696344
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыСправочные материалы по теме "Показательные уравнения и неравенства"

Справочные материалы по теме "Показательные уравнения и неравенства"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Показательная функция, показательные уравнения и неравенства.


Определение: Функция, заданная формулой у = ах, где а>0 и а1, называется показательной функцией с основанием а.

Основные свойства показательной функции: 1) а0 = 1; 2) а –х =hello_html_m2c39f6b0.gif; 3) а х а у х+ у; 4) hello_html_5607cc8.gif;

5) (аb)х = а х b х; 6) hello_html_4babbde8.gif; 7) (ах) у = а ху; 8) если а х у, то х=у;

9) при а>1 из условия, что а х > а у следует, что х > у;

при 0 < а < 1 из условия, что а х > а у следует, что х < у.

Показательные уравнения.


1) Простейшие а х=b, где а>0 и а1

Если b≤0, то корней нет, т.к. а х >0.

Если b >0, то х=loga b.

1)hello_html_3005d265.gif

или hello_html_m3d1d691.gif.

2) hello_html_619f1d67.gif

2) а f(x)=a g(x) f(x)=g(x)

hello_html_m66ef630f.gif

3) А ах+ т+ В ах+ п=С.

Выносим общий множитель ах за скобки (за скобки можно выносить степень с наименьшим показателем).

hello_html_m70efda20.gifhello_html_m4696ba9b.gif

hello_html_3512a279.gifhello_html_m24cb0b50.gif

hello_html_m24244d8.gifhello_html_2065d4ff.gif

hello_html_40c4221c.gif

hello_html_49508e9.gif

4) А× а+ В× а х =С.

С помощью замены а х = t приводим уравнение к квадратному А× t 2+ В× t =С.

hello_html_70016ad8.gif

hello_html_m5148c2d3.gifhello_html_5d22e738.gif

hello_html_4ffc755.gif

5) А× ах + В× а –х + С = 0.

С помощью замены а х = t приводим уравнение к квадратному А×t2+С×t +В=0.

hello_html_5190fbb6.gif

hello_html_64d7e758.gifhello_html_m7297642e.gif

hello_html_2702c12f.gif

6) Однородные показательные уравнения:

А× ах = В× bх – 1 степени;

А× а+ В× ах bх+ С b=0 – 2 степени;

А× а пх+ В× ат х × b(п-т)х×bпх=0.

Решаем делением на bх; b; bпх соответственно, т.к. bх0, b0, bпх0.

hello_html_74b6d7b9.gifhello_html_m57611fc7.gif

hello_html_m5a3fba97.gif

7) А × а f(x) × b g(x)

Логарифмируем обе части уравнения по одному и тому же основанию (в качестве основания логарифма можно взять, в том числе, а или b).

hello_html_m338c0595.gif

8) Mhello_html_1fd586f0.gif, где а2- b=1. С помощью замены hello_html_2a3de3d.gif или hello_html_m2e97970b.gif приводим к квадратному

hello_html_6b016279.gif

9) Уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям высших степеней.

hello_html_m132d14bd.gif

10) Уравнения, решаемые на основе свойств функций.

hello_html_m296c4232.gif. Разделим обе части уравнения на 8х:

hello_html_m21f206cd.gif. Выражение, стоящее в левой части равенства, задаёт убывающую функцию (т.к. основание меньше 1), а выражение, стоящее в правой части равенства, задаёт возрастающую функцию (т.к. основание больше 1). Следовательно, если корень существует, то он один. Подбором получаем, что х=2


Получаем, что основными способами решения показательных уравнений являются:

  1. Метод уравнивания показателей степеней.

  2. Функционально-графический (основан на использовании графических иллюстраций или свойствах функций)

  3. Метод логарифмирования.

  4. Метод введения новой переменной.

  5. Метод разложения на множители.

  6. Комбинированный.


Показательные неравенства.

Простейшие показательные неравенства имеют вид ах > b или ах < b.

ах > b если b≤0, то х(-∞;+∞) ах < b если b≤0, то хÎØ

если b > 0, то ах > hello_html_5bcd1613.gif. если b > 0, то ах < hello_html_5bcd1613.gif.

Тогда при а > 1 х > logab, Тогда при а > 1 х < logab,

при 0 < а < 1 х < logab при 0 < а < 1 х < logab.

Основные методы решения показательных неравенств те же, что и для уравнений. Полученные при этом простейшие неравенства решаются на основе вышеизложенного.

Степенно-показательные уравнения


Степенно-показательными уравнениями называются уравнения вида hello_html_m1f97f60c.gif.

При решении уравнений данного типа важно учитывать следующие условия:

  1. основание степени не может быть отрицательным.

  2. рассматриваются два случая решения:

а) основание степени положительно;

б) основание степени равно 1, показатели степени при этом определены.

Степенно-показательные уравнения можно решать по следующей схеме:

  1. Уравнения вида hello_html_m3cad0090.gif:

hello_html_m2fd7feed.gif

  1. Уравнения вида hello_html_m1f97f60c.gif:


hello_html_590a329b.gif

Данные уравнения можно также решать с помощью логарифмирования обеих частей уравнения по одному и тому же основанию и последующим разложением на множители:

hello_html_m1f97f60c.gif

hello_html_m63e9f009.gif




Общая информация

Номер материала: ДБ-037499

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.