Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Справочные материалы по теме "Показательные уравнения и неравенства"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Справочные материалы по теме "Показательные уравнения и неравенства"

библиотека
материалов

Показательная функция, показательные уравнения и неравенства.


Определение: Функция, заданная формулой у = ах, где а>0 и а1, называется показательной функцией с основанием а.

Основные свойства показательной функции: 1) а0 = 1; 2) а –х =hello_html_m2c39f6b0.gif; 3) а х а у х+ у; 4) hello_html_5607cc8.gif;

5) (аb)х = а х b х; 6) hello_html_4babbde8.gif; 7) (ах) у = а ху; 8) если а х у, то х=у;

9) при а>1 из условия, что а х > а у следует, что х > у;

при 0 < а < 1 из условия, что а х > а у следует, что х < у.

Показательные уравнения.


1) Простейшие а х=b, где а>0 и а1

Если b≤0, то корней нет, т.к. а х >0.

Если b >0, то х=loga b.

1)hello_html_3005d265.gif

или hello_html_m3d1d691.gif.

2) hello_html_619f1d67.gif

2) а f(x)=a g(x) f(x)=g(x)

hello_html_m66ef630f.gif

3) А ах+ т+ В ах+ п=С.

Выносим общий множитель ах за скобки (за скобки можно выносить степень с наименьшим показателем).

hello_html_m70efda20.gifhello_html_m4696ba9b.gif

hello_html_3512a279.gifhello_html_m24cb0b50.gif

hello_html_m24244d8.gifhello_html_2065d4ff.gif

hello_html_40c4221c.gif

hello_html_49508e9.gif

4) А× а+ В× а х =С.

С помощью замены а х = t приводим уравнение к квадратному А× t 2+ В× t =С.

hello_html_70016ad8.gif

hello_html_m5148c2d3.gifhello_html_5d22e738.gif

hello_html_4ffc755.gif

5) А× ах + В× а –х + С = 0.

С помощью замены а х = t приводим уравнение к квадратному А×t2+С×t +В=0.

hello_html_5190fbb6.gif

hello_html_64d7e758.gifhello_html_m7297642e.gif

hello_html_2702c12f.gif

6) Однородные показательные уравнения:

А× ах = В× bх – 1 степени;

А× а+ В× ах bх+ С b=0 – 2 степени;

А× а пх+ В× ат х × b(п-т)х×bпх=0.

Решаем делением на bх; b; bпх соответственно, т.к. bх0, b0, bпх0.

hello_html_74b6d7b9.gifhello_html_m57611fc7.gif

hello_html_m5a3fba97.gif

7) А × а f(x) × b g(x)

Логарифмируем обе части уравнения по одному и тому же основанию (в качестве основания логарифма можно взять, в том числе, а или b).

hello_html_m338c0595.gif

8) Mhello_html_1fd586f0.gif, где а2- b=1. С помощью замены hello_html_2a3de3d.gif или hello_html_m2e97970b.gif приводим к квадратному

hello_html_6b016279.gif

9) Уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям высших степеней.

hello_html_m132d14bd.gif

10) Уравнения, решаемые на основе свойств функций.

hello_html_m296c4232.gif. Разделим обе части уравнения на 8х:

hello_html_m21f206cd.gif. Выражение, стоящее в левой части равенства, задаёт убывающую функцию (т.к. основание меньше 1), а выражение, стоящее в правой части равенства, задаёт возрастающую функцию (т.к. основание больше 1). Следовательно, если корень существует, то он один. Подбором получаем, что х=2


Получаем, что основными способами решения показательных уравнений являются:

  1. Метод уравнивания показателей степеней.

  2. Функционально-графический (основан на использовании графических иллюстраций или свойствах функций)

  3. Метод логарифмирования.

  4. Метод введения новой переменной.

  5. Метод разложения на множители.

  6. Комбинированный.


Показательные неравенства.

Простейшие показательные неравенства имеют вид ах > b или ах < b.

ах > b если b≤0, то х(-∞;+∞) ах < b если b≤0, то хÎØ

если b > 0, то ах > hello_html_5bcd1613.gif. если b > 0, то ах < hello_html_5bcd1613.gif.

Тогда при а > 1 х > logab, Тогда при а > 1 х < logab,

при 0 < а < 1 х < logab при 0 < а < 1 х < logab.

Основные методы решения показательных неравенств те же, что и для уравнений. Полученные при этом простейшие неравенства решаются на основе вышеизложенного.

Степенно-показательные уравнения


Степенно-показательными уравнениями называются уравнения вида hello_html_m1f97f60c.gif.

При решении уравнений данного типа важно учитывать следующие условия:

  1. основание степени не может быть отрицательным.

  2. рассматриваются два случая решения:

а) основание степени положительно;

б) основание степени равно 1, показатели степени при этом определены.

Степенно-показательные уравнения можно решать по следующей схеме:

  1. Уравнения вида hello_html_m3cad0090.gif:

hello_html_m2fd7feed.gif

  1. Уравнения вида hello_html_m1f97f60c.gif:


hello_html_590a329b.gif

Данные уравнения можно также решать с помощью логарифмирования обеих частей уравнения по одному и тому же основанию и последующим разложением на множители:

hello_html_m1f97f60c.gif

hello_html_m63e9f009.gif




Автор
Дата добавления 17.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров236
Номер материала ДБ-037499
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх