Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Справочный материал по теме: "Решение квадратных уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Справочный материал по теме: "Решение квадратных уравнений"

библиотека
материалов

Справочный материал по теме: « Квадратные уравнения и способы их решения»

  • Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 +bx+c=0, где а,b,c- заданные числа, а≠0, х - неизвестное.

Коэффициенты а, b и с квадратного уравнения называют так:

апервым или старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, ссвободным членом.

Например, в уравнении 4х2 +5х+1=0 старший коэффициент 4, второй коэффициент 5, а свободный член 1.

Квадратные уравнения могут быть полными и неполными.

  • Квадратное уравнение ax2 +bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю или оба коэффициента b и c равны нулю.

Рассмотрим виды неполных квадратных уравнений и их решения.

Неполное квадратное уравнение при с=0 имеет вид ax2 +bx = 0, где а ≠ 0; b≠ 0.

В левой части этого уравнения есть общий множитель x. Вынесем общий множитель x за скобки.

Мы получим x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем x=0 или ax+b=0. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

hello_html_m37bdfffd.gif

Решаем получившуюся систему уравнений.

Решив эту систему, мы получим hello_html_6f34565d.gifи x=hello_html_m5f33d3a2.gif. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня hello_html_6f34565d.gifи x=hello_html_m5f33d3a2.gif.

Пример:

4 x2-8x=0

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

4 x2-8x=0

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

4 x2-8x=0

4x(x-2) =0

4x=0 или x-2=0

hello_html_5fedea3d.gif

hello_html_f8fa25a.gif

Ответ: 0; 2.

Неполное квадратное уравнение при b=0 имеет вид ax2 + c = 0, где a≠0, с≠0.

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим x2:

http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1689/356010a426.jpg

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1689/4a9589ac6c.jpg, то получаем два корня: http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1689/56718ae54a.jpg

если http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1689/53efdcc047.jpg, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.



Пример:

2- 144=0

2=144

х2=144:4

х2=36

х=6 и х=-6

Ответ: 6;-6.

Пример:

2+ 75=0

2=-75

х2= -75:3

х2= - 25 в этом случае уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.



Неполное квадратное уравнение при b=0 и c=0 имеет вид ax2 = 0, a≠0.

Разделим обе части уравнения на а, мы получим х2=0. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень х=0. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень х=0.

Ответ: х=0.



  • Полным квадратным уравнением является то квадратное уравнение, у которого коэффициенты b и c не равны нулю, например: 3х2 +4х+4=0; 2х2 +3х+1=0;

-5х2 +10х-5=0 и т.д.


Рассмотрим способы решения полных квадратных уравнений.


Решение с помощью дискриминанта:

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение b2 — 4ac, т.е.

D= b2 — 4ac.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:

hello_html_m4ece295e.gif.

Пример 1.

2 -7х+3=0

а=2, b= - 7, c=3

D= b2 — 4ac = (-7)2-4∙ 2 ∙ 3=49-24=25>0 (уравнение имеет два корня)

х1=hello_html_m5d11b876.gif=hello_html_m6690e836.gif=hello_html_m6f6be3eb.gif=3, х2=hello_html_m59d40487.gif=hello_html_mb79cc33.gif=hello_html_m37fcb3a3.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Ответ: hello_html_6eec8aff.gif; 3

2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: х1= х2= hello_html_m46786619.gif

Пример 2.

2 -6х+1=0

а=9, b=-6, c=1

D= b2 — 4ac = (-6)2-4∙ 9 ∙ 1=36-36=0 (говорят, что уравнение имеет один корень)

х1= х2= hello_html_32eecbd9.gif=hello_html_6e2b950f.gif=hello_html_7f8f9891.gif

Ответ: hello_html_7f8f9891.gif.


3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.

Пример 3.

5х2 -8х-4=0

а=5, b=-8, c=-4

D= b2 — 4ac = 82-4∙ (-8) ∙ (-4) = 64-128= - 64<0 (уравнение не имеет корня)

Ответ: нет корней.


Рассмотрим решение квадратного уравнения вида ax2 +2mx+c=0,

где а≠0, b=2m.

В этом случае дискриминант уравнения будет равен D=m 2 — ac, а корни уравнения hello_html_m44b54df9.gif

Пример:

5х2 -8х-4=0

5х2 -2∙4х-4=0

а=5, m=4, с=-4

D=m 2 — ac=42-5∙(-4)=16+20=36

hello_html_345b3bdc.gif

Ответ: - hello_html_2ee8300a.gif; 2


Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата.

Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. Решая уравнение данным методом, мы преобразуем его так, что в левой части получился квадрат двучлена (а - b)2=a2-2ab+b2 или (а +b)2=a2+2ab+b2 , а правая часть не содержит неизвестное.

Пример 1:

х2 +2х -3=0

х2 +2∙ х ∙1+1-1-3=(х+1)2 – 4

(х+1)2 = 4

х+1 =2 и х+1 = - 2

х=2-1=1 и х = - 2-1= -3

Ответ: -3; 1

Пример 2:

4х2 -8х -12=0

4х2 - 2∙ 2х ∙2+4 – 4-12=(2х-2)2 – 16

(2х-2)2 = 16

2х-2 =4 или 2х-2 = - 4

2 х=4+2 2х = - 4+2

2 х=6 2х = -2

х=6:2 х = -2:2

х=3 х = - 1

Ответ: -1;3.


Решение приведенного квадратного уравнения.

Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0 называется приведенным квадратным уравнением (а=1).

Теорема Виета: Если х1 и х2—корни уравнения x2 + px + q = 0, то справедливы формулы х1+ х2= - p и х1х2 = q, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример:

х2 +2х -15=0

р=2, q=-15

если х1+ х2= - p и х1х2 = q, то х1+ х2= -2 и х1х2 = -15. Значит х1=3 и х2 =-5.

Ответ: 3; -5.

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду x2 + px + q = 0 делением обеих частей на коэффициент а.


Решение квадратного уравнения методом коэффициентов:

а) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов равна 0, то первый корень равен единице, а второй равен с, деленному на а.

Если а+b+c=0, то х1=1 и х2 =hello_html_37f9032d.gif.

Пример:

5х2 -8х+3=0

а=5, b= - 8, c=0

а+b+c=5+(-8)+3=0, значит х1=1 и х2 =hello_html_3b88a430.gif.

Ответ:1; hello_html_3b88a430.gif.

б) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов а и c равна коэффициенту b, то первый корень равен минус единице, а второй равен минус с, деленному на а.

Если а+c= b, то х1= - 1 и х2 =hello_html_1f3b7780.gif.

Пример:

6х2 +10х+4=0

а=6, b= 10, c=4

а+c= b, то х1=-1 и х2 =hello_html_m73649ae6.gifВидим, что 6+4=10, значит х1=-1 и х2 =hello_html_m58f13638.gif.

Ответ:-1; - hello_html_6a1c94eb.gif.










Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 02.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров528
Номер материала ДВ-404308
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх