Уравнения,
неравенства и их системы.
В школьном курсе математики можно выделить
шесть основных числовых и функционально-алгебраических линий:
Целые числа, степени с натуральным
показателем, целые алгебраические выражения, целые рациональные функции;
Дроби, степени с целым отрицательным
показателем, алгебраические дроби, дробно-рациональная функция;
Корни, степени с дробным показателем,
иррациональные алгебраические выражения, иррациональные функции;
Тригонометрические выражения,
тригонометрические функции;
Степени с действительным показателем,
показательные выражения, показательная функция;
Логарифмы, логарифмические выражения,
логарифмическая функция.
В соответствии с этой классификацией можно
выделить шесть основных типов уравнений и неравенств, изучаемых в школе (если
договориться, что ключевым признаком классификации является хронология изучения
темы). То есть, если, например, в некотором уравнении (неравенстве)
переменная содержится и под знаком корня и в показателе степени, то будем считать
уравнение (неравенство) показательным, а не иррациональным, т.к. показательная
функция изучается в школьном курсе математики позже.
Основные методы решения уравнений и неравенств
школьного курса
Переход к уравнению -следствию. Переход
к уравнению-следствию, как правило, связан с расширением ОДЗ, которое обычно
происходит после какого-либо алгебраического преобразования: возведения в
четную степень, освобождения от знаменателя, логарифма или модуля. Вместо
непосредственной подстановки найденных корней в исходное уравнение можно
подставить корни лишь в неравенства, невыполнение которых и приводит к
появлению посторонних корней.
Пример 1: (задание
13) Решите уравнение
- нет решений
или
- не входит в ОДЗ (проверка)
Ответ:
|
ОДЗ:
|
Для неравенств рекомендовать этот метод, в
основной массе случаев, нельзя, т.к. число решений неравенства, как правило,
бесконечно, и проверку тогда выполнить невозможно.
Метод равносильных преобразований.
Не требует проверки найденных решений путем их подстановки в данное уравнение
или неравенство и является одним из основных методов решения уравнений и
неравенств.
Пример 2
(задание 15):
Решение: данное неравенство равносильно
следующему неравенству:
Ответ:
Метод интервалов.
Пример 3
(задание 15). Решите неравенство:
Решение:
Пусть f(x)=.
Необходимо
решить неравенство f(x) 0. Область определения
функции f определяется системой неравенств
Итак, D(f) =
Найдем нули функции f:
log3 (5x
+ 1) = log3 (7x – 1)2,
откуда 49x2 –
19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x = -
корень уравнения.
Ответ:
Разложение на множители (в том числе
группировка)
Решение неравенств методом интервалов или
иным методом во многих случаях требует некоторых предварительных действий,
такими преобразованиями в том числе являются различные способы разложения на
множители
Пример 4
(задание 15).
Решите неравенство:
Решение:
Дальнейшее решение неравенства можно
провести методом интервалов.
Ответ:
Метод введения новой переменной. Основной
идеей метода является замена повторяющегося алгебраического выражения в данном
уравнении (неравенстве) некоторой буквой, играющей роль новой переменной. Решив
после такой замены уравнение (неравенство) относительно новой переменной,
нужно сделать обратную замену, вернувшись к данной переменной, и решить
полученные уравнения (неравенства) уже относительно данной переменной.
Пример 5
(задание 13). Решите уравнение
Решение:
Пусть , тогда
уравнение примет вид:
Откуда или
При получаем:
При получаем
Ответ:
Применение свойств функций к решению
неравенств. Существует довольно большой класс
уравнений и неравенств, решение которых только с помощью стандартных методов
(алгебраических преобразований, замены переменной, метода интервалов и метода
знакотождественных множителей) невозможно. Решение таких уравнений, неравенств
и их систем опирается на некоторые свойства элементарных функций, изучаемых в
школьном курсе, прежде всего монотонность и ограниченность. В некоторых случаях
приходится использовать свойства периодичности, четности (нечетности),
инвариантности, дифференцируемости, а также графические интерпретации
неравенств.
Пример 6
(задание 15). Решите неравенство:
Решение: Заметим, что функция монотонно возрастает на всей числовой
прямой, т.к. является суммой возрастающих функций) и f(-1)
= 0.
Поэтому неравенство выполняется в том и только в том случае,
если х<-1
Ответ:
Метод знакотождественных множителей (метод рационализации)
Определение:
Два выражения а(х) и b(x) называются
знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки
знакоположительности, знакоотрицательности и нули.
Применяется для неравенств вида V
0
Основные пары знакотождественных
множителей:
·
Разность модулей и разность квадратов этих
выражений
·
Разность двух корней одной степени и
разность подкоренных выражений (при условии неотрицательности последних в
случае корня четной степени)
·
Разность двух показательных выражений и
произведение разности основания и 1и разности показателей
·
Разность логарифмов с одним и тем же
основанием произведение разности основания и 1и разности выражений,стоящих под
знаком логарифма (при условии положительности последних)
Пример 7
(задание 15).
Решите неравенство:
Решение:
Последнее неравенство решаем методом
интервалов.
Ответ:
Пример 8
(задание 15).
Решите неравенство:
Решение:
Последняя система решается методом
интервалов. Получим
Ответ:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.