Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Справочный материал геометрия 8 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Справочный материал геометрия 8 класс

библиотека
материалов


Справочныйматериал



Геометрия

8 класс



Мhello_html_75deb7e.pngногоугольники

Точки hello_html_m423fb82a.gif, hello_html_m20b24293.gif,hello_html_m74e8ea67.gif, hello_html_2abe0df8.gif, hello_html_m3dd5c50c.gifвершины многоугольника.

Отрезки hello_html_4eb6edff.gif, hello_html_m5db73b98.gif, hello_html_m9e90e84.gif, hello_html_199b0479.gif, hello_html_m74fa7b41.gifстороны многоугольника.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.

Две вершины, которые принадлежат одной стороне, называются соседними.

Оhello_html_7f1a7e3f.pngтрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Мhello_html_m3310965f.pngногоугольником называют фигуру, состоящую из отрезков и внутренней области.








Сумма углов выпуклого -угольника равна hello_html_m14239688.gif.

hello_html_379c6c94.png




hello_html_m4e211487.png


Точки hello_html_397be56.gif,hello_html_73bf7134.gif, hello_html_m4badca72.gif, …,hello_html_76f1c86e.gif, hello_html_m2c9d5f39.gifвершины многоугольника.

Отрезки hello_html_m1f5d2e8.gif,hello_html_m2b8cbc02.gif, …, hello_html_m51a0a4aa.gif, hello_html_4a28fcdc.gifстороны многоугольника.

Многоугольник с hello_html_m3f6ec792.gif вершинами называется -угольником.



Чhello_html_m15dc22d5.pngетырёхугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.

Точки hello_html_m423fb82a.gif, hello_html_m20b24293.gif, hello_html_4c268409.gif, hello_html_2abe0df8.gifвершины четырёхугольника.

Отрезки hello_html_4eb6edff.gif, hello_html_m5db73b98.gif, hello_html_m9e90e84.gif, hello_html_m2759b406.gifстороны четырёхугольника.

Вершины четырехугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

Вершины, которые не являются соседними, называются противоположными.

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними.

Стороны, не имеющие общего конца, называются противоположными.

Оhello_html_f3f7b4a.pngтрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются диагоналями.







hello_html_m710acd3a.png







hello_html_4e1783ad.png


Периметром четырёхугольника называется сумма длин всех его сторон.

hello_html_m7a9857d1.gif


Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна hello_html_7a48909d.gif.



Параллелограмм и трапеция

Пhello_html_5cff513.pngараллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

hello_html_25303c9d.png

Сhello_html_324bb90e.pngвойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна hello_html_m53847a8f.gif.

Сhello_html_md020c7c.pngвойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.

hello_html_71b7a315.png

Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.

hello_html_669057e4.png

Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.



Признаки параллелограмма

Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.


Тhello_html_m7127c59d.pngрапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями.

А не параллельные – боковыми сторонами.


hello_html_m4ef18820.png


Перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение, называется высотой трапеции.


Тhello_html_m4926d578.pngрапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной.




hello_html_3e06ca94.png

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется

равнобедренной.




Свойство углов равнобедренной трапеции. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.




Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

hello_html_483bf238.png

Свойство диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.


Пhello_html_m4a2adc5c.pngризнак прямоугольника. Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.


Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.


Свойства диагоналей ромба. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов.


Признак ромба. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Признак ромба. Если у параллелограмма одна из диагоналей лежит на биссектрисе угла, то этот параллелограмм – ромб.


Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

hello_html_m2aee9197.png

Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.


Квадрат – это параллелограмм, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом.


Квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба.


Основные свойства квадрата:

1. Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и лежат на биссектрисах его углов.

hello_html_m6e917a00.png















Осевая и центральная симметрии

Симметрия (с др.-греч. συμμετρία – соразмерность, т.е. схожесть, одинаковость) – это свойство геометрических объектов сохранять расположение элементов фигуры относительно оси или центра симметрии в неизменном состоянии при некоторых преобразованиях.


Осевая симметрия – симметрия относительно прямой.


Цhello_html_m1baa025b.pngентральная симметрия – симметрия относительно точки.


Точки hello_html_76cc277c.gif и hello_html_397be56.gifназываются симметричными относительно прямойhello_html_m39bec179.gif, если эта прямая проходит через середину отрезка hello_html_eaa9b07.gif и перпендикулярна отрезку hello_html_eaa9b07.gif.


Фигура называется симметричной относительно прямой hello_html_m39bec179.gif, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой hello_html_m39bec179.gif также принадлежит этой фигуре.

Прямая hello_html_m39bec179.gifось симметрии фигуры.

Тhello_html_41ca0c3a.pngочки hello_html_76cc277c.gif и hello_html_397be56.gif называются симметричными относительно точкиhello_html_6049613.gif, если точка hello_html_5576dd12.gif – середина отрезка hello_html_eaa9b07.gif.



hello_html_m3bfeced7.png










Площадь многоугольника

Пhello_html_m77843744.pngлощадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения.

Площадь (hello_html_79b300e8.gif)

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Например, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной один сантиметр.

Рhello_html_m53a9a332.pngавные многоугольники имеют равные площади.

Еhello_html_m5c668676.pngсли многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Если сторона квадрата равна hello_html_m39bec179.gif, то его площадь равнаhello_html_m5b1fabf.gif (hello_html_m54afa6ee.gif).

Пhello_html_3bc83d46.pngлощадь – величина положительная.

Площадь прямоугольника со сторонами hello_html_m39bec179.gifи hello_html_dc40eee.gif вычисляется по формуле hello_html_4264182a.gif.

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Вhello_html_m7b67154b.pngысотой параллелограмма, проведённой к стороне, называется перпендикуляр, проведённый из любой точки противолежащей стороны к прямой, содержащей эту сторону.

Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.


Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

Пhello_html_m695c460a.pngлощадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Высотой трапецииназывается перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение.

hello_html_m4641ddd2.png









Пhello_html_ma8fc84b.pngлощадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.






Теорема Пифагора

Тhello_html_19e144c7.pngеорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.



Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.


Пhello_html_m6cd33737.pngрямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.










hello_html_m2bc7a7c9.png












Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.

В Древнем Египте для построения прямого угла строили прямоугольный треугольник при помощи кольев и натянутых на них верёвок длиной 3, 4 и 5 единиц. Тогда угол между сторонами, равными трём и четырём, получался прямым.




Определение подобных треугольников

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Отношением отрезков hello_html_m1002dcc5.gif и hello_html_m32250c7e.gif называется отношение их длин, т. е. hello_html_46775e76.gif.

hello_html_m11dbcea.png












Отрезки hello_html_53ff3cbe.gif и hello_html_31081224.gif пропорциональны отрезкам hello_html_144f73a2.gifи hello_html_37f4aeff.gif, если hello_html_m64110c8.gif.

Фhello_html_45cbf099.pngигуры одинаковой формы называют подобными.













Сhello_html_661cb7ba.pngтороны hello_html_m1002dcc5.gif и hello_html_m63834ff5.gif, hello_html_548761b9.gif и hello_html_515ab617.gif,hello_html_2c9dc305.gif и hello_html_m74bb192c.gif называются сходственными.

hello_html_5f73fbb7.gif

Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

hello_html_1f61290.pnghello_html_12f24854.gif

Число hello_html_mdd9fe13.gif, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

hello_html_m5f4ab72c.gif


Признаки подобия треугольников

Пhello_html_m5d11b616.pngервый признак подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.



hello_html_m6e5d04a6.png

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Пhello_html_m66c1aad8.pngрямоугольные треугольники подобны по острому углу.











hello_html_6b864856.png

Второй признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.









hello_html_m56cf01a3.png

Третий признак подобия треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.



Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

hello_html_6f959467.png

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.



Теорема.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.


Медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит каждую медианув отношении hello_html_313b8f3c.gif, считая от вершины.


hello_html_3eb7c3c2.gif

hello_html_m2fd7d82d.png









Отрезок hello_html_m293fb14b.gif называется средним пропорциональным (илисредним геометрическим) для отрезков hello_html_m1002dcc5.gif и hello_html_m32250c7e.gif, если hello_html_3e4ce3a4.gif.

hello_html_m2613331a.png











Высотапрямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

hello_html_7311ed95.gif

Катет прямоугольного треугольникаесть среднее пропорциональноедля гипотенузы и отрезка гипотенузы,заключенного между катетом и высотой,проведенной из вершины прямого угла.

hello_html_m7dc9d299.gif

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

hello_html_3e912577.pnghello_html_m4b5e0b33.gif


Косинусом острого угла прямоугольного

треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

hello_html_m6f1c45c0.gif


Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

hello_html_273c089a.gif







Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

hello_html_m2660be8e.png


hello_html_58cc64c4.gif

hello_html_m6302490c.gif

hello_html_15f369ed.gif



Основное тригонометрическое тождество

hello_html_72dd24a1.gif

Пhello_html_m27daf846.pngосчитать значения синусов, косинусов, тангенсов, для всех острых углов прямоугольного треугольника очень трудно. Для этого существуют специальные таблицы Брадиса, названные так в честь Владимира Модестовича Брадиса, российского и советского математика.

Касательная к окружности

Оhello_html_m696b0799.pngкружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от точки О, которую называют центром окружности.

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром и равна двум радиусам.


Еhello_html_m25442e12.pnghello_html_m2cdc0730.pngсли расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. В таком случае, прямая называется секущей по отношению к окружности.


Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В таком случае, прямая называется касательной к окружности.

hello_html_2df999c0.png

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.




Пhello_html_m2cdc0730.pngрямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.


Свойство касательной к окружности:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.


Сhello_html_m7d5b6ad.pngвойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.


Признак касательной:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.





Центральные и вписанные углы

Дуга– часть окружности.

hello_html_m478dbe15.png

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.



Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

hello_html_m7fa860fb.png

hello_html_m5ec481c2.gifцентральный угол


hello_html_41ec6891.png

Еhello_html_2e30b4e6.pngсли hello_html_m1002dcc5.gif окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера равна градусной мере hello_html_m20d1c1ac.gif.


Если hello_html_m1002dcc5.gif больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной hello_html_mf33c1f9.gif




Вписанный уголhello_html_m31708bd8.gifугол, вершина которого лежит на окружности,а стороны пересекают окружность.

hello_html_m38d9c230.png

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

hello_html_m66760b80.gif«hello_html_m4990dcc0.gif»

hello_html_2155ac17.png

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


Вписанный угол, опирающийся на полуокружностьhello_html_m31708bd8.gifпрямой.

hello_html_m709c7d8d.png




Еhello_html_69b949e2.pngсли две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

hello_html_mb3bc75.gif



Четыре замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника– это точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.


Свойства точки, лежащей на биссектрисе неразвернутого угла:

hello_html_2198c26c.png

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.


Обратная теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.


Теорема. Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Группа 16

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.




Сhello_html_m6b00729a.pngерединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.


Свойства точки, лежащей на серединном перпендикуляре к отрезку:


Тhello_html_4b45aa3d.pngеорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.


Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.


Тhello_html_6b7a2d8a.pngеорема. Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.


Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.




Медианы треугольника пересекаются в одной точке.


hello_html_m780ab43a.png







Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

hello_html_21604b2d.png









Вписанная и описанная окружности

Еhello_html_m73072367.pngсли все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.







hello_html_m583a2da5.png



Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.


Замечания.

1. В треугольник можно вписать только одну окружность.

2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.



Еhello_html_2cf66931.pngсли в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

hello_html_58ee9f4b.gif

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

hello_html_29234eac.png

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.




Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.




Замечания.

1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

2. В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.


Еhello_html_m28ef1fae.pngсли же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна hello_html_m193756ea.gif.

hello_html_m1c5d7674.gif

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна hello_html_5d0cacb5.gif, то около него можно описать окружность.

hello_html_m7bd922bf.png

Перпендикуляры, восстановленные к серединам сторон треугольника (серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности, и называется ортоцентром.







Оглавление

Многоугольники 2

Параллелограмм и трапеция 7

Прямоугольник, ромб, квадрат 10

Площадь многоугольника 15

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции 16

Теорема Пифагора 18

Определение подобных треугольников 20

Признаки подобия треугольников 23

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 25

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 27

Касательная к окружности 29

Центральные и вписанные углы 31

Четыре замечательные точки треугольника 34

Вписанная и описанная окружности 37

Оглавление 40






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 11.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров817
Номер материала ДВ-249818
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх