Инфоурок Алгебра КонспектыСправочный материал при обобщющем повторении курса алгебры при полготовке к ГИА в форме ЕГЭ

Справочный материал при обобщющем повторении курса алгебры при полготовке к ГИА в форме ЕГЭ

Скачать материал

Уравнения, неравенства и их системы.

В школьном курсе математики можно выделить шесть основных числовых и функционально-алгебраических линий:

Целые числа, степени с натуральным показателем, целые алгебраические выражения, целые рациональные функции;

Дроби, степени с целым отрицательным показателем, алгебраические дроби, дробно-рациональная функция;

Корни, степени с дробным показателем, иррациональные алгебраические выражения, иррациональные функции;

Тригонометрические выражения, тригонометрические функции;

Степени с действительным показателем, показательные выражения, показательная функция;

Логарифмы, логарифмические выражения, логарифмическая функция.

В соответствии с этой классификацией можно выделить шесть основных типов уравнений и неравенств, изучаемых в школе (если договориться, что ключевым признаком классификации является хронология изучения темы).   То есть,  если, например, в некотором  уравнении (неравенстве) переменная содержится и под знаком корня и в показателе степени, то будем считать уравнение (неравенство)  показательным, а не иррациональным, т.к. показательная функция изучается в школьном курсе математики позже.


 

Основные методы решения уравнений и неравенств школьного курса

 

Переход к уравнению -следствию.  Переход к уравнению-следствию, как правило, связан с расширением ОДЗ, которое обычно происходит после какого-либо алгебраического преобразования: возведения в четную степень, освобождения от знаменателя, логарифма или модуля. Вместо непосредственной подстановки найденных корней в исходное уравнение можно подставить корни лишь в неравенства, невыполнение которых  и приводит к появлению посторонних корней.

Пример 1: (задание 13) Решите уравнение

 - нет решений

или 

- не входит в ОДЗ (проверка)

 

 

Ответ:

ОДЗ:

Для неравенств рекомендовать этот метод, в основной массе случаев, нельзя, т.к. число решений неравенства, как правило, бесконечно, и проверку тогда  выполнить невозможно.

Метод равносильных преобразований. Не требует проверки найденных решений путем их подстановки в данное уравнение или неравенство и является одним из основных методов решения уравнений и неравенств.

Пример 2 (задание 15):

Решение: данное неравенство равносильно следующему неравенству:

Ответ:


 

Метод интервалов.

Пример 3 (задание 15). Решите неравенство:

Решение:

Пусть f(x)=.

Необходимо решить неравенство f(x)  0. Область определения функции f определяется системой неравенств

       

Итак,  D(f) =

Найдем нули функции f:

 log3 (5x + 1) = log3 (7x – 1)2,

откуда 49x2 – 19x = 0, x = 0 – посторонний корень, x =  - корень уравнения.

no39_14.gif (1281 bytes)

Ответ: 

Разложение на множители (в том числе группировка)

Решение неравенств методом интервалов или иным методом  во многих случаях требует некоторых предварительных действий, такими преобразованиями в том числе являются различные способы разложения на множители

Пример 4 (задание 15).

Решите неравенство:

Решение:

Дальнейшее решение неравенства можно провести методом  интервалов.

Ответ:

Метод введения новой переменной. Основной идеей метода является замена повторяющегося алгебраического выражения в данном уравнении (неравенстве) некоторой буквой, играющей роль новой переменной. Решив после такой замены  уравнение (неравенство) относительно новой переменной, нужно сделать обратную замену, вернувшись к данной переменной, и решить полученные уравнения (неравенства) уже относительно данной переменной.

Пример 5 (задание 13). Решите уравнение

Решение:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

Откуда  или 

При  получаем:

При получаем

Ответ:

Применение свойств функций к решению неравенств. Существует довольно большой класс  уравнений и неравенств, решение которых только с помощью стандартных методов (алгебраических преобразований, замены переменной, метода интервалов и метода знакотождественных множителей) невозможно. Решение таких уравнений, неравенств и их систем опирается на некоторые свойства элементарных функций, изучаемых в школьном курсе, прежде всего монотонность и ограниченность. В некоторых случаях приходится использовать свойства периодичности, четности (нечетности), инвариантности, дифференцируемости, а также графические интерпретации неравенств.

Пример  6 (задание 15). Решите неравенство:

Решение: Заметим, что функция   монотонно возрастает на всей числовой прямой, т.к. является суммой возрастающих функций) и f(-1) = 0.

Поэтому неравенство выполняется в том и только в том случае, если х<-1

Ответ:
Метод знакотождественных множителей (метод рационализации)

Определение:

Два выражения а(х) и b(x) называются знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки знакоположительности, знакоотрицательности и нули.

Применяется для неравенств вида    V 0

Основные пары знакотождественных множителей:

·        Разность модулей и разность квадратов этих выражений

·        Разность двух корней одной степени и разность подкоренных выражений (при условии неотрицательности последних в случае корня четной степени)

·        Разность двух показательных выражений и произведение разности основания и 1и разности показателей

·        Разность логарифмов с одним и тем же основанием произведение разности основания и 1и разности выражений,стоящих под знаком логарифма (при условии положительности последних)


 

Пример 7 (задание 15).

Решите неравенство:

Решение:

Последнее неравенство решаем методом  интервалов.

Ответ:

Пример 8 (задание 15).

Решите неравенство:

Решение:

Последняя система решается методом интервалов. Получим

Ответ:

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Справочный материал при обобщющем повторении курса алгебры при полготовке к ГИА в форме ЕГЭ"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Системный администратор

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 985 материалов в базе

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

    «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень», Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

    Тема

    4. Решение логарифмических уравнений и неравенств

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 06.11.2017 454
    • DOCX 99.3 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Воронина Ирина Владимировна Ирина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    • На сайте: 6 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1061
    • Всего материалов: 2

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

Копирайтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: умножение и деление

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 224 человека из 56 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс повышения квалификации

Практические аспекты применения современных технологий при обучении школьников математике в рамках ФГОС ООО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 61 человек из 33 регионов

Мини-курс

Формирование здоровых детско-родительских отношений: влияние и преодоление сепарации

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 124 человека из 42 регионов

Мини-курс

Психологическая зрелость и стрессоустойчивость: основы развития личности и поддержки

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 98 человек из 43 регионов

Мини-курс

Взаимоотношения в семье и успех детей

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе