Справочные материалы по теме "Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений"

Некоторые приёмы решения тригонометрических уравнений.

sin x=a пÎZ,

cos x=a  , пÎZ

tg x=a  , пÎZ

сtg x=a  , пÎZ

Название	Содержание, формулы	Примеры
1.Уравнения, приводимые к алгебраическим.	-Функции разных аргументов привести к функции одного аргумента. -Разные функции одного аргумента привести к одной функции. -Обозначить эту функцию новой переменной. -Привести уравнение к алгебраическому виду и решить. -Перейти к старым переменным. -Найти корни исходного уравнения.	cos 2x+3 sin x=2; cos2 x- sin2 x+3 sin x=2; 1-2 sin2 x+3 sin x-2=0; sin x=y    2y2-3y+1=0;                y1=0,5;   y2=1; sin x=0,5  или  sin x=1 х= х=	2 cos2 3x - sin 3x =1; 2(1 - sin2 3x) - sin 3x = 1; 2 sin2 3x - sin 3x – 1 = 0; sin 3x=у   2у2 – у – 1 = 0;                 у1=1; у2= - 0,5; sin 3x = 1;   sin 3x = - 0,5 3х=;3х= х=; х=
2.Однородные уравнения.	a sin x + b cos x = 0 – I степ. a sin2 x + b sin x cos x  + c cos2 x = 0 – II степ. cos x=0 не является корнем исходного уравнения, т.к. если cos x=0, то в силу исходного уравнения и sin x=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому  можно разделить обе части уравнения на cos x (на cos2 x) или на sin x (на sin2 x).	2 sin x - 3 cos x = 0; ; 2 tg x – 3 = 0; tg x =1,5 х= arctg1,5+p п;  пÎZ	sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x=0; tg2 x - 3 tg x + 2 = 0; tg x =у   у2 - 3у + 2=0;              у1=1                        у2=2            tg x=1                       tg x=2          х=              х= arctg2+p k                              п,kÎZ
		При оформлении решения нужно пояснять, почему можно делить на cos x (cos2 x)
3. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.	- Перенести все слагаемые в левую часть уравнения. - Разложить левую часть уравнения на множители (с помощью вынесения общего множителя за скобки, группировки, формул сокращённого умножения и др.) - Каждый множитель приравнять к нулю. - Решить полученные уравнения.	sin 4x=3cos 2x 2sin 2xcos 2x-3cos 2x=0 cos 2x(2sin 2x – 3)=0 cos 2х=0 или  2 sin 2x– 3=0 2х=      sin2x=1,5 , пÎZ	cos2 x+sin xcos x=0 cos x(cos x+sin x)=0 cos x=0     или   cos x+sin x=0       1+ tg x=0                           п,kÎZ			sin x + cos x – 1 – sin 2x = 0 sin x + cos x – (cos2 x+sin2 x +                             + 2sin xcos x )=0 (sin x+cos x) – (sin x+cos x)2=0 (sin x+cos x)(1–sin x–cos x)=0            ………
4. Линейные тригонометрические уравнения.	a sin x + b cos x =с где а2+b2 ³ с2 (т.е. |с| ≤) – иначе уравнение не будет иметь решения. 1 способ:  применение универсальной подстановки:  . Тогда При таком переходе возможна потеря решений: следует помнить, что  (в этих  не существует). Поэтому значения х= p +2p т нужно проверять, подставляя в исходное уравнение. 2 способ: введение дополнительного аргумента: ·         Обе части уравнения разделить на . ·         Ввести дополнительный аргумент – угол α такой, что  и         тогда ·         Если ввести угол b такой, что  и , то получим     .	sin x + cos x=  – 1                                              2t+1- t2= - 1 – t2                               2t = -2                               t = -1                                        ,                              Подставив в исходное уравнение   убеждаемся, что эти числа также являются его решениями. Ответ:   , п,тÎZ			sin x + cos x=  – 1  a=1, b=1, c= - 1. a2+b2=2 . Учитывая, что  получим      При данном способе решения нет риска потери корней.
		3sin x +4 cos x= 2  a=3, b=4, c=2.     a2+b2=25, с2=4, т.е.  a2+b2 > с2                .     Значит  .
5. Уравнения вида Р(sin x± cos x,          sin x cos x)	Уравнения вида Р(sin x± cos x, sin x cos x), где Р(х,у) – многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной   t= sin x ± cos x. Тогда 1± 2sin x cos x = t2.	sin x+cos x+4sin xcos x – 1 =0 t=sin x+cos x;  t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x         Значит  4sin xcos x=2t2 – 2 2t2 + t – 3=0                                         sin x+cos x=1 t1=1           t2=-1.5                                      sin x + cos x= - 1,5
6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.		2 sin2 x+ cos 4x=0 1- cos 2x+ cos 4x=0;       Þ        1- cos 2x+2 cos2 2x-1=0;         Þ        cos 2x(2 cos 2x-1)=0 cos 2x=0   или
7. Уравнения, решаемые преобразованием суммы или разности в произведение.		sin 5x=sin 3x		cos 2x - cos 8x+cos 6x=1			cos 3x+sin 2x - sin 4x=0
8. Уравнения, решаемые преобразованием произведения в сумму и с помощью формул сложения.		cos 3x cos 2x=sin 3x sin 2x cos 3x cos 2x - sin 3x sin 2x=0 cos (3х+2х)=0 cos 5х=0 ,  пÎZ			sin 5x cos 3x=sin 6x cos 2x 0,5(sin 8x+ sin 2x)=0,5(sin 8x+ sin 4x) sin 2x - sin 4x=0 -2 sin x cos 3x=0
9. Уравнения, решаемые с помощью равенства одноимённых тригонометрических функций	sin α=sin b         cos α=cosb tg α=tgb	cos 3x= sin x cos 3x= cos (0,5p  – х) 3х – (0,5p  – х)=2p п        4х=,  , пÎZ 3х + (0,5p  – х)=2p k,   , kÎZ			sin 3x=sin 5x 5х-3х=2лp    2х=2лp,      х=лp,   лÎZ 3х+5х=(2т+1)p,       8х=(2т+1)p                                    х =, пÎZ Другое решение:       3х=(-1)п5х+pп, пÎZ п-чётн.        х=… п-нечётн.    х=…
10. Использование ограниченности функций у= sin x  и у= cos x.	и			sin sin x=1 Модуль полученного выражения больше 1 при любых k Þ корней нет			sin x+ sin 9x=2