СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ по теме: «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений» 6 класс

І. Повторение

1. Правила действий с рациональными числами

А) сложение

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак «-» (минус).

Например: (-2)+(-3)=-5.

Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Например: -2,7+3=0,3; 18+(-20)=-2.

Б) вычитание

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Примеры:

13-17=13+(-17)=-4;

-4,9-(-3)=-4,9+3=-1,9;

Вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением:

a-b=a+(-b), a-(-c)=a+c.

в) умножение

Чтобы умножить отрицательное число и положительное, надо умножить их модули и перед результатом поставить знак минус: (-a)*b=-ab.

Примеры:

(-1,5)*4=-60;

8* (-1/4)=-2;

(-1/2)*(1/3)=-1/6.

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули: (-a)*(-b)=ab.

Примеры:

(-2)*(-7)=14;

(-1,2)*(-5)=6;

(-3/8)*(-2,3)=1,4.

Г) деление

Чтобы разделить одно рациональное число на другое, надо разделить их модули; если знаки делимого и делителя разные, то перед результатом нужно поставить знак минус.

Примеры:

-3,6:3=-1,2;

3,6: (-3)=-1,2; но -3,6: (-3)=1,2.

Д) возведение в степень:

и т.д.

п раз

Примеры:

Е) порядок выполнения действий

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом действия в скобках (если есть), умножение или деление по порядку, сложение, вычитание по порядку.

Примеры:

2. Правило нахождения дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

от а равно а*.

Пример:

от 200 равно 200*=80.

3. Правило нахождения числа по значению дроби

Чтобы найти число по значению дроби, надо значение дроби разделить на эту дробь.

Если от х равно с, то х=с: .

Пример:

Если от числа равно 80, то число равно 80: =200.

4. Условие равенства нулю произведения

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Примеры:

1. a*b=0, если а=0 или b=0 или а=b=0.

2. Решить уравнение: (5-х)*(х +0,3)=0

Решение

5-х=0 или х+3=0

х=5 х=-0,3

Ответ: -0,3; 5.

5. Определение модуля числа

Модулем числа а называется расстояние в единичных отрезках от начала координат до точки с координатой а.

А 0 В

-4 4

4 4

.

6. Правило нахождения модуля числа

Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число.

А (-2) 0 В(3)

2 3

а, если число а неотрицательное;

-а, если число а отрицательное.

7. Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

8. Определение пропорции

Пропорция – это равенство двух отношений a:b=c:d или при

a и d – крайние члены пропорции, b и c – средние члены пропорции.

9. Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов верной пропорции равно произведению ёё средних членов

Если a:b=c:d, то a* d =c* b.

4:2=8:4, 4*4=2*8.

Если 0,3:1=2,1:7, то 0,3*7=1*2,1.

10. Правило нахождения членов пропорции

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ёё крайних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение её крайних членов разделить на известный средний.

Примеры:

А) ;

Решение:

;

Ответ: 15.

Б) 8:х=4:0,5

Решение

Ответ: 1.

В)

Решение:

Ответ: 0,5

11. Процент и процентное отношение

Один процент - это одна сотая часть.

1%=0,01; 100%=1; 50%=0,5; 200%=2.

Процентное отношение - это отношение двух чисел, выраженное в процентах.

А) Пример: отношение 2 к 5 равно

Б) задача. Возле школы растёт 20 деревьев, из них 8 – липы. Сколько процентов этих деревьев составляют липы?

Решение:

Отношение лип ко всем деревьям возле школы равно или 0,4 или 40%. Таким образом, липы составляют 40% всех деревьев, растущих возле школы.

12. Основные задачи на проценты

1. нахождение процентов от числа;

2. нахождение числа по процентам;

3. нахождение процентного отношения двух чисел.

Примеры задач (их можно решить несколькими способами)

1. Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы выполнили 40% задания. Сколько гектаров они вспахали в первый день?

Решение (способ подстановки)

300 га – 100%

х га – 40%

Значит, в первый день вспахали 120 га.

Ответ: 120 га.

2. В первый день трактористы вспахали 120 га, что составляет 40% всего поля. Найдите площадь всего поля.

Решение

120 га – 40%

х га – 100%

Значит, площадь всего поля 300 га.

Ответ: 300 га.

3. Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов всего поля они вспахали в первый день?

Решение

300 га – 100%

120 га – х %

Значит, в первый день они вспахали 40%.

Ответ: 40%.

13. Преобразование простейших выражений

1) Правила раскрытия скобок

А) перед которыми стоит знак «+».

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «+», достаточно опустить скобки и знак перед ними.

Пример:

2а + (x-y+z)=2a+x-y+z

Б) перед которыми стоит знак «-»

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «-», достаточно опустить скобки и знак перед ними, а знаки слагаемых, которые были в скобках, изменить на противоположные: +(а - с)=а-с; -(а - с)=-а+с.

Примеры:

-(3+4-9)=-3-4+9;

4-(х-а+с)=4-х+а-с.

В) с помощью распределительного свойства умножения:

(a+b)-c=a*c+b*c, (a-b)*c=a*c-b*c.

Пример:

5*(х+2y-0,5t)=5x+10y-0,25t.

3. Приведение подобных слагаемых

А) определение подобных слагаемых

Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называются подобными.

Примеры:

1. 5х, -3х, 2х – подобные;

2. В сумме 9ab-3a+7ab-1 подобными являются 9ab и 7ab.

Б) Правило приведения подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общий буквенный множитель.

Примеры:

1. 5-7х+11=16-7х;

2. 3a-2b+7a=10a-2b;

3. 2 (m+n-3)-(2m+5n-7)=2m+2n-6-2m-5n+7=-3n+1.

II. Уравнения. Повторение

14. Определение уравнения

Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами (значения которых надо найти).

Например, 8х-5=10; 5а-2=3+3а.

15. Знак, который делит уравнение на левую и правую части – это знак «=».

Например:

6х-5 = 10

Левая часть правая часть

16. Определение корня уравнения

Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Например:

Для уравнения 2х+2=8

х=3 – корень уравнения, т.к. 2*3+2=8 = верно, а х=4 – не является корнем, т.к. 2*4+28.

17. Количество корней уравнения

Уравнение может иметь один корень, два, несколько или бесчисленное множество корней, а может совсем не иметь корней.

Например, уравнение

1. 2х+7=1 имеет один корень - х=-3;

2. имеет два корня: ;

3. (х-3)(х-2)(х+1)=0 имеет три корня: ;

4. - не имеет корней;

5. - бесконечное множество корней.

18. Что значит решить уравнение

Решить уравнение - означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

19. Решение уравнений с помощью правил нахождения количества действий

Правила нахождения:

А) неизвестного слагаемого

Чтобы найти неизвестно слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример. Решите уравнение 78+х=100

Решение:

х=100-78

х=22

Ответ: 22.

Б) неизвестного вычитаемого

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример. Решите уравнение 108-х=96.

Решение:

х=108-96;

х=12;

Ответ: 12.

В) неизвестного уменьшаемого

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Пример. Решите уравнение х-34=32.

Решение:

х=32+24;

х=116;

Ответ: 116.

Г) неизвестного множителя

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Пример. Решите уравнение 5х=15.

х=15:5;

х=3;

Ответ: 3.

Д) неизвестного делимого

Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

Пример. Решите уравнение х:21=16.

Решение:

х=16*21;

х=336;

Ответ: 336.

Е) неизвестного делителя

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Пример. Решите уравнение 576:х=18.

Решение:

х=576:18;

х=32;

Ответ: 32.

III. Решение уравнений

20. Определение равносильных уравнений

Два уравнения называются равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и те уравнение, которые не имеют корней.

Например:

А) х+5=х и 2=х=3-х;

Б) х-3=2 и х+7=10.

21. Действия, позволяющие заменить данное уравнение равносильным ему

А) преобразование выражений (см. 13);

Б) Применение основных свойств уравнений (см. 22);

22. Основные свойства уравнений

А) о переносе слагаемых из одной части уравнения в другую

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. При этом получим уравнение, равносильное данному.

Пример:

5х=21-2х и 5х+2х=21 имеют одни и те же корни.

Б) об умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное.

Пример. Решить уравнение .

Решение:

Умножим обе части уравнения на 4:

2х=-3-х;

2х+х=-3;

3х=-3|:3;

х=-1;

Ответ: -1.

23. В чём заключается процесс решения уравнений

Процесс решения уравнений – это замена данного уравнения более простым уравнением, равносильным данному, которое мы получаем, используя (тождественные) преобразования выражений и свойства уравнений.

IV Определенные правила, используемые при решении задач на составление уравнения

24. Правило 1. Если в задаче несколько неизвестных, то обозначаем буквой х меньшее из них, либо то, с которым сравниваются остальные неизвестные.

1) Пример. Задача 1. В одной корзине в 3 раза меньше яблок, чем в другой, а вместе в двух корзинах 28 кг. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Решение:

Можно записать сначала условие как в младших классах, а затем обозначить неизвестные.

1 - ? кг, в 3 р. <

28 кг

2 - ? кг

х кг

28 кг.

3х кг

Получаем уравнение:

х+3х=28

Если обозначить наоборот:

1 - ? кг, в 3 р. <

28 кг

2 - ? кг

х:3 кг

28 кг,

х кг

то получаем уравнение , которое решить труднее, чем уравнение х+3х=28.

2) Задача 2. В трёх цехах завода 115 рабочих. В 1 цехе в 2 раза больше, чем во втором, а третьем на 5 меньше, чем во 2. Сколько рабочих в каждом цехе?

Решение

1 - ? раб., в 2 р. >

2 – ? раб. 115 раб.

3- ? раб., на 5 <

2х раб.

х раб. 115 раб.

(х-5) раб

25. Правило 2. Если в задаче неизвестно, на сколько одна величина больше, чем другая, то составить уравнение можно, используя три способа.

Например, если число а больше числа b на 5, то это условие можно записать таким образом:

a-b=5 или a-5=b, или b+5=a.

Задача 3. В одном ящике было в 5 раз больше винограда, чем в другом. Сколько килограммов винограда было в каждом ящике, если во втором было на 40 кг меньше, чем в первом?

Правильно записанное короткое условие задачи даёт возможность легко составить уравнение.

Решение

1 - ? кг, в 5 р. > 5х кг

2 - ? кг х кг, на 40 кг <

Получаем уравнение

5х – х =40;

4х=40;

х=10.

Значит, во втором ящике было 10 кг, а в первом 5*10=50 кг.

Ответ: 50 кг, 10 кг.

26. Правило 3. Если в задаче известно, во сколько раз одна величина меньше (больше), чем другая, то уравнение можно составить, используя три способа.

Например, если число а больше числа b в 5 раз, то это условие можно записать так: а=5b или b=5:a, или b=1/5a.

Очевидно, что лучшим является а=5b. Если из двух величин меньшую обозначить х, то большая будет равна 5х.

Задача 4. Я на 6 лет старше своей сестры, а она моложе меня в 4 раза. Сколько лет мне и моей сестре?

Решение

Я – (х+6) лет

Сестра – х лет, в 4 раза <

Получаем уравнение:

4х=х+6;

4х-х=6;

3х=6;

х=2.

Значит, сестре 2 года, тогда мне 2+6=8 лет.

Ответ: 2 года, 8 лет.

27. Правило 4. Во время решения задач на движение нужно, чтобы единицы измерения были в одной системе (км/час, час, км). Следует обратить внимание на единицы измерения времени.

Например, 1 ч 12 мин=

V Типы задач и запись их условий

28. 1) Условие задач на движение удобно изображать с помощью схемы

А)

А В

Б) А В

В)

А В

Г)

А В

2) Тип 1. Задачи на движение по суше

Задача 5. Расстояние между двумя городами автомобиль преодолевает за 1,5 часа, а мотоциклист за 2 часа. Найдите расстояние между городами, если скорость мотоциклиста на 18 км/ч меньше скорости автомобиля.

Решение:

Условие можно записать в таблицу

Транспорт

V, км/ч

t, час

S, км

Автомобиль

х+18

1,5

2х

Мотоцикл

х

2

1,5(х+18)

х>0. Получаем уравнение:

1,5(х+18)=2х;

1,5х+27=2х;

27=2х-1,5х;

27=0,5х;

х=54.

Значит, скорость мотоциклиста 54 км/ч, а расстояние между городами 2*54=108 км.

Ответ: 108 км.

3) Тип 2. Задачи на движение по воде

В этих задачах есть собственная скорость катера (лодки и т.п.), которая должна быть больше скорости течения, и скорость течения. Тогда скорость катера и скорость течения. Тогда скорость катера

; (в озере стоячая вода)

.

Задача 6. Катер прошёл по реке от пристани А до пристани В и вернулся назад. От пристани А до пристани В катер шёл 2 часа. Через 2,5 часа после выхода катера от пристани В ему осталось пройти до пристани А ещё 3 км. Найдите расстояние между пристанями, если скорость течения реки 3 км/час.

Анализируем условие задачи. На путь о пристани А до В катер затратил меньше времени, чем на обратный путь, поэтому от пристани А до пристани В он шёл по течению реки. Запишем условие, обращая внимание на допустимые значения х.

Решение:

, , тогда х>3.

Пристань

V, км/ч

t, час

S, км

А В (по теч.)

х+3

2

2(х+3)

В А (против теч.)

х-3

2,5

2,5(х-3), на 3 км <

Получаем уравнение:

2(х+3) - 2,5(х-3)=3.

4) Тип 3. Задачи экономического содержания

Во время решения задач по теме «Цена, количество, стоимость» условие удобно записывать с помощью таблицы, выражая цену и стоимость в гривнях или в копейках.

Задача 7. За 7 тетрадей и 4 альбома для рисования заплптили 5 грн. 41 к. Сколько стоит одна тетрадь и одни альбом, если альбом дороже тетради на 72 к.?

5 грн. 41 к.=541 к.

Решение

Принадлежность

Цена, к.

Количество, шт.

Стоимость, к.

Тетрадь

х

7

7х 541

Альбом

х+72

4

4(х+2)

Получаем уравнение: 7х+ 4(х+2)=541.

5) Тип 4. Задачи геометрического содержания

А) Прямоугольник

b b

a

Периметр: Р=(a+b)*2;

Площадь: S=a*b.

Б) Квадрат

а

Периметр: Р=4а;

Площадь: S=.

В) Треугольник

b c

a

Периметр: Р=а+b+c;

Задача 8. Длина прямоугольника в 4 раза больше его ширины, а периметр равен 60 м. Найдите площадь прямоугольника.

Условие можно записать так:

Р=60 см

S - ?

х

Длина а=4х м;

Ширина b=х м;

Периметр Р=60 м;

Площадь S=? ;

Решение

Р=2*(а+b);

(4x+x)*2=60;

5x=60;

x=6.

Значит, ширина прямоугольника 6м, а длина 4*6=24 м. Тогда площадь равна 6*24=144.

Ответ: 144.

6. Тип 5. Задачи «Было - стало» или «на переливание»

Задача 9. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на другом. После того, как из первого склада взяли 20 телевизоров, а на другой привезли 14, на обоих складах стало поровну телевизоров. Сколько телевизоров было на каждом складе сначала?

Решение

Склад

Было

Стало

Первый

3х

3х-20 поровну

второй

х

х+14

Получаем уравнение: 3х-20=х+14.

7) Тип 6. Задачи на нахождение дроби от числа

Задача 10. Велосипедист проехал 5/7 запланированного пути и ещё 40 км, после чего ему осталось проехать 0,75 пути без 118 км. Какова длина всего пути?

Решение

С помощью схемы (см. рис) составим краткое условие задачи.

(5/7х+40)км (0,75х-118)км

х км

1 часть - (5/7х+40)км;

х км

2 часть - (0,75-118)км

Получаем уравнение: (5/7х+40)+ (0,75-118)=х.

8) Тип 7. Задачи на проценты

Задача 11. Кусок сплава меди, цинка и олова содержит 40% меди и 120 г олова. Найдите массу этого куска, если в нём цинка на 50 г меньше, чем меди.

Запишем проценты в виде дроби.

Решение

40%=0,4;

Медь – 0,4х г;

Цинк – (0,4х-50)г х г

Олово – 120г

Получаем уравнение: 0,4х+(0,4х-50)+120=х.

9) Задачи повышенной сложности.

Задача 12 (сборник Сканави, №13.001). Из четырёх чисел первые три относятся как , а четвёртое составляет 15% второго. Найдите эти числа, если известно, что второе число больше суммы других на 8 единиц.

Решение

Рассмотрим отношения: . Значит, данные числа относятся как 6:10:1. Имеем:

1. 6х

2. 10х

3. х

4. 10х*0,15

Получаем уравнение: 10х-(6х+х+1,5х)=8.

Задача 13. (Сборник Сканави, 3 13.003). В двух баках 70 л воды. Если из первого бака перелить во второй 12,55 воды, вмещавшейся в нём, то в обоих баках воды станет поровну. Сколько литров воды в каждом баке?

Решение

Обратим внимание, что известна сумма. Обозначив через х количество воды в первом баке, будем иметь в другом баке (70-х)л.

12,5%=0,125=1/8.

Запишем условие в таблицу.

Склад

Было

Стало

Первый

хл

х - поровну

второй

(70-х) л

(70-х)+

Получаем уравнение: х-= (70-х)+ .

Задача 14. Цену товара снизили сначала на 20%¸ потом новую цену снизили ещё на 15% и в третий раз снизили цену товара ещё на 10%. На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?

Решение

Была цена – х грн.

После первого снижение на 20% - 0,8х грн.

После второго снижения на 15% - 0,8х*0,85 грн.

После третьего снижения на 10% - 0,8х*0,85*0,9 грн.

Последняя цена составляет 0,8*0,85*0,9х=0,6120х=61,2%х.

Цена снизилась на 100% - 61,2%=38,8%.

Ответ: 38,8%.

29. Алгоритм решения уравнений

1. Избавиться от знаменателей

2. Раскрыть скобки

3. Перенести члены с переменными в левую часть уравнения,

а другие – в правую

4. Привести подобные слагаемые

30. Порядок выполнения действий в числовых выражениях

1. Возведение в степень

2. Действия в скобках

3. Умножение, деление по порядку

4. Сложение, вычитание по порядку

18