Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Справочник к уроку геометрии для 11 кл "Примеры решения стереометрических задач"

Справочник к уроку геометрии для 11 кл "Примеры решения стереометрических задач"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задачи с пирамидами. На блоге уже рассмотрены задания с правильными пирамидами, в этих статьях шла речь о нахождении элементов и площади поверхности. Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать – формулу объёма пирамиды:

hello_html_706a6ddf.png

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания

Посмотрите на  проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и  шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):

hello_html_m4a6d3e04.png

 

Можете посмотреть ещё одну статью на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды.

Рассмотрим задачи:

hello_html_7c2f17e6.png

27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.

hello_html_m586e4b09.png

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

hello_html_58770959.png

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

hello_html_m1fdc2685.png

Таким образом, объём пирамиды равен:

hello_html_m174e8211.png

Ответ: 0,25

 

hello_html_7c2f17e6.png

27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.

hello_html_4f69de47.png

Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:

hello_html_m36b8f40.png

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.

Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:

hello_html_m19b3ea0d.png

Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:

hello_html_m3d6da427.png

Высота равна трём.

Ответ: 3

 

hello_html_7c2f17e6.png

27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

hello_html_m1a4ddf29.png

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

hello_html_75240e63.png

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):

hello_html_m46eb851a.png

Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:

hello_html_c790f0.png

Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:

hello_html_m49166e6d.png

Следовательно:

hello_html_m2b844ec5.png

Таким образом, объём пирамиды равен:

hello_html_30edd2f5.png

Ответ: 256

 

hello_html_7c2f17e6.png

27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

hello_html_ca32376.png

Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора  вычислим боковое ребро:

hello_html_3d030def.png

Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):

hello_html_m24a9035c.png

Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:

hello_html_3da81afc.png

Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.

Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:

hello_html_m4cb08555.png

Ответ: 13

 

hello_html_7c2f17e6.png

245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

hello_html_m13c3ef07.png

Как уже неоднократно было сказано –  объём пирамиды вычисляется по формуле:

hello_html_25f4c769.png

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды –  это многоугольник, площадь которого равна:

hello_html_5038b61.png

Таким образом:

hello_html_mc3bb10e.png

Ответ: 27

 





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 15.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров21
Номер материала ДБ-195556
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх