И.А.

Параллелограмм.

Определение.

Параллелограммом называется четырёхугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки.

1.Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

2.Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то это параллелограмм.

3.Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

4.Если в выпуклом четырёхугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180^о, то это параллелогр.

5.Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то это параллелограмм.

Свойства.

1.В параллелограмме противоположные стороны равны и противолежащие углы равны.

2.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3.Точка пересечения диагоналей параллелограмма - его центр симметрии.

Прямоугольник.

Определение.

Прямоугольником называется параллелограмм, в котором все углы прямые.

Признаки.

1.Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

2. Если в параллелограмме один из углов прямой, то это прямоугольник.

3. Если в четырёхугольнике все углы прямые, то это прямоугольник.

Свойства.

1.В прямоугольнике противоположные стороны равны.

2.Диагонали прямоугольника равны.

3.Точка пересечения диагоналей прямоугольника - его центр симметрии.

Ромб.

Определение.

Ромбом называется параллелограмм, в котором все стороны равны.

Признаки.

1.Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.

2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то это ромб.

Свойства.

1.В ромбе противоположные углы равны.

2.Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3.Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

4.Точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

5.Прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

6.Точка пересечения диагоналей ромба является его центром симметрии.

Квадрат.

Определение.

Квадратом называется прямоугольник, в котором все стороны равны.

Признаки.

1.Если в ромбе один угол прямой, то он является квадратом.

2.Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, то это квадрат.

Свойства.

1.Все углы квадрата прямые.

2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам.

3.Точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от его сторон и является его центром симметрии.

4.Прямые, содержащие диагонали квадрата, являются его осями симметрии.

Окружность.

Измерение углов, связанных с окружностью.

1.Величина центрального угла равна величине дуги,

   на которую он опирается: È

2.Величина вписанного угла равна половине

величины дуги, на которую он опирается:

                                  È

3.Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90^о.

4.Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключённой между его сторонами:

5.Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме

   угловых величин дуг, заключённых между его сторонами

  и их продолжениями: .

6.Величина угла с вершиной вне круга равна полуразности угловых величин большей и меньшей дуг, заключённых между его сторонами: .

Свойства хорд, секущих, касательных.

1.Радиус, проведённый в точку касания касательной,

   перпендикулярен ей.

2.Отрезки касательных, проведённых из

 общей точки к окружности, равны: .

3.Дуги, заключённые между параллельными

 хордами, равны: .

4.Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

5. Квадрат касательной, проведённой из данной точки к

 окружности, равен произведению секущей, проведённой

из этой же точки, на её внешнюю часть:

                                       .

6.Произведение отрезков хорд, проходящих через данную

точку внутри круга, есть величина постоянная: .

Свойства линий в касающихся и пересекающихся окружностях.

1.Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

 2.Расстояние между центрами двух касающихся

 окружностей равно сумме их радиусов (внешнее

касание) или разности их (внутреннее касание).

3.Общая внутренняя касательная двух окружностей, касающихся извне, перпендикулярна их линии центров:.

4.Общая хорда двух пересекающихся окруж- ностей перпендикулярна их линии центров

и делится точкой их пересечения  пополам.

5.Необходимое и достаточное условие касания извне двух окружностей радиусов  и : длина отрезка общей касательной, заключённой между точками касания с окружностями, равна .

Трапеция.

Определение.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

Определение.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Признаки равнобедренной трапеции.

1.Если в трапеции углы при основании равны, то это равнобедренная трапеция.

2.Если в трапеции диагонали равны, то это равнобедренная трапеция.

Свойства равнобедренной трапеции.

1.В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2.В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Линии в треугольнике.

1.Если l  биссектриса  треугольника,  то

1)    

2)   

2.Если АА₁, ВВ₁, СС₁ –медианы треугольника,

то они пересекаются в точке О,

 причём

3.  Длина медианы в треугольнике со сторонами a,b,c,

проведённой к стороне с находится по формуле

 

Соотношения в прямоугольном треугольнике.

Если h- высота прямоугольного треугольника, то

1.~~

2.

3.

4.     

5.     

Площадь треугольника

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.    

7. 

Площади четырёхугольников.

1.    Площадь параллелограмма.

1)     

2)     

3)     

2.   Площадь прямоугольника.

3.Площадь квадрата.

1)

4. Площадь ромба.

5. Площадь выпуклого

четырёхугольника (если

6. Площадь описанного многоугольника.