Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Справочные материалы по теме "Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Справочные материалы по теме "Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

Некоторые приёмы решения тригонометрических уравнений.


cos x=a hello_html_2e1334cb.gif, пÎZ

hello_html_m4429e00.gif

tg x=a hello_html_m2dc96770.gif, пÎZ

сtg x=a hello_html_6e98b9b9.gif, пÎZ


1.Уравнения, приводимые к алгебраическим.

-Функции разных аргументов привести к функции одного аргумента.

-Разные функции одного аргумента привести к одной функции.

-Обозначить эту функцию новой переменной.

-Привести уравнение к алгебраическому виду и решить.

-Перейти к старым переменным.

-Найти корни исходного уравнения.

cos 2x+3 sin x=2;

cos2 x- sin2 x+3 sin x=2;

1-2 sin2 x+3 sin x-2=0;

sin x=y 2y2-3y+1=0;

y1=0,5; y2=1;

sin x=0,5 или sin x=1

х=hello_html_3139ebd1.gif

х=hello_html_m1a05792d.gif

2 cos2 3x - sin 3x =1;

2(1 - sin2 3x) - sin 3x = 1;

2 sin2 3x - sin 3x – 1 = 0;

sin 3x=у 2у2 – у – 1 = 0;

у1=1; у2= - 0,5;

sin 3x = 1; sin 3x = - 0,5

3х=hello_html_693b9c85.gif;3х=hello_html_70ec69c6.gif

х=hello_html_m49fc31c7.gif; х=hello_html_3c879483.gif

hello_html_439948e9.gif

2.Однородные уравнения.

a sin x + b cos x = 0 – I степ.

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 – II степ.

cos x=0 не является корнем исходного уравнения, т.к. если cos x=0, то в силу исходного уравнения и sin x=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому можно разделить обе части уравнения на cos x (на cos2 x) или на sin x (на sin2 x).

2 sin x - 3 cos x = 0;

hello_html_aec184d.gif;

2 tg x – 3 = 0;

tg x =1,5

х= arctg1,5+p п; пÎZ

sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x=0;

hello_html_m36aa27e.gif

tg2 x - 3 tg x + 2 = 0;

tg x =у у2 - 3у + 2=0;

у1=1 у2=2

tg x=1 tg x=2

х=hello_html_m58434550.gif х= arctg2+p k

п,kÎZ

При оформлении решения нужно пояснять, почему можно делить на cos x (cos2 x)

3. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

- Перенести все слагаемые в левую часть уравнения.

- Разложить левую часть уравнения на множители (с помощью вынесения общего множителя за скобки, группировки, формул сокращённого умножения и др.)

- Каждый множитель приравнять к нулю.

- Решить полученные уравнения.






sin 4x=3cos 2x

2sin 2xcos 2x-3cos 2x=0

cos 2x(2sin 2x – 3)=0

cos 2х=0 или 2 sin 2x– 3=0

2х=hello_html_m3e8659af.gifsin2x=1,5

hello_html_m6423708a.gif, пÎZ hello_html_a87e54f.gif


cos2 x+sin xcos x=0

cos x(cos x+sin x)=0

cos x=0 или cos x+sin x=0

hello_html_m4920b348.gif1+ tg x=0

hello_html_c680f0e.gif

п,kÎZ

sin x + cos x – 1 – sin 2x = 0

sin x + cos x – (cos2 x+sin2 x +

+ 2sin xcos x )=0

(sin x+cos x) – (sin x+cos x)2=0

(sin x+cos x)(1–sin x–cos x)=0

hello_html_m8e5e97a.gif

………

4. Линейные тригонометрические уравнения.

a sin x + b cos x где а2+b2 с2 (т.е. с hello_html_m71c5359f.gif) – иначе уравнение не будет иметь решения.

1 способ: применение универсальной подстановки: hello_html_1b215155.gif. Тогда

hello_html_4dac2470.gif

При таком переходе возможна потеря решений: следует помнить, что hello_html_2c9908df.gif (в этих hello_html_m15a05a84.gif не существует). Поэтому значения х= p +2p т нужно проверять, подставляя в исходное уравнение.

2 способ: введение дополнительного аргумента:

  • Обе части уравнения разделить на hello_html_m71c5359f.gif.

hello_html_4547d4f8.gif

  • Ввести дополнительный аргумент – угол α такой, что

hello_html_10ac30e8.gifи hello_html_m53ea41b1.gif тогда hello_html_40c38db5.gifhello_html_m2a8d82bf.gif

  • Если ввести угол b такой, что

hello_html_m30359bc8.gifи hello_html_m2104fb48.gif, то получим

hello_html_m6a1047df.gifhello_html_67186824.gif.

sin x + cos x= – 1

hello_html_1b215155.gifhello_html_5bf8c69d.gif

2t+1- t2= - 1 – t2

2t = -2

t = -1

hello_html_m637ce879.gif,

hello_html_m398e5641.gif

Подставив в исходное уравнение

hello_html_5b41d765.gifубеждаемся, что эти числа также являются его решениями.

Ответ: hello_html_6f070825.gifhello_html_mf33423b.gif, п,тÎZ

sin x + cos x= – 1

a=1, b=1, c= - 1.

a2+b2=2

hello_html_m4f9e4e06.gif.

Учитывая, что hello_html_cb8101b.gif

получим

hello_html_17328e49.gif

hello_html_5aaebbdb.gif

hello_html_m6a79f9c5.gif

hello_html_6867814a.gif

При данном способе решения нет риска потери корней.

3sin x +4 cos x= 2

a=3, b=4, c=2. a2+b2=25, с2=4, т.е. a2+b2 > с2

hello_html_m3d9ece55.gifhello_html_65c8da65.gif

hello_html_m51a1b110.gif

hello_html_411d38d9.gif. Значит hello_html_1640c107.gif.

5. Уравнения вида Р(sin x cos x,

sin x cos x)

Уравнения вида Р(sin x± cos x, sin x cos x), где Р(х,у) – многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной t= sin x ± cos x. Тогда 1± 2sin x cos x = t2.

sin x+cos x+4sin xcos x – 1 =0

t=sin x+cos x; t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x

Значит 4sin xcos x=2t2 – 2

2t2 + t – 3=0 sin x+cos x=1hello_html_m336de835.gif

t1=1 t2=-1.5 sin x + cos x= - 1,5hello_html_m9d205b5.gif

6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

hello_html_m48855e36.gifhello_html_m5bfee8d6.gif

2 sin2 x+ cos 4x=0

1- cos 2x+ cos 4x=0; Þ 1- cos 2x+2 cos2 2x-1=0; cos 2x(2 cos 2x-1)=0

cos 2x=0 hello_html_6519b0e8.gif или hello_html_6f4de79f.gif

7. Уравнения, решаемые преобразованием суммы или разности в произведение.

hello_html_m31387be9.gif

hello_html_26273a77.gif

hello_html_m78156009.gif

hello_html_6cb054bd.gifhello_html_c654aa5.gif

hello_html_m6f928d68.gif

sin 5x=sin 3x



cos 2x - cos 8x+cos 6x=1

cos 3x+sin 2x - sin 4x=0

8. Уравнения, решаемые преобразованием произведения в сумму и с помощью формул сложения.

hello_html_4dacbcc6.gif

hello_html_m559e3e33.gif

hello_html_m320e62de.gif

hello_html_m4573bda6.gif

hello_html_m13b7fdcd.gif

hello_html_m297b584e.gif

cos 3x cos 2x=sin 3x sin 2x

cos 3x cos 2x - sin 3x sin 2x=0

cos (3х+2х)=0

cos 5х=0

hello_html_m5b32b6d4.gif, пÎZ

sin 5x cos 3x=sin 6x cos 2x

0,5(sin 8x+ sin 2x)=0,5(sin 8x+ sin 4x)

sin 2x - sin 4x=0

-2 sin x cos 3x=0

hello_html_m38dc33aa.gif

hello_html_m4ff02f6a.gif





9. Уравнения, решаемые с помощью равенства одноимённых тригонометрических функций

sin α=sin hello_html_791f41a.gif cos α=cosbhello_html_m50aeb55d.gif

tg α=tgb hello_html_m10b05dfc.gif

cos 3x= sin x

cos 3x= cos (0,5p х)

3х – (0,5p – х)=2p п

4х=hello_html_8e6da6b.gif, hello_html_m720d564d.gif, пÎZ

3х + (0,5p – х)=2p k, hello_html_1a053941.gif, kÎZ

sin 3x=sin 5x

5х-3х=2лp 2х=2лp, х=лp, лÎZ

3х+5х=(2т+1)p, 8х=(2т+1)p

х =hello_html_m6c0997f3.gif, пÎZ

Другое решение:

3х=(-1)п5х+pп, пÎZ

п-чётн. х=…

п-нечётн. х=…

10. Использование ограниченности функций у= sin x и у= cos x.

hello_html_61c2b639.gifи hello_html_m52d55f4.gif

hello_html_25bf9a88.gif

sin sin x=1

hello_html_m105d2f20.gif

Модуль полученного выражения больше 1 при любых k корней нет

sin x+ sin 9x=2


Автор
Дата добавления 17.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров143
Номер материала ДБ-037523
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх