Справочные материалы по геометрии (часть 3)

Предпросмотр материала:

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ.

Геометрия

ЧАСТЬ 3

Параллелограмм

Параллелограммом называют четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Сумма соседних углов параллелограмма 180⁰.

Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике две противоположные стоны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то это параллелограмм.

Периметр параллелограмма

Площадь параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.

Высоты ромба равны.

В ромб можно вписать окружность

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Признаки ромба

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.

Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.

Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.

Площадь ромба

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

Около прямоугольника можно описать окружность.

Прямоугольник обладаю всеми свойствами параллелограмма.

Признаки прямоугольника

Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.

Если в четырехугольнике три угла прямые, то это прямоугольник.

Площадь прямоугольника

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб с прямыми углами).

Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Квадрат – правильный четырехугольник.

Площадь квадрата

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

Элементы трапеции

BС и CD – верхние и нижние основания,

AB и CD – боковые стороны,

АС и BD – диагонали,

MN – средняя линия,

MN =.

Высота трапеции ВВ₁ –расстояние между прямыми оснований.

Площадь трапеции

Неравенство для сторон трапеции

Неравенство для диагоналей трапеции

Свойства треугольников в трапеции.

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Равнобокая трапеция

Равнобокой (равнобедренной) называется трапеция с равными боковыми сторонами.

Свойства равнобокой трапеции

Диагонали равнобокой трапеции равны .

Углы при одном основании равнобокой трапеции равны.

Только около равнобокой трапеции можно описать окружность; она совпадает с окружностью, описанной около любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции. Её центр лежит на серединном перпендикуляре к основанию трапеции.

Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии.

Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (центра окружности).

Отрезки в окружности

Для любой точке М окружности с центром О выполняется равенство: ОМ=R (отрезок ОМ – радиус окружности).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности (D).

D=2R

Длина окружности

Дуга окружности

Часть окружности, заключенная между ее двумя точками, называется дугой.

Две любые точки М и N определяют на ней две дуги: и . Любую из этих дуг стягивает хорда MN.

Равные дуги стягиваются равными хордами.

Длина дуги

, где - величина угла АОВ в радианах;

, где - величина угла АОВ в градусах.

Круг

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Для всех точек N круга выполняется неравенство: ОN R.

Площадь круга

С – длина окружности,

D = 2R – диаметр.

Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, называется сектором круга.

Любые два радиуса задают два сектора.

Площадь сектора

;

( радиан )

Часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой, называется сегментом.

Любая хорда делит круг на два сегмента.

Сегмент, задаваемый диаметром, называется полукругом.

Площадь сегмента

-радианная мера дуги или

(соответственно для сегментов или ).

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то он ей перпендикулярен.

Если две хорды АВ и СD имеют общую точку М , то .

Для данной точки М внутри окружности произведение отрезков хорды, на которое делит ее данная точка, есть величина постоянная и равная .

Прямая и окружность

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности; прямая, имеющая с окружностью две общие точки, - секущей.

Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда диаметр, проходящий через общую точку прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.

Если окружность касается сторон данного угла, то:

§ центр окружности лежит на биссектрисе угла;

§ отрезки касательных равны между собой.

Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется угол между двумя ее радиусами.

Радиусная мера центрального угла равна радиусной мере дуги, которую он опирается (измеряется дугой, на которую он опирается).

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма 180⁰.

Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащейся в этом угле дуги окружности.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Её центр должен принадлежать всем биссектрисам внутренних углов этого многоугольника. Её радиус можно вычислить по формуле , где S – площадь, а р – полупериметр многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Её центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, а радиус может быть вычислен по формулам:

где S – площадь треугольника,

а r – его полупериметр.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Описанная окружность

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Её центр лежит на всех серединных перпендикулярах сторон (и диагоналей) этого многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Её центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, а радиус вычисляется по формулам:

a,b,c – длины сторон треугольника,

S – его площадь.

Около треугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180⁰.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.

Любой правильный многоугольник является вписанным и описанным, центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром многоугольника (точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон, биссектрис углов).

- сторона,

- радиус вписанной окружности,

- периметр,

- площадь.

Формулы для правильных многоугольников

Число сторон	Центральный угол	Радиус
Число сторон	Центральный угол	вписанной окружности	описанной окружности
n		r	R
3	60⁰
4	90⁰
6	120⁰		а
8	135⁰
12	150⁰
Число сторон	Площадь	Связь между r и R
n	S	Связь между r и R
3
4
6
8
12

Краткое описание материала

Справочные материалы по геометрии содержат теоретические сведения по всем основным темам курса геометрии седьмого - девятого классов. По каждой теме представлены определения, правила, свойства ( словесная и буквенная формулировка ), теоремы и их доказательства. Приведены примеры и их решения. Данный материал будет полезен на уроках математики как дополнительная, обобщающая информация. Для выпускников девятых классов представленный материал поможет при подготовке к сдаче ОГЭ, при решении КИМ модуля "Геометрия" первой и второй частей. Так же справочные материалы незаменимы при подготовке к ЕГЭ.

Справочные материалы по геометрии (часть 3)

Математика

Другие методич. материалы

DOCX

27.12.2014

677

Математика

Другие методич. материалы

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Краткое описание материала

Автор материала

АРЕЩЕНКО ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА

Учитель математики и черчения

На сайте: 10 лет и 10 месяцев
Всего просмотров: 71337
Подписчики: 155
Всего материалов: 20

71337
просмотров
20
материалов
155
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем АРЕЩЕНКО ЕЛЕНА АЛЕКСАНДРОВНА.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.