Инфоурок / Математика / Конспекты / Справочный материал на тему "РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ"

Справочный материал на тему "РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,

СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Модуль (абсолютная величина) числа, уравнение, неравенство, числовой промежуток

Вам известно, что модуль или абсолютная величина числа, а обозначается символом:hello_html_4b22a614.gif

Также вы знаете, что hello_html_m5835a92f.gif

Аналогично определяется модуль функции, а именно:

hello_html_m352421e2.gif

Например: hello_html_368bfd10.gif

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используем следующий алгоритм:

  1. выражение, содержащееся под знаком модуля, приравниваем к нулю и решаем уравнение

  2. используя найденные корни, разбиваем числовую ось на промежутки

  3. исходное уравнение решаем для каждого промежутка по отдельности, причём знак абсолютной величины опускаем на основе определения модуля

  4. проверяем принадлежность решения рассматриваемому промежутку

  5. найденные решения уравнений будут корнями исходного уравнения



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ



Пример 1. Решим уравнение:hello_html_7feb7f10.gif

Решение. Сначала решим уравнения hello_html_51c43b26.gif, затем отметим на числовой оси полученные корни: hello_html_61321b19.gifи hello_html_m350a97f8.gif

Тогда имеем четыре числовых промежутка: hello_html_m30512cdf.gifи hello_html_m45cf7eb.gif

hello_html_m277791dc.png

hello_html_591bee0c.gifhello_html_248119e4.gifhello_html_3b031e5e.gifhello_html_m5547f17b.gif





Решим данное уравнение (1) на каждом из этих промежутков.

  1. На промежутке hello_html_m5abdd3bb.gifпо определению абсолютной величины: hello_html_3875cc6e.gifСледовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: hello_html_m3e408b0a.gif, имеющему единственный корень:hello_html_6644cc5.gif. Этот корень не принадлежит промежутку hello_html_m5abdd3bb.gif. Следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.

  2. На промежутке hello_html_m229afd14.gifпо определению абсолютной величины: hello_html_9c195d5.gifСледовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению hello_html_541b5196.gif, имеющему единственный корень: hello_html_1f8e3c74.gif. Этот корень не принадлежит промежуткуhello_html_m229afd14.gif, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке корней не имеет.

  3. На промежутке hello_html_m141c4cf4.gifпо определению абсолютной величиныhello_html_5948e566.gifСледовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению hello_html_m598aa86.gif, имеющему единственный корень: hello_html_ceb09e7.gif. Этот корень принадлежит промежутку hello_html_m141c4cf4.gif, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень, равный единице.

  4. На промежутке hello_html_m45cf7eb.gif по определению абсолютной величины: hello_html_66df9720.gifСледовательно, на этом промежутке уравнение (1) равносильно уравнению: hello_html_65240834.gif, имеющему единственный корень: hello_html_7cd157de.gif. Этот корень не принадлежит промежутку hello_html_m45cf7eb.gif, следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень hello_html_m27353acd.gif.

Пример 2. Решим уравнение: hello_html_59d6cad8.gif

Решение. Сначала приравниваем нулю выражение, которое под знаком модуля: hello_html_m5000f33e.gif. Это уравнение приhello_html_m1d4ae5fe.gifимеет кореньhello_html_m53f11c23.gif. Этот корень будет точкой разбиения числовой оси. Ещё одной точкой разбиения является точка hello_html_m27353acd.gif, в которой теряется смысл выражения под знаком модуля.

Этими двумя точками, hello_html_m53f11c23.gif и hello_html_m27353acd.gif, числовая ось разбивается на следующие три промежутка: hello_html_m3976c951.gif

Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков:

  1. На промежутке hello_html_m570ccb70.gifпо определению абсолютной величины: hello_html_33545507.gifСледовательно, данное уравнение равносильно уравнению hello_html_m482d891a.gif, которое не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение на это промежутке не имеет корней.



  1. На промежутке hello_html_4a0c28f5.gifпо определению абсолютной величины: hello_html_m2b82cdab.gifПолучим уравнениеhello_html_5dd7637b.gif, которое имеет единственный корень: х = 0.

  2. На промежутке hello_html_6cafe4ad.gif по определению абсолютной величины: hello_html_33545507.gif Следовательно, исходное уравнение, как и в первом случае, не имеет корней на этом промежутке.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень: x = 0.



Пример 3. Решим неравенство: hello_html_cc9dbe3.gif

Решение. Решаем уравнение hello_html_499b7db0.gifи hello_html_3d53333d.gif. Получим hello_html_m12dc1267.gif и hello_html_59e735d7.gif. Этими двумя точками числовая ось разбивается на три промежутка

hello_html_4739a232.png

- 2 3 х

Рассмотрим данное неравенство на каждом из полученных промежутков:

  1. приhello_html_m6d9600ee.gifнеравенство принимает вид:

hello_html_236da7fc.gifили hello_html_39632f99.gif, т.е. решениями данного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: hello_html_786037f1.gif

Отсюда, hello_html_m6d9600ee.gif

hello_html_m41454929.png

- 2 hello_html_5a1c7bf2.gifх

2) приhello_html_m2d029ff2.gifисходное неравенство принимает вид: hello_html_m310eb83e.gif или hello_html_9ecb472.gif



hello_html_4584d04b.png

Следовательно, решениями исходного неравенства являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: hello_html_14bc889c.gif , а именно hello_html_58635e62.gif

  1. приhello_html_m11624111.gifисходно неравенство принимает вид: hello_html_m3d038702.gif или hello_html_7bc99579.gif, другими словами, решениями являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: hello_html_6021e718.gif т.е. hello_html_7bc99579.gif

Таким образом, в итоге решением данного неравенства будут значения х, удовлетворяющие неравенствам: hello_html_176283d6.gifhello_html_58635e62.gifи hello_html_7bc99579.gif, т.е. промежутки hello_html_175bd6df.gif

Ответ:hello_html_175bd6df.gif





ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Решите уравнение hello_html_199d0721.gifОтвет: hello_html_maf0b4e5.gif



  1. Решите уравнение hello_html_5784c4a7.gifОтвет: hello_html_m574b7e38.gif



  1. Решите уравнение hello_html_md815703.gifОтвет: hello_html_m207f4ca6.gif



  1. Решите уравнение hello_html_m3dc9951.gifОтвет: hello_html_m70bbfdfe.gif



  1. Решите уравнение hello_html_75f2a34b.gifОтвет: hello_html_1fc832b3.gifhello_html_m4749566.gif



  1. Решите уравнение hello_html_m4bc0868f.gifОтвет: 1



  1. Решите уравнение hello_html_690513c7.gifОтвет: hello_html_2f2aabad.gif



  1. Решите неравенство hello_html_m606f2771.gifОтвет: hello_html_2b9ad059.gif



  1. Решите неравенство hello_html_303f10ba.gifОтвет: hello_html_m74362ab1.gif



  1. Решите неравенство hello_html_m5ff8d815.gifОтвет: hello_html_47630f16.gif























Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ



Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство, решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.

Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются параметрами, а уравнение (неравенство) – уравнением с параметрами (неравенством с параметрами).

При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:

  1. определить, при каких значениях параметров существуют решения;

  2. найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений параметров.

Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом. Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми коэффициентами.



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решим уравнение hello_html_m376ebdf9.gifдля каждого значения параметра а.

Решение. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть hello_html_mb1c7325.gif, тогда данное уравнение имеет вид:hello_html_727014f4.gif. Этому уравнению удовлетворяет любое действительное значение х.

  2. Пусть hello_html_62e50fc6.gif, тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным решение: hello_html_m1ecd50db.gif.

Ответ:х – любое число при hello_html_77c06f5a.gifприhello_html_m1e8b62dd.gif



Пример 2. При каких значениях, а уравнение hello_html_m7e7c8faa.gifимеет один корень?

Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно hello_html_m28fa9110.gif, устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений hello_html_3e62e7ec.gif и hello_html_m240e865a.gif. Уравнение hello_html_3e62e7ec.gifприhello_html_m564bd7af.gif имеет одно решение, а при hello_html_67491745.gif не имеет решения.

Уравнение hello_html_m240e865a.gif при любом значении, а имеет единственное решение.



Пример 3. Решим уравнение: hello_html_m2d6ee263.gif

Решение. Замечаем, что значения 0 и hello_html_m1f99df40.gifне являются допустимыми значениями для х. Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:

hello_html_m4f4b331b.gif

hello_html_33c05291.gif

Если hello_html_33181dc9.gif, то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в этом случае принимает вид: hello_html_m3d50808f.gif.

Если hello_html_32239f4a.gifто, разделив уравнение (1) на hello_html_47d79ec3.gif, получим квадратное уравнение: hello_html_58c9484d.gif. Корни его: hello_html_7ea69fae.gif,

Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 приhello_html_33181dc9.gif; hello_html_m5db75690.gifи hello_html_ma755d3d.gif при hello_html_600bee76.gif



Пример 4. Решим уравнение hello_html_m343adcf8.gif

Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются системой неравенств:

hello_html_4e461319.gifили hello_html_ad97fb3.gif.

Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки hello_html_m5b83116.gif, то hello_html_m20c1237c.gifи решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что иhello_html_54956c17.gif Если а и х имеют разные знаки hello_html_65813132.gifто hello_html_m125dd5a4.gifи решением уравнения может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и hello_html_m19ee7f0a.gif. Таким образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если hello_html_3767e8b6.gifпри а = 0.

Перепишем уравнение в виде hello_html_m70d02d59.gifи возведём обе его части в квадрат. После преобразований получим: hello_html_m3607b554.gif, откуда:

1) hello_html_6790bba6.gifпри произвольных значениях а;

2) hello_html_738dd66c.gif, или hello_html_3d818773.gif.

Последнее уравнение имеет решения, еслиhello_html_m14f24c1c.gifВозведём обе части этого уравнения в квадрат и после упрощения получим: hello_html_4d90060f.gif, откуда при hello_html_755a0d6b.gifнаходим:

hello_html_3d38b3b7.gifhello_html_3c00f0a7.gifНайденные значения будут корнями данного уравнения, если:

hello_html_3778d070.gifили hello_html_2aa13c7e.gif

Отсюда получим:

hello_html_42901d67.gifили hello_html_64dcff4c.gif

Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а. Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств hello_html_m6c6fbfd3.gif и hello_html_m140b9a4.gifт.е. hello_html_27b1d6f.gif

Ответ:hello_html_27b1d6f.gif



Пример 5. Решим неравенство hello_html_108da287.gif

Решение.Дискриминант уравнения hello_html_2e749cba.gif будет hello_html_m4ea1c500.gif.

Рассмотрим три случая: hello_html_7046ba49.gif

  1. При hello_html_5807be47.gif или hello_html_m688befe1.gifполучаем: hello_html_45f7c572.gif. Следовательно, для каждого hello_html_m399eb923.gifданное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

  2. При D = 0 или hello_html_1d635a9.gifполучается: hello_html_25345bb3.gifи hello_html_m66f61daf.gif. Следовательно, здесь также для каждого hello_html_25345bb3.gifи hello_html_m66f61daf.gifданное неравенство имеет решение и его решением является любое действительное число.

  3. Приhello_html_m7025bc2.gifили hello_html_6bee9987.gifполучится: hello_html_m6db12f75.gifи hello_html_m3412f0ef.gif. Следовательно, на каждом из промежутков hello_html_48df00e7.gifи hello_html_61aa79.gifданное неравенство имеет решение и его решение имеет вид: hello_html_562e6d0b.gif и hello_html_m1421b7db.gifгде: hello_html_m6aa7d498.gifhello_html_2fd304ee.gif

Ответ: х – любое действительное число приhello_html_6bce5822.gif



hello_html_15103c3b.gifпри hello_html_mb1ac149.gif



Пример 6. Решим неравенство: hello_html_m2eda1943.gif.

Решение. 1) При hello_html_27ca5b09.gifправая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая часть неравенства больше правой.

  1. Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме

х = - 3.









ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Решите уравнение

hello_html_m6b2ac11.gifОтвет: приhello_html_516b0bce.gifнет решений, при hello_html_27ca5b09.gif, hello_html_m25b31187.gif

  1. Решите уравнение

hello_html_m6181589.gifОтвет: приhello_html_27ca5b09.gif, hello_html_m1bfe0ee1.gif, при, hello_html_516b0bce.gif, нет решений

  1. Решите уравнение

hello_html_357fc79b.gifОтвет: приhello_html_27ca5b09.gif,hello_html_6afd3993.gif, при hello_html_516b0bce.gif, нет решений

  1. Решите уравнение

hello_html_m5381b529.gifОтвет: приhello_html_27ca5b09.gif,hello_html_m644772aa.gif, при hello_html_516b0bce.gif, нет решений

  1. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения

hello_html_77dcd255.gif.

Ответ: значений, а нет

  1. Найдите все значения а, при которых число х = - 3 является решением неравенства

hello_html_m22fa95af.gif

Ответ: hello_html_4c5ef228.gif

  1. Найдите все значения а, при которых число х = - 2 является корнем уравнения

hello_html_5f53843e.gif

Ответ: hello_html_m7a389026.gif

  1. Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение hello_html_m5ccb3441.gif имеет три корня?

Ответ: нет



  1. Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения hello_html_641b8e7f.gif

Ответ: hello_html_m3cfdea06.gif

  1. Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение hello_html_75ca687f.gifимело 2 различных корня.

Ответ: hello_html_4b6b2e46.gif





ТЕСТ №1

  1. Решите уравнение:

hello_html_73d55408.gif

A) hello_html_7ee8f746.gifB) hello_html_724d395.gifC) hello_html_6234d42b.gifD) hello_html_3bc38263.gifE) hello_html_m31e9d62c.gif

  1. Решите уравнение

hello_html_239772d5.gif

A) hello_html_3602dc36.gifB) hello_html_m3440c4f.gifC) hello_html_m6a19cb80.gifD) hello_html_13adce00.gifE) hello_html_35005694.gif

  1. Решите уравнение

hello_html_65de819d.gif

A) 3;5 B) – 3;- 5 C) – 5;3 D) 5; -3 E) hello_html_2105de66.gif

  1. Решите уравнение

hello_html_m56c26535.gif

A) 6;-2 B) -6;-2 C) 6;2 D) -6;2 E) hello_html_m93b4bce.gif

  1. Решите уравнение

hello_html_7837992c.gif

A) hello_html_38a0c47f.gifB) hello_html_5debba02.gifC) hello_html_m4ec29686.gifD) hello_html_3f1d7c5d.gifE) hello_html_m7d254818.gif

  1. Решите уравнение при каждом значении параметра а.

hello_html_29b03002.gif

A) приа = 1 решения нет B) при а = 1 одно решение C) а = 1

D) нет решений E) hello_html_77d3952a.gif

  1. Для каждого значения, а найдите число корней уравнения hello_html_m4505dd98.gif

A) при a< 0 нет корней B) при a< 0 нет корней

приа = 0 один корень при а = 0 один корень

приа > 0 два корня при а > 0 нет корней


C) приa< 0 два корня D) при а = 0 три корня

приа = 0 нет корней при а > 0 два корня

приа > 0 один корень при a< 0 один корень


E) приa< 0 три корня

приа > 0 два корня

приа = 0 нет корней


  1. Для каждого значения, а найдите число корней уравнения

hello_html_522227eb.gif

A) hello_html_m17760b2.gifB) hello_html_731a7643.gifC) hello_html_4cf1ff86.gifD) hello_html_m7dbb23e7.gifE) hello_html_77d3952a.gif

  1. Найдите все значения а, при которых число х = -2 является решением неравенства

hello_html_m470459a3.gif

A) решений нет B) hello_html_77d3952a.gifC) hello_html_m41c77efe.gifD) hello_html_4cf1ff86.gifE) hello_html_m15c9312c.gif

  1. Найдите все значения а, при которых число х = 2 не является решением неравенства

hello_html_m41392611.gif

A) нет решения B) hello_html_m2911228c.gifC) hello_html_1667da1a.gifD) hello_html_6cc77256.gifE) hello_html_44eef1b7.gif







ТЕСТ №2

  1. Решите уравнение hello_html_m6c9f14f2.gif

A) hello_html_m30a6338.gifB) hello_html_746e636f.gifC) hello_html_m29170bd3.gifD) hello_html_4283e737.gifE) hello_html_m516933e1.gif


  1. Решите уравнение hello_html_64859b3d.gif

A) 0;1 B) -1;0 C) -1;1 D) 0 E) 1


  1. Решите уравнение

hello_html_1f604802.gif

A) hello_html_1d9d3d50.gifB) hello_html_m641d028c.gifC) hello_html_m3caa5696.gifD) hello_html_62d153b.gifE) hello_html_m6494460e.gif


  1. Решите уравнение

hello_html_711be353.gif

A) hello_html_6078a3e7.gifB) hello_html_m2a0bf2ce.gifC) hello_html_1ea4a439.gifD) hello_html_m56568734.gifE) hello_html_1a88b97b.gif

  1. Решите уравнение при каждом значении параметра аhello_html_m3a4e3035.gif

A) приhello_html_f4065cb.gifB) при а = 3, х = а C) при hello_html_m1118c74a.gif

D) приhello_html_1a2a3a97.gifприhello_html_m5cb10ce7.gifE) нет решений


  1. Решите уравнение hello_html_562383d7.gif

A) 0;10 B) 10;10 C) 0 D) -10;0 E) -10;10


  1. Решите неравенствоhello_html_m29ab290f.gif

A) hello_html_m3db25263.gif; B) hello_html_md545e14.gif; C) hello_html_m2de2bc78.gif; D) hello_html_385f7259.gif; E) нет решений


  1. Решите уравнение hello_html_m1590c3df.gif

A) hello_html_m6bb62030.gifB) нет решений C) hello_html_m27248f7a.gif

D) hello_html_m3f3d834f.gifE) hello_html_m6eb6386b.gif


  1. Найдите все значения а, при которых число х = -2 является корнем уравнения

hello_html_33f8089f.gifх = -2

A) hello_html_m473f5ae7.gifB) hello_html_5a1c7bf2.gifC) hello_html_m324906d0.gifD) hello_html_249368e9.gifE) hello_html_5b70250a.gif


  1. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения hello_html_3782cd49.gif

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4









ОТВЕТЫ



Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,

СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест №1

B

B

C

D

E

A

A

E

A

B

Тест №2

A

B

C

D

D

D

A

E

A

E





Общая информация

Номер материала: ДВ-305635

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»