Справочник по математике для самостоятельной работы студентов по теме "Тригонометрия"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ                                СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ                                                            НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ                                                                                                                   «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

КРАТКИЙ

СПРАВОЧНИК

по математике

 (тригонометрия)

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Предмет тригонометрия

Слово "тригонометрия" искусственно составлено из греческих слов: "тригонон" - треугольник и "метрезис" - измерение. Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Тригонометрические функции

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть a° - градусная мера угла, b - радианная, тогда справедливы формулы:

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента

1.		4.
2.		5.
3.		6.

Формулы сложения

(в последних двух формулах  и соответственно

( в последних двух формулах  и соответственно

Формулы двойных и половинных углов

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы преобразования произведения в сумму

Формулы приведения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Общее решение	Частные случаи
,
,
,
,

Для решения простейших тригонометрических неравенств , , ,  (вместо знака  могут стоять , , ) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей функции с прямой , расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции.

Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.

Тригонометрические функции половинного аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти

находится угол )

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

(Выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол )

1)    Через

2)    Через

3)    Через

4)    Через

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Преобразование степеней синуса и косинуса

5)    Графики и основные свойства тригонометрических функций

	для
	для
	для
	для
, , , период , нечетная
	для
	для
	для
	для
, , , период , четная
	для
	для
	для
, \, , период , нечетная
	для
	для
	для
, \, , период , нечетная

Графики и основные свойства обратных тригонометрических функций

	для
	для
	для
	Функция нечетная
, , , непериодическая функция
	для
	для
	для
	Функция ни четная, ни нечетная
, , , непериодическая функция
	для
	для
	для
	Функция нечетная
, , , непериодическая функция
	для
	для
	для
	Функция ни четная, ни нечетная
, , , непериодическая функция

Связь тригонометрических функций с обратными тригонометрическими функциями осуществляется при помощи следующей таблицы

-90°=	-1	-	-¥	-
-60°=		-	-	-
-45°=		-	-1	-
-30°=		-		-
0	0	1	0	¥
30°=
45°=			1	1
60°=
90°=	1	0	¥	0
120°=	-		-
135°=	-		-	- 1
150°=	-		-	-
180°=	-	-1	-	- ¥

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

Примеры решения задач

1.     Найти значение следующих тригонометрических выражений:

,  , если .

Решение. Выпишем формулы для нахождения ,  :

, , .

.

Из основного тригонометрического тождества найдем :

Далее найдем значения искомых выражений:

  

Ответ: , ,

2.     Доказать тождество:

Решение. Приведем левую часть к 1:

.

         Тождество доказано.

3.     Вычислить значение выражения:

Решение. Используя формулы приведения, получим:

         Итак, значение выражения 0.

Пояснения к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Для решения произвольных тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы, которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.

Из общих соображений выскажем следующее: при замене одной функции другой следует избегать введения радикалов, так как это усложняет решение и требует проверки найденных корней (при возведении уравнения в степень могут появиться посторонние корни).

Иногда оказывается возможным, перенеся все члены уравнения в левую часть, разложить ее на сомножители.

1.     Уравнения, однородные относительно  и .

Каждое из уравнений:

,

 и т.д.

называется однородным относительно  и . Сумма показателей степеней у  и  во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Делением на ,  степень однородного уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно .

Разделив, например, уравнение  на , получим уравнение:

.

При  эти уравнения эквивалентны, так как если , то из первого уравнения получим, что и , что невозможно (и  при одном и том же аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим , решая квадратное уравнение относительно , а по значениям  - соответствующие значения.

4.     Решить уравнение:

Решение. Заменяя  и , получим однородное уравнение:

,

или

.

Деля на  (), получим:

.

Вводим новую переменную  и получаем квадратное уравнение относительно нее:

.

Корни этого уравнения: . Далее получаем равносильную совокупность уравнений:

    

2.     Уравнения, левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.

Перенеся все члены любого уравнения в левую часть, его можно привести к виду .

Если левая часть этого уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из корней полученных уравнений, которые входят в область определения первоначального уравнения.

Рассмотрим пример.

5.     Решить уравнение:

.

Решение. Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим уравнение:

или .

Разность косинусов преобразуем в произведение , которое равносильно совокупности уравнений:

              

3.     Уравнения вида .

Эти уравнения можно решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки , воспользовавшись формулами, выражающими  и  через :

    и .

Исходное уравнение сводится к дробно-рациональному алгебраическому уравнению, решение которого нами было рассмотрено ранее.

Такие уравнения рациональнее решать введением вспомогательного угла: . Рассмотрим дальнейший ход решения уравнения путем эквивалентных преобразований левой части:

.

Введем обозначения:

 и .

Заметим, что выражение в скобках в этом случае преобразуется в косинус разности аргументов:

.

Таким образом, исходное уравнение приводится к эквивалентному простейшему тригонометрическому уравнению:

, или ,

решение которого, суть

, .

Задача решена в общем виде.

6.     Решить уравнение:

.

Решение. (первый способ) Заменив  и  через , получим:

. Введем новую переменную:  и получим эквивалентное квадратное уравнение относительно :

,

у которого дискриминант равен нулю и, следовательно, имеем единственный корень . Задача свелась к решению уравнения:

; ;         , .

Решение. (второй способ). Введем вспомогательный угол: .

Тогда решение исходного уравнения сразу запишется в виде:

=, .

Иными словами, мы получили тот же ответ, что не удивительно.

Краткое описание документа:

Данная методическая разработка предназначена для самостоятельной работы студентов первого курса медицинского техникума, специальности Сестринское дело по теме: «Тригонометрия». Методическое пособие разработано для преподавателя с целью выявления и систематизации знаний студентов по данной теме. Основными задачами является закрепление и углубление теоретических знаний у студентов  по данной теме.

Методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Она содержит в себе материал, способствующий формированию сознательного отношения к процессу обучения, стремлению к самостоятельной работе и всестороннему овладению знаниями. Развитию интереса к учебному предмету, содействию активизации мышления обучающихся. Развитию познавательной деятельности обучающихся, по овладению программного учебного материала, по дисциплине  «Математика».