Справочный материал 6 класс

Делители и кратные

Делителем натурального числа  а называется натуральное число, на которое  а делится без остатка.

Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на  а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Признаки делимости

1.    Если запись натурального числа оканчивается цифрой  0, то это число делится без остатка на  10.

2.    Если запись натурального числа оканчивается цифрой  0 или 5, то это число делится без остатка на  5.

3.    Если запись натурального числа оканчивается   цифрами 0, 2, 4, 6, 8,  то   это число делится без остатка на  2.

4.    Если сумма цифр числа делится на  9, то и число делится на 9.

5.    Если сумма цифр числа делится на  3, то и число делится на 3.

6.    Если две последние цифры в записи числа делятся на 4, то и число делится на 4.

7.    Если число делится и на 2 и на 3, то число делится на 6.

НОД и НОК

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b , называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Числа, которые делятся на 2 называются четными.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если наибольший общий делитель равен 1.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

1.     Разложить их на простые множители;

2.     В разложениях найти одинаковые множители, выписать их один раз;

3.     Найти произведение выписанных множителей.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел  a   и  b называют наименьшее натуральное число, которое кратно(делится) и a, и  b.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких  натуральных чисел, надо:

1.     Разложить их на простые множители;

2.     Выписать множители, входящие в разложение одного числа;

3.     Добавить к ним недостающие множители из разложений других чисел;

4.     Найти произведение получившихся множителей

Сложение и вычитание дробей

с разными знаменателями

       дробная черта (деление)

Дробь – это часть целого.

Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделили целое.

Числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Сократить дробь это значит, числитель и знаменатель дроби  разделить на одно и тоже натуральное  число.

Чтобы перевести неправильную дробь в смешанное число надо:

1.     Числитель разделить на знаменатель.

2.     Неполное частное записать целой частью.

3.     Остаток записать в числитель, знаменатель оставить тем же.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с равными (одинаковыми ) знаменателями надо сложить числители, а знаменатель оставить тем же.

Пример:       +  =  =

Алгоритм

сложения и вычитания

обыкновенных дробей с разными знаменателями.

1.     Найти наименьший общий знаменатель (или НОК)

2.     Найти дополнительный множитель для каждой дроби

(новый знаменатель разделить на старый)

3.     Умножить дополнительный множитель на числитель.

4.     Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

5.     Посмотреть внимательно на ответ, если можно  - сократить, если дробь неправильная, то выделить целую и дробную часть.

Алгоритм

сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить (вычесть) смешанные числа надо:

1.     Сложить целые части;

2.     Сложить дробные части (по правилу сложения дробей с разными знаменателями):

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1.     Вычесть  целые части;

2.     Вычесть дробные части (по правилу вычитания дробей с разными знаменателями):

3.     Если уменьшаемое меньше вычитаемого, у целой части занять 1, представить её в виде неправильной дроби; прибавить её к дробной части и выполнить вычитание.

Умножение и деление

обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

                                          =

Чтобы  умножить дробь на дробь, надо:

1.     Числитель умножить на числитель;

2.     Знаменатель умножить на знаменатель;

3.     Если возможно перед умножением дроби сократить.

4.     Если в ответе получилась неправильная дробь надо:  выделить целую и дробную часть.

Чтобы умножить смешанные числа надо:

1.     Перевести их в неправильную дробь.

2.     Выполнить умножение обыкновенных дробей по правилу.

Чтобы найти дробь от числа , нужно умножить число на эту дробь.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно:

1.     Умножить целую часть на натуральное число;

2.     Умножить дробную часть на это натуральное число;

3.     Сложить полученные результаты.

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо:

1.     Первую дробь переписать;

2.     Знак деления заменить на умножение;

3.     Вторую дробь заменить взаимно обратной (перевернуть);

4.     Выполнить умножение дробей по правилу.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это число разделить на эту дробь.

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

Свойства сложения.

1.    a + b = b + a   -  переместительное.

От перестановки слагаемых, сумма не изменяется

2.    a + b + с =  (a + b) + с = a + (b + с) – сочетательное.

От расстановки скобок сумма не изменяется.

Свойства умножения.

1.    а · b = b · a   -  переместительное.

От перестановки множителей, произведение не изменяется.

2.    a ·b · с =  (a · b) · с = a · (b ·с) – сочетательное.

От расстановки скобок произведение  не изменяется.

3.   (a + b) · с = а· с + b· с – распределительное относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число надо, умножить каждое слагаемое на это число, а полученные произведения сложить.

4.   (a - b) · с = а· с - b· с – распределительное относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число надо, умножить уменьшаемое на это число, вычитаемое на это число, а полученные произведения сложить.

Названия компонентов действий.

Названия компонентов при сложении:  1 слагаемое + 2 слагаемое = сумма	1 слагаемое = сумма-2 слагаемое
Названия компонентов при вычитании: уменьшаемое – вычитаемое = разность	уменьшаемое = разность + вычитаемое вычитаемое = уменьшаемое- разность
Названия компонентов при умножении: 1множитель· 2множитель = произведение	1 множитель= произведение : 2множитель
Названия компонентов при делении: делимое : делитель = частное	делимое = делитель · частное делитель = делимое : частное